一阶微分方程(二) 可降阶的二阶微分方程

e 设 y u( x)e P( x令)d x 是v( xd) y uP((xx)y Q( x)的解. dx 5
设 y u( x)e P( x)d x 是 d y P( x) y Q( x) 的解.
dx
y u( x)e P(x)d x u( x)[P( x)]e P(x)d x ,
将 y, y代入原方程得
P y f (x)
解此微分方程
y ed x C
2
xe
d
x
d
x
o
xx
Ce x 2 x 2, 由 y |x0 0, 得 C 2,
所求曲线为 y 2(e x x 1).
13
例4 求方程 y2 d x (x 2xy y2)d y 0 的通解.
分析：可变形为：d
d
y x
则原方程的通解为 y ( x2 C)esin x .
8
例2求解微分方程
dy dx
3y
e2x满足条件
y x0
0的特解.
解 这是一个一阶非齐次线性方程.
它对应的齐次方程为
d d
y x
3y
0，分离变量得：dyy
3d
x,
积分得：ln y 3x lnC, 即 y Ce3x .
再用常数变易法，把 C 换成新函数 u u(x)
x
x
解 (用常数变易法)
先求
y
1 x
y
0 的解，分离变量：d y y
dx x
,
两边积分ln y ln x lnC，得通解：y C
再用常数变易法求
y
1
y
sin
x
x
的解，
x
x
设 y u( x) 是原方程的解，则 y
将 y,
y代x入原方程：ux
x
2
u
1 x
ux
x2 u x
u， sin x
x
1 dP P
1 d x，即ln P x
ln
x ln C1
P C1 , 即 d y C1 ， x dx x
两端积分,得 y C1 ln x C2，
原方程通解为 y C1 ln x C2 .
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(3) y f ( y, y) 型
特点： 不显含自变量 x.
解法：
令 y P( y),
例1 求方程 y sin x的通解.
解 y sin x d x cos x C1
y (cos x C1)d x sin x C1 x C2
y
( sin
x
C1 x
C2 ) d
x
cos
x
1 2
C1
x2
C2
x
C3
所以原方程通解为
y
cos
x
1 2
C1
x
2
C
2
x
C
3
.
17
(2) y f ( x, y)型
dx
讨论
dy y
Q( x)
y
P(
x)
d
x,
两边积分
ln
y
Q( x) y
d
x
P(
x)d
x,
设
Q( x) d x为v( x), y
ln y v(x) P(x)d x,
e 即 y v( x)e P( x)d x . 非齐次方程通解形式.
与齐次方程通解相比: Cu( x)
y Ce P(x)d x
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定 函数的方法.叫常数变易法. 实质: 未知函数的变量代换.
7
例1求解微分方程 y y cos x 2xesin x . 解 这是一个一阶非齐次线性方程.
它对应的齐次方程为 y y cos x 0,
分离变量得：d y cos x d x, 积分得：ln y sin x lnC, y
即令 y ue3x , 则 y ue3x 3ue3x ,
代入原方程并整理得 u e x , 所以 u e x C ,
则原方程的通解为 y (e x C )e3x , 又 y x0 0,
则得C 1, 于是所求特解为 y e2x e3x .
9
例3 求方程 y 1 y sin x的通解.
dx
dx dx
于是 d u u 1， d u d x， ln(u 1) x lnC,
dx
u1
u 1 ex， 即它的通解为：y Cex x 1. C 若将该方程变形为：d y y x，
dx
这是一个一阶线性微分方程.
2
6-2 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程的标准形式:
1.定义：d y P(x) y Q(x) 或 y P(x) y Q(x)
dx 特点：它是关于 y, y的一次方程. Q(x)：自由项.
例如 d y y x2, d x x sint t2, 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
当Q(x) 0, d y P(x) y 0称为一阶线性齐次方程.
dx 当Q(x) 0, d y P( x) y Q( x)称为一阶线性非齐次方程.
6
y u( x)e P( x)d x
积分得 u( x) Q( x)e P(x)dx d x C,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dx d x C] e P( x)d x
Ce P( x)d x e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x
非齐次特解
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▲可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x)型 解法：接连积分 n 次，得通解．
(2) y f ( x, y)型 特点：不显含未知函数 y.
解法： 令 y P( x), y P( x) d P ,
代入原方程,得 P f ( x, P( x)). d x
(3) y f ( y, y) 型 特点：不显含自变量 x.
Ce
P(
x)d
x
,
2.将上式中的常数 C 变为函数 u(x)
3.代入原方程 (非齐次方程) 求出 u( x),
4.得非齐次方程的通解：y u( x)e P( x)d x
即 y Ce P( x)d x e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x
则一阶线性微分方程的解法有： 要求大家熟练掌握
即 y Cesin x . 再用常数变易法， 把 C 换成新函数u u(x)， 即令 y uesin x为原方程的解,
则 y uesin x uesin x cos x. 代入原方程得
uesin x uesin x cos x uesin x cos x 2xesin x ,
整理得 u 2x, 积分得 u( x) x2 C ,
dx
2.线性非齐次方程 d y P(x) y Q(x). dx
常数变易法：令 y u( x)e P( x)d x
通解为: y e P(x)d x[ Q( x)e P(x)d x d x C]
Ce P( x)d x e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x
齐次通解
e e1xPd(xxd)d
x
x
CQ (
x
)e
P一 程( x阶的)d x线解d性法x 方:
eln x sin x eln x d x C
x
1.常数变易法 2.公式法
1 x
sin x d x C
1 cos x C .
x
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常数变易法的求解步骤：
1.求出相应的齐次方程的通解
y
x
y2 2xy
y2
,它不是线性方程.
设想： 把x当成函数，把y当成自变量.
解 原方程可变为：d x 1 2 y x 1
d y y2
这是关于未知函数x x( y)的一阶线性方程.
P(
y)
1
2 y2
y
,
Q(
y)
1代入公式：
x
e
12 y2
y
d
y
[C
e
12 y2
y
d
y
1d
y]
1
y 2e y (C
1
e y)
1
所以所求通解为：x y2(1 Ce y ). 14
三、贝努利 (Bernoulli) 方程
1.定义：形如 d y P(x) y Q(x) yn (n 0,1)的方程.
dx
2.解法：变形为
yn
d d
y x
P(
x)
y1n
Q(
x)，
令z y1n，从而有
d z (1 n) yn d y , yn d y 1 d z ,
2P
0
,
由 1 d P 2 d y， Py
可得
P
C1
y2,
d d
y x
C1
y2,
dy y2
C1
d
x,
1 y C1x C2.
所以原方程通解为 y 1 . C1x C2
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小结
▲一阶线性方程 y P( x) y Q( x) 1.齐次方程 d y P( x) y 0的通解为：y Ce . P(x)d x
dx 3
二、一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程 d y P(x) y 0. dx
(使用分离变量法)
d y P(x)d x, y
dy y
P(
x)d
x,
ln y P(x)d x lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)d x .