人教版B版高中数学选修3-1(B版)欧氏几何的“家丑”
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人教版B版高中数学选修3-1(B版)万物皆数
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诚然，作为一种唯心主义的世界观，毕达哥 拉斯和他的学派的科学探索无法找到正确的 方向，甚至在某种程度上给后来的自然哲学 以及科学的发展带来了很大的消极影响。但 是，这些失误，并不能掩盖毕达哥拉斯在自 然科学形成和发展过程中起到的积极作用。 列宁告诉我们，毕达哥拉斯是 “科学思维的 萌芽同宗教神话之类幻想间的一种联系” 。
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学派的成员有着共同的哲学信仰和政治理想， 他们吃着简单的食物，进行着严格的训练。 学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服 从。他们开始在大希腊 （今意大利南部一带 ）赢得了很高的声誉，产生过相当大的影响， 也因此引起了敌对派的嫉恨。
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后来他们受到民主运动的冲击，社团在克罗 托内的活动场所遭到了严重的破坏。毕达哥 拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔兰 托），并于公元前500年去世，享年80岁。 许多门徒逃回希腊本土，在弗利奥斯重新建 立据点，另一些人到了塔兰托，继续进行数 学哲学研究，以及政治方面的活动，直到公 元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣 了两个世纪之久。
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毕达哥拉斯在意大利南部的希腊属地克劳东 成立了一个秘密结社，这个社团里有男有 女，地位一律平等，一切财产都归公有。社 团的组织纪律很严密，甚至带有浓厚的宗教 色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水 平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式， 以求达到 “心灵的净化” 。
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他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的 规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密 和学说。他们相信依靠数学可使灵魂升华， 与上帝融为一体，万物都包含数，甚至万物 都是数，上帝通过数来统治宇宙。这是毕达 哥拉斯学派和其他教派的主要区别。
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毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始 讲学并开办学校，但是没有达到他预期的成 效。公元前520年左右，为了摆脱当时君主 的暴政，他与母亲和唯一的一个门徒离开萨 摩斯，移居西西里岛，后来定居在克罗托内。 在那里他广收门徒，建立了一个宗教、政治、 学术合一的团体。
人教版B版高中数学选修3-1(B版)新奇的非欧几何世界
知识重要的工具。它不仅是微分几何的基础， 也应用在微分方程、变分法和复变函数 论等方面。
知识梳理
非欧几何的发展
19世纪70年代以后，意大利数学家 贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国 数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间 中给出了非欧几何的直观模型，从而揭 示出非欧几何的现实意义。
人物简介
在身患重病，卧床不起的困境下，他 也没停止对非欧几何的研究。他的最后一 部巨著《论几何学》，就是在他双目失明， 临去世的前一年，口授他的学生完成的。
人物简介
鲍耶·雅诺什—非欧定理
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何 学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什 也发现了第五公设不可证明和非欧几何 学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过 程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。
新奇的非欧几何世界
知识梳理
非欧几何
Non-Euclidean geometry 非欧几里 得几何是一门大的数学分支，一般来讲， 它有广义、狭义、通常意义这三个方面 的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧 几里得几何不同的几何学，狭义的非欧 几何只是指罗氏几何来说的，至于通常 意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎 曼几何这两种几何。
人物简介
在他19岁时，第一个成功地用尺规 （没有刻度）构造出了规则的17角形。24 岁时之花了几个星期，用他的最小二乘法 得到了谷神星的椭圆轨道，计算出了谷神 星的运行轨迹。从此高斯名扬天下。
人物简介
晚年的高斯，几乎每天到哥延根大学 守旧派成立的文学会(高斯是会员)附属的 阅览室寻觅各种数据。如果某个学生正在 看的报是他所寻找的，高斯会一直瞪着他 直到对方递过来这份报纸。他因而被学生 戏称为“阅览室之霸”。
人物简介
但他的理论仍难被同时代人理解。 据说他在哥延根大学的演讲只有年迈的 高斯听得懂。1846年，按照父亲的意愿， 黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。 在此期间他去听了一些数学讲座，包括 高斯关于最小二乘法的讲座。在得到父 亲的允许后，他改学数学。1847年春， 黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利 克雷和Steiner门下。两年后他回到哥廷 根。后开创了黎曼积分。
人教版B版高中数学选修3-1(B版)从假设到现实----非欧几何的意义
知识梳理
卡尔·弗里德里希·高斯
高斯是第一个相信非 欧几何能够应用的人。为 了检验他的非欧几何的应 用可能性，高斯实际测量 了由布诺肯山、霍赫海根 山、英色柏格山三个山峰 构成的三角形的内角之和。 三角形三边分别为69,85和 197公里。
知识梳理
发现：内角和比180°超出了14″85， 误差远大于15″，正确的可能是180°， 甚至更小些。
几何学的发源可以追溯到古埃及， 几何学的本意是测量的意思，它是古埃 及人进行土地测量时的各种经验成果的 总结。
知识梳理
非欧几何起源
从公元前3世纪到19世纪的两千多年 期间，人们不断尝试着用各种方法证明 第五公社，18世纪末19世纪初分别由德 国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯 基和匈牙利数学家波约分别独立创建， 他们的研究基本一致。
知识梳理
思想的解放
当数学家深思熟虑新几何出现的意 义时，思想得到了一次真正的解放。原 来人们可以通过构造不同的公里体系来 建立不同的几何学。所以罗巴切夫斯基 几何的出现为大量新几何的出现打开了 大门。
课堂小结
1、高斯非欧几何应用可能性的检验 只有非常大的三角形中才有可能显示 出任何的差距。
课堂小结
从假设到现实 ——非欧几何的意义
知识梳理
非欧几里得几何是一门大的数学分 支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通 常意义这三个方面的不同含义。所谓广 义式泛指一切和欧几里得几何不同的几 何学；狭义的非欧几何只是指罗氏几何 来说的，至于通常意义的非欧几何，就 是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
知识梳理
非欧几何起源
广义相对论对强引力场空间结构非 欧几何特性的解释。
知识梳理
星光弯曲示意图
1919年5月，英国天文学家、物理学 家爱丁顿，证实了星光经过太阳附近时， 确实发生了偏转。
人教版高中数学选修3-1数学史选讲《非欧几何的诞生：欧氏几何的家丑》
３.《原本》中公设
1）任意两个点可以通过一条直线连接。 2）任意线段能无限延伸成一条直线。 3）给定任意线段，可以以其一个端点作为 圆心，该线段作为半径作一个圆。 4）所有直角都全等。
４.第五公设
同一平面内一直线同另外 两条直线相交，若在某一侧的 两内角之和小于两直角，则两 直线无限延长后，必在这一侧 相交。 ——平行公设或平行线公理
３.非欧几何
广义：
一切和欧几里得的几何学不同的几何学。
狭义：
指双曲几何。
通常：
指椭圆几何和双曲几何这两种几何。
课堂小结
１.欧氏几何 １）欧氏几何 ２）第五公设：同一平面内一直线同另 外两条直线相交，若在某一侧的两内角之 和小于两直角，则两直线无限延长后，必 在这一侧相交。 ３）第五公设的证明——萨凯里。 ２.非欧几何 １）与欧氏平行公设对立的公设。 ２）非欧几何。 ３）非欧几何出现的意义。
二.非欧氏几何
１.与欧氏平行公设对立的公设
V’过直线外一点没有直线与所给直线平行。 V’’过直线外一点至少有两条直线与给定 直线平行。 由这两个命题能分别证明钝角假设、锐 角假设成立，同样：
V’与钝角假设等价。
V’’与锐角假设等价。
２.椭圆几何、双曲几何
如果我们保留欧几里 得几何中不依赖平行公设 的命题，然后把平行公设 替换为V’或V’’，就能得 到新的几何体系，分别叫 做椭圆几何、双曲几何， 它们都是非欧几何。
２.什么是非欧氏几何？
解析
广义：指一切和欧几里得的几 何学不同的几何学。 狭义：指双曲几何。 通常意义：指椭圆几何和双曲 几何这两种几何。
作业：
十几个世纪过去了！人们开 始怀疑：第五公设是否可证？可 否用相反命题代替？
人教版B版高中数学选修3-1(B版)时代的产物
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用“几何”译“geometria”(英文 geometry)，音义兼顾，确是神来之笔。几 何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、 平行线、角、三角形和四边形等中文译名， 都是这个译本定下来的。这些译名一直流传 到今天，且东渡到汉字文化圈的日本、朝鲜 等国(越南语则使用独自翻译的越制汉语 “形学(hình học)”一词)，影响深远。
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几何学有悠久的历史。最古老的欧氏几何基 于一组公设和定义，人们在公设的基础上运 用基本的逻辑推理构做出一系列的命题。可 以说，《几何原本》是公理化系统的第一个 范例，对西方数学思想的发展影响深远。
一千年后，笛卡儿在《方法论》的附录《几 何》中，将坐标引入几何，带来革命性进步。 从此几何问题能以代数的形式来表达。
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公元前338年，希腊人欧几里得，把在他以 前的埃及和希腊人的几何学知识加以系统的 总结和整理，写了一本书，书名叫做《几何 原本》。1607年，我国的数学家徐光启和西 方人利玛窦合作，把欧几里得的《几何原本》 第一次介绍到我国。欧几里得的《几何原本》 是几何学史上有深远影响的一本书。现今我 们学习的几何学课本多是以《几何原本》为 依据编写的。
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中国文明和其对应时期的文明发达程度相当， 因此它可能也有同样发达的数学，但是没有 那个时代的遗迹可以使我们确认这一点。也 许这是部分由于中国早期对于原始的纸的使 用，而非用陶土或者石刻来记录他们的成就。
谢 谢！
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几何最早的有记录的开端可以追溯到古埃及 (参看古埃及数学)，古印度(参看古印度数 学)，和古巴比伦(参看古巴比伦数学)，其 年代大约始于公元前3000年。早期的几何学 是关于长度，角度，面积和体积的经验原理， 被用于满足在测绘，建筑，天文，和各种工 艺制作中的实际需要。在它们中间，有令人 惊讶的复杂的原理，以至于现代的数学家很 难不用微积分来推导它们。
人教版B版高中数学选修3-1(B版)更上一层楼
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十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、 物理学家都为解决上述几类问题作了大量的 研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、 笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普 勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有 建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。
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十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国 大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自 己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工 作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大 功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起， 一个是切线问题（微分学的中心问题），一个 是求积问题（积分学的中心问题）。
更上一层楼
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微积分（Calculus）是高等数学中研究函数 的微分、积分以及有关概念和应用的数学分 支。它是数学的一个基础学科。内容主要包 括极限、微分学、积分学及其应用。微分学 包括求导数的运算，是一套关于变化率的理 论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜 率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分 学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、 体积等提供一套通用的方法。
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公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解 决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下 面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含 着近代积分学的思想。作为微分学基础的极 限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。 比如中国的庄周所著的《庄子》一书的“天 下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万 世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中 提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以 至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。” 这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
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随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第 二个基 本极限定理（中心极限定理）的原始形式。 拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出 了《分析的概率理论》，明确给出了概率的 古典定义，并在概率论中引入了更有力的分 析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、 李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律 及中心极限定理的一般形式，科学地解释了 为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从 正态分布。
人教版B版高中数学选修3-1(B版)业余数学大师
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费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原 理，也叫最短时间作用原理。这个原理的提 出源远流长。早在古希腊时期，欧几里得就 提出了光的直线传播定律相反射定律。后由 海伦揭示了这两个定律的理论实质——光线 取最短路径。经过若干年后，这个定律逐渐 被扩展成自然法则，并进而成为一种哲学观 念。—个更为一般的“大自然以最短捷的可 能途径行动”的结论最终得出来，并影响了 费马。费马的高明之处则在于变这种的哲学 的观念为科学理论。
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早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系 问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但 是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后 的事。l6世纪早期，意大利出现了卡尔达诺 等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的 点中探求赌金的划分问题。到了17世纪，法 国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的 著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立 了概率学的基础。
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一般概率空间的概念，是人们对于概念的直 观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有 限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入 了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇 的世界了。费马的贡献便在于此。
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17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数 学家丢番图所写的《算术》一书。l621年费 马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中 的不定方程进行了深入研究。费马将不定方 程的研究限制在整数范围内，从而开始了数 论这门数学分支。
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由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、 直到16世纪才又被重视。由于约翰尼斯开普 勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定 椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无 穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。 尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里 到费马以来的数学家开辟厂一个十分广阔的 思考空间。
人教B版高中数学选修3-1课件 3代数学与三大几何作图难题课件1
3.3代数学与 三大几何作图难题
人教B版数学选修3-1《数学史选讲》
几何三大难题
只用没有刻度的支持和圆规（即 “欧几里 得”工具）来解倍立方体（找出一个体积是 原立方体体积二倍的新立方体）、三等分任 意角和化圆为方（求座正方形，使其面积等 于已知圆的面积），就是“几何三大难题”
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行 疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求 助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立 方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流 行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最 伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。 这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问 题。用数学语言表达就是：已知一个立方体， 求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的 两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化 圆为方问题。
或描述如下:
这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列 问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的：
1.立方倍积 即求作一立方体的边，使该立方 体的体积为给定立方体的两倍。
2.化圆为方 即作一正方形，使其与一给定的 圆面积相等。
3.三等分角 即分一个给定的任意角为三个相 等的部分。
化圆为方，立方倍积和三等分 角这三大古希腊几何作图难题 的结果又是如何被证明的呢？ 带着问题让我们来探究一下。
（3）三大几何作图难题的意义
虽然三大几何作图难题都被证明是不可能由 尺规作图的方式做到的，但是为了解决这些 问题，数学家们进行了前赴后继的探索，最 后得到了不少新的成果，发现了许多新的方 法。同时，它反映了数学作为一门科学，它 是一片浩瀚深邃的海洋，仍有许多未知的谜 底等待这我们去发现。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变 成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则 倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数 学家们在这些问题上又演绎出很多故事。中国 数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美 国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆 规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为 尺规作图添了精彩的一笔。
人教B版数学选修3-1《数学史选讲》
几何三大难题
只用没有刻度的支持和圆规（即 “欧几里 得”工具）来解倍立方体（找出一个体积是 原立方体体积二倍的新立方体）、三等分任 意角和化圆为方（求座正方形，使其面积等 于已知圆的面积），就是“几何三大难题”
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行 疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求 助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立 方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流 行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最 伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。 这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问 题。用数学语言表达就是：已知一个立方体， 求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的 两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化 圆为方问题。
或描述如下:
这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列 问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的：
1.立方倍积 即求作一立方体的边，使该立方 体的体积为给定立方体的两倍。
2.化圆为方 即作一正方形，使其与一给定的 圆面积相等。
3.三等分角 即分一个给定的任意角为三个相 等的部分。
化圆为方，立方倍积和三等分 角这三大古希腊几何作图难题 的结果又是如何被证明的呢？ 带着问题让我们来探究一下。
（3）三大几何作图难题的意义
虽然三大几何作图难题都被证明是不可能由 尺规作图的方式做到的，但是为了解决这些 问题，数学家们进行了前赴后继的探索，最 后得到了不少新的成果，发现了许多新的方 法。同时，它反映了数学作为一门科学，它 是一片浩瀚深邃的海洋，仍有许多未知的谜 底等待这我们去发现。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变 成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则 倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数 学家们在这些问题上又演绎出很多故事。中国 数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美 国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆 规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为 尺规作图添了精彩的一笔。
2020人教版高二数学选修3-1全册课件【完整版】
第一讲 早期的算术与几何 一 古埃及的数学
2020人教版高二数学选修3－1全册 课件【完整版】
Байду номын сангаас
2020人教版高二数学选修3－1全 册课件【完整版】目录
0002页 0025页 0048页 0144页 0300页 0360页 0386页 0410页 0456页 0502页 0582页 0724页 0747页 0791页 0845页 0869页
第一讲 早期的算术与几何 一 古埃及的数学 三 丰富多彩的记数制度 二 毕达哥拉斯学派 四 数学之神──阿基米德 二 《九章算术》 四 中国古代数学家 二 笛卡儿坐标系 四 解析几何的进一步发展 二 科学巨人牛顿的工作 第六讲 近代数学两巨星 一 分析的化身──欧拉 第七讲 千古谜题 一 三次、四次方程求根公式的 三 伽罗瓦与群论 第八讲 对无穷的深入思考 一 古代的无穷观念 三 集合论的进一步发展与完善 二 人民的数学家──华罗庚 学习总结报告
人教版B版高中数学选修3-1(B版)勇于探索的数学家
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《方法论》是用法文而不是用拉丁文写成的， 一切有文化的人都可以通读，包括没有学过 古典语言的人。在《方法论》中附有三篇论 文，在这三篇论文中笛卡尔给出了用自己的 方法做出发明的例子。第一篇<光学>论文中， 笛卡尔提出了光的折射定律（但是这个定律 在此之前就已被威勒勃劳德·斯内尔发现）； 讨论了透镜和多种其它光学仪器；描述了眼 睛的功能及病态的原因；提出了一种光的学 说，后来为克里斯琴·海更斯系统阐述的光 波学说揭开了序幕。
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第二，笛卡尔认为，不应该从信仰开始而是 从怀疑开始。（这恰好与圣·奥古斯丁及大 多数中世纪神学家的看法相反，他们认为信 仰第一）。这样笛卡尔确实得出了正统神学 的结论。但是读者对他的倡导方法远比对他 得出的结论还要更为重视（教会担心他的著 作会起破坏性作用不是没有理由的）。
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笛卡尔的物质宇宙观也很有影响。认为整个 世界──除了上帝和人的心灵之外──都是机 械运动的，因此所育的自然事物都可以用机 械原因来解释。否认占星术、魔法以及其它 迷信形式，同样否认了对事物所做的一切目 的论的解释（也就是他寻找直接的机械原因， 否定事物的发生是为了某种遥远的终极目的 的认识）。由笛卡尔的观点可以看出，动物 从本质上讲就是复杂的机械，人体也受通常 的力学定律所支配。从那时起，这就成了现 代生理学的基本观点之一。
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他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代 唯物论的开拓者且提出了“普遍怀疑”的主 张。黑格尔称他为“现代哲学之父”。他的 哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开 拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。堪称17世 纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之 一，被誉为“近代科学的始祖”。
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勒内·笛卡尔于1596年出生在法国都兰省海 乐村。少年时期他上过一所环境优雅的耶稣 会学校──尖塔中学。二十岁在普瓦提·埃 大学获得法律学学位。虽然笛卡尔受过良好 的教育，但他却认为除了数学以外，任何其 它领域的知识皆是有懈可击的。从此，他没 有继续接受正规教育，而是决定漫游整个欧 洲，开阔视野，见悉世面。由于笛卡尔的家 庭经济富裕，足以使他囊满无挂，悠哉游哉。
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非欧几何
广义： 一切和欧几里得的几何学不同的几何学。 狭义： 指双曲几何。 通常： 指椭圆几何和双曲几何这两种几何。
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意义
１）萨凯里萨凯里的贡献在于开创了富于启 发性的反证法，并因此被称为非欧几何的先 驱。他的研究成为几何学史上最伟大的发现， 他本人也成为新学科——非欧几何的创立者。
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２）兰伯特兰伯特在萨凯里间接证法的基础 上又跨进了一步。在得到类似的结果后，没 有像萨开里那样声称证明了第五公设，而是 大胆地对第五公设的可证性提出了怀疑，认 为这些与直观表象不相符合但在逻辑推理上 没有矛盾的结论可能是一种新几何。
谢谢欣赏！
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第五公设
同一平面内一直线同另外两条直线相交， 若在某一侧的两内角之和小于两直角，则两直 线无限延长后，必在这一侧相交。
——平行公设或平行线公理
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第五公设与另外4条相比，显得叙述复杂， 而且根本没有“自明”的特征。事实上，它是 《几何原本》中命题17的逆命题。它看起来更 像一个定理而不像公设。
人物简介
欧几里得（公元前330年—公元前275年）， 古希腊数学家。他活跃于托勒密一世（公元前 364年－公元前283年）时期的亚历山大里亚， 被称为“几何之父”。
人物简介
他最著名的著作《几何原本》是欧洲数 学的基础，提出五大公式，欧几里得几何， 被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧 几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球 面几何学及数论的作品。
欧式几何的“家丑”
背景简介
“过直线外一点有且仅有一条平行线” 。 这是我们在初中就学过的公理。别小看它， 它曾经花费了数学家们2000多年的 时间 来研究它，甚至还有个几何学的“家丑” 的名声。
平行公设是欧氏几何原理中的家丑。 ——达朗贝尔
人物简介
欧几里得
欧几里得：生于雅典， 是柏拉图的学生。以《原 本》而著称于世，将前人 的数学成果加以系统的整 理和总结，以严密的演绎 逻辑，把建立在一些公理 之上的初等几何学知识构 成为一个严整的体系。
Hale Waihona Puke 知识梳理甚至像托勒密、普罗克鲁斯、瓦里斯、 达朗贝尔、拉格朗日、勒让德等大数学家， 也只能面对无数次的失败而“望题兴叹”， 以致达朗贝尔称其为“几何学中的家丑”。
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十几个世纪过去了！人们开始怀疑：第 五公设是否可证？可否用相反命题代替？ 对此，意大利数学家萨凯里和德国数学家兰 伯特的研究最早触及问题的实质。
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数学家们开始猜测，这条公设是否真的 必要？能不能从其他的九个公理和公设中把 它推导出来？
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小故事
从公元前3世纪到19世纪的两千多年期 间，人们不断尝试着用各种方法证明第五公 设，有案可查的就有2000人之多。许多数学 家为 此沤心沥血，耗尽毕生精力，然而春 去秋至，岁月流逝，却劳而无获。
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18世纪初，意大利数学家萨克利用反证 法，假设第五公设的否定命题成立，希望推 出矛盾，结果推出了一系列的命题，却始终 没有发现其中的任何一对命题在逻辑上是相 互矛盾的。尝试证明第五公设的屡屡失败， 使得数学家们动摇了证明它的决心。
知识梳理
他们认为，第五公设可能永远无法证明。 这意味着，第五公设可能确实是独立的公设， 而非定理。如果承认第五公设的独立性，就等 于承认了由第五公设的否定命题取代它后，推 出的另一种几何学体系是逻辑上成立的。于是， 数学家们发明了非欧几何，即所谓罗巴切夫斯 基的锐角几何和黎曼的钝角几何。
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“一个人当他最初接触欧几里得几何学时， 如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么 他是不会成为一个科学家的。”
——爱因斯坦
知识梳理
《原本》中公设
1）任意两个点可以通过一条直线连接。 2）任意线段能无限延伸成一条直线。 3）给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，
该线段作为半径作一个圆。 4）所有直角都全等。