1.1.1集合的含义与表示_练习题(1)
1.1.1集合的含义与表示精选必考题1

1.1.1集合的含义与表示精选必考题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列四个集合中,是空集的是( )A .{}33x x +=B .(){}22,,,x y y x x y R =-∈C .{}20x x ≤D .{}210,x x x x R -+=∈ 2.下列关系中,正确的是( )A .0N +∈B .3Z 2∈ C .πQ ∉ D .0⊆n 3.已知集合{}2320A x R ax x =∈-+=中只有一个元素,则a =( ) A .92 B .98 C .0 D .0或984.对任意x M ∈,总有2x M ∉M ,若{}0,1,2,3,4,5M =,则满足条件的非空集合M 的个数是( )A .11B .12C .15D .16 5.如果集合{}2210A x ax x =--=只有一个元素,则a 的值是( )A .0B .0或1C .1-D .0或1-6.设集合2{|log (1)}A x y x ==-,{|B y y ==,则A B =I ( ) A .(0,2] B .(1,2) C .(1,)+∞D .(1,2] 7.下列四个关系中,正确的是( )A .{},a a b ∈B .{}{},a a b ∈C .{}a a ∉D .{},a a b ∉ 8.对于任意两个正整数m 、n ,定义某种运算“※”,法则如下:当m 、n 都是正奇数时,m ※n =m n +;当m 、n 不全为正奇数时,m ※n =mn .则在此定义下,集合{}**(,)|16,,M a b a b a N b N ※==∈∈中的元素个数是( )A .7B .11C .13D .14 9.若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形10.若集合()22017*2,10,,2n mn n A m n m Z n Z ⎧⎫++⎪⎪==∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合A 的元素个数为( )A .4038B .4036C .22017D .22018二、多选题11.下列各组对象能构成集合的是( ). A .拥有手机的人B .2019年高考数学难题C .所有有理数D .小于π的正整数 12.(多选)已知,,x y z 为非零实数,代数式||||||xyz x y z x y z xyz+++的值所组成的集合是M ,则下列判断正确的是()A .0M ∉B .2M ∈C .4M -?D .4M Î 13.(多选)下面四个说法中错误的是( )A .10以内的质数组成的集合是{}2,3,5,7B .由1,2,3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,1,2C .方程2210x x -+=的所有解组成的集合是{}11,D .0与{}0表示同一个集合14.(多选)已知集合{}A x x x =≤∈R ,a =,b = ) A .a A ∈B .a A ∉C .b A ∈D .b A ∉三、填空题15.已知集合A ={x ,y x,1},B ={x 2,x +y ,0},若A =B ,则x 2017+y 2018=______. 16.甲、乙两人同时参加一次数学测试,共10道选择题,每题均有四个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲乙的最终得分的和为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为__. 17.已知集合A={x|x 2-3x <0,x ∈N *},则用列举法表示集合A= ______ .18.不等式31x x a-≥+的解集为M ,若2M -∉,则实数a 的取值范围为________. 19.已知a ∈R ,不等式31x x a -≥+的解集为P ,且-2∈P ,则a 的取值范围是______. 20.设集合{,,1}A x xy xy =-,其中x ∈Z ,y ∈Z 且0y ≠. 若0A ∈,则用列举法表示集合A =________21.如果集合{}2210A x ax x =++=中只有一个元素,那么a 的值是___________. 22.下列关系正确的有__________.Q ;②{}0∅n ;③(){}{}22,4|,y y x x R ⊆=∈;④{}00∈. 23.集合{}2340A x ax x =--=的子集只有两个,则a 值为____________.24.若集合{}2210,A x ax x a R =++=∈至多有一个元素,则a 的取值范围是___________.25.已知集合{}21,1,3A a a a =+--,若1A ∈,则实数a 的值为______.26.若集合A =2{|310}x ax x -+=中只含有一个元素,则a 值为__________;若A 的真子集个数是3个,则a 的范围是 __________。
高中数学必修一全册同步练习含参考答案

高中数学必修一同步练习1.1.1 集合的含义与表示课后作业· 练习案【基础过关】1.若集合中只含一个元素1,则下列格式正确的是A.1=B.0C.1D.12.集合的另一种表示形式是A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5} 3.下列说法正确的有①集合,用列举法表示为{1,0,l};②实数集可以表示为或;③方程组的解集为.A.3个B.2个C.1个D.0个4.直角坐标系中,坐标轴上点的集合可表示为A.B.C.D.5.若集合含有两个元素1,2,集合含有两个元素1,,且,相等,则____. 6.已知集合,,且,则为 . 7.设方程的根组成的集合为,若只含有一个元素,求的值. 8.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数;(2)满足方程的所有x的值构成的集合B.【能力提升】集合,,,设,则与集合有什么关系?详细答案【基础过关】1.D【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“∉”的关系,故1∈A正确.2.B【解析】由x-2<3得x<5,又,所以x=1,2,3,4,即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}.3.D【解析】对于①,由于x∈N,而-1∉N,故①错误;对于②,由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思,而且实数集不能表示为{R},故②错误;对于③,方程组的解集是点集而非数集,故③错误.4.C【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点,在x轴上的点纵坐标为0,在y轴上的点横坐标为0.5.【解析】由于P,Q相等,故,从而.6.(2,5)【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).7.A中只含有一个元素,即方程(a∈R)有且只有一个实根或两个相等的实根.(1)当a=0时,方程的根为;(2)当a≠0时,有△=4-4a=0,即a=1,此时方程的根为.∴a的值为0或1.【备注】误区警示:初学者易自然认为(a∈R)是一元二次方程,而漏掉对a 的讨论,导致漏解.举一反三:若把“若A只含有一个元素”改为“若A含有两个元素”,则结论又如何?由题意知,a≠0,且△=4-4a>0,解得a<1.所以a<1且a≠0.8.(1){x|x=3n,n∈Z};(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【能力提升】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设,,,,∴,又∴c∈M.1.1.2集合间的基本关系班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1.设,,若,则的取值范围是A. B. C. D.2.设集合,,则A.M =NB.M⊆NC.M ND.N3.已知集合,,若,求实数的值.4.满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合的个数是A.8B.7C.6D.55.设集合和,那么与的关系为 .6.含有三个实数的集合,既可表示成,又可表示成,则.7.设集合,,求A∩B.8.已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且N M,求a的取值范围.【能力提升】已知,,是否存在实数,使得对于任意实数,都有?若存在,求出对应的的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1.D【解析】∵,∴a≥22.D【解析】本题考查集合间的基本关系.,;而;即N.选D.3.由A=B,可得,解得x=1.4.C【解析】本题考查子集.由题意得M={1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,6,5}共6个.选C. 5.M=P【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.6.-1【解析】本题考查相等集合.由题意得,所以,即;此时,所以,,且,解得.所以.7.,解得;所以.【解析】本题考查集合的基本运算.8.解:M={x | x 2-2x -3=0}={3,-1};∵N M,当N=∅时,N M 成立,N={x | x 2+ax+1=0},∴a 2-4<0, ∴-2<a <2;当N≠∅时,∵N M, ∴3∈N 或 -1∈N;当3∈N 时,32-3a+1=0即a= -310,N={3,31},不满足N M;当-1∈N 时,(-1)2-a+1=0即a=2,N={-1},满足N M;∴a 的取值范围是-2<a ≤2.【解析】本题考查集合间的基本关系. 【能力提升】不存在.要使对任意的实数b 都有,则1,2是A 中的元素,又∵A ={a -4,a +4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a 不存在.1.1.3 集合的基本运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后作业【基础过关】1.若,,,,则满足上述条件的集合的个数为A.5B.6C.7D.82.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是A.A∪BB.A∩BC.(∁U A)∩(∁U B)D.(∁U A)∪(∁U B)3.若集合P={x∈N|-1<x<3},Q={x|x=2a,a∈P},则P∩Q=A.⌀B.{x|-2<x<6}C.{x|-1<x<3}D.{0,2}4.设全集U=R,集合M={x|x>1或x<-1},N={x|0<x<2},则N∩(∁U M)=A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1}5.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.6.集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B= .7.设集合A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0,或x≥3},分别求满足下列条件的实数m.(1)A∩B=⌀;(2)A∪B=B.8.已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.【能力提升】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-x+2m=0}.(1)若A∪B=A,求a的值;(2)若A∩C=C,求m的取值范围.详细答案【基础过关】1.D2.C【解析】借助Venn图易得{2,7,8}=∁U(A∪B),即为(∁U A)∩(∁U B).3.D【解析】由已知得P={0,1,2},Q={0,2,4},所以P∩Q={0,2}.4.B【解析】∁U M={x|-1≤x≤1},结合数轴可得N∩(∁U M)={x|0<x≤1}.5.12【解析】设两项运动都喜爱的人数为x,依据题意画出Venn图,得到方程15-x+x+10-x+8=30,解得x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12.6.{(1,-1)}【解析】A∩B={(x,y)|}={(1,-1)}.7.因为A={x|0<x-m<3},所以A={x|m<x<m+3}.(1)当A∩B=⌀时,需,故m=0.即满足A∩B=⌀时,m的值为0.(2)当A∪B=B时,A⊆B,需m≥3,或m+3≤0,得m≥3,或m≤-3.即满足A∪B=B时,m的取值范围为{m|m≥3,或m≤-3}.8.(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2,或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2.【能力提升】A={1,2}.(1)因为A∪B=A,所以B⊆A,故集合B中至多有两个元素1,2.而方程x2-ax+a-1=0的两根分别为1,a-1,注意到集合中元素的互异性,有①当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意;②当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意.综上可知,a=2或a=3.(2)因为A∩C=C,所以C⊆A.①当C=⌀时,方程x2-x+2m=0无实数解,因此其根的判别式Δ=1-8m<0,即m>.②当C={1}(或C={2})时,方程x2-x+2m=0有两个相同的实数解x=1(或x=2),因此其根的判别式Δ=1-8m=0,解得m=,代入方程x2-x+2m=0,解得x=,显然m=不符合要求.③当C={1,2}时,方程x2-x+2m=0有两个不相等的实数解x1=1,x2=2,因此x1+x2=1+2≠1,x1x2=2=2m,显然不符合要求.综上,m>.1.2.1 函数的概念班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )A.y=B.y=C.y=D.y=x2+12.下列式子中不能表示函数的是A. B. C. D.3.函数y=+的定义域是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.{-1,1}4.若满足,且,,则等于A. B. C. D.5.若为一确定区间,则的取值范围是 .6.函数的图象是曲线,其中点,,的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则的值等于 .7.求下列函数的定义域.(1);(2).8.已知.(1)求,的值;(2)求的值. 【能力提升】已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.答案【基础过关】1.B【解析】y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B.2.A【解析】一个x对应的y值不唯一.3.D【解析】要使函数式有意义,需满足,解得x=±1,故选D.4.B【解析】f(72)=f(8×9)=f(8)+f(9)=3f(2)+2f(3)=3p+2q.5.【解析】由题意3a-1>a,则.【备注】误区警示:本题易忽略区间概念而得出,则的错误.6.2【解析】由图可知f(3)=1,∴f[f(3)]=f(1)=2.【备注】误区警示:本题在求解过程中会因不理解f[f(3)]的含义而出错.7.(1)由已知得∴函数的定义域为.(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(―1,+∞).8.(1),.(2)∵,∴==1+1+1++1(共2012个1相加)=2012.【能力提升】(1)令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)方法一令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.方法二因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q .【解析】题设只有一个函数方程,因此考虑特殊值0,1,通过解方程获解.1.2.2函数的表示法班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1.已知是反比例函数,当时,,则的函数关系式为A. B. C. D.2.已知函数若,则的取值范围是A. B.C. D.3.已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( )A. B. C. D.4.已知则A.2B.-2C.D.5.已知函数,且,则 .6.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f[f(5)]= .7.已知,为常数,且,,,方程有两个相等的实数根.求函数的解析式.8.如图,是边长为2的正三角形,记位于直线左侧的图形的面积为,试求函数的解析式.【能力提升】下图是一个电子元件在处理数据时的流程图:(1)试确定y与x的函数关系式;(2)求f(-3), f(1)的值;(3)若f(x)=16,求x的值.答案【基础过关】1.C【解析】根据题意可设(k≠0),∵当x=2时,y=1,∴,∴k=2.2.D【解析】若x∈[-1,1],则有f(x)=2∉[-1,1],∴f(2)=2;若x∉[-1,1],则f(x)=x∉[-1,1],∴f[f(x)]=x,此时若f[f(x)]=2,则有x=2.【备注】误区警示:本题易将x∉[-1,1]的情况漏掉而错选B.3.A【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.4.C【解析】∵,∴.【备注】无5.【解析】,∴,∴,解得.6.-【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以f(5)=f(1)=-5,所以f[f(5)]=f(-5)=f(-1)===-.7.∵,且方程f(x)=x有两个相等的实数根,∴,∴b=1,又∵f(2)=0,∴4a+2=0,∴,∴.8.OB所在的直线方程为.当t∈(0,1]时,由x=t,求得,所以;当t∈(1,2]时,;当t∈(2,+∞)时,,所以【能力提升】(1)由题意知y=.(2)f(-3)=(-3)2+2=11, f(1)=(1+2)2=9.(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去);若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.综上可得,x=2或x=-.1.3.1单调性与最大(小)值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1.若函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数,则函数在区间上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2.下列函数在(0,1)上是增函数的是A. B. C. D.3.函数,在上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4.下面说法错误的是A.函数的单调区间一定是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5.已知函数在区间上为减函数,则的取值范围是_____________.6.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.7..已知函数,若.(l)求的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.8.首届世界低碳经济大会在南昌召开,大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?【能力提升】函数f(x)的图象如图所示.(1)说出f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情况.答案【基础过关】1.D【解析】因为(a,b),(c,d)不是两个连续的区间,所以无法确定其单调性.2.B【解析】选项A中y=1-2x为减函数,C中y=5为常数函数,D中的定义域为[1,+∞).3.B【解析】解答本题可先画出函数图象,由图象分析.函数f(x)的图象如图所示,由图结合单调性的定义可知,此函数在R上是增函数.4.A【解析】单调区间是定义域的子集,不一定是定义域,当多个单调区间并起来时,由单调性定义知,不再是单调区间.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称,是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称,反之,关于原点对称的图象一定是奇函数的图象.5.(-∞,1]6.(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,所以在(-2,0)上也有f(x)<0.7.(1)由2f(2)=f(3)+5,得,解得a=2.(2)由(1)知.任取x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2,,因为1<x1<x2,所以x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0.所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.8.(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为令,可以证明t(x)在(0,400)为减函数,在[400,+∞)上是增函数,故每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S,则.因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40 000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损.【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,];单调减区间为(-∞,0)和(,+∞).(2)观察图象可知,函数没有最大值和最小值.1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1.设在[-2,-1]上为减函数,最小值为3,且为偶函数,则在[1,2]上A.为减函数,最大值为3B.为减函数,最小值为-3C.为增函数,最大值为-3D.为增函数,最小值为32.已知函数是偶函数,其图象与轴有四个交点,则方程的所有实根之和是A.4B.2C.1D.03.函数是奇函数,图象上有一点为,则图象必过点A. B.C. D.4.设,其中为常数,若,则的值为A.-7B.7C.17D.-175.已知定义在上的奇函数,当时,,那么时,.6.若函数为区间[-1,1]上的奇函数,则;.7.作出函数的图象,并根据函数的图象找出函数的单调区间.8.已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,该函数的值域为,求函数的解析式.【能力提升】已知函数f(x)=-x2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1.D2.D3.C【解析】奇函数f(x)满足f(-x)=-f(x),故有f(-a)=-f(a).因为函数f(x)是奇函数,故点(a,f(a))关于原点的对称点(-a,-f(a))也在y=f(x)上,故选C.4.D【解析】∵,∴27a+3b=-12,∴f(3)=27a+3b-5=-17.5.-x2-|x|+16.0 07.当x-2≥0,即x≥2时,;当x-2<0,即x<2时,=.所以这是分段函数,每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图),其中,[2,+∞)是函数的单调增区间;是函数的单调减区间.8.由f(x)为偶函数可知f(x)=f(-x),即,可得恒成立,所以a=c=0,故.当b=0时,由题意知不合题意;当b>0,x∈[1,2]时f(x)单调递增,又f(x)值域为[-2,1],所以当b<0时,同理可得所以或.【能力提升】假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.而f(x)=-x2+x=-(x-1)2+在x∈R上的最大值为,∴2n≤,∴n≤.而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴,即.结合m<n≤,解得m=-2,n=0.∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].2.1.1指数与指数幂的运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1.化简的结果为A. B. C.- D.2.计算的结果是A. B. C. D.3.设,则有A. B.C. D.4.下列说法中正确的个数是( )(1)49的四次方根为7; (2)=a(a≥0);(3)()5=a5; (4)=(-3.A.1B.2C.3D.45.若10m=2,10n=4,则= . 6.已知x=(2 01-2 01),n∈N*,则(x+)n的值为. 7.化简下列各式:(1)(·)÷;(2)()·(-3)÷().8.求下列各式的值:(1)2; (2)(; (3)+(-π0.【能力提升】已知+=3,求下列各式的值:(1)x+x-1;(2).答案【基础过关】1.A【解析】要使式子有意义,需,故x<0,所以原式.2.A【解析】本题考查指数运算.注意先算中括号内的部分。
集合的含义与表示(1)

小结:
1.集合的概念 2.集合中元素的性质 3.集合与元素的表示 4.几个重要的数集 5.集合与元素的关系
4.集合与元素的关系 如果a是集合A的元素,就说a属于
(belong to)集合A,记作a∈A.
如果a不是集合A的元素,就说a不属 于(not belong to)集合A,记作aA.
注:∈,是表示元素与集合关系的专用符号,若不是元素
与集合关系则不能使用。
4.几个重要的数集:
➢ N:自然数集(含0) ➢ N*(N+) 正整数集(不含0) ➢ Z:整数集 ➢ Q:有理数集 ➢ R:实数集
0.5___Q, 0.5___R,
2 ___N; 2 ___Z; 2 ___Q;
2 ___R;
3、若-3∈{m-1,3m,m2+1},求实数m
解: -3∈{m-1,3m,m2+1} m-1=-3,或3m=-3,或m2+1=-3 m=-2,或m=-1,(m2+1=-3无实数解,舍去)
代入检验符合集合元素的互异性 所以实数m=-2或-1
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦
D. ②③⑤⑥⑦⑧
下列指定的对象,能构成一个集合的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦
答:(1) 集合的元素是:4、6、8、10 (2)集合的元素是1、-1 (3)集合的元素是1、3、5、15
2、用符号 或填空:
1___N, 1___Z,
高中数学集合的含义及其表示练习题

高中数学集合的含义及其表示练习题(含解析)数学必修1(苏教版)1.1 集合的含义及其表示一位渔民专门喜爱数学,但他如何也不明白集合的意义,因此他请教数学家:“尊敬的先生,请您告诉我,集合是什么?”集合是不定义的原始概念,数学家专门难回答那位渔民,有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下鱼网,轻轻一拉,许多鱼虾在网上跳动,数学家专门兴奋,快乐地告诉渔民:“这确实是集合!”你能明白得数学家的话吗?基础巩固1.下列说法正确的是()A.我校爱好足球的同学组成一个集合B.{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D.数1,0,5,12,32,64,14组成的集合有7个元素答案:C2.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,xA,yB}中的元素个数为()A.5个B.4个C.3个D.2个答案:C3.下列四个关系中,正确的是()A.a{a,b} B.{a}{a,b}C.a{a} D.a{a,b}答案:A4.集合M={(x,y)|xy0,xR,yR}是()A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C.第四象限内的点集D.第二、四象限内的点集解析:集合M为点集且横、纵坐标异号,故是第二、四象限内的点集.答案:D5.若A={(2,-2),(2,2)},则集合A中元素的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B6.集合M中的元素差不多上正整数,且若aM,则6-aM,则所有满足条件的集合M共有()A.6个B.7个C.8个D.9个解析:由题意可知,集合M中包含的元素能够是3,1和5,2和4中的一组,两组,三组,即M可为{3},{1,5},{2,4},{3,1,5},{3,2,4},{1,5,2,4},{3,1,5,2,4},共7个.答案:B7.下列集合中为空集的是()A.{xN|x2 B.{xR|x2-1=0}C.{xR|x2+x+1=0} D.{0}答案:C8.设集合A={2,1-a,a2-a+2},若4A,则a=()A.-3或-1或2 B-3或-1C.-3或2 D.-1或2解析:当1-a=4时,a=-3,A={2,4,14};当a2-a+2=4时,得a =-1或2,当a=-1时,A={2,2,4},不满足互异性,当a=2时,A={2,4,-1}.a=-3或2.答案:C9.集合P={x|x=2k,kZ},Q={x|x=2k+1,kZ},M={x|x=4k+1,kZ},若aP,bQ,则有()A.a+bPB.a+bQC.a+bMD.a+b不属于P、Q、M中任意一个解析:∵aP,bQ,a=2k1,k1Z,b=2k2+1,k2Z,a+b=2(k1+k2)+1,k1,k2Z,a+bQ.答案:B10.由下列对象组成的集体,其中为集合的是________(填序号).①不超过2的正整数;②高一数学课本中的所有难题;③中国的高山;④平方后等于自身的实数;⑤高一(2)班中考500分以上的学生.答案:①④⑤11.若a=n2+1,nN,A={x|x=k2-4k+5,kN},则a与A的关系是________.解析:∵a=n2+1=(n+2)2-4(n+2)+5,且当nN时,n+2N.答案:aA12.集合A={x|xR且|x-2|5}中最小整数为_______.解析:由|x-2|-5x-2-37,最小整数为-3.答案:-313.一个集合M中元素m满足mN+,且8-mN+,则集合M的元素个数最多为________.答案:7个14.下列各组中的M、P表示同一集合的是________(填序号).①M={3,-1},P={(3,-1)};②M={(3,1)},P={(1,3)};③M={y|y=x2-1,xR},P={a|a=x2-1,xR};④M={y|y=x2-1,xR},P={(x,y)|y=x2-1,xR}.答案:③能力提升15.已知集合A={x|xR|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0}中有且仅有一个元素,求a的值.解析:(1)若a2-1=0,则a=1.当a=1时,x=-12,现在A=-12,符合题意;当a=-1时,A=,不符合题意.(2)若a2-10,则=0,即(a+1)2-4(a2-1)=0a=53,现在A=-34,符合题意.综上所述,a=1或53.16.若集合A=a,ba,1又可表示为{a2,a+b,0},求a2021+b202 1的值.解析:由题知a0,故ba=0,b=0,a2=1,a=1,又a1,故a=-1.a2021+b2021=(-1)2021+02021=1.17.设正整数的集合A满足:“若xA,则10-xA”.(1)试写出只有一个元素的集合A;(2)试写出只有两个元素的集合A;(3)如此的集合A至多有多少个元素?解析:(1)令x=10-xx=5.故A={5}.(2)若1A,则10-1=9A;反过来,若9A,则10-9=1A.因此1和9要么都在A中,要么都不在A中,它们总是成对地显现在A中.同理,2和8,3和7,4和6成对地显现在A中,故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}为所求集合.(3)A中至多有9个元素,A={1,9,2,8,3,7,4,6,5}.18.若数集M满足条件:若aM,则1+a1-aM(a0,a1),则集合M中至少有几个元素?解析:∵aM,1+a1-aM,1+1+a1-a1-1+a1-a=-1aM,与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元时期。
高一数学(必修一)第一章《1.1.1集合的含义与表示》练习题

一、选择题之答禄夫天创作
创作时间:二零二一年六月三十日
1.给出下列表述:①联合国常任理事国 ; ②充沛接近
2的实数的全体;③方程210x x +-= 的实数根; ④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是( )
A 、①③
B 、①②
C 、①③④
D 、①②③④
{}2,1,12--x x 中的x 不能取的值是( )
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
3.下列集合中暗示同一集合的是( )
A 、(){}{})3,2(,2,3==N M
B 、(){}{}2,1,2,1==N M
C 、{(,)|1},{|1}M x y x y N y x y =+==+=
D 、{3,2},{2,3}M N ==
二、填空题
.
{}1,3,132+-∈-m m m , 则m=________________.
7.(1)方程组⎩⎨⎧=-=+52y x y x 的解集用列举法暗示为____________.用
描述法暗示为___________.(2)两边长分别为3, 5的三角形中,
第三条边可取的整数的集合用列举法暗示为__________, 用描述法暗示为______________. 三、解答题
合:
(1){|7,,};x x y x N y N +++=∈∈
(2){(,)|7,,};x y x y x N y N +++=∈∈
(3)
2{|1,23,}y y x x x Z =--<<∈ 1.1.1 集合的含义与暗示
附件1:律师事务所反盗版维权声明
附件2:独家资源交换签约学校名录(放年夜检查) 学校名录拜会: 创作时间:二零二一年六月三十日。
高中数学 1.1.1 集合的含义和表示 第1课时同步练习 湘教版必修1-湘教版高一必修1数学试题

高中数学 1.1.1 集合的含义和表示 第1课时同步练习 湘教版必修11.下列集合中有限集的个数是( ).①不超过π的正整数构成的集合;②平方后等于自身的数构成的集合;③高一(2)班中体重在55 kg 以上的同学构成的集合;④所有小于2的整数构成的集合.A . 1B .2C .3D .42.下列说法正确的个数是( ).①集合N 中最小的数是1;②-a 不属于N +,则a ∈N +;③所有小的正数构成一个集合;④方程x 2-4x +4=0的解的集合中有且只有两个元素.A .0B .1C .2D .33.下列选项正确的是( ).A .x -5∈N +B .π∉RC .1∉QD .5∈Z4.已知集合S 中含有三个元素且为△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( ).A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形5.由a 2,2-a,4组成一个集合M ,M 中含有3个元素,则实数a 的取值可以是( ).A .1B .-2C .6D .26.若集合M 中只有2个元素,它们是1和a 2-3,则a 的取值X 围是__________.7.关于集合有下列说法:①大于6的所有整数构成一个集合;②参加2010年亚运会的著名运动员构成一个集合;③平面上到原点O 的距离等于1的点构成一个集合;④若a ∈N ,则-a ∉N ;⑤若x =2,则x ∉Q .其中正确说法的序号是__________.8.由方程x 2-3x +2=0的解和方程x 2-4x +4=0的解构成的集合中一共有__________个元素.9.若所有形如3a (a ∈Z ,b ∈Z )的数组成集合A ,判断6-+是不是集合A 中的元素.10.数集M 满足条件:若a ∈M ,则11a a +-∈M (a ≠±1,且a ≠0),已知3∈M ,试把由此确定的M 的元素求出来.参考答案1. 答案:C解析:④为无限集,①②③为有限集.2. 答案:A解析:集合N 中最小的数应为0,所以①错;12a =时,-a ∉N +,且a ∉N +,故②错;“小的正数”不确定,不能构成集合,③错;方程x 2-4x +4=0只有一个解x =2,它构成的集合中只有一个元素,故④错.3. 答案:D解析:x 的值不确定,故x -5的值不一定是正整数,故A 错;应有π∈R,1∈Q ,故B ,C 均错.4. 答案:D解析:S 中含有三个元素,应互不相等,即三角形的三条边互不相等,故该三角形一定不是等腰三角形.5. 答案:C解析:将各个值代入检验,只有a =6使得集合M 中元素满足互异性.6. 答案:a ≠2且a ≠-2解析:由集合元素的互异性知a 2-3≠1,a 2≠4,所以a ≠2且a ≠-2.7. 答案:①③⑤解析:“著名运动员”的性质不确定,不能构成集合,故②不正确;当a =0时,a ∈N ,且-a ∈N ,故④错误.8. 答案:2解析:方程x 2-3x +2=0的解是1和2,方程x 2-4x +4=0的解是2,它们构成的集合中仅含有2个元素.9. 解:由于6-+2)×2,且-2∈Z,2∈Z ,所以6-+A 中的元素,即6-+A .1=3×13+×1,但由于13∉Z,不是集合A∉A.10.解:∵a=3∈M,∴1132113aa++==---∈M.∴121123-=-+∈M.∴11131213-=+∈M.∴1123112+=-∈M.∴M中的元素有:3,-2,13-,12.。
1.1.1 集合的概念与表示(北师大版2019必修第一册)分册训练解析版

1.1.1集合的概念与表示分层练习基础巩固一、单选题1.已知M 是由1,2,3三个元素构成的集合,则集合M 可表示为( ) A .{x |x =1} B .{x |x =2} C .{1,2} D .{1,2,3}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的知识确定正确选项. 【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成, 所以{}1,2,3M =. 故选:D2.下面给出的四类对象中,构成集合的是( ) A .某班视力较好的同学 B .长寿的人 C .π的近似值D .倒数等于它本身的数【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义分析判断即可. 【详解】对于A ,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合; 对于B ,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合; 对于C ,π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位, 不是明确的定义,故不能构成集合;对于D ,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合; 故选:D.3.已知集合{}0,1A =,则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个【答案】C 【解析】 【分析】根据,x A x B ∈∈,所以x y -可取1,0,1-,即可得解. 【详解】由集合{}0,1A =,{},B x y x A y A =-∈∈, 根据,x A y B ∈∈, 所以1,0,1x y -=-, 所以B 中元素的个数是3. 故选:C4.已知集合()(){}110A x x x x =-+=,则A =( ) A . {}0,1 B . {}1,0-C .{}0,1,2D .{}1,0,1-【答案】D 【解析】 【分析】通过解方程进行求解即可. 【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=,或1x =-,或1x =, 所以{}1,0,1A =-, 故选:D5.给出下列四个关系:π∈R , 0∉Q ,0.7∈N , 0∈∅,其中正确的关系个数为( ) A .4 B .3C .2D .1【答案】D 【解析】 【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系. 【详解】∵R 表示实数集,Q 表示有理数集,N 表示自然数集,∅表示空集, ∴π∈R ,0∈Q ,0.7∉N ,0∉∅, ∴正确的个数为1 . 故选:D .6.已知{1}A x x m =∈-<Z ∣,若集合A 中恰好有5个元素,则实数m 的取值范围为( )A .4<m ≤5B .4≤m<5C .3≤m<4D .3<m ≤4【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出集合A ,进一步得到m 的范围. 【详解】由题意可知{}1,0,1,2,3A =-,可得3<m ≤4. 故选:D 二、多选题7.给出下列说法,其中正确的有( ) A .中国的所有直辖市可以构成一个集合;B .高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合;C .正偶数的全体可以构成一个集合;D .大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的确定性依次判断每个选项得到答案. 【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合,A 正确;高一(1)班较胖的同学不具有确定性,不能构成集合,B 错误; 正偶数的全体可以构成一个集合,C 正确;大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合,D 错误. 故选:AC.8.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素,那么实数a 的取值可能是( )A .98B .1C .0D .23【答案】AC 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论,结合A 有且只有一个元素求得a 的值. 【详解】当0a =时,{}2|3203A x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭,符合题意.当0a ≠时,9980,8a a ∆=-==,符合题意.故选:AC 三、填空题9.用符号∈或∉填空:3.1___N ,3.1___Z , 3.1____*N ,3.1____Q ,3.1___R . 【答案】 ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ 【解析】 【分析】由元素与集合的关系求解即可 【详解】因为3.1不是自然数,也不是整数,也不是正整数,是有理数,也是实数, 所以有:3.1N ∉;3.1Z ∉;*3.1N ∉;3.1Q ∈;3.1R ∈. 故答案为:∉,∉,∉,∈,∈.10.设集合{}1A x xy xy =-,,,其中x ∈Z ,y Z ∈且0y ≠,若0A ∈,则A 中的元素之和为_____. 【答案】0 【解析】 【分析】根据元素与集合间的关系,列方程求解. 【详解】因为0A ∈,所以若0x =,则集合{}0,0,1A =-不成立.所以0x ≠. 若因为0y ≠,所以0xy ≠,所以必有0xy -1=,所以1xy =. 因为x ∈Z ,y Z ∈,所以1x y ==或1x y ==-. 若1x y ==,此时{}1,1,0A =不成立,舍去.若1x y ==-,则{}1,1,0A =-,成立.所以元素之和为1100-+=. 故答案为:0. 四、解答题11.设集合{}22,3,42A a a =++,集合{}20,7,42,2B a a a =+--,这里a 是某个正数,且7A ∈,求集合B . 【答案】B ={0,7,3,1}. 【解析】 【分析】解方程2427a a ++=即得解. 【详解】解:由题得2427a a ++=, 解得1a =或5a =-. 因为0a >,所以1a =. 当1a =时, B ={0,7,3,1}. 故集合B ={0,7,3,1}.12.判断下列各组对象能否构成集合.若能构成集合,指出是有限集还是无限集;若不能构成集合,试说明理由. (1)北京各区县的名称; (2)尾数是5的自然数;(3)我们班身高大于1.7m 的同学. 【答案】(1)能;有限集; (2)能;无限集; (3)能;有限集. 【解析】 【分析】根据集合的基本概念即得. (1)因为北京各区县的名称是确定的,故北京各区县的名称能构成集合;因为北京各区县是有限的,故该集合为有限集; (2)因为尾数是5的自然数是确定的,故尾数是5的自然数能构成集合;因为尾数是5的自然数是无限的,故该集合为无限集; (3)因为我们班身高大于1.7m 的同学是确定的,故我们班身高大于1.7m 的同学能构成集合;因为我们班身高大于1.7m 的同学是有限的,故该集合为有限集.培优提升一、单选题1.定义集合,A B 的一种运算:2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈,若{}1,0A =-,{}1,2B =,则A B ⊗中的元素个数为( )A .1B .2C .3D .4【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈,{}1,0A =-,{}1,2B =, 所以{0,1,2}A B ⊗=--, 故集合A B ⊗中的元素个数为3, 故选:C.2.若{}22,a a a ∈-,则a 的值为( )A .0B .2C .0或2D .2-【答案】A 【解析】 【分析】分别令2a =和2a a a =-,根据集合中元素的互异性可确定结果. 【详解】若2a =,则22a a -=,不符合集合元素的互异性;若2a a a =-,则0a =或2a =(舍),此时{}{}22,2,0a a -=,符合题意;综上所述:0a =. 故选:A.3.已知x ,y ,z 为非零实数,代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ,则下列判断正确的是( ) A .4∈M B .2M ∈ C .0M ∉ D .4M -∉【答案】A 【解析】【分析】分别对x ,y ,z 的符号进行讨论,计算出集合M 的所有元素,再进行判断. 【详解】根据题意,分4种情况讨论;①、x y 、、z 全部为负数时,则xyz 也为负数,则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=-; ②、x y 、、z 中有一个为负数时,则xyz 为负数,则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=; ③、x y 、、z 中有两个为负数时,则xyz 为正数,则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=; ④、x y 、、z 全部为正数时,则xyz 也正数,则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=; 则{4,0,4}M =-;分析选项可得A 符合. 故选:A. 二、填空题4.集合12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣,的元素个数为_________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据集合得表示可知:3x + 是12的因数,即可求解. 【详解】由12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣,可知,3x + 是12的因数,故31,2,3,4,6,12x +=±±±±±± ,进而可得x 可取0,1,3,9,1,2,4,5,6,7,9,15--------,故答案为:125.若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素,则a 的取值集合为__________. 【答案】{}0,1##{}1,0 【解析】 【分析】讨论集合A 中的条件2210ax x -+=属于一次方程还是二次方程即可求解. 【详解】①若0a =,则210x -+=,解得12x =,满足集合A 中只有一个元素,所以0a =符合题意;②若0a =/,则2210ax x -+=为二次方程,集合A 有且只有一个元素等价于2=(2)410a --⨯⨯=∆,解得1a =.故答案为:{}0,1. 三、解答题6.已知{}2|20,R M x ax x x =-+=∈.根据下列条件,求实数a 的值构成的集合.(1)当M =∅;(2)当M 是单元素集(只含有一个元素的集合); (3)当M 是两个元素的集合. 【答案】(1)1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)1,08⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)1,08a a a ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】(1)由判别式小于0可得(方程为一元二次方程); (2)由二次项系数为0或一元二次方程的判别式为0柯得; (3)由方程为一元二次方程,且判别式大于0可得. (1)M =∅,180a ∆=-<,18a >,所以a 的范围是1(,)8+∞;(2)0a =时,{2}M =,满足题意,180a ∆=-=,18a =,此时{4}M =,满足题意,(3)由题意方程有两个不等实根,0a ≠且0∆>,解得18a <且0a ≠,所以a 的范围是1{|8a a <,0}a ≠.拓展创新1.已知集合2{,}A m m =,若1A ∈,则实数m 的值是__________ 【答案】1-【解析】 【分析】由1A ∈,分1m =,21m =两种情况讨论,结合集合中元素的互异性分析,即得解 【详解】 由题意,1A ∈(1)若1m =,则{1,1}A =,和集合中元素的互异性矛盾,不成立; (2)若21m =,则1m =±,由(1)1m ≠ 若1m =-,则{1,1}A =-,1A ∈,成立 故实数m 的值是1- 故答案为:1- 2.已知*k N ∈,记集合{1101100112222,1,,,,01}k k k k k k k A x x a a a a a a a a ---==⨯+⨯++⨯+⨯==或,例如{{}110102,1,01}2,3A x x a a a a ==+===或,….现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏,它的激活码为集合A 2的各元素之和,则该游戏的激活码为________. 【答案】22 【解析】 【分析】由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1,由此求得集合{}24,5,6,7A =,故而可得答案. 【详解】解:由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1, 所以当100a a ==时,41+0+04x =⨯=; 当1010a a ==,时,41+21+06x =⨯⨯=; 当1001a a ==,时,41+20+115x =⨯⨯⨯=, 当1011a a ==,时,41+21+117x =⨯⨯⨯=,所以{}24,5,6,7A =,该游戏的激活码为4+5+6+722=, 故答案为:22.3.已知集合{}0,2A =,()()(){}21110B x ax x x ax =---+=,用符号A 表示非空集合A中元素的个数,定义,,A B A BA B B A A B ⎧-≥=⎨-<⎩※,若1A B =※,则实数a 的所有可能取值构成集合P ,则P =______.(请用列举法表示) 【答案】{}0,1,2- 【解析】 【分析】由集合的新定义结合题意求出a 的值,再用列举法表示即可 【详解】∵2A =,1A B =※, ∴1B =或3B =, 当1B =时,0a =或1a =.当3B =时,()()()21110ax x x ax ---+=有3个解,所以210x ax -+=只有一个解不为1和1a, 则240a ∆=-=,解得2a =±,当2a =时,2210x x -+=,则此时1x =,不符合题意; 当2a =-时,2210x x ++=,则此时1x =-,符合题意; 所以2a =-,11,,12B ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭,故{}0,1,2P =-. 故答案为:{}0,1,2-.4.用()C A 表示非空集合A 中元素的个数:定义()(),()()*()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C B C A -≥⎧=⎨->⎩,若{1,2}A =,{}22()(2)0,B x x ax x ax x R =+++=∈,且*1A B =,设实数a 的所有可能取值构成集合S ,S =__________; 【答案】{0,22,2}- 【解析】 【分析】根据新定义得出集合B 中元素个数,再由方程根的个数分析求解. 【详解】由已知()2C A =,而*1A B =,则()1C B =或3,试卷第11页,共11页 11显然22()(2)0x ax x ax +++=的一个解是0x =, 若()1C B =,则0a =,满足题意;若()3C B =,则0a ≠,方程已有两个根0x =和x a =-,220x ax ++=有两个相等的实根且不为0和a -,280a ∆=-=,22a =±22a =220x ax ++=的解为342x x ==- 22a =-220x ax ++=的解为342x x ==.均满足题意. 综上{0,2,22}S =-. 故答案为:{0,2,2}-.12 试卷第12页,共1页。
1.1.1集合的概念及其表示(一)

用列举法表示下列集合: 例1 用列举法表示下列集合: (1) 小于 的所有自然数组成的集合; 小于10的所有自然数组成的集合 的所有自然数组成的集合;
(2) 方程x 2 = x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1~20以内的所有质数组成的集合. 以内的所有质数组成的集合. ~ 以内的所有质数组成的集合
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集,记为 N 全体非负整数组成的集合称为自然数集, • 所有正整数组成的集合称为正整数集,记为 N *或N + 所有正整数组成的集合称为正整数集, • 全体整数组成的集合称为整数集,记为 Z 全体整数组成的集合称为整数集, • 全体有理数组成的集合称为有理数集,记为 Q 全体有理数组成的集合称为有理数集, • 全体实数组成的集合称为实数集,记为 R 全体实数组成的集合称为实数集,
一般形式: 一般形式:{ x ∈ A x满足的条件}
说明: 1、不能出现未被说明的字母; 说明: 、不能出现未被说明的字母; 2、多层描述时,准确使用“且”、“或”; 、多层描述时,准确使用“ 3、描述语言力求简明、准确; 、描述语言力求简明、准确; 4、多用于元素无限多个时。 、多用于元素无限多个时。
的所有自然数组成的集合为A, 解:⑴设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么 设小于 的所有自然数组成的集合为A,那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. } A={
由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关, 由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因此 集合A可以有不同的列举方法. 集合A可以有不同的列举方法.例如 A={9 A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}. }
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化 范围,再画一条竖线 或变化)范围 再画一条竖线,在竖线后写出这个 号及以取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征. 集合中元素所具有的共同特征
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第一章集合
1.1.1 集合的含义与表示
一、选择题
1.下列各组对象
①接近于0的数的全体;②比较小的正整数全体;
③平面上到点O的距离等于1的点的全体;④正三角形的全体;⑤2的近似值的全体.
其中能构成集合的组数有()
A.2组B.3组C.4组D.5组
2.设集合M={大于0小于1的有理数},N={小于1050的正整数},P={定圆C的内接三角形},Q={所有能被7整除的数},其中无限集是( )
A.M、N、P B.M、P、Q
C.N、P、Q D.M、N、Q
3.下列命题中正确的是()
A.{x|x2+2=0}在实数范围内无意义B.{(1,2)}与{(2,1)}表示同一个集合
C.{4,5}与{5,4}表示相同的集合D.{4,5}与{5,4}表示不同的集合
4.直角坐标平面内,集合M={(x,y)|xy≥0,x∈R,y∈R}的元素所对应的点是()
A.第一象限内的点B.第三象限内的点
C.第一或第三象限内的点D.非第二、第四象限内的点
5.已知M={m|m=2k,k∈Z},X={x|x=2k+1,k∈Z},Y={y|y=4k+1,k∈Z},则() A.x+y∈M B.x+y∈X C.x+y∈Y D.x+y∉M
6.下列各选项中的M与P表示同一个集合的是()
A.M={x∈R|x2+0.01=0},P={x|x2=0}
B.M={(x,y)|y=x2+1,x∈R},P={(x,y)|x=y2+1,x∈R}
C.M={y|y=t2+1,t∈R},P={t|t=(y-1)2+1,y∈R}
D.M={x|x=2k,k∈Z},P={x|x=4k+2,k∈Z}
二、填空题
7.由实数x,-x,|x|所组成的集合,其元素最多有______个.
8.集合{3,x,x2-2x}中,x应满足的条件是______.
9.对于集合A={2,4,6},若a∈A,则6-a∈A,那么a的值是______.
10.若方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的解集为{-2,-1},则m=______,n=______.
11.若集合A={x|x2+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元素a,则a=______,b=______.
12.已知集合P={0,1,2,3,4},Q={x|x=ab,a,b∈P,a≠b},用列举法表示集合Q=______.13.已知集合A={-2,-1,0,1},集合B={x|x=|y|,y∈A},则B=______.
三、解答题
14.集合A={有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素?试画出这些元素来.15.设A表示集合{2,3,a2+2a-3},B表示集合{a+3,2},若已知5∈A,且5∉B,求实数a 的值.
16.实数集A 满足条件:1∉A ,若a ∈A ,则A a
∈-11. (1)若2∈A ,求A ;
(2)集合A 能否为单元素集?若能,求出A ;若不能,说明理由;
(3)求证:A a
∈-
11.
17.已知集合A ={x |ax 2-3x +2=0},其中a 为常数,且a ∈R
①若A 是空集,求a 的范围;
②若A 中只有一个元素,求a 的值;
③若A 中至多只有一个元素,求a 的范围.
18.已知集合A ={p |x 2+2(p -1)x +1=0,x ∈R },求集合B ={y |y =2x -1,x ∈A }.
集合与集合的表示方法参考答案
一、选择题
1.A 2.B 3.C 4.D 5.A
6.C 解析:在选项A 中,M =φ,P ={0},是不同的集合;
在选项B 中,有M ={(x ,y )|y =x 2+1≥1,x ∈R },P ={(x ,y )|x =y 2+1≥1,y ∈R },是不同的集合,在选项C 中,y =t 2+1≥1,t =(y -1)2+1≥1,则M ={y |y ≥1},P ={t |t ≥1},它们都是由不小于1的全体实数组成的数集,只是用不同的字母代表元素,因此,M 和P 是同一个集合,在选项D 中,M 是由…,0,2,4,6,8,10,…组成的集合,P 是由…,2,6,10,14,…组成的集合,因此,M 和P 是两个不同的集合.答案:C .
二、填空题
7.2 8.x ≠3且x ≠0且x ≠-1
根据构成集合的元素的互异性,x 满足⎪⎩
⎪⎨⎧=/-=/-=/.2,32,322x x x x x x
解之得x ≠3且x ≠0且x ≠-1.
9.2或4 10.m =3,n =2.
11.31=
a ,9
1=b .解析:由题意知,方程x 2+(a -1)x +b =0只有等根x =a ,则∆=(a -1)2-4b =0①,将x =a 代入原方程得a 2+(a -1)a +b =0②,由①、②解得91,31==b a . 12.Q ={0,2,3,4,6,8,12}
13.B ={0,1,2}解析:∵y ∈A ,∴y =-2,-1,0,1,∵x =|y |,∴x =2,1,0,∴B ={0,1,2}
三、解答题
14.解:有4个元素,它们分别是:
(1)底边为1,顶角为40°的等腰三角形;(2)底边为1,底角为40°的等腰三角形;
(3)腰长为1,顶角为40°的等腰三角形;(4)腰长为1,底角为40°的等腰三角形.
15.解:∵5 ∈A ,且5∉B .
∴⎩
⎨⎧=/+=-+,53,5322a a a 即⎩⎨⎧=/=-=.2,24a a a 或 ∴a =-4
16.证明:(1)若2∈A ,由于2≠1,则
A ∈-2
11,即-1∈A . ∵-1∈A ,-1≠1∴A ∈--)
1(11,即A ∈21. ∵,121,21=/∈A ∴A ∈-2111,即2∈A .
由以上可知,若2∈A ,则A 中还有另外两个数-1和
21∴}2,21,1{-=A . (2)不妨设A 是单元素的实数集.则有,11a
a -=
即a 2-a +1=0. ∵∆=(-1)2-4×1×1=-3<0,
∴方程a 2-a +1=0没有实数根.
∴A 不是单元素的实数集. (3)∵若a ∈A ,则
A a
∈-11 ∴A a ∈--1111,即A a ∈-11. 17.解:①∵A 是空集∴方程ax 2-3x +2=0无实数根
∴⎩⎨⎧<-=∆=/,
089,0a a 解得⋅>89a ②∵A 中只有一个元素,
∴方程ax 2-3x +2=0只有一个实数根.
当a =0时,方程化为-3x +2=0,只有一个实数根32=
x ; 当a ≠0时,令∆=9-8a =0,得89=
a ,这时一元二次方程ax 2-3x +2=0有两个相等的实数根,即A 中只有一个元素.
由以上可知a =0,或8
9=a 时,A 中只有一个元素. ③若A 中至多只有一个元素,则包括两种情形,A 中有且仅有一个元素,A 是空集,由①、②的结果可得a =0,或8
9≥a . 28.解:由已知,∆=4(p -1)2-4≥0,得P ≥2,或P ≤0,
∴A ={p |p ≥2,或p ≤0},∵x ∈A ,∴x ≥2,或x ≤0.
∴2x -1≥3,或2x -1 ≤-1,∴B ={y |y ≤-1,或y ≥3}.。