可降阶的高阶微分方程 (2)
§12-7 可降阶的高阶微分方程
特点： 不显含未知函数y及 y,, y(k1).
解法： 令 y(k) P( x)
则 y(k1) P,
y P . (n)
(nk )
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P (nk) f ( x, P( x),, P (nk1) ( x)). 求得 P( x),
解法：可通过变换 y e zdx
k次齐次函数
将其降阶, 得新未知函数 z( x).
y
ze
zdx
,
y (z z2 )e zdx , ,
y(n) (z, z,, z(n1) )e zdx , 代入原方程并消去 ek zdx ,
得新函数z( x)的(n 1)阶方程
dy dx dy
y P 2 d 2 P P(dP )2 , ,
dy 2
dy
代入原方程得到新函数 P( y)的(n 1)阶方程，
求得其解为 dy dx
P( y) ( y,
C1 ,
,
Cn1 ),
原方程通解为
( y,
dy C1, ,
Cn1 )
x Cn,
例 2 求方程 yy y2 0的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2ec1x .
可降阶的高阶微分方程57892
2.解法:
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy Q P x y
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 全微分方程
通解为
x
y
u( x, y) x0 P( x, y)d x y0 Q( x0 , y)dy
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2ec1x .
(03二15） 微分方程 y”’=24x 的通解为_________________
Y=x4+C1x2+C2x+C3
2 全微分方程
一、全微分方程
1.定义: 若一阶微分方程
解：P [e x f ( x)]y Q f ( x)
是
全
微分
方程Q
x
P y
f ( x) f ( x) e x
f ( x) e dx[c e x e 1dxdx] e x[c e x exdx]
e x[c x] e x[1 x] 2
共积分n次 y f ( x)dxdx C1xn1 C2 xn2 Cn
例1 y(4) sin x x
2) y f ( x, y)
降低了方程的阶数
解法: 令 y p, 则 y dp 代入原方程 dp f ( x, p)
dx
dx
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
的左端是某函数的全微分
全微分方程
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
可降阶的高阶微分方程
f1
α
f 2与 N 保持平衡， f1和 R 之合力 F = f1 − R = mg (sin α − µ cos α ) 使物体沿斜面运动。设 物体移动的距离 s = s (t )，则由 Newton d 2s 第二定律，有： mg (sin α − µ cos α ) = m 2 dt d 2 s（2） 即： 2 = g (sin α − µ cos α ) — —此为 s (t )应满足的微分方程 dt
3. 例子： 7-17 例
dy 解：积分一次得： = x(ln x − 1) + c1 dx 1 2 3 再积分一次得：y = x (ln x − ) + c1 x + c2 2 2 即为所求之通解。
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d y 求 = ln x 的通解 2 dx
2
可降阶方程第一型举例（续1）
例7-18 质量为m的物体，以初速度v0从一斜面上滑下。如斜面的倾角为
上一页
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三、 y′′ = f ( y，y′)型
1. 形式：
y′′ = f ( y，y′)
(7)
（即含有未知函数y, 不含自变量x）
2. 解法： 令y ′ = f ′( x )，视 x为未知函数， y为自变量，两边对 y求导：
dp ====================================== d ( y ′) d [ f ′( x )] dx d 2 y 1 1 = = ⋅ = 2⋅ = y ′′ ⋅ dy dy dx dy dx dy p dx (*) dp df (u ) df (u ) du ∴ y ′′ = p ⋅ ∵ = • dy dx du dx
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可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
可降阶的高阶微分方程
主讲教师 杨文杰可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程1．高阶微分方程的定义 '''()(,,,,)0 n F x y y y = K 2．可降阶的高阶微分方程类型及其解法 (1) 型()() n yf x = (2) 型 (,) y f x y¢¢¢ = 解法：逐次积分，降为一阶微分方程.解法：设y ¢=p (x )，则y ¢¢=p ¢，代入方程中得 p ¢ =f (x , p ) ， 降为一阶微分方程.(3) 型 (,) y f y y¢¢¢ = 二、可降阶的高阶微分方程的解题方法可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微 分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解. 解题方法见流程图．解法：设y ¢=p (y )，则 , dp dy dpy p dy dx dy¢¢ =×= 代入方程中得 降为一阶微分方程. (,), dpp f y p dy=解题方法流程图逐次积分), ( y x f y ¢ = ¢ ¢ 解一阶微分方程解一阶微分方程), ( y y f y ¢ = ¢ ¢ 可降阶的高阶微分方程)( ) ( x f y n = 转化为一阶方程) , ( p x f p = ¢ ), , , , ( n c c c x y K 2 1 j = 通解 Yes令 y p ¢ = 转化为一阶方程(,) pp f y p ¢= No特点:不显含 y特点:不显含 x 令 y p ¢ =三、典型例题【例1】求方程 的通解.2xy y x ¢¢¢ -= 解：由于不显含 ，令 ，则 y () y p x ¢ = y p¢¢¢ = 代入原方程整理得 1p p x x¢-= 为一阶线性方程，21 y p C x x¢ ==+ 再积分，得原方程的通解为23 12 11 23y C x x C =++ 32 121 3 x C x C =++ 代入求解公式得解：由于不显含 () y p y ¢ = y pp¢¢¢ = x ,令 ,则 代入原方程得 2ypp p ¢+= 所以0 p = 或 0yp p ¢+= 当 0 yp p ¢+= 时，此方程为可分离变量的方程， 分离变量得：dp dyp y=- 【例2】求方程 2()0 y y y¢¢¢ += 满足初始条件 0 12x y = ¢ = 的特解. 0 1, x y = =积分得：ln ||ln || p y C=-+ 所以 1 1 () C C p C e y==± 即 1 C y y ¢= 将 00 1 1, 2 x x y y == ¢ == 代入得 11 2C = ，从而 1 2 y y ¢ = 分离变量后积分得 22 , y x C =+ 将 01 x y = = 代入得2 1 C = 所求方程的特解为：21y x =+ 特解为 1 y = ，含在 内.2 1 y x =+ 当 时，即 0 y ¢= 积分得 , y C = 0 p =。
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
4.第四节可降阶的高阶微分方程
二阶或二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。 本节所讨论两种特殊的高阶微分方程，它们可 以通过积分或变量代换，降为低阶的微分方程 来求解。这种求解方法称为降阶法。
一、 y(n) f (x) 型的微分方程
微分方程
y(n) f (x)
（1）
的特点是右端只有自变量 。我们可以通过逐次积
分求得它们的通解。事实上，只要将 y(n1) 看成新
即
dy (x,C1)dx
对它两端积分，得到方程(2)的通解
y (x,C1)dx C2
例2 求微分方程 xy y x2 0 的通解。
解：由于方程中不显含 y ，是 y f (x, y) 型，所以 设y p ，则 y p，从而原方程化为 xp p x2 0
即 p 1 p x
C2
x
C3
其中C1,C2,C3 都是任意常数。
二、y f (x, y) 型的微分方程
微分方程
y f (x, y)
(2)
的特点是右端不含未知函数 y .设y p(x) ，则 y dp ，
原方程变为
dp f (x, p)
dx
dx
这是一个关于变量 x，p的一阶微分方程，设其通解为
p (x,C1)
的未知函数，那么方程（1）就是一个关于 y(n1) 的
一阶微分方程。两边积分，得到一个n 1阶微分方
程
y(n1) f (x)dx C1
同理可得 y(n2) ( f (x)dx C1)dx C2 。依次进行 n 次
积分，便可得方程（1）的通解。
例1 求微分方程 பைடு நூலகம் 2x sin x 的通解。
解： 对所给方程依次积分三次，得
y (2x sin x)dx x2 cos x C1
可降阶的高阶微分方程.
1 1 将x ' |t 0 0代入 ， C 所以 x ' （ 1 cot 2t） 2m 2m 1 1 再积分 x （t sin 2t） C2 2m 2
将x |t 0 0代入， C2 0
1 1 所求运动规律为x （t程
k 其中k 0为比例系数，记a m
2
d x dx 2 m 2 k ( ) dt dt
2
(1)
x '' a 2 ( x ') 2 x |t 0 0 x ' | 200 t 0
p ' a p
2 2
(2)
令 p x'
(2)变为
(3)
1 2 分离变量 2 dp a dt p
例3 求方程(1x2)y2xy 设yp 则方程yf(x y) 的通解 解 设yp 则原方程化为 化为 pf(x p) (1x2)p2xp 设此方程的通解为 dp 2x 或 p 0 2 pj(xC1) dx 1 x 2x dx 则 yj(xC1) 于是 p C1e1 x 2 C1(1 x2) 于是方程yf(x y)的通解为 即 yC1(1x2) 方程的解法
原方程变为
例4 求方程yyy20的通解
解 设yp 则原方程化为 dp 2 yp p 0 dy dp 1 p 0 ( y0 p0) dy y 1 y dy p C1e C1 y
dp p f ( y, p) dy
或 于是
设此方程的通解为 pj(y C1) dy 即 j ( y, c) dx
p '(1 e ) p 0
x
1 3 y x sin x C1 x C2 6
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1
y
vA t
B( x, y) (0,1) d2 y 1 (1,0) o x x dx2 2
d x 1 y2 dx dt 1 代入 ① 式得
1 y2 0
18
y
vA t
B( x, y) (0,1)
(1,0) o x
d2 y x dx2
1 2
1 y2 0
不显含 y 的二阶微分方程
其初始条件为 y x 1 0, y x 1 1
得 C2 2 ,
特解为 x x0 sin( 2 k t ) x0 cos k t .
周期 T 2 , 已知周期 T=2 , k 代入
k2
1
k
d2g
4m
得到 m
1
4 2
d2gLeabharlann 14d2g
9.8
0.195 (T)
16 3.14
17
例10 . 设物体 A 从点 ( 0, 1 ) 出发,以大小为常数 v
7
6.8.3
(缺 x)型的微分方程
解法如下：令 y p( y),
则 y d p d p d y
dp
dx dy dx dy
故方程化为 d p dy
设其通解为 p ( y,C1 ),
即得
d d
y x
(
y,
C1
),
分离变量 积分
dy dx
( y,C1 )
得原方程的通解
8
例4. 解初值问题 y x0 0 ,
2
例1.
解: y (
)dx 2C1
1 2
e2x sin
x 2C1
y
(1 e2x 2
sin
x
2C1 ) d x
C2
1 4
e2x
cos
x
2C1 x
C2
y
1 8
e
2
x
sin
x
C1
x
2C2
x
C3
3
41页5.质量为 m 的质点 受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动, 设力 F 是时间 t 的函数: F = F (t) . 在 t = 0 时
的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发, 速度
大小为 2v, 方向始终指向A, 试建立物体 B 的运动轨迹
应满足的微分方程及初始条件.
解: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示,则有
y
1vt x
y,
两边对 x 求导,
xy 得
y 1 vt y
y
①
s x 1 y2 dx,
故所求通解为 y
y2 ln y
即 d (y ) dx y
lnC2
11
例6. 设函数
二阶可导,且
过曲线
上任一点 P(x, y)作该曲线的
切线 及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴围成 的三角形面积
记为 区间[ 0, x ] 上以
为曲边的曲边梯形面积
记为 且
求函数
解:
在点 P(x, y) 处 的切线倾角为 ,
ox x
13
例7. 一个离地面很高的物体,受地球引力 的作用由
静止开始落向地面,求它落到地面时 的速度和所需时间
(不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
md2 dt
y
2
k
m y2
M
y t0 l, y t0 0 设 v dy, 则
dt
M : 地球质量 m : 物体质量
注意“－”号
(t
t2 2T
)
4
C1
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
t0
0
得 C1
0,
于是
dx F0 ( t t 2 ) d t m 2T
两边再积分得
x
F0 m
t2 (
2
t3 6T
)C2
再利用 x t0 0 得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x
F0
t2 (
t3
)
m 2 6T
5
6.8.2 y f ( x, y) (缺 y)型的微分方程
四、恰当导数方程 若 d ( x, y, y) F ( x, y, y, y)
dx
则称 F ( x, y, y, y) 0 为 恰当导数方程
d ( x, y, y) 0 可以化为 一阶微分方程
dx
( x, y, y) C
例6.49 求解
1 解 两边乘以 y2 得
y y C1 即 (ln y)
例6.49 求解
此方程不显含 x ，
解: 令
y
p( y),
则 y d p dx
dpdy dy dx
dp dy
代入方程得 d p dy
分离变量得
两端积分得 ln p ln y lnC1 ,
即 p C1 y,
C1 y,
分离变量得
两端积分 ln y C1 x lnC2
故所求通解为 y
10
第七节 可降阶高阶微分方程
一、
型的微分方程
二、
(缺 y)型的微分方程
三、
(缺 x)型的微分方程
四、 恰当导数方程
1
6.8.1 y(n) f ( x) 型的微分方程
f ( x)d x
同样 y(n2) [ [
]dx C2 ]dxC1 x C2
依次通过 n 次积分,
可得含 n 个 任意常数的通解 .
19
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p( x) , 则
原方程变为
降一阶。
令 y p( y) , 则
原方程变为
降一阶。
20
作业 41页习题6—8
1.(1),(3) 2. 3.(1),(3)
作业本写上班级姓名
21
感谢下 载
t
yR
(
1l
y
l y2
(
l arccos
lR R2
y) ll arccos
R 2g
R )
l 15
例8. 设圆柱形浮筒直径 d = 0.5 米，垂直放在水中。
浮筒在水中上下振动的 周期为2秒。求浮筒的质量m 。
（水的比重=1）
解: 设浮筒平衡位置为坐标原点，x 轴铅直向下。
当xxo 浮d筒两运代令端动令入积到浮k①x2分任力12v意v4dvdF1的m,2vxx则d处xx1422时k2g2k，xd则2dd2, xvtC分2gx1dd离14,(d,2dt0x变2)vx由d量 d2kFdvxxv22x0txgd,vmxCv0m1(a(d0d不,)ddvx得kk2显t22x20xx含1,26dt,x),
y x0
1
解: 令 y p( y), 则 y d p 代入方程得
dy
p d p e2y 0,
dy
积分得
1 2
1p2
1 2
e
2y0
C1
由 y x0 0 , y x0 1 , 得C1 0, p e y ,
d y e y , dx
e ydy dx
积分得 e 0y x0 C2 ,
再由 y x0 0, 得C2 1 故所求特解为 e y 1 x 9
dx
(1 x2 ) d p 2x p 分离变量 dx
1 x2
积分得 ln p ln(1 x2 ) lnC1 ,
3
0
利用 y
3,
x0
得 C1 3,
于是有 y 3 3 x2
两端再积分得 1y 0x3 3x0 C2 利用 y x0 1 ,得 C2 1
因此所求特解为 y x3 3 x 1
v2 C1 k2 x2 , 由 x(0) x0 , v(0) x(0) 0 ,
得 C1 k 2 x02 ∴ v2 k 2( x02 x2 ) , 即x k x02 x2
分离变量 d x k d t , 两端积分
(注意”-”)
x02 x2
arcsin
x x0
C2
k
t
,
由 x(0) x0 ,
定解条件为 y(0) 1, y(0) 1
不显含 x， 令 y p( y), 则
方程化为 y p d p p2 dy
d p dy py
解得 p C1 y, 利用定解条件得 C1 1 ,
S2 y
S1 1
P y
再解 y y, 得 y C2 e x ,
再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
积分得
y
ly
根v据2 初 始2ddk2条tMy2 件(1dd得vt 到1),
R o
yl Q v 代d入y方,程d得t
dt
kmM
2
l
kM
l
yyy2d
y
14
d t l
y d y (0 y l) 两端积分
2k M l y
由 y t0 l,得C2 0,
令
由于 y = R 时
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
解法如下：设 y p( x) , 则
原方程化为 一阶方程
设其通解为 p ( x,C1 )
则得 y ( x,C1 )
积分得原方程的通解
y ( x,C1)dxC2
6
(1 x2 ) y 2x y
例3. 求解
y x0 1 ,
y x0
3
不含 y
解: 设 y p( x) ,则
dp
代入方程得