初二数学平行四边形专题练习题(含答案)完整版本
(完整word版)初二数学平行四边形专题练习题(含答案)
初二数学平行四边形专题练习1．假如边长分别为4cm 和 5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为 ______cm．2．（08贵阳市）如图1，正方形 ABCD 的边长为4cm，则图中暗影部分的面积为cm2．A3.若四边形 ABCD 是平行四边形，请增补条件B图 1(写一个即可 )，使四边形 ABCD 是菱形．4．在平行四边形 ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 订交于点 O，△ ABO 的周长为 17， AB ＝ 6，那么对角线 AC＋ BD＝5．以正方形ABCD的边 BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数为.6．已知菱形 ABCD 的边长为 6，∠ A ＝60°，假如点 P 是菱形内一点，且 PB＝PD＝2那么 AP 的长为．7．在平面直角坐标系中，点A、B、C 的坐标分别是 A(－2，5)，B(－3，－ 1)， C(1，－ 1)，在第一象限内找一点 D，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点 D 的坐标是．二、选择题（每题 3 分，共 30 分）8．如图 2 在平行四边形 ABCD 中，∠ B=110°，延伸 AD 至 F，延伸 CD 至 E，连接 EF，则∠ E＋∠ F＝()A． 110°B．30°C．50°D．70°A HDE G图 2图 3B F C图 49．菱形拥有而矩形不拥有的性质是()A．对角相等B．四边相等C．对角线相互均分D．四角相等10．如图 3 所示，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O，点 E 是 BC 的中点．若 OE=3 cm，则 AB 的长为()A． 3 cm B． 6 cm C． 9 cm D． 12 cm11．已知：如图 4，在矩形 ABCD 中， E、 F、 G、H 分别为边AB 、 BC、CD 、 DA 的中点．若 AB＝ 2， AD ＝4，则图中暗影部分的面积为()A．8B．6C．4D．312．将两块能完整重合的两张等腰直角三角形纸片拼成以下图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形()D CA．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤13．如图 5 所示，是一块电脑主板的表示图，每一转角处都是直角，数据如图所示 (单位： mm)，则该主板的周长是( A． 88 mm B． 96 mm C． 80 mm)D． 84 mm图5图614、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形 ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若150o，则AEF =（）A．110°B．115°C ．120°D．130°15、四边形ABCD ，仅从以下条件中任取两个加以组合，使得边形，一共有多少种不一样的组合？（）AB ∥ CD BC∥AD AB=CD BC=ADABCD是平行四A.2 组B.3 组16、以下说法错误的选项是（C.4组）D.6 组A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C.对角线相互垂直的平行四边形是正方形D.四个角都相等的四边形是矩形..三、解答题17、如图 7，四边形 ABCD 是菱形，对角线AC＝ 8 cm ,BD＝6 cm, DH ⊥AB 于 H，求： DH 的长。
(完整版)平行四边形练习题及答案(DOC)
20.1平行四边形的判断一、选择题1 ．四边形A BCD，从（ 1）AB∥CD；（ 2）AB=CD；（ 3）BC∥AD；（ 4） BC=AD这四个条件中任选两个，此中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A ．3种B．4种C．5种D．6种2．四边形的四条边长分别是a， b， c，d，此中 a，b 为一组对边边长， c，d?为另一组对边边长且知足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（）A ．随意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形 D ．对角线垂直的四边形3．以下说法正确的选项是（）A．若一个四边形的一条对角线均分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形B．对角线相互均分的四边形必定是平行四边形C．一组对边相等的四边形是平行四边形D．有两个角相等的四边形是平行四边形二、填空题4 ．在□ ABCD中，点 E， F 分别是线段A D， BC上的两动点，点 E 从点 A 向 D 运动，点F从 C?向 B 运动，点 E 的速度边形．m与点F 的速度n 知足 _______关系时，四边形BFDE为平行四5．如图 1 所示，平行四边形ABCD中， E， F 分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增添一个条件_______，就能够推出BE=DF．图1图26 ．如图 2 所示， AO=OC，BD=16cm，则当 OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．三、解答题7．以下图，四边形 ABCD中，对角线 BD=4，一边长 AB=5，其他各边长用含有未知数 x 的代数式表示，且 AD⊥BD于点 D，BD⊥BC 于点 B．问：四边形 ABCD?是平行四边形吗？为什么？四、思虑题8．以下图，在□ABCD中， E，F 是对角线 AC上的两点，且 AF=CE，?则线段 DE?与 BF的长度相等吗？参照答案一、 1． B 点拨：可选择条件（1）（3）或（2）（ 4）或（ 1）（ 2）或（ 3）（4）．故有 4 种选法．2． B 点拨： a2+b 2+c2+d2=2ab+2cd 即（ a-b）2+（ c-d ）2=0，即（ a-b ）2=0 且（ c-d ）2=0．所以 a=b， c=d，即两组对边分别相等，所以四边形为平行四边形．3． B 点拨：娴熟掌握平行四边形的判断定理是解答这种题目的重点．二、 4．相等点拨：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确立．5 ．AE=CF 点拨：此题答案不唯一，只需增添的条件能使四边形EBFD?是平行四边形即可．6． 8 点拨：依据对角线相互均分的四边形为平行四边形来进行鉴别．三、 7．解：以下图，四边形ABCD是平行四边形．原因以下：在 Rt△BCD中，依据勾股定理，得BC2+BD 2=DC 2，即（ x-5 ）2+42=（ x-3 ）2，解得 x=8．所以 AD=11-8=3， BC=x-5=3， DC=x-3=8-3=5 ，所以 AD=BC， AB=DC．所以四边形ABCD是平行四边形．点拨：此题主要告诉的是线段的长度，故只需说明AD=BC， AB=DC即可，此题也可在Rt△ABD中求 x 的值．四、 8．解：线段DE与BF 的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF， BE，以下图．在ABCD中， DO=OB， AO=OC，又因为 AF=EC，所以 AF-AO=CE-OC，即 OF=OE，所以四边形 DEBF是平行四边形，所以DE=BF．点拨：此题若用三角形全等，也能够解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用．20.2矩形的判断一、选择题1．矩形拥有而一般平行四边形不拥有的性质是（）A．对角相等 B ．对边相等 C ．对角线相等 D ．对角线相互垂直2．以下表达中能判断四边形是矩形的个数是（）①对角线相互均分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线相互均分且相等的四边形．A ． 1B． 2C． 3D． 43．以下命题中，正确的选项是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．三个角是直角的多边形是矩形C．两条对角线相互垂直且相等的四边形是矩形 D ．有三个角是直角的四边形是矩形二、填空题4．如图 1 所示，矩形 ABCD中的两条对角线订交于点O，∠ AOD=120°， AB=4cm，则矩形的对角线的长为 _____．D E CF OA B图 1图 25．若四边形 ABCD的对角线 AC， BD相等，且相互均分于点 O，则四边形 ABCD?是_____ 形，若∠ AOB=60°，那么AB：AC=______．6．如图 2 所示，已知矩形ABCD周长为 24cm，对角线交于点O，OE⊥DC 于点 E，于点 F， OF-OE=2cm，则 AB=______， BC=______．三、解答题7．以下图，□ABCD的四个内角的均分线分别订交于E， F， G，H 两点，试说明四边形 EFGH是矩形．四、思虑题8．以下图，△ABC中， CE， CF分别均分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE⊥CE于 E，AF⊥CF 于F，直线EF分别交AB， AC于 M， N 两点，则四边形AECF是矩形吗？为何？参照答案一、 1． C点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．2 ．B点拨：③是矩形的判断定理；④中对角线相互均分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判断矩形，应选B．3． D 点拨：选项 D 是矩形的判断定理．二、 4． 8cm5．矩； 1： 2 点拨：利用对角线相互均分来判断此四边形是平行四边形，再依据对角线相等来判断此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且相互均分，?可知△ AOB 是等腰三角形，又因为∠ AOB=60°，所以AB=AO=1AC．26 ． 8cm； 4cm三、 7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠ DAB+∠CBA=180°，又因为∠ HAB= 1∠DAB，∠ HBA=1∠CBA．22所以∠ HAB+∠HBA=90°，所以∠ H=90°．所以四边形EFGH是矩形．点拨：因为“两直线平行，同旁内角的均分线相互垂直”，所以很简单求出四边形EFGH 的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．四、 8．解：四边形AECF是矩形．原因：因为CE均分∠ ACB， ?CF?均分∠ ACD， ?所以∠ ACE=1∠ACB，∠ ACF=1∠ACD．所以∠ ECF=1（∠ ACB+∠ACD）=90°．222又因为 AE⊥CE，AF⊥CF， ?所以∠ AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．点拨： ?此题是经过证四边形中三个角为直角得出结论．还能够经过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．20.3菱形的判断一、选择题1．以下四边形中不必定为菱形的是（）A ．对角线相等的平行四边形B．每条对角线均分一组对角的四边形C．对角线相互垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点 A， B， C，D 在同一平面内，从① AB∥CD；② AB=CD；③ AC⊥BD；④ AD=BC；5 个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A ．1种B．2种C．3种D．4种3 ．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和 4 3 cm B．4cm和83 cm C．8cm和83 cm D．4cm和43 cm二、填空题4．如图 1 所示，已知□ABCD，AC，BD订交于点O，?增添一个条件使平行四边形为菱形，增添的条件为 ________．（只写出切合要求的一个即可）图1图25．如图 2 所示， D， E，F 分别是△ ABC 的边 BC， CA，AB 上的点，且 DE∥AB，DF∥CA，要使四边形 AFDE是菱形，则要增添的条件是 ________．（只写出切合要求的一个即可）6 ．菱形 ABCD的周长为48cm，∠ BAD：∠ ABC=1：?2，?则 BD=?_____，?菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中， AB=4， AB 边上的高DE垂直均分边AB，则 BD=_____，AC=_____．三、解答题8．以下图，在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD=BC，四边形 ABCD是菱形吗？ ?说明理由．四、思虑题9．如图，矩形 ABCD的对角线订交于点 O，PD∥AC，PC∥BD， PD，PC订交于点 P，四边形 PCOD是菱形吗？试说明原因．参照答案一、 1． A点拨：此题用清除法作答．2． D 点拨：依据菱形的判断方法判断，注意不要漏解．3． C点拨：以下图，若∠ ABC=60°，则△ ABC为等边三角形，?所以 AC=AB=1×32=8（ cm）， AO=1AC=4cm．42因为 AC⊥BD，在 Rt△AOB中，由勾股定理，得OB=2222AB OA8 4 =43（cm ?），所以 BD=2OB=8 3 cm．二、 4． AB=BC 点拨：还可增添AC⊥BD 或∠ ABD=∠CBD等．5．点 D 在∠ BAC的均分线上（或 AE=AF）26． 12cm； 723 cm点拨：以下图，过 D 作 DE⊥AB 于 E，因为 AD∥BC， ?所以∠ BAD+∠ABC=180°．又因为∠ BAD：∠A BC=1：2，所以∠ BAD=60°，因为 AB=AD，所以△ ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以 AE=6cm．在 Rt△AED 中，由勾股定理，得 AE 2+ED 2=AD 2， 62+ED 2=12 2，所以 ED 2=108 ，所以 ED=6 3 cm，所以S菱形ABCD=12×63=72 3 （cm2）．7． 4；4 3点拨：以下图，因为DE垂直均分 AB，又因为 DA=AB，所以 DA=DB=4．所以△ ABD 是等边三角形，所以∠ BAD=60°，由已知可得AE=2．在 Rt△AED中，2222222?AE +DE=AD，即 2 +DE=4，所以 DE=12，所以 DE=2 3 ，因为1AC·BD=AB·DE，即1AC·4=4×2 3 ，所以AC=4 3 ．22三、 8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中， AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以Y ABCD是菱形．点拨：依据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义能够鉴别该四边形为菱形．四、 9．解：四边形PCOD是菱形．原因以下：因为 PD∥OC，PC∥OD， ?所以四边形P COD是平行四边形．又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．20.4正方形的判断一、选择题1．以下命题正确的选项是（）A．两条对角线相互均分且相等的四边形是菱形B．两条对角线相互均分且垂直的四边形是矩形C．两条对角线相互垂直，均分且相等的四边形是正方形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2．矩形四条内角均分线能围成一个（）A．平行四边形B．矩形C．菱形 D ．正方形二、填空题3．已知点 D， E，F 分别是△ ABC 的边 AB， BC， CA的中点，连结 DE， EF， ?要使四边形ADEF是正方形，还需要增添条件_______．4．如图 1 所示，直线L 过正方形ABCD的极点 B，点 A， C 到直线 L?的距离分别是 1 和2，则正方形ABCD的边长是 _______．图1图2图35．如图 2 所示，四边形 ABCD是正方形，点 E 在 BC的延伸线上， BE=BD且 AB=2cm，则∠E的度数是 ______， BE 的长度为 ____．6．如图 3 所示，正方形 ABCD的边长为 4，E 为 BC上一点， BE=1，F?为 AB?上一点， AF=2，P 为 AC上一动点，则当 PF+PE取最小值时， PF+PE=______．三、解答题7．以下图，在 Rt△ABC中， CF为∠ ACB的均分线， FD⊥AC 于 D，FE⊥BC于点 E，试说明四边形 CDFE是正方形．BEF四、思虑题8．已知以下图，在正方形 ABCD中， E，F 分别是（1） AF 与 DE相等吗？为何？（2） AF 与 DE能否垂直？说明你的原因．C D A AB，BC边上的点，且 AE=BF，?请问：参照答案一、 1． C点拨：对角线相互均分的四边形是平行四边形，?对角线相互垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形必定是正方形，应选 C．2． D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判断．二、 3．△ ABC是等腰直角三角形且∠ BAC=90°点拨：还可增添△ ABC 是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或∠ BAC=90°且四边形ADEF 是菱形等条件．4．5点拨：察看图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为 2212=5．5． 67. 5°； 2 2 cm点拨：因为BD是正方形ABCD的对角线，所以∠ DBC=45°， AD=?AB=2cm．在 Rt△BAD中，由勾股定理得 AD 2+AB 2=BD 2，即 22+22=BD 2，所以 BD=2 2 cm，所以 BE=BD=2 2（ cm），又因为BE=BD，所以∠ E=∠EDB= 1（180°- 45°）=67. 5°．26．17点拨：以下图，作 F 对于AC的对称点G．连结EG交AC于P，则 PF+?PE=PG+PE=GE为最短．过 E 作 EH⊥AD．在 Rt△GHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以 GE= 4212 = 17，?即 PF+PE= 17．三、 7．解：因为∠ FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE是矩形，因为 CF?均分∠ ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形．点拨：此题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，?还能够先说明其为菱形，再求其一个内角为90°．四、 8．解：（ 1）相等．原因：在△ ADE 与△ BAF 中， AD=AB，∠ DAE=∠ABF=90°， AE=BF，所以△ ADE≌△ BAF（ S． A． S．），所以 DE=AF．（ 2） AF 与 DE垂直．原因：如图，设DE与 AF 订交于点O．因为△ ADE≌△ BAF， ?所以∠ AED=∠BFA．又因为∠ BFA+∠EAF=90°，所以∠ AEO+∠EAO=90°，所以∠ EOA=90°，所以DE⊥AF．20.5等腰梯形的判断1 A C 一、选择题．以下结论中，正确的选项是（．等腰梯形的两个底角相等．一组对边平行的四边形是梯形）BD．两个底角相等的梯形是等腰梯形．两条腰相等的梯形是等腰梯形2．以下图，等腰梯形ABCD的对角线 AC，BD订交于点O，则图中全等三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对3．课外活动课上， ?老师让同学们制作了一个对角线相互垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和起码为（）A． 30 2 cm B．30cm C．60cm D．60 2 cm二、填空题4．等腰梯形上底，下底和腰分别为 4，?10，?5，?则梯形的高为 _____，?对角线为 ______．5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为 12cm，一个底角为 60°，则它的腰长为____cm，周长为 ______cm．6．在四边形 ABCD中， AD∥BC，但 AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要增添的条件是__________ （填一个正确的条件即可）．三、解答题7．以下图，AD是∠ BAC的均分线， DE∥AB， DE=AC，AD≠EC．求证： ?四边形 ADCE是等腰梯形．四、思虑题8．以下图，四边形ABCD中，有 AB=DC，∠ B=∠C，且AD<BC，四边形 ABCD是等腰梯形吗？为何？参照答案一、 1． D点拨：梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，?所以在等腰梯形的性质和鉴别方法中一定重申同一底上的两个内角（?指上底上的两个内角或下底上的两个内角），不然就会出现错误，所以A， B 选项都不正确，而 C 选项中遗漏了限制条件此外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，所以应选D．2． B点拨：因为△ ABC≌△ DCB，△ BAD≌△ CDA，△ AOB≌△ DOC，所以共有 3 对全等的三角形．3． C点拨：设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线相互垂直，?所以梯形面积为122L =450，解得 L=30，所以所用竹条长度之和起码为2L=2× 30=60（cm）．二、 4． 4：65点拨：以下图，连结BD，过 A，D 分别作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E， F．易知△ BAE≌△ CDF，在四边形 AEFD为矩形，所以BE=CF=3， AD=EF=4．在 Rt△CDF 中， FC2+DF 2=CD 2，即 32+DF 2=52，所以 DF=4 ，在 Rt △BFD 中， BF2+DF 2=BD 2，即 72+42=BD 2，所以 BD=65 ．5． 7；31点拨：以下图，过点D作 DE∥AB 交 BC于 E．因为ABED是平行四边形．所以 BE=AD=5（cm）， AB=DE．又因为 AB=CD，所以 DE=?DC，又因为∠ C=60°，所以△ DEC 是等边三角形，所以 DE=DC=EC=7（ cm），所以周长为5+?12+7+7=31（cm）．6． AB=CD（或∠ A=∠D，或∠ B=∠C，或 AC=BD，或∠ A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°）三、 7．证明：因为 AB∥ED，所以∠ BAD=∠ADE．又因为 AD是∠ BAC的均分线，所以∠ BAD=∠CAD，所以∠ CAD=∠ADE，所以 OA=OD．又因为AC=DE，所以 AC-OA=DE-OD即 OC=OE， ?所以∠ OCE=∠OEC，又因为∠ AOD=∠COE，所以∠ CAD=∠OCE．所以AD∥CE，而 AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．又因为∠ CAD=∠ADE， AD=DA， AC=DE，所以△ DAC≌△ ADE，所以DC=?AE，所以四边形ADCE是等腰梯形．点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形尔后再证两腰相等或同一底上的两个角相等．四、 8．解：四边形ABCD是等腰梯形．原因：延伸BA， CD，订交于点 E，以下图，由∠ B=∠C，可得EB=EC．又 AB=DC，所以 EB-AB=EC-DC，即 AE=DE，所以∠ EAD=∠EDA．因为∠ E+∠EAD+∠EDA=180°，∠ E+∠B+∠C=180°，所以∠ EAD=∠B．故 AD∥BC． ?又 AD<BC，所以四边形 ABCD是梯形．又 AB=DC，所以四边形 ABCD是等腰梯形．点拨：由题意可知，只需推出AD∥BC，再由AD<BC便可知四边形ABCD为梯形，再由AB=DC，即可求得此四边形是等腰梯形，由∠ B=∠C联想到延伸 BA，CD，即可获得等腰三角形，从而使 AD∥BC．华东师大版数学八年级（下）第 20 章平行四边形的判断测试（答卷时间： 90 分钟，全卷满分： 100 分）姓名得分 ____________一、认认真真选，沉稳应战！（每题 3 分，共 30 分）1. 正方形拥有菱形不必定拥有的性质是()（A ）对角线相互垂直（B）对角线相互均分（C）对角线相等（D）对角线均分一组对角2.如图 (1)，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB 、CD 于 E、 F，那么暗影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（）（A ）A 111（ D ）3A5（B ）（ C）1043D E FFEB C D HB C(1)(2)(3)3．在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ，那么 A : B : C : D 能够等于（）（ A）4：5：6：3（B）6：5：4：3（C）6：4：5：3（D）3：4：5：64．如图 (2) ，平行四边形ABCD 中，DE ⊥ AB 于 E，DF⊥ BC 于 F，若Y ABCD的周长为48，DE ＝ 5， DF＝ 10，则Y ABCD的面积等于 ()（ A）87.5（B）80（C）75（D）72.55． A 、 B、 C、 D 在同一平面内，从① AB∥CD;② AB=CD;③ BC∥AD;④ BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）（ A）3种（B）4种（C）5种（D）6种6．如图 (3) ，D、E、F分别是VABC各边的中点，AH 是高，假如 ED5cm ，那么 HF的长为（）（ A ） 5cm（B）6cm（C）4cm（D）不可以确立7.如图（ 4）：E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE ＝ BC， P 为 CE 上随意一点， PQ⊥BC 于点 Q， PR⊥ BE 于点 R，则 PQ＋PR 的值是（）2132（ A ）2（B）2（C）2（D）38．如图（ 5），在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB CD ， C 60 ，BD均分ABC ，假如这个梯形的周长为30，则AB的长（）（ A）4（ B）5（C）6（ D）7A DA DERPB C（ 5）B（4）Q C9．右图是一个利用四边形的不稳固性制作的菱形晾衣架．A B C 已知此中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉 A 、 B 之间的距离为20 3 cm，则∠1等于()1）（ A）90°（Ｂ） 60°（Ｃ） 45°（Ｄ） 30°10．某校数学课外活动研究小组，在老师的指引下进一步研究了完整平方公式．联合实数的性质发现以下规律：对于随意正数a、 b，都有 a+b ≥ 2ab 建立．某同学在做一个面积为3600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备xcm．则 x 的值是（）(A) 1202(B) 602(C) 120(D) 60二、仔认真细填，记录自信！( 每题 2 分，共20 分)11．一个四边形四条边按序是a、b、c、d，且a2 b 2 c 2 d 22ac 2bd，则这个四边形是 _______________ ．12．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB CD ；（2） AB∥CD ；（3）OA OC；（4）OB OD ；（5） AC ⊥ BD ；（6） AC 均分 BAD 这六个条件中，选用三个推出四边形ABCD是菱形．如（ 1）（ 2）（ 5）ABCD 是菱形，再写出切合要求的两个：ABCD 是菱形；ABCD 是菱形．13. 如图，已知直线l 把 Y ABCD 分红两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在地点需知足的条件是____________________. （只需填上一个你以为适合的条件）lA DB C(第 13 题)(第 16 题)14.梯形的上底长为 6cm ，过上底的一极点引一腰的平行线，与下底订交，所构成的三角形周长为 21cm ，那么梯形的周长为_________ cm。
初二平行四边形练习题含答案
初二平行四边形练习题含答案本篇文章将为初二学生提供一些关于平行四边形的练习题，并附带答案，帮助学生巩固对平行四边形的理解和应用。
以下是一些练习题，希望对同学们有所帮助。
练习题一：已知平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点。
若AE的长度为8cm，求线段EF的长度。
解答：由平行四边形的性质可知，连结AC和BD两线段的中点为G，那么EG = GF。
由于AE的长度为8cm，AB和CD平行，所以AC的长度为16cm。
根据三角形EGC和GFC的相似性，可得EF与GF之比等于AC与CG之比，即EF/GF = AC/CG。
由于AC的长度为16cm，而CG的长度为8cm（CG为AC的中点），所以EF/GF = 16/8，即EF/GF = 2。
因此，EF的长度为GF的2倍，即EF = 2 * GF。
由于EG= GF，所以EF = 2 * EG。
代入已知条件，得到EF = 2 * 8 = 16。
因此，线段EF的长度为16cm。
练习题二：在平行四边形EFGH中，已知EF的长度为10cm，FG的长度为8cm，角EFG的度数为120°，求线段GH的长度。
解答：由平行四边形的性质可知，EF与GH的长度相同，FG与EH 的长度相同，且角EFG与角HGE互补（即两个角的度数之和为180°）。
已知EF的长度为10cm，FG的长度为8cm，所以GH的长度也为8cm。
又已知角EFG的度数为120°，根据平行四边形内角和定理，可得角HGE的度数为180° - 120° = 60°。
因此，线段GH的长度为8cm。
练习题三：已知平行四边形IJKL中，IJ的长度为12cm，KL的长度为20cm，角KJL的度数为110°，求角KIL的度数。
解答：由平行四边形的性质可知，角IJK与角KJL互补（即两个角的度数之和为180°），角IJK与角KIL互补。
已知角KJL的度数为110°，所以角IJK的度数为180° - 110° = 70°。
八年级数学下册平行四边形的性质练习题
八年级数学下册平行四边形的性质练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，则平行四边形ABCD 的周长等于 _____．2．如图，等腰△ABC 中，△BAC =120°，点D 在边BC 上，等腰△ADE 绕点A 顺时针旋转30°后，点D 落在边AB 上，点E 落在边AC 上，若AE =2cm ，则四边形ABDE 的面积是__________．3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．4．如图，已知DG △BC ，AC △BC ，CD △AB ，EF △AB ，则DG 与AC 间的距离是线段________的长，CD 与EF 间的距离是线段________的长．5．如图，平行四边形的中心在原点，AD BC ∥，D （3，2），C （1，﹣2），则A 点的坐标为________，B 点的坐标为________．6．如图，在平面直角坐标系中，点()1,2A -，4OC =，将平行四边形OABC 绕点O 旋转90°后，点B 的对应点B '坐标是______．7．如图，菱形ABCD 中，∠ABD=30°，AC=4，则BD的长为_______．8．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A（0，3），B（−1，0），若直线y＝−2x＋4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是______．二、单选题9．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（）.A．1cm2B．2cm2C．0.5cm2D．1.5cm210．已知三角形的三边长分别为2、x、8，则x的值可能是（）A．4B．6C．9D．1011．已知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知某点阵的第△△△个图如图所示，按此规律第（ ）个点阵图中，点的个数为2022个．A ．1009B ．2018C ．2022D ．2048三、解答题13．如图，PBD △和PAC △都是直角三角形，90DBP CAP ∠=∠=︒．(1)如图1，PA ，PB 与直线MN 重合，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，求DPC ∠的度数；(2)如图2，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，PBD △保持不动，PAC △绕点P 逆时针旋转一周．在旋转过程中，当PC BD ∥时，求APN ∠的度数；(3)如图3，()90180BPA a α∠=︒<<︒，点E 、F 分别是线段BD 、AC 上一动点，当PEF 周长最小时，直接写出EPF ∠的度数（用含α的代数式表示）．14．在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：△GE GD =；△BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论△的证明．15．如图，已知,AF DE AE FD ==，点B 、C 在AD 上，AB CD =，BF CE =．（1）图中共有__________对全等三角形；分别是__________；（2）我会说明__________≌△__________．（写出证明过程）参考答案：1．14【分析】由平行四边形的对边相等即可求得其周长．【详解】解：△四边形ABCD是平行四边形，△AB＝CD，BC＝AD，△平行四边形的周长为＝2（AB+BC）＝2×（3+4）＝14，故答案为：14．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等是解答的关键．22．【分析】如图，作AH△BC于H．证明四边形ABDE是平行四边形即可解决问题．【详解】解：如图，作AH△BC于H．由题意得：△EAD=△BAC=120°，△EAC=△C=30°，△AE△BC，△△ADH=△B+△BAD，△B=△BAD=30°，△△ADH=60°，BD=AD=AE=2cm，△AHcm），△BD=AE，BD△AE，△四边形ABDE是平行四边形，△SABCD=BD•AH cm2）.2．故答案为【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．3．6【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：△△ABC 是等腰三角形，底边BC =3△AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．4． CG DE【分析】根据平行线间的距离等于平行线间任意一条垂线段的长度即可解题.【详解】解：由题可知：DG△AC,CD△EF,△DG 与AC 间的距离是线段CG ，CD 与EF 间的距离是线段DE.【点睛】本题考查了平行线之间的距离,属于简单题,找到平行线之间的垂线段是解题关键.5． （﹣1，2） （﹣3，﹣2）【分析】根据“关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数”即可解答．【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，而平行四边形的中心在原点，则A 点的坐标为（﹣1，2），B 点的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣1，2），（﹣3，﹣2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数是解题的关键．6．()2,3-或()2,3-【分析】根据旋转可得： BM = B 1M 1 = B 2M 2 = 3，△AOA 1 =△AOA 2 = 90°，可得B 1和B 2的坐标，即是B '的坐标．【详解】解：△A (-1，2)， OC = 4，△ C (4，0)，B (3，2)，M (0，2)， BM = 3，AB//x轴，BM= 3．将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，由旋转得：OM=OM1=OM2=2，△AOA1=△AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3，A1B1△x轴，A2B2△x轴，△B1和B2的坐标分别为：(-2，3)，(2，-3)，△B'即是图中的B1和B2，坐标就是，B' (-2，3)，(2，-3)，故答案为：(-2，3)或(2，-3)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．【分析】根据菱形的性质可得△ABO=30°，AO=12AC=2，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得BO的长，从而得到结果．【详解】如图：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点，△ABD=30°，AC=4，△AC△BD，AO=12AC=2，△AB=2AO=4，△BO，22BD BO∴==⨯=故答案为：【点睛】本题考查的是菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，对角线平分对角．8．（72，3）【分析】连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．【详解】解：连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．△B（−1，0），△T（12m-，32），△直线y＝−2x＋4平分平行四边形ABCD的面积，△直线y＝−2x＋4经过点T，△32＝−2×12m-＋4，△m＝72，△D（72，3），故答案为：（72，3）．【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，一次函数的性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．A【分析】根据三角形中线的性质可得S△EBC=12S△ABC，1124BEF BEC ABCS S S==，结合已知条件即可求解．【详解】解：△点D ，E 分别为边BC ， AD 中点， 111,,222ABD ABC BED ABD CED ABD SS S S S S ∴===， 12BED DEC BEC ABC S S S S ∴+==，△F 是EC 的中点， 12BEF BEC S S =， 14BEF ABCS S ∴=， △ABC 的面积等于4cm 2，△S △BEF =1cm 2，即阴影部分的面积为1cm 2,故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．10．C【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．【详解】解：三角形三边长分别为2，8，x ，8282x ∴-<<+，即：610x <<，只有9符合，故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是正确把握三角形三边关系定理．11．C【详解】分析：由已知条件可知，顺次连接A 、B 、C 三点可得△ABC ，在分别以AB 、BC 和AC 为对角线各作出一个以点A 、B 、C 为顶点的平行四边形，如下图，由此即可得到本题答案了.详解：△点A 、B 、C 不在同一条直线上时，△顺次连接A 、B 、C 三点可得△ABC ，△分别以AB 、BC 和AC 为对角线各作出一个以点A 、B 、C 为顶点的平行四边形，如下图所示：△当A 、B 、C 三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有3个.故选C.点睛：知道以三角形的每一条边为一条对角线都可以画出一个以该三角形的三个顶点为顶点的平行四边形，是解答本题的关键.12．A【分析】仔细观察图形变化，找到图形变化的规律，利用规律求解．【详解】解：第1个图里有6个点，6=4+2；第2个图有8个点，8=4+2×2；第3个有10个点，10=4+3×2；…则第n 个图中点的个数为4+2n ，令4+2n =2022， 解得n =1009．故选：A ．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据图形得出每往后一个图形，点的个数相应增加2个．13．(1)75DPC ∠=︒(2)30APN ∠=︒或150︒(3)2180α-︒【分析】（1）先算出9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，然后根据平角的定义，求出75DPC ∠=︒即可；（2）分点C 在MN 上方和点C 在MN 下方两种情况进行讨论，根据平行线的性质，求出结果即可；（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，根据三角形外角的性质和垂直平分线的性质，求出EPF ∠的度数即可．（1）解：△90DBP CAP ∠=∠=︒，45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，△9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，△PA ，PB 与直线MN 重合，△18075DPC DPB CPA ∠=︒-∠-∠=︒．（2）当点C 在MN 上方时，如图所示：PC BD ∥，45BDP ∠=︒，△45CDP BDP ∠=∠=︒，△45DPB ∠=︒，60CPA ∠=︒，△18030APN BPD CPD CPA ∠=︒-∠-∠-∠=︒；当点C 在MN 下方时，如图所示：△PC BD ∥，90DBP ∠=︒，△90BPC DBP ∠=∠=︒，18090CPN BPC ∴∠=︒-∠=︒，△6090150APN APC CPN ∠=∠+∠=︒+︒=︒；综上分析可知，30APN ∠=︒或150︒．（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，如图所示：△90DBP CAP ∠=∠=︒，△DB GP ⊥，CA PH ⊥，△DB 垂直平分PG ，CA 垂直平分PH ，△EG =EP ，FP =FH ，△EGP EPG ∠=∠，PHF HPF ∠=∠，△△MPG 是△PGH 的外角，△MPG EGP PHF EPG FPH ∠=∠+∠=∠+∠，180MPG α∠=︒-，△180EPG FPH MPG α∠+∠=∠=︒-，△()EPF APB EPG FPH ∠=∠-∠+∠()180αα=-︒-2180α=-︒【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据题意作出图形，并进行分类讨论，是解题的关键．14．(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）△证明ADG AEG ≌△即可；△连接BG ，CG ，证明ADG BCG ≌△，BOE GOC ∽△△即可证明；（2）△的结论和（1）中证明一样，证明ADG AEG ≌△即可；△的结论，作DM BC GM ⊥，连接，证明BOE GOM ∽△△即可．（1）证明：△证明过程：四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒AF 平分BAD ∠45BAF DAF ∴∠=∠=︒ABF ∴为等腰直角三角形AB BF ∴=BE FC =AB BE BF CF AE BC AD ∴+=+==，即AG AG =∴ADG AEG ≌△∴GE GD =△证明：连接BG ，CG ，G 为AF 的中点，四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD AD BC ∴∠=∠=︒=，BG AG FG ∴==AF 平分BAD ABF ∠，为等腰直角三角形，45BAF DAF ABG CBG ∴∠=∠=︒=∠=∠∴ADG BCG ≌△∴ADG BCG ∠=∠ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠E BCG ∴∠=∠BOE GOC ∠=∠BOE GOC ∴∽△△BO GO GO BOBE GC GD CF ∴===∴BO GD GO FC ⋅=⋅（2）作DM BC BC M GM GN DM DM N ⊥⊥交于，连接，作交于点，如图所示90DMB GNM GND DMC ∴∠=︒=∠=∠=∠由（1）同理可证：ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠四边形ABCD 为平行四边形AD BC ∴∥90ADM DMC ∴∠=∠=︒BC GN AD ∴∥∥G 为AF 的中点，由平行线分线段成比例可得DN MN =DG MG ∴=，,GDM GMDADG BMG EBOE GOM ∠=∠BOE GOM ∴∽△△BO GO GO BO BE GM GD CF∴=== ∴BO GD GO FC ⋅=⋅【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键．15．（1）3对；,,AED DFA AEC DFB AFB DEC ≌≌≌；（2）AED DFA ≌，证明见解析．【分析】根据已知条件，结合三角形全等的判定定理，推理即可得到正确答案．【详解】解：（1）3对；,,AED DFA AEC DFB AFB DEC ≌≌≌；（2）我会说明AED DFA ≌．证明：在AED 和DFA 中，△,,,DE AF DA AD AE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()AED DFA SSS ≌．【点睛】本题考查三角形全等的判定定理，根据定理内容找到全等条件是解题关键．。
八年级数学《平行四边形》测试题及参考答
GBA D CEF 第18章 《平行四边形》测试题及答案姓名： 班级： 分数：一、选择题:(每小题3分,共30分) 1.下列说法中正确的是( )A.有两组对边分别平行的图形是平行四边形;B.平行四边形的对角线相等C.平行四边形的对角互补,邻角相等;D.平行四边形的对边平行且相等 2.平行四边形的四个内角平分线若能相交成一个四边形,则这个四边形( ) A.一定是正方形 B.一定是矩形; C.一定是菱形 D.一定是梯形 3.用两个全等的不等边三角形拼成平行四边形,则所得的不同的平行四边形有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.在四边形ABCD 中,AD ∥BC,若ABCD 是平行四边形,则还应满足( )A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°;C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180° 5.能判断平行四边形是菱形的条件是( )A.一个角是直角B.对角线相等;C.一组邻角相等D.对角线互相垂直6.平行四边形的两条对角线将它分成四个小三角形, 则这四个小三角形的面积是( ) A.都不相等 B.不都相等; C.都相等 D.以上结论都不对7.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A.对角线相等 B.对角线平分一组对角 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直8.一条直线把正方形的周长两等分,则这样的直线有( ) A.2条 B.4条 C.8条 D.无数条9.下列图形中是对称图形而不是中心对称图形的是( ) A.梯形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D. 正方形10.在ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,则能通过旋转达到重合的三角形有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 二、填空题:(每小题3分,共18分)11.平行四边形的一组对角的和为300°,则其相邻有两个内角分别为_______.12.一个平行四边形的周长是20cm,一条对角线把它分成的两个三角形的周长都是18cm,则这条对角线的长为______cm.13.已知平行四边形的面积是144cm 2,相邻两边上的高分别为8cm 和9cm, 则这个平行四边形的周长为________.14.矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线与短边的和是15cm, 则短边的长为________cm,对角线的长为________cm.15. 菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm, 此菱形的边长为_____cm, 周长为_____cm,面积为_______cm 2. 16.如图所示,正方形ABCD 的周长是20cm,则矩形EFGH 的周长为____cm.三、解答题:(共52分) 17.如图所示,已知在平行四边形ABCD 中,AE 平分∠BAD,交DC于E,AD=5cm,AB= 8cm,求EC 的长.(6分)231BADCE18.如图所示,矩形ABCD 的两条对角线相交于O 点,∠AOD=120°,AB=4cm,求矩形对角线的长.(6分)O BADC19.如图所示,正方形ABCD 内有一点E,且AE=BE=AB,试求∠EDC 和∠ECB 的度数.(6分) 20.如图所示,把边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形, 请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形(全部用上,互不重叠且不留空隙),并把你的拼法画出来.(12分) (1)不是正方形的菱形(一个);(2)不是正方形的矩形(一个); (3)梯形(一个); (4)不是矩形和菱形的平行四边形(一个); (5)不是梯形和平行四边形的凸四边形(一个);(6)与以上画出的图形不全等的其他凸四边形(画出的图形互不全等, 能画几个画几个).654231BADCE21.如图所示,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,且DE ∥AC,DF ∥AB,试说明四边形AEDF 为菱形(7分).231B AD CEF22.如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B+∠C=90°,M,N 分别是AD,BC 的中点, 试说明等式MN=12(BC-AD)成立.(7分) NBA M D C23.如图甲(1)所示,在矩形ABCD 中,对角线AC 交BD 于O,有等式AO=12AC=12BD 成立,即以如图8(2)所示的直角三角形,AO 为斜边BD 的中线,所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,这个结论应用很广泛,你能应用这个结论解决下题吗?如图乙所示,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,对角线AC ⊥BD 于O,AD=3cm,BC=7cm,试求此梯形的面积.(8分)O(1)BADCO(2)BADOB A DC(甲) (乙)答案:一、1.D 2.B 3.D 4.D 5.D 6.C 7.C 8.D 9C 10.C二、11.150°和30° 12.8 13.68cm 14.5 10 15.5 20 24 16.10 三、17.解:在ABCD 中, AD=BC=5cm,AB=CD=8cm,且因为AE 平分∠DAB,即∠1= ∠3, 又∵AB ∥CD, ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠2. ∴AD=DE,∴DE=5cm,EC=CD-DE=8-5=3cm.18.解:由于矩形对角线相等且互相平分,所以AC=BD,AO=CO=12AC,OB=OD=12BD, 所以AO=BO,又因为∠AOD=120°,所以∠AOB=60°.根据有一个角为60 °的等腰三角形是等边三角形,所以△AOB是等边三角形,即AO=BO=AB=4cm,所以AC=BD=2×4=8cm.19.解:因为四边形ABCD是正方形,且AD=AB=BC=CD,∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°,又∵AE=AB=BE,∴ABE是等边三角形,∴∠1=∠2=∠AEB=60°,∴∠5=90°-∠1=90°-60°=30°.且△AED与△BEC可以通过旋转互得,∴∠4=∠3.且AE=AD,∴∠3=∠4=12(180°-∠5)=12(180°-30°)=75°,∴∠EDC=90°-∠4=90°-75°=15°, ∴∠EDC= 15°,∠ECB=75°.20.(1)如图所示,21(2)如图所示,21(3)如图所示,2121(4)如图所示,121(5)如图所示,12(6)如图所示,1221.解:如图所示,因为AB ∥DF,AC ∥ED,所以四边形AEDF 为平行四边形.又因为AB ∥DF, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3. ∴AF=DF,∴ AEDF 为菱形.22.解:如图所示,过点M 作ME ∥AB 交BC 于E,作MF ∥CD 交BC 于F,得ABEM 和MDCF,∴EF=BC-(BE+CF)=BC-(AM+DM)=BC-AD.又∵∠B+∠C=90°,即∠1+∠2=90°, ∴△EMF 为直角三角形,且N 为斜边EF 的中点,∴MN=12EF. ∴MN=12(BC-AD).21NBAMDCEF23.解:如图所示,过点D 作DH ∥AC,交BC 的延长线于H,得ACHD,且四边形ABCD 是等腰梯形,AC=BD=DH,且∠BDH=90°, ∴△BDH 为等腰直角三角形. ∴BH=BC+CH=BC+AD.∴BH=7+3=10.作梯形的高DG,则DG 为直角三角形斜边上的中线,∴DG=12BH=12×10=5.∴S梯=S△BDH=12BH×DG=12×10×5=25.∴梯形的面积为25cm2.。
八年级初二数学平行四边形练习题附解析
八年级初二数学平行四边形练习题附解析一、解答题1．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．2．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．3．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图24．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF＝ （直接填结果）．5．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：2DE AF =．6．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．7．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为 ；（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.）（3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长.8．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.9．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE=3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE=8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.10．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D→→→路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）112；（2）112或4；（3）四边形PBQD不能成为菱形【分析】（1）由∠B=90°，AP ∥BQ ，由矩形的判定可知当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形；（2）由（1）可求得点P 、Q 与点A 、B 为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ时，CDPQ 是平行四边形，求得t 的值；（3）由PD ∥BQ ，当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形，先由PD=BQ 求出运动时间t 的值，再代入求BP ，发现BP≠PD ，判断此时四边形PBQD 不能成为菱形；设Q 点的速度改变为vcm/s 时，四边形PBQD 在时刻t 为菱形，根据PD=BQ=BP 列出关于v 、t 的方程组，解方程组即可求出点Q 的速度．【详解】（1）如图1，∵∠B=90°，AP ∥BQ ，∴当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，此时有t=22﹣3t ，解得t=112． ∴当t=112时，四边形ABQP 成为矩形； 故答案为112； （2）如图1，当t=112时，四边形ABQP 成为矩形， 如图2，当PD=CQ 时，四边形CDPQ 是平行四边形，则16﹣t=3t ，解得：t=4， ∴当t=112或4时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形； 故答案为112或4； （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD=BQ ，得16﹣t=22﹣3t ，解得：t=3，当t=3时，PD=BQ=13，，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为vcm/s 时，能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形，由题意，得162216t vtt -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩62t v =⎧⎨=⎩． 故点Q 的速度为2cm/s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．2．（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBF ∠=∠在ABD ∆和FBC ∆中，AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；图1 图2（2）ABD FBC ∆≅∆，BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==，180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠ 180()BFC BNF =︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒AD CF ∴⊥-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形11112222AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．3．（1）见解析（2）见解析（3）15【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌△ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠QBA ＝∠QBC在△QBA 和△QBC 中BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBA ≌ △QBC （SAS ）∴∠QAB ＝∠QCB又∵CQ ＝MQ∴∠QCB ＝∠QMC∴∠QAB ＝∠QMC （2）∵∠QAB ＝∠QMC又∵∠QMC ＋∠QMB ＝180°∴∠QAB ＋∠QMB ＝180°在四边形QABM 中∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°∴∠ABM ＋∠AQM ＝180°而∠ABM ＝90°∴∠AQM ＝90°（3）设正方形ABCD 的边长为a ，则2MC a =-，3ND a =-延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2易证△ADH ≌ △ABM∴∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形∴∠QAM ＝45°∴∠DAN ＋∠BAM ＝45°∴∠DAN ＋∠DAH ＝45°即∠NAH ＝45°∴∠NAM ＝∠NAH∴△NAM ≌ △NAH （SAS ）∴NM ＝NH ＝()321a a -+=-在Rt △MNC 中，222MN MC NC =+∴()()222123a a -=-+∴6a = ∴11651522AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=【点睛】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键．4．（1）见解析；（2）FG=EP ，理由见解析；（32【分析】（1）证△ODE ≌△OFB （ASA ），即可得出OE=OF ；（2）连AC ，由（1）可知OE=OF ，OB=OD ，证△AOE ≌△COF （SAS ），得AE=CF ，由折叠性质得AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，则∠D=∠B 1，证△A 1PE ≌△CGF （AAS ），即可得出FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，证四边形ABCD 是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=43CF=3，由等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=3HF=423-，OH=12OB=2，由勾股定理得OF=2622，进而得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，∵AE=CF ，∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，在△ODE 和△OFB 中， ODE OBF DE BFOED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），∴OE=OF ；（2）FG=EP ，理由如下：连AC ，如图②所示：由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ， 在△AOE 和△COF 中，OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE=CF ，由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1， ∴∠D=∠B 1，∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，∴∠DPH=∠B 1GH ，∵∠B 1GH=∠CGF ，∴∠A 1PE=∠CGF ，在△A 1PE 和△CGF 中，111A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），∴FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：∵△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵AB=OB=BF=4，∴AC=BD=2OB=8，由勾股定理得：BC=2222=84AC AB --=43，∴CF=43-4， ∵OB=OC ，OH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=23， ∴HF=4-23，OH=12OB=2， 在Rt △OHF 中，由勾股定理得：OF=22OH HF +=()222423+-=2622-，∴434226222CF OF -===-， 故答案为：2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒-αα︒-， 在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒-,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒-∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠；②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CDEF 为平行四边形．（2）根据60BAC ∠=︒，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形．【详解】解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠, ∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠，∴EAB DAC ∠=∠；②证明：如下图，连接EB,在△EAB 和△DAC 中∵AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△DAC （SAS ）∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=,∵AB AC =，∴ABC ACD ∠=∠,∴ABE ABC ∠=∠，∵//EF DC ，∴EFB ABC ∠=∠,∴ABE EFB ∠=∠,∴EB EF =,∴DC EF =∴四边形CDEF 为平行四边形；（2）成立；理由如下：理由如下：∵60BAC ∠=︒，∴=60EAD BAC ∠=∠︒，∵AE=AD ，AB=AC ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,∵ED ∥FC ，∴∠EDB=∠FCB ，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF ，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ，∴∠AFC=∠BDA ，在△ABD 和△CAF 中，60BDA AFC B BAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAF （AAS ），∴AD=FC ，∵AD=ED ，∴ED=CF ，又∵ED ∥CF ，∴四边形EDCF 是平行四边形．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．7．（1）35；（2）41；（3）53101或【分析】（1）利用勾股定理即可求出.（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，证出ECD FEH ∆∆≌，进而求得MF ，BM 的长，再利用勾股定理，即可求得.（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.【详解】（1）由勾股定理得：22223635BF AB AF =+=+=（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，如图2所示：则FM=AH ，AM=FH∵四边形CEFG 是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，又∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH 又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ECD FEH ∆∆≌ ∴FH=ED EH=CD=3∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5在Rt △BFM 中，BF=22225441BM MF +=+=（3）分两种情况：①当点E 在边AD 的左侧时，过点F 作FM ⊥BC 交BC 的反向延长线于点M ，交DE 于点N.如图3所示：∆≅∆同（2）得：ENF DEC∴EN=CD=3，FN=ED=7∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10∆中在Rt FMB由勾股定理得：2222=+=+=FB FM MB101101②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN⊥AD交AD的延长线于点N，交BC延长线于M，如图4所示：∆≅∆同理得：CDE EFN∴NF=DE=1，EN=CD=3∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4∴BM=CB+CM=3+4=7∆中在Rt FMB由勾股定理得：2222FB FM MB=+=+=2753或故BF53101【点睛】本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.8．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CN=25.【解析】【分析】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，先证明CQ=CE，再证明△FQD≌△FEA，根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ，再根据等腰三角形的性质即可得CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，证明四边形DFHP是矩形，继而证明△HPC≌△FMK，根据全等三角形的性质即可得CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，先证明得到FG=CG=GE，∠CGT=2α，再由FG是BC的中垂线，可得BG = CG，∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，再证明HN∥BG，得到四边形HGBN是平行四边形，继而证明△HNC≌△KGF，推导可得出HT=CT=TN ，由FH-HG=1，所以设GH=m，则BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，继而根据22222=-=-，可得关于m的方程，解方程求得m的值即可求得答案. BC CN BN CE BE【详解】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，∵矩形ABCD，AB∥CD，∴∠AEF=∠CQE，∠A=∠QDF，又∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF=∠CEF，∴∠CEF=∠CQE，∴CQ=CE，∵点F是AD中点，∴AF=DF，∴△FQD≌△FEA，∴EF=FQ，又∵CE=CQ，∴CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，∵CQ=CE ，CF⊥EF，∴∠DCF=∠FCE，又∵FD⊥CD，∴FM=DF，∵FG//AB，∴∠DFH=∠DAC=90°，∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°，∴四边形DFHP 是矩形，∴DF=HP ，∴FM= DF=HP ，∵∠CHG=∠BCE ，AD ∥BC ，FG ∥CD ，∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH ，又∵∠FMK=∠HPC=90°，∴△HPC ≌△FMK ，∴CH=FK ；(3)连接CN ，延长HG 交CN 于点T ，设∠DCF=α，则∠GC F=α，∵FG ∥CD ，∴∠DCF=∠CFG ，∴∠FCG=∠CFG ，∴FG=CG ，∵CF ⊥EF ，∴∠FEG+∠FCG=90°，∠CFG+∠GFE=90°，∴∠GFE=∠FEG ，∴GF=FE ，∴FG=CG=GE ，∠CGT=2α，∵FG 是BC 的中垂线，∴BG = CG ， ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，∵∠CHG=∠BCE=90°-2α，∠CHN=90°，∴∠GHN=∠FGK=∠BGT=2α，∴HN ∥BG ，∴四边形HGBN 是平行四边形，∴HG=BN ，HN=BG = CG =FG ，∴△HNC ≌△KGF ，∴GK=CN ，∠HNC=∠FGK=∠NHT=2α，∴HT=CT=TN ，∵FH-HG=1，∴设GH=m ，则BN=m ，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，∵GT=1122EN =，∴CN=2HT=11+2m ， ∵22222BC CN BN CE BE =-=-，∴2222(112)(42)(11)m m m m +-=+-+∴1176m =-(舍去)，27m =， ∴CN=GK=2HT=25.【点睛】 本题考查的是四边形综合题，涉及了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，三角形外角的性质等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.9．(I) ；(II) 16或10；(III) .【解析】【分析】(I)根据已知条件直接写出答案即可.(II)分两种情况：或讨论即可.(III)根据已知条件直接写出答案即可.【详解】(I) ；(II)∵四边形是矩形，∴，.分两种情况讨论：（i）如图1，当时，即是以为腰的等腰三角形.（ii）如图2，当时，过点作∥，分别交与于点、.∵四边形是矩形,∴∥,.又∥，∴四边形是平行四边形，又，'⊥，∴□是矩形，∴，，即B H CD又，∴，，∵，∴，∴，在RtΔEGB'中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，综上，的长为16或10.(III) . （或）.【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题.10．（1）254秒或252秒；（2）15秒【分析】(1)Q点必须在BC上时，A，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q点在BF和Q点在CF上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q点在AB、BC、CD之间时逐个讨论即可求解．【详解】解：(1)∵以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且AP在AD上，∴Q点必须在BC上才能满足以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，∵点F是BC的中点，∴BF=CF=12BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q点在BF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=35-3t，故t=25-3t，解得254t ；情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，故t=3t-25，解得t=25 2；故经过254或252秒，以A、Q、B、P为顶点的四边形是平行四边形；(2)情况一：当Q点在AB上时，0<t<103，此时P点还未运动到AD的中点位置，故四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况二：当Q点在BC上且位于BF之间时，1025 33t，此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t，∵102533t，∴35-2t ＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况三：当Q点在BC上且位于FC之间时，2540 33t此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35∵254033t，∴4t-35＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况四：当Q点在CD上时，4050 33t<<当AP=BF=15时，t=15，1122 APF ABFP PFQ DCFP S S S S且∴1+2APF PFQ AFPQ ABCDS S S S，∴当t=15秒时，以A、Q、F、P为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD面积的一半，故答案为：15秒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．。
八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)
八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析． （2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5． （2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形． （2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析． （2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ． 同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是 ．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形 的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为 ．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（ ）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ． （2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为 ．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13． （2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ． 证明：连接AC ，如图． 在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。
八年级初二数学数学平行四边形试题附解析
八年级初二数学数学平行四边形试题附解析一、选择题1．已知在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠BCD ＝90°, BC ＝CD ＝2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连结BF 、DE 交于点P ，连结CP 并延长交AB 于点Q ，连结AF ，则下列结论不正确的是（ ）A ．CP 平分∠BCDB ．四边形 ABED 为平行四边形C ．CQ 将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D ．△ABF 为等腰三角形 2．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC )的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD )的斜边恰好重合．已知AB =43，P 、Q 分别是AC 、BC 上的动点,当四边形DPBQ 为平行四边形时，平行四边形DPBQ 的面积是（ ）A ．33B ．63C ．92D ．93．将个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A ．B ．C ．D ．4．如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．1325． 如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O 的直线交AD 于点E ，交BC 于点F 当点E 从点A 向点D 移动过程中（点E 与点A 、点D 不重合），四边形AFCE 的形状变化依次是（ ）A ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形6．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为6和14，则b 的面积为（ ）A ．8B ．18C ．20D ．267．如图，菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于E 点，已知134A ∠=︒，则BEC ∠的大小为( )A ．23︒B ．28︒C ．62︒D ．67︒8．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．以上结论中，你认为正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在菱形ABCD 中，5AB cm =，120ADC =∠︒，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1/cm s ，点F 的速度为2/cm s ，经过t 秒DEF ∆为等边三角形，则t 的值为（ ）A ．34B ．43C ．32D ．5310．如图，在□ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上（E 不与A 、B 重合），连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 ( )①∠DCF=12∠BCD ；②EF=CF ；③2BEC CEF S S ∆∆<；④∠DFE=4∠AEF A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．①②④ 二、填空题11．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．12．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________13．如图，在平行四边形ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)14．如图，直线1l，2l分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y轴．OABC的顶点A，C 分别在直线1l和2l上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_________．15．如图，在正方形ABCD中，AC=62，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是_________．16．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.17．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．18．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则DF =_________．19．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．23．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．24．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分∠DCB ；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．25．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②求PE 的长．26．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）27．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH的面积（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC边上时，求t的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．28．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD 的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．29．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB．（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF；（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG；（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长．30．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝517，请直接写出此时DE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】A.根据边角边”证明△BCF≌△DCE，然后利用“角边角”证明△BEP≌△DFP，再利用“边角边”证明△BCP≌△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP=∠DCP；B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；C.连接QD，利用“边角边”证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S△BCQ=S△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．D.根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；【详解】解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，∴BE=CE=CF=DF，在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，即∠BEP=∠DFP，在△BEP和△DFP中，，∴△BEP≌△DFP（ASA），∴BP=DP，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴∠BCP=∠DCP，∴CP平分∠BCD，故A选项结论正确；∵BC=2AD，E是BC的中点，∴BE=AD，又∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，故B选项结论正确；∴AB=DE，又∵DE=BF（已证），∴AE=BF，∴△ABF为等腰三角形，故D选项结论正确；连接QD，在△BCQ和△DCQ中，，∴△BCQ≌△DCQ（SAS），∴S△BCQ=S△DCQ，∴CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等，故C选项结论不正确．故选：C．【点睛】本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．2．D【解析】【分析】由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DP，即DP⊥AC，P为AC中点，作出平行四边形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是□DPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求出面积即可．求得面积．【详解】当点P运动到边AC中点（如图），即CP=3时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．∵四边形DPBQ为平行四边形，∴BC∥DP，∵∠ACB=90°，∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．而在Rt△ABC中，AB=43，BC=23，∴根据勾股定理得：AC=6，∵△DAC为等腰直角三角形，∴DP=CP=12AC=3，∵BC∥DP，∴PC是平行四边形DPBQ的高，∴S平行四边形DPBQ=DP•CP=33=9．故选D.【点睛】本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P 的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得出结论．3．B解析：B【解析】【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．由此即可解答.由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ， 即一个阴影部分的面积为如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4， ∴n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）， ∴2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×（2019-1）=． 故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 4．B解析：B【解析】【分析】作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则343CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．【详解】解：作CH AB ⊥于H ，如图，菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠=，ABC ∆∴为等边三角形，343CH AB ∴==，4AH BH ==， 3PB =，1HP ∴=，在Rt CHP ∆中，32(43)17CP =+=，梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，APQ CPQ ∴∠=∠，而//CD AB ，APQ CQP ∴∠=∠，CQP CPQ ∴∠=∠，∴==.CQ CP7故选：B．【点睛】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．5．C解析：C【分析】先判断出点E在移动过程中，四边形AECF始终是平行四边形，当∠AFC=80°时，四边形AECF是菱形，当∠AFC=90°时，四边形AECF是矩形，即可求解．【详解】解：∵点O是平行四边形ABCD的对角线得交点，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠ACF=∠CAD，∠ADB=∠DBC=20°∵∠COF=∠AOE，OA=OC，∠DAC=∠ACF∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ADB=∠DBC=20°，∠ACB=50°，∴∠AFC＞20°当∠AFC=80°时，∠FAC=180°-80°-50°=50°∴∠FAC=∠ACB=50°∴AF=FC∴平行四边形AECF是菱形当∠AFC=90°时，平行四边形AECF是矩形∴综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．6．C解析：C【分析】由题意根据全等三角形的判定与性质，结合勾股定理和正方形的面积公式进行分析计算.【详解】解：∵a 、b 、c 都为正方形，a ，c 的面积分别为6和14，∴AC=CE,AB 2=6,DE 2=14，90ACF ︒∠=,∵90,90BAC BCA BCA DCE ︒︒∠+∠=∠+∠=,∴BAC DCE ∠=∠,在ABC 和CDE △中，ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC CDE AAS ≅，∴BC=DE,BC 2=DE 2=14，由勾股定理可知222AC AB BC =+，∴b 的面积为261420AC =+=.故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理和正方形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．7．D解析：D【分析】先说明ABD=∠ADC=∠CBD ，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD 度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.【详解】解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵134A ∠=︒∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=12(180°-134°)=23° ∴BEC ∠=90°-23°=67°故答案为D.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.8．C解析：C【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出最大值BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【详解】解：①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；②∴∠BCH=∠ECH，∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8-x）2，解得x=3，点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，∴BF=4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8-3）-3=2，由勾股定理得，22+=542+22MF ME综上所述，结论正确的有①③④共3个，故选C．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．9．D解析：D【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BC-CF=5-2t求出时间t的值．【详解】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，∴AB=AD，∠ADB=12∠ADC=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF=∠DEF=60°，又∵∠ADB=60°，∴∠ADE=∠BDF，在△ADE和△BDF中，AD BDA DBCADE BDF=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴AE=BF，∵AE=t，CF=2t，∴BF=BC−CF=5−2t，∴t=5−2t∴t=53，故选：D.【点睛】本题考查全等三角形，等边三角形，菱形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质为解题关键．10．B解析：B【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，A FDMAF DFAFE DFM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M．∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．∵FM=EF，∴EF=CF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故③正确；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x ．∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．故答案为B．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题的关键．二、填空题11．201812【分析】根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．【详解】∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC∴DE 、EF 是△ABC 的中位线∵等边△ABC 的边长为1∴AD=DE=EF=AF =12 则1C =1422⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12 发现规律：规律为依次缩小为原来的12 ∴2020C =201812 故答案为：201812．【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．12．①②④⑤【分析】根据∠B=90°，AB=BE ，△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，可得△ABE ≅△AHD ，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，可证AD//BC ，根据DC ⊥BC ，可得∠HDE=∠CDE ，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，即DE 平分∠HDC ，所以①正确；利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD 是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE 平分∠HDC ，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH ，利用 AE=AD 易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH ，OD=OE ，所以②正确；利用AAS 证明ΔDHE ≅ΔDCE ，则有DH=DC ，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，∠DFH=112.5°，则△DHF 不是直角三角形，并DH≠HF ，即有：CD≠HF ，所以③错误； 根据△ABE 是等腰直角三角形，JH ⊥JE ，∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，得到2JH=CF ，2JC=BC ，JC=JE+CE ，易证BC−CF=2CE ，所以④正确；过H 作HJ ⊥BC 于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，得IJ ⊥AD ，I 是AD 的中点，J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，所以⑤正确；【详解】∵Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，∴∠BAE=∠BEA=45°，又∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，∴△ABE ≅△AHD ，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，∴∠ADE=∠AED ，∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，∴AD//BC ，∴∠ADE=∠DEC ，∴∠AED=∠DEC ，又∵DC ⊥BC ，∴∠DCE=∠DHE=90°∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠HDC=45°，由①有DE 平分∠HDC ，∴∠HDO=12∠HDC=12×45°=22.5°， ∵∠BAE=45°，AB=AH ， ∴∠OHE=∠AHB=12 (180°−∠BAE)= 12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，∴OD=OH ，在△AED 中，AE=AD ，∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠OHE=∠HEO=67.5°，∴OE=OH ，∴OD=OE ，所以②正确；在△DHE 和△DCE 中，DHE DCE HDE CDE DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔDHE ≅ΔDCE(AAS)，∴DH=DC ，∠HDE=∠CDE=12×45°=22.5°， ∵OD=OH ，∴∠DHF=22.5°，∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，∴△DHF 不是直角三角形，并DH≠HF ，即有：CD≠HF ，所以③不正确；如图，过H 作HJ ⊥BC 于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，∵△ABE 是等腰直角三角形，JH ⊥JE ，∴JH=JE ，又∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，∴2JH=CF ，2JC=BC ，JC=JE+CE ，∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC ，即有：BC−CF=2CE ，所以④正确；∵AD//BC ，∴IJ ⊥AD ，又∵△AHD 是等腰直角三角形，∴I 是AD 的中点，∵四边形ABCD 是矩形，HJ ⊥BC ，∴J 是BC 的中点，∴H 是BF 的中点，所以⑤正确；综上所述，正确的有①②④⑤，故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．13．①②④【分析】①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，首先根据平行四边形的性质证明AEFDFM ≅△△，得出,FE MF AEFM =∠=∠，进而得出90ECD AEC ∠=∠=︒，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；③由FE MF =，得出EFC CFMS S =，从而可判断正误； ④设FEC x ∠= ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE 和∠AEF ，从而判断正误．【详解】①∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，//,AD BC AF FD CD ∴==，,DFC FCB DFC DCF ∴∠=∠∠=∠ ，FCB DCF ∴∠=∠，∴∠BCD ＝2∠DCF ，故①正确；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，A MDF ∴∠=∠，∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．在AEF 和DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AEF DFM ASA ∴≅△△,FE MF AEF M ∴=∠=∠．CE AB ⊥ ，90AEC ∴∠=︒，90ECD AEC ∴∠=∠=︒，12CF EM EF ∴==，故②正确； ③∵FE MF =，∴EFC CFM S S = ．CFM CDF MDF S S S =+△△△CDF EFC S S ∴<△△，故③错误；④设FEC x ∠= ，则FCE x ∠=，90DCF DFC x ∴∠=∠=︒- ，1802EFC x ∴∠=︒-，9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒- ．90AEF x ∠=︒- ，3DFE AEF ∴∠=∠，故④正确；综上所述，正确的有①②④，故答案为 ：①②④．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．14．5【分析】过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM ，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．15．32【详解】解析：∵在正方形ABCD中，AC=62∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°设EF与AD交点为O，O是AD的中点,∴AO=3以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小，即△AOE是直角三角形，∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=22OA=322，∴EF=2OE=3216．6【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=12PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=12AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=12 PD，∵2PB+ PD=2（PB+12PD）=2(PB+PE)，∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=12AB=3，∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.17．2或14【分析】利用当AB=10cm,AD=6cm，由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而EF=CF+DE-DC，由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长【详解】解：如图1，当AB=10cm,AD=6cm∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE，又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED，则AD=DE=6cm同理可得：CF=CB=6cm∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)如图2，当AD=10cm,AB=6cm,∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED则AD=DE=10cm同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）故答案为：2或14.图1 图2【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．18．4【分析】证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．【详解】解：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中点，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，22BC=∴BE=122BC=，DF=2DE，在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM ∴EM=1，在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=2，∴DF=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，19．2【分析】根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2∴122EDM S =⨯=故答案是：2【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．20．2或3.5【分析】分别从当Q 运动到E 和B 之间、当Q 运动到E 和C 之间去分析求解即可求得答案．【详解】如图，∵E 是BC 的中点，∴BE=CE= 12BC=9， ①当Q 运动到E 和B 之间，则得：3t ﹣9=5﹣t ，解得：t=3.5；②当Q 运动到E 和C 之间，则得：9﹣3t=5﹣t ，解得：t=2，∴当运动时间t 为2秒或3.5秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．解题时注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．三、解答题21．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。
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初二数学平行四边形专题练习
1．如果边长分别为4cm 和 5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为 ______cm．
2．（08贵阳市）如图1，正方形 ABCD 的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为cm2．
A
3.若四边形 ABCD 是平行四边形，请补充条件B
图 1
(写一个即可 )，使四边形 ABCD 是菱形．
4．在平行四边形 ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ ABO 的周长
为 17， AB ＝ 6，那么对角线 AC＋ BD＝
⒎以正方形 ABCD的边 BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数为.
5．已知菱形 ABCD 的边长为 6，∠ A ＝60°，如果点 P 是菱形内一点，且 PB＝PD＝2那么 AP 的长为．
6．在平面直角坐标系中，点A、B、C 的坐标分别是 A(－2，5)，
B(－3，－ 1)， C(1，－ 1)，在第一象限内找一点 D，使四边形
ABCD 是平行四边形，那么点 D 的坐标是．
二、选择题（每题 3 分，共 30 分）
7．如图 2 在平行四边形 ABCD 中，∠ B=110°，延长 AD 至 F，延长 CD 至 E，连结 EF，则∠ E＋∠ F＝()
A． 110°B．30°C．50°D．70°
A H
D
E G
图 2图 3B F C
图 4
8．菱形具有而矩形不具有的性质是()
A．对角相等B．四边相等
C．对角线互相平分D．四角相等
9．如图 3 所示，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O，点 E 是 BC 的中点．若 OE=3 cm，则 AB 的长为()
A． 3 cm B． 6 cm C． 9 cm D． 12 cm
10．已知：如图 4，在矩形 ABCD 中， E、 F、 G、H 分别为边
AB 、 BC、CD 、 DA 的中点．若 AB＝ 2， AD ＝4，
则图中阴影部分的面积为()
A．8B．6C．4D．3
11．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形()D C
A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤
12．如图 5 所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所
示 (单位： mm)，则该主板的周长是()
A． 88 mm B． 96 mm C． 80 mm D． 84 mm
图5图6
13、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形 ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若150o，则AEF =（）
A．110°B．115°
C ．120°D．130°
14、四边形ABCD ，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD 是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）
AB ∥ CD BC∥AD AB=CD BC=AD
A.2 组
B.3 组
C.4 组
D.6 组
15、下列说法错误的是（）
A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.
B.每组邻边都相等的四边形是菱形.
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.
D.四个角都相等的四边形是矩形.
三、解答题
16、如图 7，四边形 ABCD 是菱形，对角线AC＝ 8 cm ,
BD＝6 cm, DH ⊥AB 于 H，求： DH 的长。
图 7
17、已知：如图8，菱形 ABCD 的周长为 16cm，
∠ABC＝ 60°，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，
求AC和BD的长.
图 8
18、如图 9，在正方形 ABCD 中， P 为对角线 BD 上一点，
PE⊥BC，垂足为 E， PF⊥CD，垂足为 F，
求证： EF＝AP
19、在△ ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点 ,DE⊥AB,图 9
DF⊥AC, 垂足分别是 E,F.
⑴试说明 :DE=DF
⑵只添加一个条件 ,使四边形 EDFA 是正方形 .
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线 ,无需证明）
图 10
20、如图11，ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试
问：四边形 ABEF 是什么图形吗？
请说明理由 .
A F D
图 11
B E C
参考答案
一、填空题
1.2
2. 83、 AC ⊥BD 4、 22 5、150 °或 15°6、 47、（ 2，5）
二、选择题8.D9.B 10.B11.C 12.A 13.B 14.B15.C
16.9.6 CM17、AC ＝ 4 cm ,BD ＝4
18.证明：连结 PC∵四边形 ABCD 为平行四边形∴ AB ＝ AC，∠ABD ＝∠ DPC∠BCD
＝90°∵ BP＝ BP∴△ABP≌△CBP∴AP = CP∵PE⊥BC，PF⊥DC∴四边形 PECF 为
矩形∴ EF＝ PC∴ EF＝ AP
19、证明：⑴连结AD ∵AB ＝ AC ， D 为 BC 的中点∴ AD 为∠ BAC 的平分线∵ DE ⊥AB ，
DF ⊥AC ∴ DE＝ DF⑵∠ BAC＝90°DE⊥ DF
20、菱形
∵四边形 ABCD 为平行四边形∴AD ∥ BC，∠ 2＝∠ 3∵ AB∥EF∴四边形ABED 为平行四
边形∵∠ 2＝∠ 1∴∠ 1＝∠ 3∴AB ＝ BE∴四边形ABED 为菱形
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