分类与分步解题技巧

的原则．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
1.8张卡片上写着 0,1,2，„， 7共8 个数字，取其中的三张卡
片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？
解析： 先排放百位从1,2，„，7共7个数中选一个有7种选
法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一 个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的 6 个数中选一个，有 6 种选法．由分步乘法计数原理，共可以组
解析： 方法一：对 4 人分别编1,2,3,4四个号，对四张贺年
卡也编上 1,2,3,4 四个号，那么 1,2,3,4 四个数字填入 1,2,3,4 四个方 格的一个填法对应贺卡的一个送法，原题转化为上面所述方格 的编号与所填数字的不同的填法种数问题．首先，在1号方格里 填数，可填上2,3,4中的任意一个数，有3种填法；其次，当在第 1号方格填数i之后(2≤i≤4)，在第i号方格中填上合乎要求的数，
工具
第一章 计算原理
栏目导引
3. 用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域 内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的
涂色方法？
工具
第一章 计算原理
栏目导引
解析：给各区域标记号A、B、C、D、E，则A区域有4种不
同的涂色方法，B区域有 3种，C区域有 2 种，D区域有 2种，但 E
少种不同的种植方法．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
由题目可获取以下主要信息：
①从四种蔬菜品种选出3种分别种在不同土质的三块土地上； ②黄瓜必须种植． 解答此题可考虑以黄瓜所种植的土地分类求解或用间接法 求解．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
[解题过程]
方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，
则有3×2×1＝6种不同种植方法． 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有 3×2×1 ＝ 6 种．故不同的种植方法共有6×3＝18种． 方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有
工具
第一章 计算原理
栏目导引
(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步： 第一步，从1,2,3,4这4个数字中选一个数字作千位数字，共4种不 同的选取方法，第二步从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共4个数字 选一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩 余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方
区域的涂色依赖于 B与D涂色的颜色，如果 B与 D颜色相同有 2种， 如果不相同，则只有一种. 因此应先分类后分步．
第一类，B、D涂同色时，有4×3×2×1×2＝48种，
第二类，当B、D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种，
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种， 分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多
)
A．400种 C．480种
工具
B．460种 D．496种
第一章 计算原理
栏目导引
解析：
从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A种
相同作物1种，D、A不同作物3种，
∴不同种法有6×5×4×(1＋3)＝480种．故选C.
答案： C
工具
第一章 计算原理
栏目导引
某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4 人组成． (1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？
始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共
有________种． 解析： 如下图：
同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法． 答案： 10
工具
第一章 计算原理
栏目导引
4．同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿
1张别人写的贺年卡，求4张贺年卡不同的分配方式有多少种？
第2课时 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理的综合应用
工具
第一章 计算原理
栏目导引
工具
第一章 计算原理
栏目导引
1．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实 际问题． 2．会根据实际问题合理分类或分步.
工具
第一章 计算原理
栏目导引
1．应用两个计数原理解决实际问题．(重点) 2．合理分类或分步．(难点)
共有2×3×3×2＝36个．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
[题后感悟 ]
(1) 对于组数问题，一般按特殊位置 (一般是末
位和首位 ) 由谁占领分类，分类中再按特殊位置 ( 或者特殊元素 ) 优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反 面求解． (2) 解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐 藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先
有3种填法；最后，将剩下的两个数，填到空着的方格里，只有
1种填法合乎要求(因为这两个数中，至少有一个数与空的方格序 号相同)．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
根据分步乘法计数原理，不同的分配方式共有 3×3×1 ＝ 9
种．
方 法 二 ： 21—4—33—4—14—1—3
331—22—1 共9种.
31—4—241—22—1
41—2—
工具
第一章 计算原理
栏目导引
工具
第一章 计算原理
栏目导引
用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1) 四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？
四位密码的首位可为0，四位数的首位不能为0，四位奇数 的首位不为0且个位必须为奇数．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
[解题过程]
工具
第一章 计算原理
栏目导引
1．两个计数原理在解决计数问题中的方法
工具
第一章 计算原理
栏目导引
百度文库
2．应用两个计数原理应注意的问题 (1)分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再对每一类进行计 数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“ 步骤完整
” —— 完成了所有步骤，恰好
完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步
3．涂色问题中的讨论．(易混点)
工具
第一章 计算原理
栏目导引
工具
第一章 计算原理
栏目导引
家电下乡政策是国家深入贯彻落实科学发展观、积极扩大
内需的重要举措，是财政和贸易政策的创新突破．家电下乡政
策实施以来，给广大农民带来了很大实惠，在外打工的小王要 给家在农村的父母买一台冰箱和洗衣机，现有5种型号的冰箱和 3种型号的洗衣机， 那么小王共有多少购买方案？
工具
第一章 计算原理
栏目导引
[解题过程] 先分为两类：
第一类，当D与A不同色，则可分为四步完成．第一步涂A有
5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，第四步
涂D有2种涂法，由分步乘法计数原理，共有5×4×3×2＝120种
方法． 第二类，当D与A同色，分三步完成，第一步涂A 和 D有 5 种 方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，由分步乘 法计数原理共有 5×4×3 ＝ 60( 种 ) ，所以共有 120 ＋ 60 ＝ 180 种不
工具
第一章 计算原理
栏目导引
[规范解答]
(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5
种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从
高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6
＋4＝15(种)选法.4分
(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择； 第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级 选一人，有 4 种选择．由分步乘法计数原理，共有 5×6×4 ＝ 120(种)选法.8分
成7×7×6＝294(个)不同的三位数．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色， 规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少 种不同的涂色方案？
工具
第一章 计算原理
栏目导引
由题目可获取以下主要信息：
①用五种不同的颜色给四个区域涂色；
②相邻区域不能涂同种颜色； ③不相邻区域可以涂同种颜色． 解答本题可先给各个区域标上记号，从不相邻区域是否着 相同颜色进行分类、分步解决．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
2.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的
花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，
则不同的种法总数为( A．96 C．60 ) B．84 D．48
解析：
方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与
A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；若C地与A地种不同 花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法总数为N＝ 4×3×(1×3＋2×2)＝84种．
的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法
数相乘，得到总数．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
1．由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的个数 是( ) A．11 C．30 B．12 D．36
解析：
个位数字有 6 种选法，十位数字有 5 种选法，由分
步乘法计数原理知，可组成6×5＝30个无重复数字的两位数． 答案： C
同的方案．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
[题后感悟] 染色问题是考查计数方法的一种常见问题，由
于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，
处理这类问题的关键是要找准分类标准，像本题中A、D颜色是
否相同对其他区域的涂色有影响．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
2.如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜 色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂 不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
工具
第一章 计算原理
栏目导引
(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30(种)选法；高
(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，
可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种
选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取
方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法； 第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分 步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2 ＝120个．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
方法二：若种4种花有4×3×2×1＝24种；若种3种花，则A
和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48种；若种2种花，则A和C相
同且B和D相同，有4×3＝12种．
共有N＝24＋48＋12＝84种． 答案： B
工具
第一章 计算原理
栏目导引
3．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开
工具
第一章 计算原理
栏目导引
解析： 成：
按地图A、B、C、D四个区域依次涂色，分四步完
第一步，涂A区域，有3种选择；
第二步，涂B区域，有2种选择； 第三步，涂C区域，由于它与A、B区域不同，有1种选择； 第四步，涂D区域，由于它与B、C区域不同，有1种选择． 所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共 有3×2×1×1＝6(种)．
4×3×2＝24种，其中不种黄瓜有 3×2×1＝6种，故共有不同种
植方法24－6＝18种．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
[题后感悟]
对于同一个事件的处理，往往可以采用不同的
处理方法，从而得到不同的解法，但结果肯定是相同的，用这
种方法可以起到很好的检验效果．
按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本
(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选
法？
(3) 若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，
有多少种不同的选法？
工具
第一章 计算原理
栏目导引
第(1)问属于分类的问题，用分类加法计数原理求解；第(2) 问属于分步的问题，用分步乘法计数原理求解；第(3)问是综合 类问题，要先分类再分步．
法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，
有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的 四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
(3) 完成 “ 组成无重复数字的四位奇数 ” 这件事，可以分四 步： 第一步定个位，只能从 1 、 3 中任取一个有两种方法，第二 步定首位，把1、2、3、4中除去用过的一个还有3个可任取一个 有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字 先排百位 3 种方法，再排十位有 2 种方法．由分步乘法计数原理
思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证你提供的
某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成 了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是 向事情的完成迈进了一步．
工具
第一章 计算原理
栏目导引
4.如图，用6种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，
若相邻区域不能种植同一种作物，则不同的种法共有(