可降阶的微分方程
5-4可降阶的微分方程
依此类推……
高等数学
05-04-06
例 求微分方程 y xex 的通解。
高等数学
05-04-07
例 质量为 m 的质点受力 F 作用沿 Ox 轴作直线运动。设力 F 仅是时间 t 的函数：F=F(t)。在开始时刻 t=0 时 F(0)=F0，随着时间 t 的增大，此 力 F 均匀地减小，直到 t=T 时 F(T)=0。如果开始时，质点位于原
高等数学
05-04-14
例若
x
x
f(x)0tf(t)d tx0f(t)d t3
求 f(x)。
高等数学
05-04-15
课堂讨论题 求微分方程 y 3 y 满 足初值条件 y |x0 1 ，y |x0 2 的特解。
高等数学
05-04-16
小结：高阶微分方程 可降阶的微分方程
作业：P122 习题五 5(1)(4)(7)
高等数学
一、y(n)=f(x) 型的微分方程 二、y=f(x, y) 型的微分方程 三、y=f(y, y) 型的微分方程
05-04-04
高等数学
05-04-05
微分方程
y(n) f (x)
两边积分
பைடு நூலகம்
y(n1) f(x)d xC1
两边再积分
y (n 2 )[f(x )d C x1 ]d C x2
点，且初速度为零，求此质点的运 动规律。
高等数学
课堂讨论题 解。
05-04-08
求下列微分方程的通
yxsinx
高等数学
微分方程
05-04-09
yf(x,y)
设 y p，则
y dp p dx
原微分方程变为一阶微分方程
pf(x,p)
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα y P S1 1 y α ox x
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 = 2 y dt dt m : 物体质量
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 e y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = 1 由 故所求特解为
1 e y = x
例７.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
高数第4章第4节——可降阶的二阶微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程 二、 y f ( x, y)型的微分方程 三、y f ( y, y) 型的微分方程
四、可降阶二阶微分方程的应用举例
一、y f ( x) 型的微分方程
特点 右端仅含有自变量 x , 只要连续积分 二次即得通解 .
解法
y f ( x)dx C1,
积分后得通解: y2 C1x C2.
例 8 已知曲线 y y( x)满足方 yy 2( y2 y)，其 在(0,1)处的切线为 y 2x 1，求此曲线方程.
解 即求解初值问题：
则 y P dP , dy
代入原方程得
由于y 0, p 0,
y p dP 2( p2 p)
dy
故有
dp 2( p 1)
dy
y
分离变量，得
dp 2 dy p1 y
两边积分，得 ln p 1 ln y2 C1
将 y 1 , P 2 代入 , 得 C1 0 ,
y P y2 1 ,
分离变量，得
dy y2
1
dx
,
两边积分，得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C ,
4
故曲线方程为 y tan( x ) .
4
例9 解令
积分得
代入方程得 即
例10 解初值问题
y e2y 0
y
x0
0
,
y
x0
. 1
解令
代入方程得
积分得
即
利用初始条件,
根据
得
积分得 故所求特解为
五、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令
高数可降阶的高阶微分方程
高数可降阶的高阶微分方程
高数中可降阶的高阶微分方程，是指可以通过变量代换或其他方法将高阶微分方程转化为更低阶的微分方程的方程。
以二阶线性非齐次微分方程为例，可以通过提取其中的齐次解，得到其对应的齐次方程，之后再运用待定系数法求出非齐次方程的特解，将齐次解与特解相加即可得到方程的通解。
例如，对于形如 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的二阶线性非齐次微分方程，我们可以先求出其对应的齐次方程
$y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的通解 $y_c(x)$，然后通过待定系数法求出非齐次方程的一个特解 $y_p(x)$，通解就可以表示为
$y(x)=y_c(x)+y_p(x)$ 的形式。
这样，原方程就被降阶为了一阶微分方程。
类似的，对于其他类型的高阶微分方程，也可以通过一些变量代换或其他方法将其降阶为更低阶的微分方程，方程的解法也可以根据具体情况采用待定系数法、变量分离、变换变量等方法进行求解。
一阶微分方程(二) 可降阶的二阶微分方程
e 设 y u( x)e P( x令)d x 是v( xd) y uP((xx)y Q( x)的解. dx 5
设 y u( x)e P( x)d x 是 d y P( x) y Q( x) 的解.
dx
y u( x)e P(x)d x u( x)[P( x)]e P(x)d x ,
将 y, y代入原方程得
P y f (x)
解此微分方程
y ed x C
2
xe
d
x
d
x
o
xx
Ce x 2 x 2, 由 y |x0 0, 得 C 2,
所求曲线为 y 2(e x x 1).
13
例4 求方程 y2 d x (x 2xy y2)d y 0 的通解.
分析：可变形为：d
d
y x
则原方程的通解为 y ( x2 C)esin x .
8
例2求解微分方程
dy dx
3y
e2x满足条件
y x0
0的特解.
解 这是一个一阶非齐次线性方程.
它对应的齐次方程为
d d
y x
3y
0，分离变量得：dyy
3d
x,
积分得：ln y 3x lnC, 即 y Ce3x .
再用常数变易法，把 C 换成新函数 u u(x)
x
x
解 (用常数变易法)
先求
y
1 x
y
0 的解，分离变量：d y y
dx x
,
两边积分ln y ln x lnC，得通解：y C
再用常数变易法求
y
1
y
sin
x
x
的解，
x
x
设 y u( x) 是原方程的解，则 y
考研数学-一阶微分方程,可降阶方程
cos t
2
求微分方程
(1
x2 )2
d2y dx2
y
满足初始条件 y(0) 0 , y(0) 1的特解 .
解：dy ucos t u sin t, dx
d2y dx2
(u
u) cos3
t
代入原方程 , 有u 0 , u(t) C1t C2
当x 0时,有t 0
代入初始条件 , u |t0 0 , u |t0 1.
]
定解问题
1 y(0)
( y)2 v2 v1
b, y(0)
yy ( y)2 b
a
备例2
若F ( x)是f ( x)的一个原函数,G( x)是 1 的 f (x)
一个原函数,且F ( x)G( x) 1, f (0) 1,求f ( x).
解：F( x)G( x) 1等号两边对 x 求导 ,
2 xy
所求曲线族满足方程y
2 xy x2 y2
,
此为齐次型方程，可解得y C( x2 y2 )
例4
若函数 y y(x) 在任意一点x 处 ,当自变量有
增量
Δx
时
, 函 数的 增量 为Δy
yΔx 1 x2
o(Δx)
.
已知 y(0) π , 则 y(1) ____ .
分析：
Δy Δx
1
y x2
解：令 y p(x) , 则 y dp , dx
( dp )2 p2 1 dx
dp 1 p2 dx
1 dp dx, 1 p2
1 dp dx, 1 p2
arcsin p x C1, arccos p x C1
p sin( x C1), p cos(x C1) y p sin( x C1) y cos(x C1) C2
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
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知C2 = 1
故所求解为
y x4 4x 1
6
对于不含有 y、y、、y(k1)的n阶方程 F( x, y(k), y(n) ) 0
只须作变换,令 p y(k) .
方程就可化为 n k 阶方程 F ( x, p,, p(nk) ) 0
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
7
例 解方程 y(5) 1 y(4) 0. xC31 27e3x
sin
x
C1
x2
C2 x
C3
最后得到的就是方程的通解.
3
二、 y f ( x, y) 型的方程
特点 方程缺y.
解法 设 y p, y dp p. 将p作为新的 dx
未知函数，则方程变为 p f (x ,p )
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.
如果其通解为 p p( x,C1 ),则由 y p( x,C1 )
p p( y) p( y(x ))
则
y
d2 y dx 2
dp dx
dp dy dy dx
p dp , dy
方程变成
p dp dy
f
( y,
p).
这是关于变量y
,
p
的一阶方程.
设它的通解为 y p ( y,C1). 分离变量并积分,
得通解为
dy
( y,C1) x C2
9
例 求方程 yy y2 0 的通解. 属y f ( y, y)型
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1)dx C2
4
例
解方程
y
3x2 y 1 x3
y 1, y 4
x0
x0
解 因方程中不含未知函数y, 属y f ( x, y)型
令 y p, y p, 代入原方程, 得
p
3x2 p 1 x3
p的可分离变量的一阶方程
dp p
3x2 1 x3
解 设 y p, 则 y p dp , 代入原方程
dy
y
p
dp dy
p2
0,
即
p(
y
dp dy
p)
0
由 y dp p 0，可得 dy
p
C1
y, dy dx
C1
y
原方程通解为 y C2eC1x
10
作业
习题6.3 (24页） 1.(1)(2)
11
解 令 p y(4) , 则方程变为
p 1 p 0, 可分离变量方程 x
由分离变量法解得 p C1 x. 于是
y(4) C1 x,
所以原方程的通解为
积分4次
y C1 x5 C2 x3 C3 x2 C4 x C5
8
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x
解法 设 y dy p dx
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n次,得到含有n个任意常数的通解.
2
例 求解方程 y e3x cos x
解 将方程积分三次, 得
y
1 3
e3x sin x
C1
y
1 9
e
3
x
cos
x
C1
x
C2
y 1 e3x sin x C1
27
2
x2 C2x
dx
ln
p
ln 1
x3
ln
C1
p C1(1 x3 ) 由初始条件 y x0 4
知C1=4, 所以 y 4(1 x3 ) y的分离变量方程 5
y
3x2 y 1 x3
y 1, y 4
x0
x0
dy 4(1 x3 )dx y x4 4 x C2
再由初始条件
y x0
1,
第三节 可降阶的高阶微分方程
y(n) f ( x) 型的方程 y f ( x, y) 型的方程 y f ( y, y) 型的方程
1
一、 y(n) f ( x) 型的方程
特点 左端 是未知函数 y 的n 阶导数,右端是
自变量x的一个已知函数,且不含未知函数 y 及其
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1