1.1.3菱形的性质和判定(3)
五、课堂小结
• 1.通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？ • 2.请从以下三个方面进行总结： • 知识收获、方法收获、关注问题。 • 3.总结完成后请小组内进行交流。
四、效果检测 • 1.如图所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对 角线BD长10cm，则∠ABC= °，AC= cm. • 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于 点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积 是 cm²． •
强化练习
• 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为BCB与 AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说 明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
☆回忆：菱形有哪些判定？
二、知识应用
• 1.典型例题： • 如图，四边形ABCD是边长为13cm • 的菱形，其中对角线BD长为10cm. • 求：(1)对角线AC的长度； • (2)菱形ABCD的面积.
二、知识应用
• • • • • 2.变式训练 如图所示，四边形ABCD是菱形， 其中对角线BD=12cm，AC=16cm. 求：(1)菱形的边长； (2)求菱形一条边上的高.
第一章
特殊平行四边形
菱形的性质与判定（3）
一、知识回顾
•1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6， •(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？ •(2)对角线AC与BD有什么位置关系？ •(3)若∠ADC=120°，求AC的长。
☆回忆：菱形有哪些性质？
一、知识回顾
• 2. 如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱 形： • 添加方式1： . • 添加方式2： .
菱形的判定和性质
BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（二）菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一 ：菱形的判定例1：下列命题正确的是（ ）（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。
新版北师大版-1.1.3菱形的性质与判定
1.1菱形的性质和判定（3）
初三备课组
学习目标（1分钟）
能综合运用菱形的性质和判定解决有关菱 形的解答题或证明题。
复习回顾：（3分钟） 菱形的性质： 菱形具备 平行四边形 的所有性质； 菱形的四条边 相等 ； 菱形的对角线互相 垂直 平分 ； 菱形的对角线平分 每一组对角 。 菱形的判定： 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线 互相垂 的 平行四边形是菱形； 直 四边相等 的四边形是菱形。
4.证明： 点E，F，G，H分别是 AB，CD，AC，BD的中点 FG、HE、FH、GE分别是 ACD、ABD、BCD、ABC的中位线 1 1 1 1 FG = AD，HE= AD，FH= BC，GE= BC 2 2 2 2 AD=BC FG=HE=FH=GE 四边形EGFH是菱形
自学指导1:（7分钟）
自学P8例3，然后完成随堂练习第1题。
1.解：依题意，如右图所示： 其中C菱形ABCD =40cm，BD=10cm
(）在菱形 2)连接AC ，交BD 于点 O （1 ABCD 中，有 AB=BC=CD=பைடு நூலகம்A ， 在菱形 中， AC BD ∠A= ∠C，ABCD ∠ABC= ∠ADC ， ∠A+∠ABC=180 ° 1 =40cm ∵C ∴AB=AD=10cm 菱形 ABCD BO BD 5cm，AC 2AO
2
2
在Rt AOB中，AB OA OB 10
2 2
1 S菱形ABCD AB DH AC BD 2 1 10 DH 16 12 2 48 DH 5
自学指导2:（5分钟）
按照以下思路，思考P8“做一做” ：
1.四边形ABCD的对边有什么关系？
1.1 菱形的性质与判定(三)
☆回忆：菱形有哪些判定？
二、知识应用 1.典型例题： 如图，四边形ABCD是边长 为13cm的菱形，其中对角线 BD长为10cm. 求：(1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积.
三、拓展提高 1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一 起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
三、拓展提高 2.如图你能用一张锐角三角形纸片 ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形 一个内角吗？
1)折出∠A的平分线AD, 交BC于D, 2)把点A折到点D上,折痕EF,E在AB上,F在AC上, 则四边形AEDF是菱形. 证明：由第一次折叠知：∠1=∠2, 由第二次折叠知： AE=DE,AF=DF,EF⊥AO, ∴∠AOE=∠AOF=90°, 又AO=AO, ∴ΔAOE≌ΔAOF, ∴AE=AF, ∴AE=AF=DE=DF, ∴四边形AEDF是菱形.
F
☆思考：求菱形面积的方法有几种？ ☆智力加速1：已知菱形的周长为40，一条 对角线长为16，则这个菱形的面积是 .
二、知识应用
3.方法启迪 (1)同学们在我们刚才完成的例 题及变式训练中你有什么方法 感悟或者经验？ (2)求菱形面积的方法有几种？ ☆重大发现：菱形的面积等于其对角线乘积 的一半. ☆智力加速1答案：96.
☆思路启迪:菱形的对角线有什么特点?
二、知识应用 1.典型例题 (☆规范书写过程)
☆思考：菱形面 积是如何求出的？
二、知识应用
2.变式训练 如图所示，四边形ABCD是菱 形，其中对角线BD=12cm， AC=16cm. 求：(1)菱形的边长； (2)求菱形一条边上的高. 答案:(1)10cm (2)9.6cm
菱形的性质及判定
如图，在 ABC 中， AB AC ， D 是 BC 的中点，连结 AD ，在 AD 的延长线上取 一点 E ，连结 BE ， CE ．当 AE 与 AD 满 足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱 形？并说明理由．
B
7.
CF 分别为 ABC 中 B 、 如图， 已知 BE 、 C 的 平 分 线 ， A M B E 于 M ， AN CF 于 N ，求证： MN ∥ BC ．
D E H A P F B C
B
图2
C
例题精讲
板块一、菱形的性质
【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等 三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，
1.3 菱形的性质和判定
【例4】 ☆ 如图 1 所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，H 为 AD 边中点， 菱形 ABCD 的周长为 24 ，则 OH 的长等 于 ．
图2
【例5】 ☆ 菱形的周长为 20 cm ， 两邻角度数之比 为 2 :1 ，则菱形较短的对角线的长度为 【巩固】 如 图 2 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， AC 6 ， BD 8 ，则菱形的边长为（ ） A． 5 B． 10 C． 6 D． 8
A D
【例3】 如图， E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点， EF AC 于 H ，交 CB 的延长线于 F ， 交 AB 于 P ， 证明： AB 与 EF 互相平分．
D
A
A
C
B E C F
D
【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次， 然后剪下一个角，为了得到一个锐角为 60 的菱形，剪口与折痕所成的角 的度 数应为（ ） A ． 15 或 30 B ． 30 或 45 C． 45 或 60 D． 30 或 60
1.1(3)菱形的性质、判定与其他知识的综合(教案)
1.教学重点
（1）菱形的定义及其性质：理解菱形的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分、对角线长度相等、对边平行且相等的基本性质。
举例：通过绘制具体的菱形图形，让学生观察并总结出菱形的上述性质。
（2）菱形的判定方法：熟练掌握三种判定菱形的方法，并能灵活运用。
举例：提供不同类型的四边形图形，让学生判断哪些是菱形，并说明判定依据。
1.提高几何直观：让学生通过观察、操作、探索等实践活动，把握菱形的特征，理解菱形与平行四边形、三角形之间的关系，形成直观的几何认识。
2.强化逻辑推理：引导学生运用定义、定理进行严密的逻辑推理，学会运用不同的判定方法识别菱形，提高学生的逻辑思维能力和几何证明能力。
3.增强问题解决能力：培养学生将菱形知识与其他几何知识相结合，解决实际问题的能力，提高学生对几何知识的综合运用和创新能力。通过本节课的学习，使学生能够在实际问题中运用菱形相关知识，形成系统、全面的几何知识体系。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了菱形的基本概念、性质、判定方法及其在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对菱形知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的过程较为顺利，大家积极参与，热烈讨论。但在实验操作中，部分学生对于菱形对角线垂直平分性质的演示不够熟练，需要我在一旁进行指导。这也提醒我，在今后的教学中，应增加学生动手操作的机会，提高他们的实践能力。
学生小组讨论环节，大家围绕菱形在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。我在一旁引导学生思考，帮助他们发现问题和解决问题。从成果分享来看，学生们对于菱形的应用有了更深入的理解，但部分学生的观点仍需进一步提炼和拓展。
菱形的性质与判定(三)
菱形的面积等于对角线乘积的一半
作业布置
课本p9习题1.3 1,2,3,4,5
教学反思
1.重视课本提供资源，有效进行合理整合
2.让每一个学生都能有所收获
3.规范答题，重视学生的反思过程
图4
2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？
菱形的面积等于对角线乘积的一半
各抒己见，探索做法。
图5
课时教学流程
教 师 行 为
学 生 行 为
图6
图7
第四环节：效果检测
1.如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则
∠ABC=°，AC=cm.
求证：(1)△ADE≌CDF；(2)∠DEF=∠DFE.
知者加速2：已知：如图10，在Rt△ABC=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
图7
图6
第五环节：课堂小结
图77
图88
图9
图10
课时教学设计尾页
板书设计：
教学重点与
难点
重点：能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法
难点：体会数形结合、转化等思想方法
教学方法
任务驱动法
使
用
教
材
构
想
本节课是对菱形性质及判定的巩固，要求学生能利用性质定理及判定定理解决一些相关的问题。
课时教学流程
教 师 行 为
学 生 行 为
第一环节：知识回顾
内容：同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。
在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。
本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。
一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
这是菱形的最基本特征。
2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。
换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。
3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。
4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。
二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。
2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。
如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。
3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。
以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。
在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。
值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。
必须满足菱形的所有性质才能确定。
三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。
2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。
北师大版九年级数学上册第1章1.1菱形的性质与判定(3)优秀教学案例
3.鼓励学生提出问题，培养学生的批判性思维和探究精神。
（四）总结归纳
1.引导学生总结菱形的性质和判定方法，加深学生对菱形知识的理解。
2.学生通过自我评价、同伴评价和教师的评价，全面了解自己的学习成果和进步。
3.教师根据学生的表现，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习能力，达到学习目标。
1.引导学生观察菱形的图形，发现菱形的性质，如四条边相等、对角线互相垂直平分等。
2.通过几何画板或实物模型，演示菱形的性质，让学生直观地理解菱形的特征。
3.引导学生探究菱形的判定方法，如对角线互相垂直平分且四条边相等的四边形是菱形。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的数学问题，让学生在小组内进行讨论和探究，如计算菱形的面积、证明菱形的性质等。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，让学生巩固所学知识，提高学生的应用能力。
2.学生完成作业后，进行自我检查和反思，发现自己的优点和不足，制定改进的措施。
3.教师对学生的作业进行批改和评价，及时了解学生的学习情况，为下一步的教学提供参考。
在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现知识之间的联系，培养学生独立思考和合作交流的能力。同时，我运用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，增强学生的直观感受，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高学生的学习效果。通过本节课的学习，学生不仅能够掌握菱形的性质和判定方法，还能够培养自己的几何直观能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过展示实物和图片，让学生直观地感受到菱形的实际应用，激发了学生的学习兴趣，增强了学生的学习动力。这种生活情境的导入方式，使学生能够更好地理解菱形的实际意义，为后续的学习打下了坚实的基础。
1.1 菱形的性质与判定(三)
第1节 菱形的性质与判定（三）
一、知识回顾
1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6， (1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？ (2)若∠ADC=120°，求AC的长。
☆回忆：菱形有哪些性质？
2. 如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成 为菱形： 添加方式1： . 添加方式2： .
1. 已知：如图，已知四边形 ABCD 是菱形，点 E ， F 分别是边CD，AD的中点．求证：AE=CF．
三、拓展提高
1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重 叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
四、效果检测
1.如图所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一 条对角线BD长10cm，则∠ABC= °，AC= cm. 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相 交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的 面积是 cm²．
1. 菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则 两条对角线的长分别是（ ）
2.已知菱形的面积是12cm2，对角线AC=4cm，则BD= ____cm,菱形的边长AD= cm,菱形的高是______cm. 3. 菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=• 1:2，则 BD=• _____，菱形的面积是______． 4. 菱形的周长为20cm，两邻角度数之比为1:2，则 菱形较短的对角线的长度为 _______________ cm
☆回忆：菱形有哪些判定？
二、知识应用
1.典型例题： 如图，四边形ABCD是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD长为10cm. 求：(1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积.
☆思路启迪：菱形的对角线有什么特点？
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形 .温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。
2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD．菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是。
3.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A. 28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A. 5B. 10C. 15D. 205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( )A. 2B. 2C. 4D. 4第2题第3题第4题第5题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．7.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .（3）四边相等的四边形是菱形 .①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。