q-正交多项式及相关问题的研究
q-正交多项式及相关问题的研究
【摘要】：一、给出了Rogers-Szego多项式系列生成函数的新证明及其推广.首先,建立了指数算子与Rogers-Szego多项式之间的表示关系,从算子角度获得生成函数及其对偶形式的新证明.其次,构造了推广的指数算子,研究了双变量Rogers-Szego多项式的生成函数,并提出了一个公开问题.另外,进一步探讨了U(n+1)型Rogers-Szego多项式的生成函数及U(n+1)型的Kalnins-Miller变换公式的推广.二、给出了多重Rogers-Szego及Hahn多项式生成函数两项和展开的新证明.首先,通过了距量与正交多项式之间的关系得到Al-Salam-Carlitz正交多项式及相关的积分.其次,得到了双线性Hahn多项式的生成函数两项和的展开.另外,进一步研究了三线性及多线性Hahn多项式的生成函数两项和的展开.最后,给出了距量与Euler有限差分公式及Carlitz反演公式之间的相关结果.三、给出了多变量q-Laguerre多项式积分结果.首先,利用了单变量q-Laguerre多项式的正交性,研究其多变量性质.其次,获得了推广的q-Hermite多项式与q-Laguerre多项式之间的表示关系.另外,讨论了q-Hermite与q-Laguerre多项式的混合积分.最后,研究了多变量推广的离散型q-Hermite多项式的积分正交性.四、给出了多项式的Carlitz型生成函数的多重推广和Christoffel-Darboux公式.首先,利用了指数算子分解的方法研究了多项式的Carlitz型生成函数.其次,研究了Rogers-Szego多项式的Christoffel-Darboux公式.另外,纠正了Carlitz的结果.最后,借助了Carlitz的q-算子给出了二项式定理模拟的
新证明.五、给出了比值型伽马函数的渐进改进及复合型psi函数的凹凸性.首先,利用了对数完全单调性研究了伽马函数并改进了比值型伽马不等式.其次,借助了Laplace卷积公式研究了psi函数的性质并给出相应不等式.【关键词】：q-正交多项式Rogers-Szeg(o|¨)多项式Hahn 多项式q-Laguerre多项式生成函数展开距量正交伽马函数逼近psi函数
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2010
【分类号】：O174.14
【目录】：摘要6-7ABSTRACT7-9目录9-12主要符号对照表12-13第一章引言13-251.1研究背景13-201.1.1q-级数的发展13-171.1.2q-正交多项式的发展17-191.1.3论文结构19-201.2预备知识20-251.2.1基本定义及定理20-231.2.2正交多项式的性质23-25第二章Rogers-Szego多项式的算子表示问题25-492.1单变量Rogers-Szego 多项式的Poisson核26-342.1.1引理及命题27-302.1.2定理及其对偶形式的证明30-342.2双变量Rogers-Szego多项式的Poisson核34-422.2.1双变量生成函数34-372.2.2混合型生成函数37-392.2.3一个公开问题39-422.3U(n+1)型Rogers-Szego多项式的生成函数
42-492.3.1U(n+1)型双变量Rogers-Szego多项式的生成函数43-442.3.2Kalnins-Miller变换恒等式的U(n+1)推广44-49第三章多重生成函数的两项和展开问题49-653.1Hahn多项式的距量表示及相关积分51-533.1.1Hahn多项式的距量表示及其证明51-523.1.2Al-Salam-Carlitz多项式的相关积分52-533.2双线性Hahn 多项式的两项和展开53-563.2.1引理54-553.2.2主要命题及新证明55-563.3三线性及多线性Hahn多项式生成函数的两项和展开56-603.3.1Hahn多项式的三线性生成函数两项和展开56-583.3.2Hahn 多项式的多线性生成函数两项和展开58-603.4距量正交性相关问题60-653.4.1Euler有限差分与q-Chu-Vandermonde公式60-623.4.2Carlitzq-反演公式与3φ2变换62-65第四章多变量q-Laguerre多项式的正交性问题65-834.1多变量q-Laguerre多项式的正交性67-734.1.1引理68-724.1.2主要定理及证明72-734.2离散的q-Hermite多项式与q-Laguerre多项式的表示73-784.2.1引理74-754.2.2主要定理及证明75-784.3离散的q-Hermite多项式与q-Laguerre多项式的混合积分784.4q-Hermite多项式的积分正交性的推广78-834.4.1命题794.4.2主要定理及证明79-83第五章多项式的Carlitz型生成函数指数分解问题83-975.1Rogers-Szego多项式的线性化公式84-865.2Carlitz型生成函数的新证明及Christoffel-Darboux公式86-905.2.1Carlitz型生成函数的新证明87-885.2.2Rogers-Szego多项式的Christoffel-Darboux公式88-905.3Carlitz结论的纠正90-945.3.1引理及Hahn多项式算子表示90-925.3.2主要定理及证明92-945.4二
项式定理q-模拟的Carlitz算子证明94-97第六章经典的Gamma函数及其相关不等式问题97-1096.1比值型伽马函数的上下界99-1056.1.1对数完全单调性及引理99-1036.1.2主要定理及证明103-1056.2复合型psi函数的凹凸性105-109附录A级数收敛性证明109-115A.1q-差分方程的方法109-110A.2M-判别法110-115附录BTannery极限定理115-117附录C攻读博士学位期间发表和完成的论文情况117-119参考文献119-135致谢135-136 本论文购买请联系页眉网站。
多项式空间的标准正交基
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正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
数学中的正交多项式理论研究
数学中的正交多项式理论研究正交多项式是数学中的一种重要概念，在统计学、物理学、工程学、金融等领域中都有广泛的应用。
它们的理论研究也是现代数学中的一个重要分支。
本篇文章将介绍正交多项式的基本概念、性质和应用，并简要探讨正交多项式的研究现状。
一、正交多项式的基本概念正交多项式是一组相互正交的多项式。
简单来说，就是它们在一定的定义域内满足一定的正交性质。
其中最著名的就是勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式。
勒让德多项式是指满足勒让德方程 $P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}((x^2-1)^n)$ 的多项式 $P_n(x)$。
勒让德多项式是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $[-1,1]$ 上相互正交。
勒让德多项式具有广泛的应用，如估计球形体积、计算球面积、解决一些微积分方程等。
拉盖尔多项式是指满足拉格尔方程 $x y''+(1-x)y'+ny=0$ 的多项式 $L_n(x)$。
拉盖尔多项式也是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $(0,\infty)$ 上相互正交。
拉格尔多项式是用来描述一堆相互独立的分子通过碰撞而达到热平衡时，粒子的能量分布和概率分布的函数。
埃尔米特多项式是指满足埃尔米特方程 $y''-2xy'+2ny=0$ 的多项式 $H_n(x)$。
埃尔米特多项式也是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $(-\infty,\infty)$ 上相互正交。
埃尔米特多项式常被应用于描述量子力学中粒子的状态，特别是谐振子的状态。
切比雪夫多项式是指满足切比雪夫方程 $(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0$ 的多项式 $T_n(x)$。
切比雪夫多项式也是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $[-1,1]$ 上相互正交。
切比雪夫多项式常用于数值逼近和信号处理等领域中。
正交多项式拟合在解决实际问题的应用
正交多项式拟合在解决实际问题的应用为了避免正规矩阵的“病态”问题，提出了正交多项式拟合方法。
尤其是实际工作中的误差是不可避免的，而正交多项式拟合能够更好的考虑到自变量和因变量的误差，拟合出来的曲线更合理，也更便于计算机实现。
正交多项式拟合的实用性和一般性使得它在工程项目，机械制造，甚至人工智能等领域应用广泛，先简要介绍其中的几个方面。
1、边缘识别是利用数字图像法检测结构变形的一种方法，其中一种是需要多项式拟合，且拟合的精度决定了识别的精度，为提高拟合精度，就需要高次多项式，但又会产生“病态”，因此采用正交多项式拟合方法就十分必要了。
将基于正交多项式拟合的边缘识别应用到梁变形检测中，拟合程度高，检测效果好。
2、提高零炮检距地震道的拟合精度是保幅地震资料处理的关键环节之一。
相对于常规地震叠加技术，二阶多项式拟合技术能够提高零炮检距地震道的拟合精度。
但是不同时刻地层反射信号的A VO特性是变化的，仅仅利用二阶多项式来实现零炮检距地震道拟合是达不到精度要求的。
采用正交多项式描述CMP道集上不同时刻地层反射信号的A VO特性，建立正交多项式系数谱;并根据SVD估计有效波的能量，自适应地确定不同时刻拟合零炮检距地震道信号所需的阶次，实现高精度的零炮检距地震道拟合。
合成记录和实际数据的处理表明该方法能够有效地减小零炮检距地震道拟合误差，提高拟合精度。
3、水泵性能曲线一般是用图表或曲线图给出，但在水泵选型或泵站经济运行中，常常有必要知道水泵性能曲线的函数表达式。
对此，可以根据试验数据或性能图上的数据进行拟合。
目前，在水泵性能曲线拟合中较常用的一般多项式的最小二乘拟合，需要求解一非线性方程组，增加了数据存贮量，而且在多项式次数较高时方程容易出现病态。
如果采用正交多项式，则对n组数据，可以一直拟合到n-1次多项式而结果仍然稳定，因此提出对离心泵性能曲线的等流量间距的正交多项式回归法。
采用Forsythe递推法生成正交多项式，根据显著性检验来确定拟合的多项式次数，并在计算中佐以作图程序来进行直观分析。
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
正交多项式(1)
正交多项式什么是正交多项式？在数学中，正交多项式是一类具有特定正交性质的多项式函数。
这些函数相对于特定的权重函数进行内积运算后，得到的结果为0，即满足正交性的条件。
正交多项式在数学和物理学中有广泛的应用。
它们的正交性质使它们在许多计算问题中具有重要的作用，例如数值计算、信号处理和量子力学等领域。
正交多项式的性质正交多项式具有以下主要性质：1.正交性：正交多项式相对于权重函数进行内积运算后，得到的结果为0。
这个性质使得正交多项式在积分运算和线性代数中非常有用。
2.归一性：正交多项式在一定的区间上归一化为1，即它们的平方在该区间上的积分等于1。
这个性质使得正交多项式在函数逼近和插值等问题中得到广泛应用。
3.递推关系：正交多项式之间存在特定的递推关系，即通过对前一项和前两项的线性组合可以得到后一项。
这个递推关系可以用于计算正交多项式的系数和求解相关的数学问题。
4.正交性条件的等价性：正交多项式的正交性条件可以等价地表示为矩阵的特征值问题或积分方程的本征值问题。
这种等价性对于研究正交多项式的特性和性质非常有帮助。
常见的正交多项式常见的正交多项式包括：1.勒让德多项式（Legendre Polynomials）：勒让德多项式是最为常见和广泛应用的一类正交多项式。
它们的定义可以通过勒让德微分方程来推导，是球坐标系下的角度函数，并在物理学中有广泛应用。
2.拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）：拉盖尔多项式是定义在无穷区间上的正交多项式。
它们的定义可以通过拉盖尔微分方程来推导，主要用于描述一维量子力学系统中的束缚态。
3.埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式。
它们的定义可以通过埃尔米特微分方程来推导，用于描述量子谐振子系统中的能级和波函数。
4.切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）：切比雪夫多项式是定义在[-1, 1]区间上的正交多项式。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用
正交多项式的性质及在科学计算中的应用1.正交性：正交多项式之间的内积为0，即不同正交多项式之间有正交关系。
2.归一性：每个正交多项式的范数等于1，即所有正交多项式的平方和为13.递推关系：正交多项式之间具有简洁的递推关系，可以通过递推公式生成后续的正交多项式。
4.零点分布：正交多项式的零点在实数轴上严格交替分布，即相邻的正交多项式在零点处的值交替改变符号。
1.函数逼近与插值：正交多项式可以作为基函数用于函数逼近和插值，通过调整正交多项式的系数来逼近或插值给定的函数。
由于正交多项式的特殊性质，可以在相对较少的基函数数量下获得高精度的逼近效果。
2.数值积分：正交多项式在数值积分中起到关键作用。
以高斯积分为例，通过选择一组与被积函数正交的多项式作为基函数，可以将积分问题转化为求解线性方程组的问题，从而得到精确的数值积分结果。
3.求解微分方程：正交多项式可以用于求解各类微分方程，包括线性常微分方程、偏微分方程以及边值问题等。
通常，通过选择一组适当的正交多项式作为试探函数，可以将微分方程转化为求解线性代数方程组的形式，从而得到微分方程的解析解或数值解。
4.物理建模：正交多项式在物理建模中扮演重要角色。
例如，在量子力学中，氢原子的波函数可以用于描述电子在氢原子中的运动，而这些波函数正是利用正交多项式（如勒让德多项式和拉盖尔多项式）构造得到的。
总结起来，正交多项式不仅具有特殊的性质，还在科学计算中有广泛的应用。
它们适用于函数逼近、数值积分、求解微分方程以及物理建模等领域，通过选择适当的正交多项式作为基函数或试探函数，可以显著提高计算精度和效率。
因此，正交多项式在科学计算中是一种非常有用的工具。
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
正交多项式在数学中的应用
正交多项式在数学中的应用正交多项式是数学中一个重要的概念。
正交多项式可以用于许多领域，如物理学、统计学、工程学、经济学等，它们的应用非常广泛。
在本文中，我们将介绍正交多项式的定义、性质和应用。
一、正交多项式的定义正交多项式通常是指某一族多项式，它们彼此正交，并且在某一区间上具有完全正交性。
这里“正交”指的是在某一区间上两两相乘之后的积分为0。
具体的定义可以表示为：在某一区间[a,b]上，存在一族多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…,满足下列条件：1.φn(x)是n次多项式；2.φn(x)的首项系数为1；3.对于任意不相等的n和m，有以下正交关系：∫a^b φn(x)φm(x)dx=0 （n≠m）4.对于任意n，有以下归一化公式：∫a^b φn(x)^2 dx=1这里的正交关系也可以表述为φn(x)在[a,b]上关于权函数w(x)正交。
另外，需要注意的是，具有正交性的多项式不只一个。
例如，在[a,b]上，有许多不同的正交多项式，如勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式等等。
每种不同的正交多项式，都有其独特的性质和应用。
二、正交多项式的性质正交多项式具有许多重要的性质，这里只讨论其中的一些。
1.正交多项式是线性无关的。
对于给定的正交多项式φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，任意一个次数不超过n的多项式P(x)，都可以表示为P(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)其中，a0,a1,…,an都是常数。
因此，正交多项式是线性无关的。
2.正交多项式是最佳近似多项式。
对于一个次数不超过n的多项式P(x)，其在正交多项式的张成下的最佳近似多项式是Pn(x)=∑i=0^n [P(x),φi(x)]φi(x)其中[P(x),φi(x)]表示在区间[a,b]上P(x)与φi(x)的乘积之后再进行积分。
3.正交多项式满足递推关系。
对于同一族正交多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…，它们满足以下递推关系：φ0(x)=1φ1(x)=x-b0φn+1(x)=(x-bn+1)φn(x)-cnφn-1(x)其中，bn和cn是常数。
研究生数值分析(19)正交多项式
性质5
xi
cos 2(n i) 2n
1 ,
i 1,2,, n
当n为奇数时， Tn (x) 当n为偶数时，Tn (x)
是奇函数， 是偶函数。证明见P125
3、Laguerre（拉盖尔）多项式
定义：称
Un (x)
ex
d n(xnex ) dxn
,
n 0,1,
为Laguerre多项式。
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）>0
定义 若内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。
若函数系 {0 (x),1(x),,n (x),}
满足
(i , j )
b a
性质4 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权ρ (x)的
正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有 如下递推关系