近世代数课件代数运算

§1 代数运算
例 7 向量空间上的加法适合结合律、交换律 和消去律;向量空间上的减法不适合结合律和交换 律,适合消去律.
设“ ”是有限集 A {a1, a2 , , an} 上的乘法,其 乘法表如前所述.令 X (aij )nn .显而易见,“ ”适合 交换律当且仅当 X 为对称矩阵; “ ”适合左(右)消 去律当且仅当 X 的每一行(列)都是 a1, a2 , , an 的一 个排列.
则称“ ”适合结合律. (2)若对于任意的 a, b A 总有 ab ba ,
§1 代数运算
则称“ ”适合交换律. (3)若对于任意的 a, b, c A ,由 ab ac
可以推得 b c ,则称“ ”适合左消去律;若对 于 任 意 的 a, b, c A , 由 ba ca 可 以 推 得 b c ,则称“ ”适合右消去律;若“ ”既适合 左消去律,又适合右消去律,则称“ ”适合消 去律.
本课程只介绍最基本的一些近世代数知 识,主要讨论二元运算.
§1 代数运算
在讨论二元运算时,一般不用字母 f 或 g 等 表 示 二 元 运 算 , 而 是 用“”,“” , “ ” ,“－”，“”,“”或“”等记号表示二 元运算.特别地,我们常常用记号“ ”来表示任 意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c 时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c 简写成 ab c .
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二 元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯 一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等 式 f (a, b) c 改写成 afb c .
§1 代数运算
近世代数又称为抽象代数,主要研究各式 各样的代数运算,是现代数学的一个内容丰富 有趣的分支.它不仅渗透到其它所有的数学分 支,而且在许多自然科学领域都有重要的应用.
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
§1 代数运算
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个 代数运算.
(1)若对于任意的 a, b, c A 总有 (ab)c a(bc) ,
第一章 群 论
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵 组成的集合.则矩阵的加法、减法和乘法都是 P nn 上 的二元运算.数与矩阵的乘法是 P , P nn 到 P nn 的代 数运算,不是 P nn 上的二元运算.
§1 代数运算
以下,如无特别声明,凡是提到代数运算 都是指二元运算.
有限集 A 上的每一个代数运算“ ”都可 以用一张表(称为乘法表)来定义.
设 A {a1, a2 , , an} ,“ ”A 是上的乘法 “ ”，则相应的乘法表如下:
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§1 代数运算
· a1 a2 … an a1 a11 a12 … a1n a2 a21 a22 … a2n an an1 an2 … ann 其中, aia j aij A , i, j 1, 2, , n .
§1 代数运算
例如,对于我们刚才提到的集合 K4 上的那个乘 法“ ”,从乘法表立即可以看出“ ”适合交换律和消 去律.
设“ ”是非空集合 A 上的乘法.根据定义,我 们每一次只能对 A 中的两个元素进行运算.要对 A 中 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 施行运算,必需添 加 n2 次括号,规定运算次序.一般说来,随着加 括号的方式不同,运算的结果有可能不同.
§1 代数运算
例 3 设V 是实数域 R 上的三维欧几里得 空间.于是,向量的加法“”,减法“-”以及向 量与向量的叉乘“”都是V 上的二元运算;实数 与向量乘法“ ”是 R ,V 到V 的代数运算,不是 V 上 的 二 元 运 算 ; 向 量 与 向 量 的 点 乘“ ”是 V ,V 到 R 的代数运算,不是V 上的二元运算.
§1 代数运算
例 5 设 R 是实数集.则 R 上的加法“” 适合结合律、交换律和消去律; R 上的乘法 “”适合结合律和交换律,不适合消去律; R 上 减法“-”不适合结合律和交换律,但适合消 去律.
注意: R \{0} 上的乘法“”适合结合律、 交换律和消去律.
§1 代数运算
例 6 令 P nn 表示某个数域 P 上的全 体 n 阶方阵构成的集合.则 P nn 上的加法 适合结合律、交换律和消去律; P nn 上的 减法不适合结合律和交换律,适合消去 律; P nn 上的乘法适合结合律,不适合消去 律,当 n 1时不适合交换律.