数学基础傅立叶变换
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数学物理方程第五章_傅里叶变换
阜师院数科院
2.奇函数和偶函数的傅里叶展开
sin kx l
是奇函数，cos
kx l
是偶函数。
故 奇函数 f(z) 有
f
(x)
bk
k 1
sin
kx
l
,
其中
bk
1 l
l l
f ( )sin
k l
d .
偶函数 f(z) 有
f
(x)
a0
k 1
ak
cos
kx ,
l
其中
ak
1 kl
l f ( ) cos k
0.
(5.1.3) (5.1.4)
因此
akbk11lk l
l l l
f
l
f ( ) cos k d l
( ) sin k d. l
,
此为傅里叶系数
(ห้องสมุดไป่ตู้.1.5)
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。
狄里希利定理
函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收 敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致
i kx
f (x) cke l ,
k
其中
ck
1 2l
l
f
(
i
)[e
kx l
]*
d
.
l
2i
例 矩形波
f
(x)
1 1
(2m , (2m 1) ) ((2m 1) ,2m )
f (x) ck eikx , k
1
ck 2
f ( )eikxd 1
基础知识积累—傅里叶变换
三、傅里叶变换
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数 （正弦函数或余弦 函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不 同的变体形式， 如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热 过程的解析分析的工具被提出的。
变换提出
傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是 Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier 对热传递很感兴趣，于 1807 年在法国科学 学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有 争议性的决断： 任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审 查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉 普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此 后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号， 如 在方波中出现非连续变化斜率。 法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅 里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破
的傅里叶变换为
，且其导函数
的傅里叶变换存在，则
即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。更一般地，若 的 阶导数 的傅里叶变换存在，则
即 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子
。
卷积特性
若函数 以及 都在 上绝对可积，则卷积函数为：
即傅里叶变换存在，且 Parseval 定理以及 Plancherel 定理 若函数 有： 以及 平方可积，二者的傅里叶变换分别为 与 ，则
常见的傅里叶变换
常见的傅里叶变换
傅里叶变换（FourierTransformation）是在数学术语中指任何将时域信号转换成频域信号（包括反向转换）的一种算法。
它可以将任何时域函数转换为复杂的频率函数，并使用它来衡量信号的性质。
这种变换的另一种表达形式是“Fourier分析”，它可以用于分析和解释复杂的信号，以及从中提取有关信号频率和振幅的信息。
傅里叶变换的主要用途是将复杂的时域信号转换为频域信号，以便快速获取信号的性质。
它也被广泛用于信号处理，数字信号处理，图像处理，科学可视化，生物信号处理，信号检测，滤波器设计等领域。
它可以提取有关信号的重要特征，包括频率，振幅，相位等，这些特征在信号分析，处理和重构方面非常重要。
在数学中，傅里叶变换可以用来进行积分及其反向变换，以及用于传输函数系统的稳定性分析。
此外，它也可以用于语音处理，设计滤波器，图像处理等方面。
常见的傅里叶变换有：
1. 傅里叶变换（Fourier Transform）：这是最基本的傅里叶变换，它用于将时域函数转换为频域函数。
2. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）：它是基于傅里叶变换的优化算法，可以将复杂信号的傅里叶变换运算时间减少到计算机可承受的最低水平。
3. 非负傅里叶变换（Non-negative Fourier Transform）：它是一种特殊的傅里叶变换，它只用非负数来表示傅里叶变换的系数，这
样可以更加精确地表示一个原始信号的复杂结构。
4. 小波变换（Wavelet Transform）：它是一种相对傅里叶变换而言的更加复杂的算法，它可以更精确地描述复杂信号，更有效地提取信号特征。
数学物理方法(傅里叶变换法)
例5 恒定表面浓度扩散 在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体 中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由 于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求 是半无界空间x>0中的定解问题
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令
则化为关于w的定解问题:
这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即 引用例2结果可得
解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题
这个方程的解为 再进行傅里叶逆变换
利用5.3例1的结果
应用延迟定理
出现
对 的积分只要在球面
以r为球心(矢径r),半径为at
上进行
为球面 的面积元,此即泊松公式.
三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式
求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为 球心,以at为半径作球面 然后拿初始扰动
第一个积分中令 第二个积分中令 则有
被积函数是偶函数,故
记做erfx,则w可写为:
所求的解如下:
误差函数
记做erfcx,则有
余误差函数
硅片表面
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
分布情况,曲线1对应于某个较早的时 刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚 的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很 明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线) 例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题
数学物理方法(傅里叶变换法).ppt
第一节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是 连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积 分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 例1 求解无限长弦的自由振动
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令
则化为关于w的定解问题:
这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即 引用例2结果可得
解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题
这个方程的解为 再进行傅里叶逆变换
利用5.3例1的结果
应用延迟定理
出现
对 的积分只要在球面
以r为球心(矢径r),半径为at
上进行
为球面 的面积元,此即泊松公式.
三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式
求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为 球心,以at为半径作球面 然后拿初始扰动
第一个积分中令 第二个积分中令 则有
被积函数是偶函数,故
记做erfx,则w可写为:
所求的解如下:
误差函数
记做erfcx,则有
余误差函数
硅片表面
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
分布情况,曲线1对应于某个较早的时 刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚 的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很 明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线) 例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题
数学物理方法(傅里叶变换法).ppt
第一节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是 连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积 分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 例1 求解无限长弦的自由振动
常用傅里叶变换公式大全
常用傅里叶变换公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。
下面就是常用的傅里叶变换公式大全：1、傅里叶变换：$$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$2、傅里叶反变换：$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$3、离散傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$4、离散傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$5、快速傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$6、快速傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$7、离散余弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$8、离散余弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$9、离散正弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$10、离散正弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$以上就是常用的傅里叶变换公式大全，它们可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且可以用来解决许多实际问题。
因此，傅里叶变换在科学研究和工程应用中都有着重要的作用。
傅里叶变换
线性性质
k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
分析性质
f '(x) → iωF(ω);
∫
x
∞
f ( x ) dx →
1 iω
F (ω )
傅里叶变换
位移性质
f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ; exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
相似性质
f(ax) → F(ω/a)/a; f(x/b)/b → F(bω) .
卷积性质
f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω); f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ
对称性质
正变换与逆变换具有某种对称性; 适当调整定义中的系数后,可以使对称性更加明显.
傅里叶变换
应用举例
rect( x) → sin 1 ω /(π ω) 2
S1 1
S3 0.75
0.5
0.5 0.25
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
1
2
3
-1
S6 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
S24 0.75 0.5 0.25 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 3
展开系数:
1 cn = 2L
∫
L
L
exp(i
nπ x ) f ( x)dx L
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出"任何 周期信号都可用正 弦函数的级数表示" 1822年发表"热的 分析理论",首次 提出"任何非周期 信号都可用正弦函 数的积分表示" 返 回
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
数学物理方法5傅里叶变换
图像压缩。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
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•傅里叶反变换记作
F-1Ffx,fy
傅里叶频谱概念和狄里赫利条件
根据欧拉公式， expj2π f x x f y y 是频率为 f x ,f y
的余（正）弦函数。傅里叶反变换式表示函数 f x,y
是各种频率为 f x ,f y 的余（正）弦函数的叠加，叠加
时的权重因子是 f x,y 。因此傅里叶变换 F f x ,f y
不变线性系统的本征函数
如果函数 f x, y 满足以下条件
Lf x,yaf x,y （式中 a 为一复常数）则称为算符所表征的系统的本征函数。这就
是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，它相应的输出函 数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。 • 前面讲的基元函数——复指数函数就是线性不变系统的本征函数
根据卷积定理有
fy
hx,
yexp
j f x x
fy
ydxdy
即
G f x , f y H f x , f y F f x , f y
H
fx, fy
G fx, fy F fx, fy
称做不变线性系统的的传递函数
传递函数的意义
空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子
• 输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不 同频率的基元函数的作用，也就是系统在把输入“传递” 为输出过程中的作用，因而称为传递函数
对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而 对函数相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的 “倒立像”。
二维傅里叶变换定义
•若函数 f x,y在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件,其傅
里叶变换定义为
F[ f (x, y)] F fx,fy f x, yexp - j2 fxx fy y dxdy
在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，例如余（正）弦函数、 阶跃函数以至最简单的常数等。它们都是光学中经常用到的，而且都 不能满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不可能严格实现。对于 这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换
可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义 和广义的区别
傅里叶变换定理（3）
（4）帕色伐（Parseval）定理：
如果
Fgx G f x
则有：
2
2
gx
dx
G
fx
df x
该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。
傅里叶变换定理（4）
（5）卷积定理：如果 Fgx G fx , Fhx H fx
则有
Fgx*hx G fx H fx
即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积
二维不变线性系统的传递函数
Байду номын сангаас
如果不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为
F fx , f y
f x, yexp j
fxx fyy
dxdy
同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为
G fx , f y
gx, yexp j
fxx fyy
dxdy
H fx ,
Fgxhx G fx * H fx
而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积
卷积定理为傅里叶变换的计算提供了另一个方便的途径。
傅里叶变换定理（5）
（6）傅里叶积分定理：在函数 gx,y 的各个连续点上有
F-1Fgx,yFF-1 gx,ygx,y FFgx,yF-1F-1 gx,ygx, y
传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入函数各 种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改变这些 基元成分的初位相
传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角称作 位相传递函数
空间频率的两种意义
空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长度倒数 称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数 信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的 图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，其大小是没有限 制的，可以是无穷大
•傅里叶变换记作 Ff x, y
•函数 F f x ,f y 的傅里叶反变换为
f x, y F fx , fy exp j2π fxx fy y dfxdfy
f (x, y) F 1[F[ f (x, y)]] F[ f (x, y)]exp( j2 ( fxx fy y))dfxdfy
常称为函数的频谱 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和 狄里赫利条件是其中一种 狄里赫利条件可具体表述为：“在任一有限矩形区域 里，必须只有有限个间断点和有限个极大极小点，而 且没有无穷大间断点”
关于存在性的两点说明
在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函 数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说， 物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度来 看，可以认为傅里叶变换总是存在的
另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因 为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变 的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为： 光波数/mm ）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方 向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。 下章再详细讲这两者区别
gx , y exp j fa fbhx , y dd exp j fa x fb y h ' , ' exp j fa ' fb ' d 'd ' H fa , fb exp j fa x fb y
（2）相似性定理：如果 Fgx G f x
（缩放和反演定理）
则有
Fgax 1 G f x
a a
（单缝衍射，缝窄衍射变宽）
傅里叶变换定理（2）
（3）位移定理：如果 Fgx G f x
则有 Fgx a G f x exp j2f xa
，函数在空域中的平移，带来频域中的相移
同时 Fgxexp j2fa x G fx fa ，函数在空域中的相移，带来频域中的平移
傅里叶变换
G f Fgx gxexp- j2f xdx
(傅立叶变换)
gx F 1G f G f expj2πf xdf
(傅立叶逆变换)
傅里叶变换定理（1）
（1）线性定理：如果 Fgx G fx , Fhx H f x （波的叠加原理）
则有 Fgx hx G f x H f x