高中数学必修五教学课件：等比数列课件
1， 2， 2 ， 2 ， ， 2
2 3
63
国际象棋起源于印度，关 于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的 发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上 的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子， 第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子， 依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个 格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要
1, 2, 2 , 2 ,
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16
2
3
……
,2
63
以上4个数列有
1,20,20 ,20
2
3
什么共同特点？
9
7
9，92，93，94，95，96，
共同特点？ 从第2项起，每一项
与前一项的比都等于同一常数。
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一 项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比，公比通常用字母q表示。(q≠0） 其数学表达式：
1， 20，202 ， 203， …
出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢， 每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛 有九色，问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几 雏，几毛，几色？（《孙子算经》）
堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：
9，92，93，94，95，96，
9
7
比一比
(1)
(2) (3）
（4）
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.
还有没有其他等比数列的例子？请再举两例.
例1、证明：数列｛３×２ｎ｝是等比数列． 由首项和公比能确定等比数列吗？ 求等差数列的通项公式有哪些方法？
例2、已知数列{an}满足：a1=1， 求数列{an}的通项公式。
an+1 an
=2 ，
例3、已知{an}是等比数列，且a3=81,q=-3, 求数列 {an}的通项公式。 一般地,已知等比数列{an}的第m项am和公比q,则an= amqn-m 例4、已知{an}是等比数列，
求吗？
庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木 棒，每日取其一半， 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：
1 1 1 1 1， ， ， ， ， „ 2 4 8 16
一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送 病毒称为机，那么在 不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的 计算机数构成的数列是：
1、 263 ，…，16，8，4，2，1； 2、 5，-25，125，- 625，…； 3、1，2，3，6，12，24，48…; 4 、1，0，1，0，1，……；
5、 1，1，1，1，……；
6、 0，0，0，0，0，…….； 7、 a, a, a, a, ……；
思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ 第n项能为0吗？
（1）若a2=2，a5=16，求an；
（2）若a2=2，a4=8，求an。
小结: 等差数列
定义 递推公式 通项公式1 通项公式2 求通项方法 及方法应用
等比数列
细数收获
我们今天学到了哪些知识呢？
1、知识点 2、方法
学习目标
知识与技能：掌握等比数列的定义判别方法
过程与方法：1、体会猜想与总结的过程
2、体会从特殊到一般的方法 和对比的方法
情感态度与价值观：
积极探索生活中处处有数学
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
7 8
左图为国际象棋的棋盘，棋 盘有8*8=64格
上述棋盘中各格子里的麦粒数 按先后次序排成一列数：
等比数列
忆一忆
什么是数列？什么是 等差数列？
1, 3, 5, 7, 9…; 3, 0, -3, -6, … ;
1 10
(1) (2)
,
2 10
,
3 10
,
4 10
, . (3)
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
an q ( n 2) an1
思考：
或
an1 an q ？
an1 * q(n N ) an
注意：
1. 公比是等比数列从第2项起，每一项 与前一项的比，不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列，它的公比 是同一个常数。
判定下列数列是否可能是等比数列？ 若是，说明公比；若不是，说出理由．
(2)公比q=1时是什么数列？
说明：(1)公比q≠0，an≠0(n∈N)；
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；
做一做
① －2，1，4，7，10，13，16，19，… ② 8，16，32，64，128，256，… ③ 1，1，1，1，1，1，1，… ④ 243，81，27，9，3，1，，，… ⑤ 31，29，27，25，23，21，19，…
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2.4等比数列(必修5优秀课件)
字母q
表示(q. ≠0)
第7页，共42页。
2.等比数列定义的符号语言:
(q为常数，且q≠0 ；n∈N*)
[或
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*) ]
第8页，共42页。
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些
不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不
是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
1.等差数列：银行利息按单利计算（利息没有利息） 本利和=本金×（1+利率×存期）
例如：存入10000元，利率为0.72%
存期 第一年 第二年 第三年 第四年
年初本金 10000 10000 10000 10000
年末本利和（元） 10000×（1+0.725×1） 10000×（1+0.725×2） 10000×（1+0.725×3） 10000×（1+0.725×4）
第15页，共42页。
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等比数列的通项公式：叠乘法
a2 a3 a4 a5 ...... an an qn1
a1 a2 a3 a4
an1 a1
an a1q n1
等比数列注： （1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即 an 0
（3） q=1时，{an}为常数列；
第16页，共42页。
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4.等比数列的通项公式：
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项
公式为： 5.等比数列通项公式的推广：
6.等比数列的公比公式：
7.等比数列通项公式的应用：知三求一
第17页，共42页。
人教版数学必修五：2.4《等比数列 》ppt课件
－1
.
第二章 2.4 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
第二章
2.4
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
第二章
2.4
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，…； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，…，a，…； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n
.
第二章 2.4 第1课时
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注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
第二章
2.4
第1课时
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1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
第二章
2.4
第1课时
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an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，…； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，…，a，…； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n
等比数列人教A版高中数学必修五PPT课件
解：设原来的三个数是 ：a, aq, aq 2
则必有(a2qaq
a 4)2
(aq 2 a(aq
32) 2 32)
① ②
由①得q 4a 2 a
代入②得a 2，q 5或a 2，q 13 9
故原来的三个数是：2,20,50或 2，26，338 99 9
例2、已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 1)求证数列{an+1}是等比数列; 2)求an的表达式
解：设首项为a1，公比为q，则有
a1 a1
q q
2 3
12 18
解得
q
3 2 ,a1
16 3
an
32 9
(
3 2
)
n，a
2
8
例2、在等比数列{an}中，已知a3=20，a6=160， 求an.
解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
aa11qq52
20 160
解得
q 2 a1 5
因此，an=5×2n-1
(二)等比数列的通项公式 由定义可知：
a2 q，a3 q，a4 q，，an1 q，an q
a1
a2
a3
an2
a n1
(n-1个等式)
观察上式，可以把每一个等式的左边 相乘，右边也相乘，等式还成立。
a2 a3 a4 an1 an q q q q
a1 a2 a3
an2 an1
1 q
4、等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。
(五)等比数列的性质
5、若{an },{bn }为项数相同的等比数列 ，则
(1)数列{c
a
n
},
{
高中数学必修5《等比数列》PPT
在等差数列中有
− = − = − = ⋯
= + − =
则+ = +
在等比数列中有
+
=
=
=⋯=
= q
则 + = .q
等差数列
=
= +
= + = +
通项公式 = + = +
的推导过
= + = +
程
……
= + ( − )
三数 , , 成等差数列
+
则A-a=b-A，
=
中项推导
过程
通常用
2A=a+b
等比数列
a1 = a1
2 = 1 . q
= . q = . q2
按照复利(即前一期的利息和本金加在一起算作本金，再
计算下一期的利息)，5年内各年末的本利和依次为（用
算式表示）
0000（1 + 5%)2
0000
0000（1 + 5%)4
0000（1 + 5%） 0000（1 + 5%)3
类比等差数列,你能找出这几个数列的共同特
征并加以定义吗？
4 = 3 . q = . q3
5 = 4 . q = . q4
……
n = . q−
三数 , , 成等比数列
则
= , = ±
通常用 G2 =ab
思考：(1) 3与27的等比中项是多少？-3和27呢？
− = − = − = ⋯
= + − =
则+ = +
在等比数列中有
+
=
=
=⋯=
= q
则 + = .q
等差数列
=
= +
= + = +
通项公式 = + = +
的推导过
= + = +
程
……
= + ( − )
三数 , , 成等差数列
+
则A-a=b-A，
=
中项推导
过程
通常用
2A=a+b
等比数列
a1 = a1
2 = 1 . q
= . q = . q2
按照复利(即前一期的利息和本金加在一起算作本金，再
计算下一期的利息)，5年内各年末的本利和依次为（用
算式表示）
0000（1 + 5%)2
0000
0000（1 + 5%)4
0000（1 + 5%） 0000（1 + 5%)3
类比等差数列,你能找出这几个数列的共同特
征并加以定义吗？
4 = 3 . q = . q3
5 = 4 . q = . q4
……
n = . q−
三数 , , 成等比数列
则
= , = ±
通常用 G2 =ab
思考：(1) 3与27的等比中项是多少？-3和27呢？
人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项， 即 an an1 an1 (n 2) ．
高中数学人教版必修5课件：2.4.1等比数列(共21张PPT)
• G=＿＿＿。
自主学习(2min)
• 仿照“等差数列通项公式的推导”，完成任务：
已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
你能写出这个等比数列的第n项吗？
a1=a1 a2=a1 q a3=a2 q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
不完全归纳法
an=
.
3、等比数列的通项公式：
• 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公
请说出公比q。
√(1)2，8，32，128，…
q=4
(√2)-1，-0.5，-0.25，-0.125，… q=0.5
(√3)2，2，2，2，…
q=1
(√4)1，-3，9，-27，…
q=-3
×(5)1，2，4，16，64，…
×(6)1, 0, 1, 0, 1
先抢为快
抢答1:公比q的取值范围是什么呢？ 正数、负数，但是不能为零。
抢答2:当公比q=1时的等比数列是什么样的数列？
常数列 抢答3:常数列一定是等差数列吗？一定是等比数
列吗？为什么？
常数列都是等差数列，但却不一定都是等比列。 如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列。
抢答4：既是等差数列，又是等比数列的数列存 在吗？举例说明。
2、等比数列中项：
• 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一 个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫 做a与b的等比中项。
3、等比数列的通项公式：an= a1qn-1
4、学习的思想方法：类比思想方法
课后作业
• 1.P53 A组第1(1)~(3)题
1、等比数列的定义：
• 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项
与它的前一项的比等于同一个常数，这个
自主学习(2min)
• 仿照“等差数列通项公式的推导”，完成任务：
已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
你能写出这个等比数列的第n项吗？
a1=a1 a2=a1 q a3=a2 q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
不完全归纳法
an=
.
3、等比数列的通项公式：
• 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公
请说出公比q。
√(1)2，8，32，128，…
q=4
(√2)-1，-0.5，-0.25，-0.125，… q=0.5
(√3)2，2，2，2，…
q=1
(√4)1，-3，9，-27，…
q=-3
×(5)1，2，4，16，64，…
×(6)1, 0, 1, 0, 1
先抢为快
抢答1:公比q的取值范围是什么呢？ 正数、负数，但是不能为零。
抢答2:当公比q=1时的等比数列是什么样的数列？
常数列 抢答3:常数列一定是等差数列吗？一定是等比数
列吗？为什么？
常数列都是等差数列，但却不一定都是等比列。 如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列。
抢答4：既是等差数列，又是等比数列的数列存 在吗？举例说明。
2、等比数列中项：
• 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一 个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫 做a与b的等比中项。
3、等比数列的通项公式：an= a1qn-1
4、学习的思想方法：类比思想方法
课后作业
• 1.P53 A组第1(1)~(3)题
1、等比数列的定义：
• 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项
与它的前一项的比等于同一个常数，这个
高中数学必修5课件：第2章2-4-2等比数列的性质
数学 必修5
第二章 数列
温故知新
1.等比数列{an}，对于任意正整数 n，都有aan＋n 1＝________.
[答案] q 2．等比数列{an}，对于任意正整数 n、m 都有aamn＝________. [答案] qn－m
数学 必修5
第二章 数列
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5){amn }(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{a
m n
}(m是实
数常数)是公比为qm的等比数列；
(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
数学 必修5
第二章 数列
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41， a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析： ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24， ∴a24＋a28＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
【错解】 因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以a5＋a9＝178， 又因为a7是a5，a9的等比中项， a5·a9＝1.
所以a27＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
数学 必修5
第二章 数列
【错因】 上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9
均为正数且公比为q＝±
a7 a5
＝±
第二章 数列
(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似， 但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提 出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的 讨论和说明．
人教A版高中数学必修5等比数列PPT课件
证明： 设数列{an}的公比为p; 数列{bn}的公比为q,
pq 因为
an • bn an • bn
an1 • bn1
an1 bn1
它是一个与n无关的常数，
所以an • bn是一个以pq为公比的等比数列。
你能利用本例的条件，构造其他数列吗？并判断 该数列是不是等比数列？
思考(1)c是不为0的常数,{an }是等比数列, 则{ c ·an }是 等比数列吗？
你能得到什么结论？
人教A版高中数学必修5等比数列PPT课 件
若n +m= 2t m,n,t ∈N*, 则 at2=an·am .
4.等比数列的性质 人教A版高中数学必修5等比数列PPT课件
等差数列与等比数列的类比
定义
首项、公差 （公比）取 值有无限制
等差数列 an an1 d (n 2)
a1 R, d R
等比数列
an q (n 2) an1
a1 0, q 0
通项 公式
an a1 (n 1)d
an a1qn1
主要 性质
(1)an am (n m)d
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) 则 am+an=as+ar . (3)2an=an-1+ an+1 . (4)(等差中项）
(4).已知数列{an}为等比数列 (1)若an 0,且a2a4 2a3a5 a4a6 25, 求a3 a5; (2)a1 a2 a3 7, a1a2a3 8, 求an
(5).已知等比数列{an}中，
a1
a2
a3
7, a1a2a3
8, 求
1 a1
1 a2
1 a3
高一数学必修五第二章等比数列的概念课件
以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里麦粒
数的2倍，直到第64格，请给我足够的麦粒实现上述要求”。
国王觉得这个要求不高，就欣然同意了，假定千粒麦粒的
质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量约为6亿吨，根
据以上数据，判断国王能否实现他的诺言？
一、导
• 等差数列前n项和：Sn= a1 + a2 +…+ an
多年才能产出所需小麦。
一、导
• （3）等比数列前n项和推导
乘以公比， 错位相减
• 等比数列首项a1，公比为q：
•
Sn= a1 + a2 +…+ an
①
•
qSn= a1q+…+an-1q + anq
•
qSn= a2 +…+ an + anq
②
• ①-②：（1-q）Sn=a1-anq=a1（1-qn）
• q=1
Sn=na1
• q≠1 Sn=a1（1-qn）/（1-q) (知3求2)
二、思
• （1）1/2，1/4，1/8，…，求S8； • （2）a1=27，a9=1/243，求S8； • （3）a1=3，q=2，n=6，求Sn； • （4）a1=27，q=-1/3，an=1/90，求Sn； • （5）在递增的等比数列{an}中，已知a1+an=34，a3*an-2=64,
且前n项和为Sn，则n= （ ）。
三、议
• （1）a1=3，q=2，n=6，求Sn； • （2）a1=27，q=-1/3，an=1/90，求Sn； • （3）在递增的等比数列{an}中，已知a1+an=34，a3*an-2=64,
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这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。
其定义式：
判断一个数列是否为等比数列的依据
an q(n 2) an1
或 an1 q(n N *) an
an 0
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课堂互动
名称
等比数列
概念 从第2项起,每一项与它前一项的比等于 同一个非零常数
常数
公比 q 0
定义式 通项公式
an q,n 2 an1
an a1 q n1
通项
变形
an amqnm n, m N *
中项 公式
G2 ab 或 G ab
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a1q3
……
a a q n1
n
1
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3.等比数列的通项公式： an a1qn1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 a1 d
差 数
a3 a2 d
列 a4 a3 d ……
+）an an1 d
类比
累乘法
若 a,G成,b等比数列，那么Ｇ叫做 与 的a等比b中项，
有：
G2 ab
G ab
注意：1）“ a,G,b 成等比数列” 是 “ G2 ab ”的 充分不必要条件
2）任意两个数 a, b 都有唯一等差中项为 a b ；
2
当 ab 0 时，才有等比中项，且有两个 ab 。
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