二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程

＝（ｎｌａ２ ４－ａ；Ｏｘ；＋（ｂｌｂ２＋ｂ Ａ）《＋
（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）ＸＯＹｏ一
［（ａｌｂ２＋ａ２ｂ１）Ｙｏ＋２ａｌａ２名ｏ］名。一
［（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）茗ｏ＋２ｂＩｂ２Ｙｏ］Ｙｏ，
且口Ａ麟。算＋Ａ ｂｙｏｙ＝Ａ似：＋Ａ ６＿《．
从而，Ｏ；Ｘｏ髫＋ｂｙｏｙ＝鲋ｊ＋６扼．
这说明，点Ｍ（戈。，Ｙ。）关于双直线ＡＣ、
＼ ∥～ｙ ／ａ。＋２
Ｏ／
－ｘ
／
都成等角．证明：这
图６
样的折线只能位于
抛物线对称轴的一侧．
（第２２届全苏数学奥林匹克）
讲解：不妨设抛物线为Ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）．
依次取折线上三个相邻的顶点Ａ；（并ｎａｘ；）
（ｉ＝ｎ，ｎ＋１，ｎ＋２，ｎＥ Ｎ）．
由抛物线在点Ａ。＋。处的切线方程（或求
导数）可知其斜率
ｋ七 ｌ２ｊ２：｝２－ａｋ＝ｘ＾忌Ａ＋ｎｌ一， ＋ｌ一Ａｎ．＋＋２．－－＝鼎掣叫＝凸Ｘ（ｎＸ＋ｎ２＋４＂Ｘ石ｎｎ＋＋Ｉ１）？）．
即５菇一７ｙ－鲁：ｏ．
所以，Ｑ也是ＭＮ的中点，即定点Ｑ平分 线段ＭＮ．
注：从曲线的含变化参数的方程（实际
上就是曲线系方程）求出曲线上的定点，是
证明曲线过定点的常规方法．由于本题中的
切点弦ＭＮ只依赖点Ｊｐ的位置，因此，使用切
点弦方程正是时机．证明点Ｑ平分线段ＭＮ
实际上是使用了同一法，同时也发挥了中点
弦方程的作用．
２００９年第８期
７
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
胡圣团
（湖南省澧县一中，４１５５００）
（本讲适合高中） １知识简介
记Ｇ（ｘ，Ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｋ＋Ｅ｜ｙ＋Ｆ １．１二次曲线中点弦的方程
设Ｐｉ（戈ｉ，Ｙｉ）（ｉ＝１，２）是曲线Ｇ（茗，Ｙ）＝
０的弦Ｐ．Ｐ２的两个端点，Ｐｏ（戈。，Ｙｏ）是弦
万方数据
２００９年第８期
Ａ川处的切线夹角相等，所以，
ｋＩ—ｋ ｋ—ｋ２ ｌ＋ｋｌｋ—ｌ＋后Ｉ｜｝，
§ 竺！兰！二兰型１
１＋２ａ２茗。＋ｌ（算。＋菇。＋１） ａ（ｘ。＋Ｉ－ｘ。＋２）
１＋２ａ２ｚ。＋ｌ（名。＋Ｉ＋茗。＋２） 々寺（４口２并２。＋Ｉ＋１）（ｚ。＋ｌ一戈。）２
＝（４ａ２ｚ。茗。＋ｌ＋１）（ｚ。＋２一茗。＋１）（茗。＋ｌ一菇。）． 当％和算川同号时，‰＋２一戈。＋Ｉ和％＋Ｉ一 戈。也同号，即当数列｛戈。｝的首项与第二项同 号时，该数列是单调数列． 因此，当折线起于原点时，折线总在抛物 线对称轴——Ｙ轴的同侧． 注：例７的条件可以减弱，只要折线的第 一段位于抛物线对称轴同侧，则整条折线位 于抛物线对称轴同侧．
ＢＤ（也是二次曲线）的中点弦仍然在直线ＵＶ
上．因而，肘也是线段Ｐｐ的中点．
注：中点弦方程不仅适用于网锥曲线，也
适用于退化的二次曲线．另外，该证明实际上
已经证明了肘也是线段Ｐ’Ｑ’的中点，其中，
Ｐ’、Ｑ’分别是弦ＡＤ、ＢＣ与弦Ｕｙ的交点．
例７ 如图６，
段数有限的折线内 接于抛物线，其始点 与抛物线的顶点重 合，折线中任意共顶 点的两线段与抛物 线在该点处的切线
从二次曲线外一点引曲线的两条切线， 称为该点关于该曲线的双切线．把切点弦看 成双重合直线，则双切线就是过该双重合直 线与二次曲线公共点的相交双直线．因而，可 用二次曲线方程和切点弦方程表示为
Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋
．；【ｆＡｘ。ｚ＋曰．—ｘｏｙ百＋一ｘｙｏ＋Ｃｙｏｙ＋
Ｄ·竽协孕＋Ｆ】２＝叫≠ｏ）．
把点Ｐ的坐标代人上式得Ａ＝一嘉·于
是，双切线船、ＰＣ的方程可以写成
（川）２＋广。１。嘉［（乙２—１）ｘ＋２ｔｙ一２ｔ２］２＝０．
在上式中令算＝０，得
Ｙ＝々一１或Ｙ＝ｌ一知
因为当ｔ＝ｌ时，只有一条切线尸８和轴 相交，当０＜ｔ＜１时，圆（龙一１）２＋ｙ２＝１是 △ＰＢＣ的旁切圆，所以，ｔ＞１．
于是，ｙ口５南，ｙｃ ２高，
ＢＣ＝而ｔ一再ｔ三等
故ｓ郇。＝－｝ＢＣＩ州＝丢·苦么２
；等＝２【２＋（ｔ２－１）＋巧１】≥８．
当且仅当ｔ＝在时，Ｅ式等号成立．
万方数据
中等数学
因此，所求最小值是８．
注：题中肘、Ⅳ、曰、ｃ的位置都依赖点Ｐ
的位置，而点Ｐ的位置只需一个自由变量即
可描述，于是，可把这种解析几何最值问题转
化为函数最值问题．另外，借切点弦方程，用
ｘ８
ＸＡ
ｘＢ
Ｘ＾
＝０．
所以，直线Ａ肘、ＢＭ关于Ｙ轴对称．
因此，点肘是符合条件的点Ｑ．
例５如图４，ＡＢ为一椭圆的长轴，０为
中心，Ｆ为焦点， Ｐ为椭圆上的一 点，ＣＤ为通过 ０的弦且平行 于过Ｐ的切线， 直线ＰＦ与ＣＤ
ｏＹ
义一 洳＼ ＼
≥◇ｉ ｔ Ｖ、 ０
（或其延长线）
陶４
交于点Ｑ。证明
或否定尸ｐ＝ＯＡ＝ＯＢ．
Ｐ（２ｔ２，２ｔ）（ｔ＞０）．．
因为圆的方程是戈２＋Ｙ２—２ｘ＝０，所以， 切点弦ＭＮ的方程为
２ｔ２菇＋２ｔｙ一（茁＋２ｔ２）＝０，
即（２ｔ２—１）石＋２ｔｙ一２ｔ２＝０．
故双切线朋、Ｐｃ就是通过二重直线
［（２ｔ２一Ｉ）并＋２ｔｙ一２ｔ２］２＝０ 与囿的所有公共点的二次曲线，其方程为
（茗一１）２＋ｙ２—１＋Ａ［（２ｔ２一１）ｘ＋２ｔｙ一２ｔ２］２：ｏ．
把双切线交点Ｐ０（髫。，‰）代入上述方程
万方数据
８
可以确定Ａ，进而求出双切线方程．
２四种方程的应用
例ｌ 如 图１。Ｐ是抛物 线Ｙ２＝２ｘ上的 动点，点曰、Ｃ 在Ｙ轴上，圆 （菇一１）。＋Ｙ２＝１ 内切于△ＰＢＣ．
＇，
Ｊ
’
留。 Ｂ
火ｋ ０
求△ＰＢＣ面积
Ｃ
的最小值．
（２００８，全
图ｌ
国高中数学联赛）
讲解：由抛物线的对称性，不妨设
卢＝ＰＦ＝（ａｃｏｓ ０＋ｃ，ｂｓｉｎ ０），
口、ｐ的夹角记为９．
又点Ｐ到ＣＤ的距离为
口６
ｎ６
ｄｅ＿ｃｏ ２砺ｉ云毳而２面’
ＰＱ＝高＝亘ｄｅ－ｃｏ＝器
Ｉ口Ｉ．Ｉ卢ｆ
口６￣／（ａｃｏ￥０＋ｃ）２＋６２ｓｉｎ２ｐ
—Ｉｏｂｃｏｓ２０＋ｎｂｓｉｎ２０＋ｋｃｏｓ ｐＩ
ｎ√（ａｃｏｓ ０＋ｃ）２＋（ｎ２一ｃ２）ｓｉｎ２０
Ｐ。Ｐ：的中点．则
．“
Ａ戈；＋Ｂｘｌ，，ｌ＋Ｃｙ；＋Ｄｘｌ＋Ｅ，ｌ＋Ｆ＝ｏ，① Ａ（２ｘｏ一戈１）２＋Ｂ（２ｘｏ一石Ｉ了（２％一Ｙ１）＋
Ｃ（２ｙｏ—Ｙ１）２＋Ｄ（２ｘｏ一彳１）＋
Ｅ（２ｙｏ—ＹＩ）＋Ｆ＝０．
②
①一②可得
（２Ａｘｏ＋Ｂｙｏ＋Ｄ）ｘｏ一石１）＋ （２Ｃｙｏ＋Ｂ鬈ｏ＋Ｅ）（％一ＹＩ）＝０． 因为（髫。一菇．，Ｙｏ—Ｙ１）是弦Ｐ。Ｐ２的方向 向量，所以，（２Ａｘｏ＋Ｂｈ＋Ｄ，２Ｃｙｏ＋层鬈ｏ＋Ｅ） 是弦Ｐ。Ｐ：的法向量．因此，弦Ｐ。Ｐ：的方程是 （２Ａｘｏ＋Ｂ如＋Ｄ）（戈。一菇）＋ （２Ｃｙｏ＋觑ｏ＋Ｅ）（Ｙｏ－ｙ）＝０． 为记忆方便。上述方程可整理为
Ａｘ。戈＋Ｂ．Ｘ—ｏ—ｙｉ＋一ｘｙｏ＋Ｃｙｏｙ＋
Ｄ．华＋Ｅ．华＋Ｆ
Ｚ
Ｚ
＝Ａｘ；＋ＢｘｏＹｏ＋ｃ扼＋Ｄｘｏ＋Ｅ九＋Ｆ １．２二次曲线的切线方程
当曲线Ｇ（石，Ｙ）＝０的弦Ｐ。Ｂ的两个端 点Ｐｉ（菇ｉ，Ｙｉ）（ｉ＝Ｉ，２）重合时，Ｐ。（ｘｉ，Ｙｆ）（ｉ＝
０，ｌ，２）＝三点重合于曲线上一点Ｐ０（菇。，Ｙｏ），
例３已知抛物线Ｙ＝一戈２＋ｂｘ＋ｃ与抛
物线Ｙ＝ｚ２相切．求该抛物线顶点的几何 位置．
（第１７届全俄数学奥林匹克）
讲解：设两抛物线切点为Ｑ（菇。，Ｙ，）．则
它们在切点处的方程分别为
华：－ｚ似．竿＋ｃ，
‘
‘
丁甜ｌ置
凼为两抛物线相切，所以，它们在切点处 有相同的切线．因而，上述两方程相同，有
Ｆ知
ｌ｝＋ｃ＝０．
口ｌｎ２‰２＋６ｌｂ２％２＋（ａｉｂ２＋ｅｂｂｌ）ＸｏＹｏ—Ａ ｃ＝０． 点Ｍ（菇。，Ｙｏ）关于双直线ＡＣ、ＢＤ（也是
中等数学
二次曲线）的中点弦的方程为 （口Ｉａ２＋ａ Ａ）算。菇＋（ｂｌｂ２＋ｂ）ＹｏＹ＋
ａｌｂ２＋ａ２ｂＩ，ｘｏｙｌ＋ｙｏＸ一
［（ｎ。ｂ：＋ａ２ｂ，）舶＋２ａ，ａ２ｘｏ］华一 ［（口，ｂ：＋ａ２ｂ，）戈。＋２ｂ。ｂ２ｙｏ］华
Ｄ．Ｘ下，ｏ＋Ｘ＋Ｅ．华＋Ｆ：ｏ．
Ｉ．３二次曲线的切点弦方程 设从点Ｐｏ（髫ｏ，％）引曲线Ｇ（ｘ，Ｙ）＝０的
两条切线，切点分别为Ｐｉ（茗；，Ｙ。）（ｉ＝ｌ，２）． 则过点只（ｚｊ，Ｙｊ）（ｉ＝１，２）的切线方程为
Ａｘｉｚ＋Ｂ．—ｘｌｙ ｉ＋一ｘｙｉ＋Ｃｙｉ，，＋ 厶
Ｄ．竿＋Ｅ．华十，｜：ｏ（㈦，２）．
由此可得石。＝了ｂ，ｃ＝一丁ｂｘ！＝一了ｂ２
于是，抛物线Ｙ＝一戈２＋ｂｘ＋ｃ的方程可
写成ｙ＝一ｚ２＋ｈ一等．故顶点为（鲁，譬）．
例４ 如图３，已知
抛物线菇２＝４ｙ及定点 Ｐ（Ｏ，８），Ａ、日是抛物线 上的两动点，且ＡＰ＝ＡＰＢ （Ａ＞０）．过Ａ、Ｂ两点分 别作抛物线的切线，设其
乓 Ｉ’、爿．Ｐ日一 ＼ ．？ 、 Ｍ
铮（每＋可５ ｙ）ｔ＋每一争一ｔ－ｏ．
令霹二
＆。Ｊ。ｔｎ，．．，Ｈ
２５
９
解方程组得戈２西，，，２一面·
因此，直线删恒过定点Ｑ（篙，一而９
ＭＮｆｆｌ‘：亭等：５ｔ９－＿＿＿＿５５＝５．（－７胁＝虽． 当ｔ＝蠡时，删的方程为
５髫一７ｙ－鲁观
２００９年第８期
古虿。咯订＋吉＋可（一Ｉ一９）ｙ＝－Ｓ２¨Ｋ百趴Ｊ２可＋古Ｉ一（面一Ｊ就’
交点为Ｍ
圈３
（１）证明：点肘的纵
坐标为定值；
（２）是否存在定点Ｑ，使得无论ＡＢ怎
９
样运动，都有么ＡＱＰ＝／ＢＱＰ？证明你的
结论．
（２００７，全国高中数学联赛河南省预赛）