第2章2.6连续小波变换应用演示2015秋修
1 c
W f (ca, cb)
c>0
(4)自相似性：对应不同尺度参数a和不同平 移参数b的连续小波变换之间是自相似的。 (5)冗余性：连续小波变换把一维信号变换 到二维空间，因此在连续小波变换中存在信息表 述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公 式不是唯一的。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接 反映，它主要表现在以下两个面： ①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是 唯一的。也就是说，信号f(t)的小波变换与小波重构 不存在一一对应关系，而傅里叶变换与傅里叶反变 换是一一对应的。 ②小波变换的核函数即小波函数ψa，b(t)存在许 多可能的选择(例如，它们可以是非正交小波、正交 小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。
函数的连续小波变换
尺度
50 60 70 80 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
（2）正弦函数的连续小波变换
1
200
300
400
500
600
700
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 20 30 40 50 60 ... 80 70 60
尺度
50 40 30 20 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
(3)白噪声的连续小波变换
3 2 1 0 -1 -2 -3
0
100
200
300
400
500
600
700
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 80 70 60 50 40 ... 20 30 40
尺度
50 60 70 80 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
(4)探地信号的连续小波变换
第2章 §2.6连续小波变换应用演示 1.连续小波变换性质
(1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各 个分量的小波变换之和。 (2)平移不变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)， 则f(t－τ)的小波变换为
Wf (a，b－τ)
(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)， 则f(ct)的小波变换为
小波变换在不同的(a，b)之间的相关 性增加了分析和解释小波变换结果的 困难，因此，小波变换的冗余度应尽 可能减小，它是小波分析中的主要问 题之一。在MATLAB中，可以用cwt 函数实现对信号的连续小波变换。
2. 例子
例3.5.1 已知一信号f(t)＝3sin(100πt)＋2sin(68πt)＋ 5cos(72πt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续小 波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、1.6、…、 3。其MATLAB程序如下： t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋ 5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，′db3′，′plot′)； title(′对不同的尺度小波变换系数值′)； Ylabel(′尺度′)； Xlabel(′时间′)； 程序输出结果如图1.11所示。
图3.5.1
小波变换的系数用图3.5.1所示的 灰度值图表征，横坐标表示变换系数 的系号，纵坐标表示尺度，灰度颜色 越亮，表示系数的值越大。
3.连续小波变换应用演示
（1）函数的连续小波变换
1 0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
δ
100
200
300
400
500
600
（1）
700
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 80 70 60 50 40 ... 20 30 40
合集下载
第二章 时频分析与连续小波变换 ppt课件
定理及傅里叶变换的性
质）
再根据 Schwarz 不等式，有：
2 t
2
1 * (t ) dt ]2
1 f4
t [ f '(t) f *(t) 2
f
'*
(t)
f
(t )]dt
2
4
1 f
4
t(
f
(t
)
2
)
'
dt
2
1 / 4( 考虑到
lim
t
t f (t ) 0 , 再由分部积分
x(n)X(ej)
离散、非连 周续 期、周
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
fˆ()
f
(t)eit dt
f (t) 1 fˆ()eitd
2
连续时间傅里叶变换性质
f ( t ) F fˆ
f 1 * f 2 ( t ) F fˆ1 fˆ 2
kN
kN
ak
1 x[n]ejk0n1 x[n]ejk(2/N)n
NnN
NnN
四种傅里叶变换的关系:
连 续 时 间 傅 立 叶 级 数 C F S
x(t) Ak
连续、周 离期 散、非周期
离 散 时 间 傅 立 叶 级 数 D F S
x(n) Ak
An
1 N
x(k)
离 散 、 周 期 离 散 、 周 期
Heisenberg测不准原理结论
t22
1 4
当且仅f当 (t) aeb(tu)2eit时等号成立
证明（ Weyl ）：假定 lim t f (t ) 0 , 不失一般性，只证明该
t
定理对 u 0时成立。
连续小波变换和离散小波变换.ppt
和 WFT 在所有时间和频率都有相同的分辨率不一 样， 小波变换在高频段有好的时间分辨率和差的频率分 辨率，而在低频段有差的时间分辨率和好的频率分辨 率。 即小尺度因子 （对应高频段） 有更好的尺度分辨率 （即能更精确地确定尺度因子的值） ，大尺度因子对应 于更差的尺度分辨率。
例 已知一信号f(t)＝3sin(100πt)＋2sin(68πt)＋ 5cos(72πt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续 小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、 1.6、…、3。其MATLAB程序如下：
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波，则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见，计算从 a=1 开始，a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时，小波将逐渐膨胀。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换； 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
ˆ ( ) 定义 3.1 设 ψ L2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换
满足
ˆ ( ) | 2 | 0 C d | |
程序输出结果如下图所示。灰度颜色越深，表示系数的值 越大。
图1.11
3.3 几种常用的连续小波基函数
Harr 小波（1910 年由数学家 A. Harr 提出）
1 0 t 1 2 1 t 1 1 2 0 else
2
h(t)=
第2章2.7应用小波变换进行信号奇异性检测2015秋修
设实函数 θ ( x) 满足∫−∞ θ ( x)dx = 1且 θ ( x) = Ο(1 (1 + x 2 )) ， 如果我们选择小波函数为它的一阶导数，即
dθ ( x ) 1 x ϕ ( x) = θ ( x ) = θ ( ) ，这时，小波变换： ，同时记 s dx s s
∞
dθ s d WT f ( s, x) = f ( x) ∗ ϕ s ( x) = f ( x) ∗ ( s )( x) = s [ f ( x) ∗θ s ( x)] dx dx
本例中，信号跃变发 生的时刻为500，在 所有层次的小波系数 中都体现了这个变化。 但是相对而言，高分 辨率的系数对阶跃时 刻的定位有着更高的 精度。从图中可以看 出，在第一层的系数 中，阶跃的范围非常 窄，可以很方便地定 位出阶跃发生的时刻。
即小波变换 WT f ( s, x) 可表示为信号f(x)在尺度s被 θ s ( x) 平滑后的一阶导数。
例： x0，x2是信号f(x)的突变点；x1是f(x)慢变区间的转折点。 x0，x2是 f ∗θ s ( x) 的快变化点；x1对应 f ∗θ s ( x) 化点。 这两种拐点可以通过观察 WT f ( s, x) 的极值点是极大 点还是极小点分辨出来。 x0，x2对应 WT f ( s, x) 的极大 WT f ( s, x) 的极 点；x1对应 小点。
(1) ψ (t ) 的反对称小波； 检测边沿宜采用如 ( 2) ψ (t ) 的对称小波。 检测尖峰脉冲宜采用如
要使奇异检测有效，必须满足适当条件：
ψ (1) (t ) ， ψ ( 2) (t ) 应是某一平滑函数的一、二阶导数；
尺度a必须适当，以便使y(t)的突变点基本上能反映 待分析信号x(t)的突变点；且只有在适当尺度下各突变 点引起的小波变换才能避免交叠干扰。
连续小波变换
0 -0.2 -0.4
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2
小波变换及其应用-信号与信息处理领域新技术讲座49页PPT
叫小波分析或连续小波， 叫基本小波或 小波。若 是窗函数，就叫为窗口小波 函数，一般我们恒假定 为窗口小波函数。
18
19
20
t
连续小波函数窗口的“变焦”特性:
• 当a变小时，时域观察范围变窄，但频率观察的 范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动；
• 当a变大时，时域观察范围变宽，频域的观察范 围变窄，且分析的中心频率向低频处移动.
例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时 间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突 变的尖峰。小波分析是利用多种 “小波基函数 ” 对 “原始信号” 进行分解。
小波变换及时频分析的目的就是根据实际非 稳定信号的分析特点，结合信号的时、频特性 ，对其信号进行时频分析，以达到最佳的分析 效果。
14
小波的时间和频率特性
信号时频分析的重要性：
• 时间和频率是描述信号的两个ห้องสมุดไป่ตู้ 重要的物理量。
• 信号的时域和频域之间具有紧密 的联系。
2
对于各种信号，可以有不同的分类方法，如确定性信 号与随机信号、周期信号与非周期信号、连续信号与离散 信号、平稳信号与非平稳信号等。
所谓信号分析就是在时(间)域或变换域对信号进行分 析处理的过程。信号分析的最直接的方法就是在时域内对 信号进行分析，其突出特点是方法简单、物理概念明确。 然而，对于某些信号在时域很难分析、或特征不明显，需 要进行某种变换，典型的方法是Fourier变换，即在变换域 进行分析。在信号变换域分析中，变换的目的就是寻求对 信号的另外一种表示，使得比较复杂、特征不明显的信号 在变换域更加明显，利于分析。Fourier变换及其反变换建 立了时域信号和频域谱(变换域)的一对一关系，时域和频 域构成了两种不同的分析信号方法。信号时域和频域分析 可以截然分开是以信号的频率特性时不变或统计特性平稳 为前提条件的。
18
19
20
t
连续小波函数窗口的“变焦”特性:
• 当a变小时，时域观察范围变窄，但频率观察的 范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动；
• 当a变大时，时域观察范围变宽，频域的观察范 围变窄，且分析的中心频率向低频处移动.
例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时 间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突 变的尖峰。小波分析是利用多种 “小波基函数 ” 对 “原始信号” 进行分解。
小波变换及时频分析的目的就是根据实际非 稳定信号的分析特点，结合信号的时、频特性 ，对其信号进行时频分析，以达到最佳的分析 效果。
14
小波的时间和频率特性
信号时频分析的重要性：
• 时间和频率是描述信号的两个ห้องสมุดไป่ตู้ 重要的物理量。
• 信号的时域和频域之间具有紧密 的联系。
2
对于各种信号，可以有不同的分类方法，如确定性信 号与随机信号、周期信号与非周期信号、连续信号与离散 信号、平稳信号与非平稳信号等。
所谓信号分析就是在时(间)域或变换域对信号进行分 析处理的过程。信号分析的最直接的方法就是在时域内对 信号进行分析，其突出特点是方法简单、物理概念明确。 然而，对于某些信号在时域很难分析、或特征不明显，需 要进行某种变换，典型的方法是Fourier变换，即在变换域 进行分析。在信号变换域分析中，变换的目的就是寻求对 信号的另外一种表示，使得比较复杂、特征不明显的信号 在变换域更加明显，利于分析。Fourier变换及其反变换建 立了时域信号和频域谱(变换域)的一对一关系，时域和频 域构成了两种不同的分析信号方法。信号时域和频域分析 可以截然分开是以信号的频率特性时不变或统计特性平稳 为前提条件的。
第2讲 连续小波变换
现在用连续小波变换来处理同样的信号。 % 连续小波变换 figure % 用 db3 小波作母小波函数（如下图形） ，尺度 a 分别为 1, 1.2, 1.4, 1.6, …, 3. coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','plot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); figure % 连续小波变换的三维图形 coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','3Dplot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); 下方左图是右图的俯视图。
Ylabel('幅值'); Xlabel('时间'); title('原始信号'); y=fft(f,1024); % DFT 有 1024 个采样点 p=y.*conj(y)/1024; % 计算功率谱密度'); ff=1000*(0:511)/1024; % 计算各点对应的频率值 subplot(322);plot(ff,p(1:512)); Ylabel('功率谱密度'); Xlabel('频率'); title('信号功率谱图');
* *
是 的 Fourier 变换的模平方的一阶矩和二阶中心矩。
2.1.5 定理 乘积 2t 2 是一个不依赖于 a 和 b 的常数。 证明：事实上， a , b 与 有相同的 L2 范数：
小波变换课件 第2章 多分辨分析
第2章 多分辨分析2.1 多分辨分析-----MRA 2.1.1 多尺度空间［例2－1］ 右图由(2)t φ和(21)t φ-的线性组合构成了()t φ，因此，我们说函数1,()k t φ，k =0，1生成了()t φ，或者说1,()k t φ包含了()t φ，即1,()k t φ⊃()t φ。
［例2－2］尺度函数,()(2)j j k t t k φφ=-， j ＝0，1，2，3；k =0，1,2， (21)-（这里暂对j 和k 的范围做了限制）形成了伸缩平移系统，其中j 不同，张成了不同的子空间，如图：3(2)t k φ-，k=0，1，…，7，张成了3V 子空间； 2(2)t k φ-，k=0，…，3，张成了2V 子空间；1(2)t k φ-，k=0，1，张成了1V 子空间；(2)t k φ-，k=0, 张成了0V 子空间。
由上图可见，3V ⊃2V ，2V ⊃1V ，1V ⊃0V ，即3V ⊃2V ⊃1V ⊃0V 。
0V 函数子空间 是当分辨率0j =，尺度为0221j ==时 ，由尺度函数()t k φ-的平移系统张成的函数子空间。
0V 中的任一函数0()f t 均可用()t k φ-的平移系统的线性组合表示1c紧支撑（有限个，其余为零K C ）00) 0()f t =()k k Zc t k φ∈-∑，k c R ∈[例2－2] 下图是一个定义在区间[-1，4]上，所有不连续点仅在整数集中的分段常量函数波形。
（也可能在整数点处连续，但不连续点一定在整数点处。
）满足线性空间定义的两个运。
）而当10123,,,,c c c c c -均为零时，构成零向量），因此构成向量空间。
这个特定的,即由宽度为1＝1/2j＝01/2的5个基向量组成的基底所张成的向量空间，就是一个0V 子空间。
图示为由尺度函数组成的一组基例中波形给出的函数可表达为0()f t =10,100,010,120,230,3()()()()()c t c t c t c t c t φφφφφ--++++ 当K 遍历-1、0、1、2、3时，0,()k t φ构成了0V 子空间的一组标准正交基。
小波变换原理与应用ppt课件
3.小波变换的基本原理与性质
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
第2章2.4小波的例子与小波卷积构造定理2015修正2
ˆ (ω ) = i ψ
4
ω
e−iω / 2 sin 2 (ω / 4 )
ψ (t )
…
0
1 2
1
−1
∞
这是一种最简单的正交小波，即
∫
−∞
ψ (t )ψ ( x − n)dx = 0
n = ±1, ±2,
第2章
小波变换及其应用
常用的基本小波
(2) Daubechies（dbN）小波系
D4尺度函数与小波
2
−t2 / 2
2 2 4 π 2 −ω 2 / 2 ˆ (ω ) = ψ ω e 3
ψ (t )
ˆ (ω ) ψ
第2章
小波变换及其应用
常用的基本小波
(9). Meyer小波 它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：
⎧sin ⎛ π v ⎛ 3 ω − 1 ⎞ ⎞ ⎜ ⎟⎟ ⎪ ⎜ ⎠⎠ ⎝ 2 ⎝ 2π ⎪ 1 iω π ⎛ 3 − ⎪ ⎞⎞ ˆ ( ω ) = ( 2π ) 2 e 2 ⎨cos ⎛ ψ ω − 1⎟ ⎟ ⎜ v⎜ ⎠⎠ ⎪ ⎝ 2 ⎝ 4π ⎪ ⎪0 ⎩
第2章
小波变换及其应用
(5)SymletsA（symN）小波系
• Symlets函数系是由Daubechies提出的近 似对称的小波函数，它是对db函数的一 种改进。Symlets函数系通常表示为symN （N=2，3，…，8）的形式。
第2章
小波变换及其应用
(6). Morlet小波
常用的基本小波
第2章Βιβλιοθήκη 小波变换及其应用(7) 高斯小波
常用的基本小波
2 1 te − t / 2 2π
ψ (t ) = −
sjs2-第二章 连续小波变换(6课时)
第二章连续小波变换13小波母函数（及小波函数）特点：,0)(∫∞∞−=dt t ψ语言描述为：（1）小波具有“小”，具有时、频域紧支集，包络衰减快;（2）小波具有“波动性”，正负交替，与水平轴上下围成的面积相等，直流分量为零；（3）小波具有带通滤波器特性，ψ(t )可理解为一个带通滤波器的冲激响应。
（小波的Fourier 变换是带通）,0)0(ˆ=ψ示。
图2-3ω∆2ω∆2/ω∆ωt 0ω02ω2/0ω)(ˆωψa )(ˆωψa )(ˆωψa19母小波可以是实函数，也可以是复函数。
•具有带通特性，即在频域，围绕着中心频率是有限支撑的也将反映在窗口中心频率处的局部性质，从而实现所期望的频率定位功能。
)(ˆ,ωψb a )(ˆ,ωψb aMorlet小波ψ (t ) = e− t 2 / 2 iω0teˆ (ω ) = 2π e− (ω −ω0 ) ψ2/2(a)小波母函数;(b)Fourier变换Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g (t ) =(σ π )211/ 4e−t2 2σ 2σ = 1,η = 5Gabor 小波 Morlet小波21ψ ( t ) = g ( t ) eiηtMorlet小波morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x) No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support Effective support=[-4 4], SymmetryM orlet W avelet 1 0.8 12 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 2 -0.8 -1 -5 0 -5 6 10 14 FFT of M orlet W avelet84-4-3-2-1012345-4-3-2-1012345Morlet小波是一种复数小波，时频均具有很好的局部性。