第8章__回归正交试验设计
正交试验设计法简介
正交试验设计法简介一、本文概述正交试验设计法是一种高效、系统的试验设计方法，广泛应用于科学研究、工程实践以及日常生产中的优化问题。
本文将对正交试验设计法的基本概念、原理、应用及其优势进行详细介绍，旨在帮助读者更好地理解和应用这一实用的试验设计方法。
正交试验设计法基于数理统计和正交表的理论，通过合理安排试验因素与水平，以较少的试验次数获得丰富的试验信息。
该方法的核心在于利用正交表的正交性，使得各试验因素之间互不干扰，从而能够准确地评估各因素对试验结果的影响程度。
本文将从正交试验设计法的基本原理出发，阐述其在实际应用中的操作步骤和方法。
通过具体案例的分析，展示正交试验设计法在解决实际问题中的优势和应用价值。
本文还将对正交试验设计法的局限性和改进方向进行探讨，以期为读者提供更为全面、深入的了解。
二、正交试验设计法的基本原理正交试验设计法是一种以数理统计和正交性原理为基础的高效试验设计方法。
其基本原理在于，通过选择一组具有代表性的试验点，即正交表中的行，来全面、均衡地考察多个因素在不同水平下的试验效果。
这种方法能够在保证试验全面性的大大减少试验次数，提高试验效率。
正交试验设计法主要基于两个核心原理：正交性原理和代表性原理。
正交性原理指的是在试验设计中，各因素之间应相互独立，互不影响，从而确保试验结果的准确性和可靠性。
代表性原理则是指在选择试验点时，应确保每个试验点都能代表一定的因素水平组合，以便全面考察各因素对试验结果的影响。
正交表是正交试验设计法的核心工具，它是一种具有特定结构的表格，用于安排试验因素和水平。
正交表具有均衡分散和整齐可比的特点，能够确保每个试验点都具有一定的代表性，并且各因素之间保持正交性。
通过正交表，可以方便地安排试验，并对试验结果进行分析和比较。
正交试验设计法的应用范围广泛，适用于多因素、多水平的试验场景。
它不仅可以用于新产品的开发和优化，还可以用于工艺改进、质量控制等领域。
通过正交试验设计法，可以更加高效地找出最优的参数组合，提高产品的性能和质量，降低生产成本，为企业带来更大的经济效益。
回归正交试验设计PPT精品文档
Orthogonal Regression Design
1
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定 试验范围内的最优方案
回归正交设计（orthogonal regression design） ： ➢ 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 ➢ 用较少的试验建立回归方程 ➢ 能解决试验优化问题 ➢ 不适合非数量性因素
2
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的 一次回归方程
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
8
（4）试验方案的确定 表头设计 ： ➢ 可参考正交设计的表头设
计方法 ➢ 交互作用列的编码等于表
中对应两因素列编码的乘 积 零水平试验（中心试验 ）
9
8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ： n＝mc＋m0
➢ mc：二水平试验次数 ➢ m0：零水平试验次数 一次回归方程系数的计算： ➢ 常数项：a ➢ 一次项系数：bj ➢ 交互项系数： bjk
14
例8-1： （1）因素水平编码
15
（2）正交表的选择和试验方案的确定
16
（3）回归方程的建立 ➢ m0＝0，n＝mc＝8 ➢ 计算表 ➢ 计算各回归系数 ➢ 写出y与规范变量zj的回归方程 ➢ 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 ➢ 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 （5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量xj的回归
回归正交试验设计
回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。
它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。
因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。
所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。
正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。
（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。
根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。
二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。
当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。
可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。
8第八章_回归正交试验设计
16
7.1.3 回归分析对数据的处理由被动变主动 古典的回归分析方法只是被动地处理已有的试验数据，对 试验的安排不提任何要求，对如何提高回归方程的精度研究 很少。 后果： （1）盲目增加试验次数，而这些试验结果还不能提供充分 的信息，以致在许多多因子试验问题中达不到试验目的。 （2）对模型的合适性有时无法检验，因为在被动处理数据 时在同一试验点上不一定存在重复试验数据。 为了适应寻求最佳工艺、最佳配方、建立生产过程的数学 模型等的需要，人们就要求以较少的试验次数建立精度较高 的回归方程。
ˆ b0 b1 x1 bp x p y 今后称 A X X 为正规方程组的系数矩阵， B X Y 为正规 1 方程组的常数项向量，C X X 为相关矩阵。 在模型（7.1.5）下，有
b ~ N ( , 2 ( X X ) 1 )
2015-1-9 试验设计与数据处理 9
( xi1 , xi 2 ,, xip , yi ), i 1,2,, n
假定回归模型为：
yi 0 1 xi1 p xip i，i 1,2,, n 2 各 iid ~ N ( 0 , ) i (7.1.5)
2015-1-9
试验设计与数据处理
i 1 i 1 i 1
ˆi )2 ( y ˆ i y) 2 S E S R ST ( yi y ) 2 ( yi y
其中
ˆi )2 S E ( yi y
ˆ i y) 2 S R ( y
i
为残差平方和，自由度为 为回归平方和，自由度为
2015-1-9 试验设计与数据处理 15
当H0j为真时，有 Fj ~ F (1, f E ) 。 给定的显著性水平 ，当 Fj F1 (1, f E ) 时拒绝假设H0j，即认 为 j 显著不为零，否则可以将对应的变量从回归方程中删除。 注：当有不显著的系数时，一般情况下一次只能删除一个F 值最小的变量，重新计算回归系数，再重新检验。通常要到余 下的系数都显著时为止。
第8章回归正交试验设计
②二次项的中心化 对二次项的每个编码进行中心化处理 ：
(二次项编码)－(二次项编码算术平均值)
z ji
'
z
j
2 i
1 n
n i 1
z
j
2 i
二元二次回归正交组合设计编码表
试验号
z1
1
1
z2
z1 z2
z12
1
1
1
2
1
－1
－1
1
3
－1
1
－1
1
4
－1
－1
1
1
5
1
0
0
1
6
－1
0
0
1
7
0
1
0
0
8
0
－1
0
1.414
1.483
3 1.147 1.353
1.471
1.547
4 1.210 1.414
1.525
1.607
5 1.267 1.471
1.575
1.664
6 1.320 1.525
1.623
1.719
7 1.369 1.575
1.668
1.771
8 1.414 1.623
1.711
1.820
9 1.457 1.668
bkj
i 1 n
(zk z j )i2
i 1
二次项偏回归系数bjj ：
n
(
z
' ji
)
yi
b jj
i 1 n
(
z
' ji
)
2
i 1
⑤回归方程显著性检验
卫生统计学第八章正交试验方差分析
WENKU DESIGN
正交试验设计定义与原理
正交试验设计定义
正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根 据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验， 这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点。
正交试验设计原理
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种 设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有 代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分 析，了解全面试验的情况。
THANKS
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REPORTINGΒιβλιοθήκη https://VS
正交表特点
每列中不同数字出现的次数相等；任意两 列中数字的排列方式齐全而且均衡。
正交试验设计步骤
挑因素，选水平
根据试验的目的和专业知识，挑选出与考察指标有关的因素。对选出的因素要分清主次，合理安排。 选取的水平数应根据实际情况而定，过少会导致结果不准确，过多则可能数据分布的规律性较差，代 表性差；
通过建立线性模型来描述各因素 与结果之间的关系，从而进行方 差分析和参数估计。
PART 03
正交试验方差分析步骤
REPORTING
WENKU DESIGN
数据整理与描述性统计
整理试验数据
按照试验因素和水平整理数据，列出试验指标的观察值。
计算总均值和总变异
计算所有观察值的总和、均值、离差平方和等描述性统计量。
选正交表，进行表头设计
根据确定的列数（C）与水平数（t）选择相应的正交表。选择的原则是首先满足列数，其次是水平数。若 有2个或2个以上正交表满足条件时则应选取行数最少的一个；
正交试验设计步骤
明确试验方案，进行试验；
实验五回归正交试验设计(Excel)
j 1
一次回归正交试验的结果分析
I. 建立回归方程
第一步：计算各列的SSj值
n
n
SS j d j zi2j dkj (zik zij )2
i 1
i 1
第二步：计算各列的Bj值
n
n
B0 yi Bj zkj yk
i 1
i 1
n
Bkj zik zij yi i 1
第三步：计算各列的回归系数bj值
二次回归组合设计结果分析
第一步，计算Bj，dj
n
B0 yi i 1
n
d j zi2j i 1
n
n
B j zij yi Bkj zik zij yi
i 1
i 1
n
B jj
z
' ij
yi
k 1
n
dkj (zik zij )2 i 1
n
d jj (zi'j )2 i 1
第二步，计算bj
b0
B0 n
bj
Bj dj
bkj
Bkj dkj
b jj
B jj d jj
II. 回归方程显著性检验
第一步： 计算各列回归系数的偏回归平方和 （ U j）
U j B2j / d j Ukj Bk2j / dkj U jj B2jj / d jj
第二步： 计算总变异均方、剩余的均方、回归均方
p
p
内容：
一次回归正交试验设计
yˆ b0 b1x1 b2 x2... bp xp
p
p1 p
或 yˆ b0 bj x j
bkj xk x j
j 1
k 1 jk 1
二次回归正交试验设计
第八章回归正交试验设计
8回归正交试验设计本章要点：主要讲述了一次回归正交试验设计、二次回归正交试验设计的原理、基本方法和统计分析步骤，并针对不同类型的回归正交试验给出了相应的计算案例。
重点：回归正交试验设计的方法，统计过程中方程的建立以及显著性分析检验。
难点：二次回归组合设计正交性的实现及其统计分析。
8.1 回归正交试验设计简介产品质量通常受多因素的综合影响，试验效应既包括因素的主效应，也包括因素间的交互作用，因此，在产品研究中总希望安排足够多的研究因素以使试验效应有充分的试验论据。
但因素和水平的增加造成试验规模庞大，特别是对于多指标分析的试验往往由于分析困难而无法实施。
线性反应试验一般是研究一个因素多水平的试验设计，面体反应试验是研究两个因素多水平的的试验设计。
当试验因素超过3个的多水平试验时，由于采用组合处理，处理数目等于因素水平间的乘积，它随因素的增加呈几何级数增加。
例如，一个3因素4水平的试验，总共有43＝64个试验处理，而4因素5水平的试验就有54＝625个处理，由于处理数目太大，不仅增加了试验误差，而且由于受试材和条件的限制，这对产品研究来说是难以实施的。
正交试验设计方法在产品工艺改进、新产品的试制中得到了广泛的应用，它能够利用较少的处理安排较多的试验因素，获得较佳的试验结果。
但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量间的相关关系及相应的回归方程。
如果试验传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求。
这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
因而回归正交试验设计应运而生。
回归正交试验设计是将试验安排与数据的回归分析结合起来考虑。
在试验中，通过适当地安排试验点，使得在每个试验点上获得的数据含有最大的信息，并且各自变量(因素)向量间满足正交性以便于回归分析。
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8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ： n＝mc＋m0
➢ mc:二水平试验次数 ➢ m0:零水平试验次数
一次回归方程系数的计算：
➢ 常数项：a ➢ 一次项系数：bj ➢ 交互项系数： bjk
方差分析表
F0.01(1,2)=98.49 F0.05(1,2)=18.51
F0.01(5,2)=99.30 F0.05(5,2)=19.30
差异 SS
df MS
F
源
z1
0.000761 1 0.000761 12.27
z2
0.009113 1 0.009113 146.98
z3
0.000265 1 0.000265 4.27
z12 0.000181 1 0.000181 2.92
Z13 0.000421 1 0.000421 6.79 回归 0.010741 5 0.002148 34.65
残差 0.000123 2 0.000062
总和 0.010864 7
显著性
** *
新的方差分析表
F0.05(1,6)=5.99 F0.01(1,6)=13.74
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交 互作用
➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
（2）因素水平的编码
编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变
换：
zj
xj xj0 j
➢ zj：因素xj的编码 ，称为规范变量 ➢ xj：自然变量 ➢ 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 ➢ 下水平xj1的编码：zj1＝-1 ➢ 零水平xj0的编码：zj0＝0
编码目的：
使每因素的每水平在编码空间是“平等”的， 规范变量zj的取值范围都是[1，-1]内变化，不 会受到自然变量xj的单位和取值大小的影响。 编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…， m）各水平之间的回归问题，转换成试验结果 y与编码值zj之间的回归问题，从而大大简化了 回归计算量。
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例：
设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距 Δj：
➢ Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 ➢ Δj= (xj2 － xj1)/2
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
失拟性检验：为了检验一次回归方程在整 个研究范围内的拟合情况
失拟性检验步骤：
设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0
①重复试验误差：
平方和：SSe1
m0
( y0i
i1
y0)2
m0 i1
y0i2
1 m0
(
m0 i1
y0i )2
重复试验误差的自由度：dfe1 m0 1
差异源 SS 回归(z2) 0.009113 残差e 0.001751 总和 0.010864
df MS 1 0.009113 6 0.000292 7
F 31.21
显著性 **
(5)最终的回归方程
y=0.50475+0.03375z2 z2=(x2-2100)/300 y=0.50475+0.03375 ×(x2-2100)/300 整理后得:
0.010741
SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
(4)方差分析
dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 df12=df13=1 dfR=df1+df2+df3+df12+df13=1+1+1+1+1=5 dfe=dfT-dfR=7-5=2 MS1=SS1/df1=0.000761 MS2=SS2/df2=0.009113 MS3=SS3/df3=0.000265 MS12=SS12/df12=0.000181 MS13=SS13/df13=0.000421 MSR=SSR/dfR=0.010741/5=0.002148 MSe=SSe/dfe=0.000123/2=0.000062 F1=MS1/MSe=0.000761/0.000062=12.27 F2=MS2/MSe=0.009113/0.000062=146.98 F3=MS3/MSe=0.000265/0.000062=4.27 F12=MS12/MSe=0.000181/0.000062=2.92 F13=MS13/MSe=0.000421/0.000062=6.79 FR=MSR/MSe=0.002148/0.000062=34.65
第8章 回归正交 试验设计
本章问题的提出
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不 是一定试验范围内的最优方案
回归分析可通过所确立的回归方程 ，对试验结果 进行预测和优化，但回归分析只能对试验数据进行 被动的处理和分析，不涉及对试验设计的要求。
回归正交设计可将两者结合起来。它可以在因素的 试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立 一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试 验优化问题。
-
-0.554
0.554
3
1 -1 -1 1 1 0.480 0.230400 0.480 0.480 0.480 0.480 0.480
4
1 -1 -1 -1 -1 0.472 0.222784 0.472 -0.472 -0.472
-
-0.472
0.472
5 -1 1 -1 1 -1 -0.516 0.266256 -0.516 -0.516 0.516 0.516 -0.516
④F检验： 回归方程显著性检验
偏回归系数显著性检验 ：
➢ 判断因素或交互作用对试验的影响程度 ➢ 经检验不显著的因素或交互作用应归入
残差，重新检验
➢ 可直接从回归方程中剔除这些一次和交 互项
例8-1：p.126~129
例8-1 用石墨炉原子吸收分光光度计测定食 品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y) 大。为提高吸光度，讨论了x1(灰化温度/℃)， x2(原子化温度/℃)和 x3 (灯电流/mA)三个因素 对吸光度的影响，并考虑交互作用x1x2 ， x1x3 。已知x1＝300~700℃， x2＝ 1800~2400℃，x3＝8~10mA。试通过回归正 交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系 式。
例8-1：p.126~129 (1)因素水平编码
编码
上水平(1) 下水平(-1) 零水平(0) 变化间距Δj
因素xj
x1(灰化温度 x2(原子化温 x3 (灯电流
/℃)
度/℃)
/mA)
700
2400
10
300
1800
8
500
2100
9
200
300
1
(2)正交表的选择和试验方案的确定
(3)回归方程的建立 依题意 m0=0,n=mc=8
回归平方和 ：
SSR SS一次项 SS交互项
残差平方和 ：SSe SST SSR
②自由度
dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ：
dfR df一次项 df交互项
残差自由度：
dfe dfT dfR
③均方
z2i yi
i 1
mc
n
0.270 0.03375
8
b3
n
z3i yi
i 1
mc
0.046 0.00575 8
b12
(z1z2 )i yi
i 1
mc
0.038
0.00475
8
b13
n
(z1z2 )i yi
i1
mc
0.058 0.00725 8
试
z1 z2 z1z2 z3 z1
y
验
z3
号
y2
z1y z2y z3y (z1z2 (z1z2)y
)y
1
1 1 1 1 1 0.552 0.304704 0.552 0.552 0.552 0.552 0.552
2
1 1 1 -1 -1 0.554 0.306919 0.554 0.554 -0.554
（3）一次回归正交设计表
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：
回归正交设计表的特点：
➢任一列编码的和为0 ➢任两列编码的乘积之和等于0
说明经转换后的正交表同样具有正交 性。
（4）试验方案的确定
表头设计 ：
➢ 可参考正交设计的表 头设计方法
➢ 交互作用列的编码等 于表中对应两因素列 编码的乘积
y=0.2685+0.0001125x2
（2）有零水平试验时
目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit） 检验 （要求m0≥2 ）
前面所提的对回归方程进行的显著性检验， 只能说明相对残差平方和而言，各因素对 试验结果的影响是否显著。即使所建立的 回归方程是显著的， 也只反映了回归方程 在试验点与试验结果拟合得较好，不能说 明在整个研究范围内回归方程都与实测值 有好的拟合。
(3)回归方程的建立
➢ 写出y与规范变量zj的回归方程