导数小专题-----单调性的分类讨论

导数小专题----单调性的分类讨论

函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，

所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。

以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:

第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况

（1）偶次根式，根号下整体大于0

（2）分式，分母不等于0

（3）对数函数，真数大于0

（4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠

2

第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x

注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负

第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。

（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围

（2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围

（4）21x x <得到参数取值范围

第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。判断导数正负有以下三种方法：

（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多

（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子

（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负

第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的

【例题详解】

例1.（2011，浙江高考改编）设函数ax x x a x f +-=2

2ln )(，求)(x f 单调区间

解：该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令0)2)((2)(2'

=+--=+-=x a x a x a x x a x f ，解得2,21a x a x -== （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）

（1）当0>a 时，

)(,0)(),,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,('x f x f a x <+∞∈单调减

（第三步，1x 存在，2x 不存在得到0>a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）

（2）当0

)(,0)(),2-,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,2

-('x f x f a x <+∞∈单调减 （第三步，2x 存在，1x 不存在得到0

（3）当0=a 时，

)(,02)(),,0('x f x x f x <-=+∞∈单调减

（第三步，21x x =得到0=a 第四步很显然-2x<0恒成立）

综上可知：当0>a 时)(),,0(x f a x ∈单调增，)(),,(x f a x +∞∈ 单调减;当0

-(x f a x +∞∈单调减；当0=a 时，)(),,0(x f x +∞∈单调减

（第五步综述一定要有）

小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情

况。讨论一根不存在的时候，又分了两种情况，2x 不存在或者1x 不存在。因为本题一根存在，另一根就必然不存在，故不存在比较两根大小的情况。因式分解后我们发现最高次为负，数轴穿根的时候我们从下往上穿，也可以用图像法判断导数正负。

例2：已知x ax x x ax x f +--=222

1ln )()(，求)(x f 单调区间 解：该函数定义域为）

，（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域）

令x ax x f ln 12)('）（-=，解得1,2121==x a

x （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）

（1）当0≤a 时，

)(,0)(),1,0('x f x f x >∈单调增，)(,0)(),,1('x f x f x <+∞∈单调减

（第三步，1x 不存在得到0≤a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）

（2）当121=a 时即2

1=a )(,0)(),,0('x f x f x >+∞∈单调增，

（第三步，21x x =得到21=

a 第四步图像判断正负）

（3）当1210<

1>a )(,0)(),1(),21,0('x f x f x a x >+∞∈∈单调增，)(,0)(],1,21['x f x f a

x <∈单调减 （第三步，21x x <得到21>

a ；第四步图像判断正负） （4）当121>a 时，即2

10<+∞∈∈单调增，)(,0)(],21,1['x f x f a

x <∈单调减 （第三步，21x x >得到210<

0≤a ，)(,0)(),1,0('x f x f x >∈单调增，)(,0)(),,1('x f x f x <+∞∈单调减；

2

1=a ，)(,0)(),,0('x f x f x >+∞∈单调增