【新教材2020数学必修一】高中数学必修第一册期末复习全册讲义02
高中数学课件-高一数学必修1总复习课件1
1、定义域 . 2、值域
k>0
k<0
(, 0）（0，+）
(, 0）（0，+）
3、单调性 递减(,0)，(0，+) 递增(,0)，(0，+)
4、图象
二次函数 y ax2 bx c
1、定义域 2、值域 3、单调性
4、图象
a>0
a<0
.
4ac b2
[
, )
4a
R.
4ac b2
(,
]
4a
(, b ]减, [- b ,)增
真子集个数为
2n-1
非空真子集个数为
2n-2
2、集合相等： A B, B A A B
3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任
何非空集合的真子集
3.集合间的关系:
子集：AB任意x∈A x∈B.
真子集：AB x∈A，x∈B，但存在
x0∈B且x0A. 集合相等：A＝B AB且BA. 空集：.
性质：②①AAA.，若③AA非B空，，B则CAA. C.
第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用
一、知识结构
集合
含义与表示
基本关系
基本运算
列举法 描述法 图示法 包含 相等 并集 交集 补集
一、集合的含义与表示
（一）集合的含义 1、集合：把研究对象称为元素，把一些元素组成的
总体叫做集合
2、元素与集合的关系： 或 3、元素的特性：确定、互异、无序
例1：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上
是增函数还是减函数？并证明你的结论。 减函数
证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
【新教材】2020新人教版A全册复习课件高中数学必修第一册期末复习课件
1|＜1 得 0＜x＜2，故 0＜x＜5 推不出 0＜x＜2,0＜x＜2 能推出 0＜x
＜5.故“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件．故选 B.] 返 首 页
4．已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α＝(
)
1
5
A.5
B. 5
易
高
错
3
易
C. 3
D．2 5 5
是否为变号零点．
易
高
错 易
17．函数
y＝2x
的函数值在(0，＋∞)上一定比
y＝x2
的函数值大．
考 真
混 辨
( ×)
题 感
析
悟
提示：当 x＝2 时 2x＝x2.
18．在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超
过并远远大于 y＝xα(α＞0)的增长速度．
(√ ) 返
首 页
19．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不
错
考
易 上是增函数．
真
混
题
辨
析
15．函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点．
感
(×) 悟
提示：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴交点的横坐标．
返 首 页
16．若 f(x)在(a，b)上有零点，一定有 f(a)·f(b)＜0.
(× )
提示：f(x)在(a，b)上有零点，不一定有 f(a)·f(b)＜0，需要看零点
易
25．将函数 y＝sin ωx 的图象向右平移 φ(φ＞0)个单位长度，得到 高
错
易 函数 y＝sin(ωx－φ)的图象．
考
【新教材】高中数学必修第一册期末复习讲义：第1章 集合与常用逻辑用语
A B 图1U A A B图2高一数学第一学期期末第一章复习总结归纳，复习指导1. 集合中元素的特性:确定性、无序性、互异性2. 集合的表示：列举法，描述法（①语言描述法，②Venn 图）3. 区分元素与集合（a ∈A ），集合与集合的关系（B A ⊆),注意符号4. 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集:N*或 N+ ; 整数集:Z ;有理数集Q ; 实数集R5. 集合间的基本关系：B A ⊆有两种可能（1）A B （真子集）；（2）A=B （集合相等）6. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ7. 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集8. 若非空集合A 中有n 个元素，则有2n 个子集，（2n -1）个真子集，（2n -2）个非空真子集9. 集合基本运算：（1）并集：A B ={x|x ∈A ，或x ∈B} （2）交集：A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝B B A A B AB A A B =⋂⇔⊆=⋃⇔⊆(3)补集：C U A=},|{A x U x x ∉∈且10.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题p ：)(,x p M x ∈∀ 它的否定：)(,x p M x ⌝∈∃（2）存在量词命题p:)(,x p M x ∈∃ 它的否定：)(,x p M x ⌝∈∀11.充分条件与必要条件（1）q p ⇒ p 是q 的充分条件； q 是p 的必要条件（2）q p ⇔ p 与q 互为充要条件习题演练，考点检测一、单选题1．已知集合{}ln(2)0A x x =-≥，{}22950B x x x =--<，则AB =（ ） A ．()2,5B ．[)2,5C ．[)3,5D ．()3,5 2．已知集合301x M xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}3,1,1,3,5N =--，则M N =（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,1,3- C ．{3,1}- D ．{}3,1,1--3．已知集合{}0A x x =>，{}3B x x =≤，则集合A B =（ ）A ．{}33x x -≤≤B ．{}30x x -≤<C ．{}03x x <≤D ．{}3x x ≥-4．集合{|32}x x ∈-<N 用列举法表示是（ ）A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{0，1，2，3，4}5．集合{}1,2的子集的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 6．已知集合{}2,4,6A =，{}1,3,4,6B =，则A B 中元素的个数是（ ） A ．2 B ．5 C ．6 D ．77．在东莞市第一高级中学2021届高三第一学期入学考试中，理科数学试卷的第一题是考查集合，第二题是考查复数.某数学老师为了了解学生对这两个知识点的掌握情况，对高三（5）班和（12）班的答题结果进行了统计，得到如下数据：问两题都答错的人数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10 8．如果集合{}1P x x =>-，那么（ ）A ．0P ⊆B ．{}0P ∈C ．P ∅∈D ．{}0∈P 9．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，20010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤10．“a b =”是“22a b =”的什么条件？（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 二、多选题11．已知集合{}33M x Z x =∈-<<，则下列符号语言表述正确的是（ ）A ．2M ∈B ．0M ⊆C ．{}0M ∈D ．{}0M ⊆ 12．下列命题中是假命题的是（ ）．A ．x R ∀∈，30x ≥B ．0x R ∃∈，303x =C ．x Q ∀∈，31x ≥D ．0x N ∃∈，303x = 13．设x ∈R ，则“2210x x +->”成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．12x >B ．1x <-或12x >C ．2x <-D ．1x <- 14．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{3,4,5}M =，{1,2,5}N =，则集合{1,2}可以表示为（ ） A ．M N ⋂ B ．()U M N C ．()U N M D ．(())U M N N ⋂⋂ 15．已知命题:p x R ∃∈，2220x x a ++-=为真命题，则实数a 的取值可以是（ ）A ．1B ．0C ．3D ．3-三、填空题16．用列举法表示方程220x x --=的解集为______________.17．用∈或∉填空：0________N18．已知集合{}{}(,)46,(,)4A x y x y B x y x y =+==-=，则AB =_______． 19．若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则实数a 的取值范围是______.20．若“,64x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m ≤”是真命题，则实数m 的最小值为______．四、解答题21．设已知全集U =R ，集合{{|3215},2A x x B x x =-<-<=≤-或}0x ≥，求A B ， ()U A B ，()U A B ⋂22．设集合U =R ，{}260A x x x =--<，{}2540B x x x =-+≥，{}C x x a =<（1）求图中阴影部分表示的集合；（2）若BC C =，求a 的取值范围参考答案1．C 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．B8．D 9．C 10．A 11．AD 12．ACD 13．ACD 14．BD 15．AC 16．{1,2}- 17．∈ 18．{(2,2)}- 19．()(),13,-∞-+∞ 20321．由已知得{|13}A x x =-<<，∴{|03}A B x x ⋂=≤<，{|2A B x x ⋃=≤-或1}x >-，∴(){|21}U A B x x ⋃=-<≤-， 又{1U A x x =≤-或}3x ≥， ∴(){2U A B x x ⋂=≤-或}3x ≥.22．（1）由不等式26(3)(2)0x x x x --=-+<，解得23x -<<，即{}23A x x =-<<由不等式254(1)(4)0x x x x -+=--≥，解得1x ≤或4x ≥，即{1B x x =≤或4}x ≥， 又由题中阴影部分为()U A B ，且{}U 14B x x =<<，所以阴影部分用集合表示为(){}U 13A B x x ⋂=<<. （2）因为B C C =，可得C B ⊆又因为{1B x x =≤或4}x ≥，{}C x x a =<，可得1a ≤，所以a 的取值范围是(,1]-∞。
【新教材】高中数学必修第一册知识点
【新教材】高中数学必修第一册三部分知识点课本目录知识点目录章节思维导图新人教版高中数学必修（第一册）课本目录第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.2集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质2.2基本不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式第三章函数概念与性质3.1函数的概念及其表示3.2函数的基本性质3.3幂函数3.4函数的应用（一）第四章指数函数与对数函数4.1指数4.2指数函数4.3对数4.4对数函数4.5函数的应用（二）第五章三角函数5.1任意角和弧度制5.2三角函数的概念5.3诱导公式5.4三角函数的图象与性质5.5三角恒等变换5.6函数5.7三角函数的应用新人教版高中数学必修（第一册）知识点目录§1.1集合的概念 (5)第1课时集合的概念 (5)第2课时集合的表示 (5)§1.2集合间的基本关系 (6)§1.3集合的基本运算 (7)第1课时并集与交集 (7)第2课时补集 (7)§1.4充分条件与必要条件 (8)1.4.1充分条件与必要条件 (8)1.4.2充要条件 (8)§1.5全称量词与存在量词 (9)1.5.1全称量词与存在量词 (9)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (9)§2.1等式性质与不等式性质 (10)第1课时不等关系与不等式 (10)第2课时等式性质与不等式性质 (10)§2.2基本不等式 (11)第1课时基本不等式 (11)第2课时基本不等式的应用 (11)§2.3二次函数与一元二次方程、不等式 (12)第1课时二次函数与一元二次方程、不等式 (12)第2课时一元二次不等式的应用 (13)§3.1函数的概念及其表示 (14)3.1.1函数的概念 (14)第1课时函数的概念(一) (14)第2课时函数的概念(二) (14)3.1.2函数的表示法 (15)第1课时函数的表示法 (15)第2课时分段函数 (15)§3.2函数的基本性质 (16)3.2.1单调性与最大(小)值 (16)第1课时函数的单调性 (16)第2课时函数的最大(小)值 (16)3.2.2奇偶性 (17)第1课时奇偶性的概念 (17)第2课时奇偶性的应用 (17)§3.3幂函数 (18)§3.4函数的应用(一) (19)§4.1指数 (19)4.1.1n次方根与分数指数幂 (19)4.1.2无理数指数幂及其运算性质 (19)第1课时n次方根 (19)第2课时分数指数幂、无理数指数幂 (20)§4.2指数函数 (21)4.2.1指数函数的概念 (21)4.2.2指数函数的图象和性质 (21)第1课时指数函数的图象和性质(一) (21)第2课时指数函数的图象和性质(二) (22)§4.3对数 (23)4.3.1对数的概念 (23)4.3.2对数的运算 (23)§4.4对数函数 (24)4.4.1对数函数的概念 (24)4.4.2对数函数的图象和性质 (24)第1课时对数函数的图象和性质(一) (24)第2课时对数函数的图象和性质(二) (25)4.4.3不同函数增长的差异 (25)§4.5函数的应用(二) (26)4.5.1函数的零点与方程的解 (26)4.5.2用二分法求方程的近似解 (26)§5.1任意角和弧度制 (27)5.1.1任意角 (27)5.1.2弧度制 (28)§5.2三角函数的概念 (29)5.2.1三角函数的概念 (29)5.2.2同角三角函数的基本关系 (30)§5.3诱导公式(一) (30)§5.3诱导公式(二) (30)§5.4三角函数的图象与性质 (31)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (31)5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 (31)第1课时周期性与奇偶性 (31)第2课时单调性与最值 (32)5.4.3正切函数的性质与图象 (33)§5.5三角恒等变换 (34)5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (34)第1课时两角差的余弦公式 (34)第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) (34)第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) (34)第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式 (34)5.5.2简单的三角恒等变换 (35)§5.6函数y＝A sin(ωx＋φ)(一) (35)§5.7三角函数的应用 (35)§1.1集合的概念第1课时集合的概念知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．知识点二元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A“a属于A”不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A“a不属于A”知识点三常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋ZQ R第2课时集合的表示知识点一列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．知识点二描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．知识点一子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示图形表示子集如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集A ≠⊂B(或B ≠⊃A )集合相等如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等A ＝B 2．Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C .知识点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．第1课时并集与交集知识点一并集知识点二交集第2课时补集知识点全集与补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U .2．补集自然语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A符号语言∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }图形语言§1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件知识点充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件1.4.2充要条件知识点充要条件1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．§1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M 中任意一个x ，p (x )成立”，可用符号简记为“∀x ∈M ，p (x )”“存在M 中的元素x ，p (x )成立”，可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定知识点含量词的命题的否定pp⌝结论全称量词命题∀x ∈M ，p (x )∃x ∈M ，p ⌝(x )全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x ∈M ，p (x )∀x ∈M ，p ⌝(x )存在量词命题的否定是全称量词命题§2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．第2课时等式性质与不等式性质知识点一等式的基本性质1．如果a＝b，那么b＝a.2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)同正§2.2基本不等式第1课时基本不等式知识点基本不等式1．基本不等式：如果a >0，b >0，ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．变形：ab ≤2)2(b a ，a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b ≥2ab ，a ，b 都是正数，当且仅当a ＝b 时，等号成立．思考1不等式a 2＋b 22≥ab 和a ＋b2≥ab 中等号成立的条件相同吗？答案相同．都是当且仅当a ＝b 时等号成立．思考2“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义是什么？答案a ＝b ⇔a 2＋b 22＝ab ；a ＝b >0⇔a ＋b2＝ab .第2课时基本不等式的应用知识点用基本不等式求最值用基本不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是正数．(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？答案利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等．§2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax 2＋bx ＋c >0，ax 2＋bx ＋c <0，ax 2＋bx ＋c ≥0，ax 2＋bx ＋c ≤0，其中a ≠0，a ，b ，c 均为常数知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx＋c，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．知识点三二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2|Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅第2课时一元二次不等式的应用知识点一简单的分式不等式的解法分式不等式的解法：知识点二一元二次不等式恒成立问题1．转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立>0，<0；ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立<0，<0.2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．知识点三利用不等式解决实际问题的一般步骤1．选取合适的字母表示题目中的未知数．2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．3．求解所列出的不等式(组)．4．结合题目的实际意义确定答案．§3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第1课时函数的概念(一)知识点函数的概念概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系y ＝f (x )，x∈A 定义域x 的取值范围值域与x 的值相对应的y 的值的集合{f (x )|x ∈A }第2课时函数的概念(二)知识点一区间设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ]{x |x ≥a }[a ，＋∞){x |x >a }(a ，＋∞){x |x ≤a }(－∞，a ]{x |x <a }(－∞，a )R(－∞，＋∞)知识点二同一个函数1．前提条件：(1)定义域相同；(2)对应关系相同．2．结论：这两个函数为同一个函数．知识点三常见函数的值域1．一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的定义域为R ，值域是R.2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ，当a >0时，值域为4ac －b 24a ，＋当a <0∞，4ac －b 24a .3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法知识点函数的表示法特别提醒函数三种表示法的优缺点比较第2课时分段函数知识点分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．§3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性知识点一增函数与减函数的定义前提条件设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I条件∀x 1，x 2∈D ，x 1<x 2都有f (x 1)<f (x 2)都有f (x 1)>f (x 2)图示结论f (x )在区间D 上单调递增f (x )在区间D 上单调递减特殊情况当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数知识点二函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．第2课时函数的最大(小)值知识点一函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论称M 是函数y ＝f (x )的最大值称M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标知识点二求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．(2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．3.2.2奇偶性第1课时奇偶性的概念知识点函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称第2课时奇偶性的应用知识点一用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．知识点二函数的奇偶性与单调性1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反．§3.3幂函数知识点一幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．§3.4函数的应用(一)知识点常见的几类函数模型§4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2无理数指数幂及其运算性质第1课时n次方根知识点一n次方根，根式1．a的n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数n a Rn为偶数±n a[0，＋∞) 3.根式：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．知识点二根式的性质根式的性质是化简根式的重要依据(1)负数没有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，记作n0＝0.(3)(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)．(4)n a n ＝a (n 为大于1的奇数)．(5)n a n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0(n 为大于1的偶数)．第2课时分数指数幂、无理数指数幂知识点一分数指数幂1．规定正数的正分数指数幂的意义是：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．2．规定正数的负分数指数幂的意义是：mna＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．知识点二有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)．(3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)．(4)拓展：a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q)．知识点三无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．§4.2指数函数4.2.1指数函数的概念知识点一指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R.知识点二两类指数模型1．y ＝ka x (k >0，a >0且a ≠1)，当a >1时为指数增长型函数模型．2．y ＝ka x (k >0，a >0且a ≠1)，当0<a <1时为指数衰减型函数模型．4.2.2指数函数的图象和性质第1课时指数函数的图象和性质(一)知识点指数函数的图象和性质a >10<a <1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1函数值的变化当x <0时，0<y <1；当x >0时，y >1当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1单调性在R 上是增函数在R 上是减函数对称性y ＝a x 与y ＝x a)1(的图象关于y 轴对称第2课时指数函数的图象和性质(二)知识点一比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．知识点二解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．(2)形如a f(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．知识点三指数型函数的单调性一般地，有形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．4.3.1对数的概念知识点一对数的概念1．对数的定义：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．常用对数与自然对数知识点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：(1)若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇒log a N ＝x .(2)对数恒等式：log a N a ＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1，N >0)．知识点三对数的性质1．log a 1＝0(a >0，且a ≠1)．2．log a a ＝1(a >0，且a ≠1)．3．零和负数没有对数．4.3.2对数的运算知识点一对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N .(2)log a MN＝log a M －log a N .(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)．拓展：log m n a M ＝nm log a M (n ∈R ，m ≠0)知识点二换底公式1．log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．2．对数换底公式的重要推论(1)log a N ＝1log N a(N >0，且N ≠1；a >0，且a ≠1)．(2)log n m a b ＝mnlog a b (a >0，且a ≠1，b >0)．(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，且a ≠1，b ≠1，c ≠1)．4.4.1对数函数的概念知识点对数函数的概念一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．4.4.2对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质(一)知识点一对数函数的图象和性质对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表y ＝log a x (a >0，且a ≠1)底数a >10<a <1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0函数值特点x ∈(0,1)时，y ∈(－∞，0)；x ∈[1，＋∞)时，y ∈[0，＋∞)x ∈(0,1)时，y ∈(0，＋∞)；x ∈[1，＋∞)时，y ∈(－∞，0]对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图象关于x 轴对称知识点二反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．第2课时对数函数的图象和性质(二)知识点对数型函数的性质及应用1．y＝log a f(x)型函数性质的研究(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．(2)值域：在函数y＝log a f(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝log a t的单调性确定函数的值域．(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝log a t的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定)(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝log a t的单调性，最后确定最值．2．log a f(x)<log a g(x)型不等式的解法(1)讨论a与1的关系，确定单调性．(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．4.4.3不同函数增长的差异知识点三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)单调递增单调递增单调递增上的增减性图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝a x的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝log a x的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有a x>kx>log a x§4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解知识点一函数的零点1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：知识点二函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．4.5.2用二分法求方程的近似解知识点一二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．知识点二用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点．(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c.(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．§5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识点一任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB ”，始边：OA ，终边：OB ，顶点O .3．角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角知识点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．知识点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．5.1.2弧度制知识点一度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的1360弧度制定义以弧度作为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角知识点二弧度数的计算知识点三角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad 2πrad ＝360°180°＝πrad πrad ＝180°1°＝π180rad≈0.01745rad1rad ＝ )180(π≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数× )180(π＝度数知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.§5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆交于点P (x ，y )定义正弦点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y ＝sin α余弦点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x ＝cos α正切点P 的纵坐标与横坐标的比值yx 叫做α的正切，记作tan α，即yx ＝tan α(x ≠0)三角函数正弦函数y ＝sin x ，x ∈R余弦函数y ＝cos x ，x ∈R正切函数y ＝tan x ，x ≠π2＋k π，k ∈Z知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等．即(sin α＋2k π＝sin α，cos α＋2k π＝cos α，tanα＋2k π＝tan α，其中k ∈Z.。
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课件：3.1.1+第2课时+函数的概念(二)
3.1.1 函数的概念第2课时 函数的概念(二)必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能必备知识·探新知同一个函数 基础知识知识点1前提条件__________相同____________完全一致结论这两个函数是同一个函数定义域 对应关系思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．知识点2常见函数的定义域和值域a>0 a<0思考2：求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时为什么分a>0和a<0两种情况？基础自测××√2．(2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D 中图象能表示y 是x 的函数．DA4．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．{y |－1≤y ≤1}B ．RC ．{y |2≤y ≤3}D ．{－1,0,1}[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．D xx <22≤x ≤3x >3y－101关键能力·攻重难题型一 函数的值域函数y ＝－x 2＋1，－1≤x <2的值域是( )A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．[0,1]D ．[1,5)[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系． B题型探究[解析] 由y＝－x2＋1，x∈[－1,2)，可知当x＝2时，y min＝－4＋1＝－3；当x＝0时，y max＝1，因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．[归纳提升] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．B[解析] A中x≥0，所以y≥0；B中x>0，所以y>0；C中x≠0，所以y≠0；D中x∈R，所以y≥1.题型二 同一函数[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．[归纳提升] 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．D(1)若函数f (x )的定义域为(－1,2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为_______________.(2)若函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f (x )的定义域为______________.(3)若函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f (x －1)的定义域为____________.(－1,5) 题型三 复合函数、抽象函数的定义域例 3 (0,6)[分析] (1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x ＋1的取值范围即为f(x)的定义域．(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．[归纳提升] 函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．【对点练习】❸ (1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．[解析] (1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．函数概念理解有误设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是( ) A．0B．1C．2D．3B例 4误区警示[错解] 函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D．[错因分析] 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x 在值域中是否有相应的y值与之对应．[正解] 图(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B．[方法点拨] 函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系．学科素养2．配方法求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域．例 6[分析] 这种题型，我们常利用配方法把它们化成y＝a(x＋b)2＋c的形式来求函数的值域．[解析] ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且y min＝－12；当x＝－2时，y取最大值，且y max＝3.故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．[归纳提升] 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．课堂检测·固双基素养作业·提技能。
充分条件与必要条件【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件2
• 一般地，“若p,则q”为真命题且“若q,则p”为假命题， 是指由p通过推理可以得出q，由q推理不出p. 记作
• p是q的充分不必要条件 p/ q
• 一般地，“若p,则q”为假命题且“若q,则p”为 真命题，是指由p通过推理不可以得出q， 由q可以推理出p. 记作
p/ q
• 并且说，p是q的必要不充分条件
充分条件与必要条件【新教材】人教A 版高中 数学必 修第一 册课件 2
定义2
• 一般地，“若p,则q”为假命题，是指由p通过推理不可以得出q.这 时，我们就说，由p不可以推出q，记作
p / q
• 并且说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
充分条件与必要条件【新教材】人教A 版高中 数学必 修第一 册课件 2
新高考新教材
高中数第一册第一章集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
知识回顾
命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真 假的陈述句。判断为真的语句是真命题，判断为假的 语句是假命题
命题多数可以写成“若p,则q”,”“如果p,那么q”等 形式。p称为命题的条件，q称为命题的结论
思考
(1)(4)由条件p通过推理得以结论q，是真命题 ， (2)(3)由条件p不能通过推理得以结论q，是假命题 ，
1充.4分充条分件条与件必与要必条要件条【件新-【教新材教 】材 人】教A人版教高A版中 数（学20必19 修）第高一中 册数课学件必 修2 第一 册课件
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新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：2.2 第1课时 基本不等式
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 利用基本不等式判断命题真假
例 1 下列不等式一定成立的是( C )
A． x2＋14> x(x>0)
B．x＋1x≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．x2＋1 1>1(x∈R)
[解析] 选项 A 中，x2＋41≥x(当且仅当 x＝12时，x2＋14＝x)，故选项 A 不正确；选项 B 中，x＋1x≥2(x>0)，x＋1x≤－2(x<0)，故选项 B 不正确； 选项 C 中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项 C 正确；选项 D 中， x2＋1≥1，则 0<x2＋1 1≤1，故选项 D 不正确．
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
【素养目标】 1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象) 2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算) 4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推 理) 5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)
理的拆、凑、配等变换．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 两 个 不 等 式
a2 ＋ b2≥2ab
与
a＋b 2
≥
ab 成 立 的 条 件 是 相 同
的．( × )
(2)当 a>0，b>0 时，a＋b≥2 ab.( √ )
(3)当 a>0，b>0 时，ab≤(a＋2 b)2.( √ )
(4)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × )
[解析] (1)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式a＋2 b ≥ ab成立的条件是 a>0，b>0.
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第一章集合与常用逻辑用语章末复习课
【例1】 (1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元
素的个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A.1
B.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C.5
D.9
解析 (1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素， 故选C. (2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y ＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x －y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时， x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个. 答案 (1)C (2)C
【训练4】 (1)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为 ________. (2) 若 － a<x< － 1 成 立 的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 是 － 2<x< － 1 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ________.
解析 (1)p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3. q：ax＋1＝0，当 a＝0 时，方程无解；当 a≠0 时，x＝－1a. 由题意知p q，q p，故a＝0舍去；
当 a≠0 时，应有－1a＝2 或－1a＝－3，解得 a＝－12或 a＝13. 综上可知，a＝－12或 a＝13. (2)根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有{x|－2<x<－1} {x|－a<x< －1}，故有a>2. 答案 (1)－12或13 (2)a>2
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第五章三角函数章末复习课
(2)由题意知，cos α＝xr≤0，sin α＝yr>0， 即x≤0，y>0， 所以3mm＋－29>≤0，0， 所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2，3].
【训练 1】 已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－45，则 m
的值为( )
A.－12
B.12
(3)正切曲线：
6.三角函数的性质(表中k∈Z)
y＝sin x
定义域
R
y＝cos x R
y＝tan x {x|x∈R，且 x≠π2＋kπ}
增区间：[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]， 单调性
减区间：[π2＋2kπ，32π＋2kπ]
增减区区间间：：[[2－kππ，＋π2＋kπ，2kπ2]kπ]，增区间：(－π2＋kπ，π2＋kπ)
章末复习课
[网络构建]
[核心归纳] 1.任意角与弧度制 (1)与角 α 终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. (2)角度与弧度的互化：1°＝1π80 rad，1 rad＝(1π80)°. (3)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.
2.任意角的三角函数 设任意角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，r＝ x2＋y2，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).
C.－
3 2
D.
3 2
解析 由题意知 P(－8m，－3)且 cos α＝－45，∴r＝ 64m2＋9，∴cos α＝
6－4m82m＋9＝－45，且 m>0，∴m2＝14，∴m＝12.故选 B.
答案 B
要点二 同角三角函数基本关系式的应用 同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现 α 的正弦、余弦的转化，利用csoins αα＝tan α 可 以实现角 α 弦切互化. (2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－ sin2α，(sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α. (3)sin α，cos α 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次 式或含有 sin2α，cos2α 及 sin αcos α 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”， 利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.
【知识点总结】高中数学人教A版必修第一册知识点总结
高中数学新教材人教A版必修第一册知识点总结专题01 集合与常用的逻辑用语 (3)知识点一集合的概念 (3)知识点二集合间的关系 (4)知识点三集合的基本运算 (5)知识点四充分条件与必要条件 (5)知识点五全称量词与存在量词 (6)专题02 一元二次方程、函数与不等式 (7)知识点一不等式的性质 (7)知识点二基本不等式 (7)知识点三二次函数与一元二次方程、不等式 (8)专题03 函数的概念与性质 (9)知识点一函数的概念与分段函数 (9)知识点二函数的三要素 (10)知识点三函数的单调性 (12)知识点四函数的奇偶性 (14)知识点六幂函数 (16)专题04指数函数与对数函数的概念、简单性质 (17)知识点一指数运算、对数运算与幂运算 (17)知识点二指数函数与对数函数的概念及图像 (18)知识点三比较大小（常与0、1、-1作比较） (18)知识点四函数的零点 (19)专题05 指数型与对数型复合函数的性质 (20)知识点一复合函数简单的单调性与奇偶性问题 (20)知识点二复合函数的单调性 (20)知识点三复合函数的最大值与最小值 (21)知识点四最值问题（含有参数） (22)知识点五恒成立问题 (22)专题06 三角函数的图像与性质 (23)知识点一任意角和弧度制 (23)知识点二常用的角的集合表示方法 (23)知识点三弧度与弧度制 (24)知识点四三角函数定义 (25)知识点五三角函数在各象限的符号 (26)知识点六特殊角的三角函数值： (26)知识点七同角三角函数的关系与诱导公式 (26)知识点八两角和与差公式的基本应用 (27)知识点九辅助角公式 (27)知识点十二倍角公式 (27)知识点十一降幂公式 (27)知识点十二基本三角函数的图像与性质（正弦、余弦与正切） (28)知识点十三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 (29)知识点十四三角函数的实际应用 (30)专题07 三角函数的综合运用 (30)专题01 集合与常用的逻辑用语知识点一集合的概念1．集合的有关概念(1)集合的描述：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.元素通常用小写字母a,b,c,⋯表示，集合通常用大写字母A,B,C,⋯表示.(2)集合元素的特性：确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个元素可以判断该元素在或者不在该集合中。