一次函数和二次函数相交的问题
2020年中考代数综合第4讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题
2020 年中考代数综合第 4 讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题【案例赏析】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝+2x﹣a+1 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G 与直线PP'无交点，求m 的取值范围．2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，OB＝OC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，若点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．3.已知关于x 的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3 与y 轴交于点C，点B 关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G 向右平移n （n＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【专项突破】4．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．5.已知关于x 一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根（1）求k 取值范围；（2）当k 最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m 有三个不同公共点时m 值．低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．（1）求点A 的坐标；（2）若BC＝4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D 之间的部分记为图象G（包含C，D 两点）．若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c 在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P（﹣3，4）的直线y＝mx+n（m≠0）与图象G 有唯一公共点，请结合图象，求n 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C1：y＝x2+bx+c 与x 轴交于点A，B（点A 在点B 的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1 的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2 围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l 与图形M 有公共点，求k 的取值范围．【参考答案】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝+2x﹣a+1 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G 与直线PP'无交点，求m 的取值范围．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线解析式，列出关于a 的一元一次方程，通过解该方程求得a 的值；（2）根据（1）中抛物线解析式求得顶点P 的坐标，然后由关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数来求点P′的坐标；（3）由点P、P′的坐标求得直线PP′的解析式，然后根据平移的性质并结合图形进行答题．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）在抛物线上，∴，∴解得a＝﹣2．（2）∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3．∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点P的坐标为（1，4）．∴．∵点P 关于原点的对称点为P'，∴P'的坐标为（﹣1，﹣4）．（3）直线PP'的表达式为y＝4x，图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（﹣1，﹣3），B'的坐标为（3，﹣3），若图象G 与直线PP'无交点，则B'要左移到M 及左边，令y＝﹣3 代入PP'，则，M 的坐标为，∴，【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征．此题中的点A 的坐标是隐含在题中的一个已知条件．2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，OB＝OC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，若点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．【分析】（1）由抛物线的解析式易求点C 的坐标，进而可求出点B 的坐标，把点B 的坐标代入抛物线的解析式可求出m 的值，则抛物线的解析式也可求出；（2）由点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，可知t＝﹣3，若y1 向左平移n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，若y2 向下平移n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，进而可求出n 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣3）．∵抛物线与x 轴交于A、B 两点，OB＝OC，∴B（3，0）或B（﹣3，0）．∵点A 在点B 的左侧，m＞0，∴抛物线经过点B（3，0）．∴0＝9m+3（m﹣3）﹣3．∴m＝1．∴抛物线的表达式为y1＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）可知：y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，∴t＝﹣3，∴y2＝﹣3x﹣3，y1 向左平移n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y2 向下平移n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、二次函数和坐标轴的交点问题以及二次函数增减性等知识，熟练掌握二次函数的各种性质特别是平行的性质是解题关键．3.已知关于x 的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3 与y 轴交于点C，点B 关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G 向右平移n （n＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【分析】（1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证；（2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m 的值，可得抛物线的解析式；（3）点求出点A，B，C，D 的坐标，根据待定系数法求出直线CD 的解析式，设平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），根据点在直线上，求出取值范围即可．【解答】（1）证明：由根的判别式，可得：△＝（3m+1）2﹣4×m×3＝（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根；（2）解：令y＝0，那么mx2+（3m+1）x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣，∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数，∴m＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2+4x+3；（3）如图，∵当x＝0 时，y＝3，∴C（0，3），∵当y＝0 时，x1＝﹣3，x2＝﹣1，又∵点A 在点B 的左侧，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D（1，0），设直线CD 的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CD 的表达式为：y＝﹣3x+3，又∵当x＝﹣时，y＝，∴点E（﹣，），∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），当直线y＝﹣3x+3 经过点A′（﹣3+n，0）时，得：﹣3（﹣3+n）+3＝0，解得：n＝4，当直线y＝﹣3x+3经过点E′（﹣+n，），时，得：﹣3（﹣+n）+3＝，解得：n ＝，当抛物线与直线相切情况，此时n＝∴n 的取值范围是≤n≤．【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，抛物线与x 轴的交点及二次函数的图象的性质，熟知抛物线与x 轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键．4．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．【分析】（1）本题中，二次项系数m 的值不确定，分为m＝0，m≠0 两种情况，分别证明方程有实数根．（2）抛物线经过原点，c＝0，列出方程即可解决．（3）列出方程组，有两个交点，△＞0，即可求出b 的取值范围．【解答】解：（1）分两种情况讨论．①当m＝0 时，方程为x﹣2＝0，x＝2．∴m＝0 时，方程有实数根．②当m≠0 时，则一元二次方程的根的判别式△＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）＝9m2﹣6m+1﹣8m2+8m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，∴m≠0 时，方程有实数根．故无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．综合①②可知，m 取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 恒有实数根；（2）∵抛物线y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2 经过原点，∴2m﹣2＝0，∴m＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x．（3）函数图象如图所示，由消去y 得到x2﹣3x﹣b＝0，∵两个函数图象有两个交点，∴△＞O，∴9+4b＞0，∴b＞﹣时直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点．【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况，记住两个函数图象有两个交点，说明方程组有两组解，利用判别式解决问题，属于中考常考题型．5.已知关于x 一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根（1）求k 取值范围；（2）当k 最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m 有三个不同公共点时m 值．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出k 的取值范围；（2）根据k 的取值范围可得当k＝0 时，为k 最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过原二次函数与x 轴的交点A（即左边的交点），可将A 点坐标代入直线的解析式中，即可求出m 的值；②原二次函数图象x 轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x 轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x 的一元二次方程，那么该方程的判别式△＝0，根据这一条件可确定m 的取值．【解答】解：（1）由题意，得△＝4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＝16k+16＞0，∴k＞﹣1，∴k 的取值范围为k＞﹣1；（2）∵k＞﹣1，且k 取最小的整数，∴k＝0．∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∵y＝x2﹣2x﹣3 的图象与x 轴相交，∴0＝x2﹣2x﹣3，∴解得：x＝﹣1 或3，∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）；（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y＝x+m 知：直线位于l1 和l2 时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），∴0＝﹣1+m，即m＝1．②当直线位于l2 时，此时l2 与函数y＝﹣x2+2x+3 的图象有一个公共点，∴方程x+m＝﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m＝0 有两个相等实根，∴△＝1﹣4（m﹣3）＝0，即m＝．当m＝时，x1＝x2＝满足﹣1≤x≤3，由①②知m＝1 或m＝．【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B 的坐标可以得到对称轴方程为x＝1，结合已知条件得到该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），则易求该抛物线的解析式；（2）通过图象可以看出点B 纵坐标t 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx+n过点A（﹣1，a），B（3，a），∴抛物线的对称轴x＝1．∵抛物线最低点的纵坐标为﹣4，∴抛物线的顶点是（1，﹣4）．∴抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣4，即y＝2x2﹣4x﹣2．把A（﹣1，a ）代入抛物线表达式，求出a＝4；（2）∵抛物线顶点C（1，﹣4）关于y 轴的对称点为点D，∴D（﹣1，﹣4）．求出直线CD 的表达式为y＝﹣4．求出直线BD 的表达式为y＝2x﹣2，当x＝1 时，y＝0．所以﹣4＜t≤0．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换．需要学生具备画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．（1）求点A 的坐标；（2）若BC＝4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D 之间的部分记为图象G（包含C，D 两点）．若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．【分析】（1）把一般式配成顶点式即可得到A 点坐标；（2）已知BC＝4，由（1）可知抛物线对称轴为x＝1，所以可知B 点坐标，将其代入抛物线方程可求得m 的值，于是得到抛物线解析式；②由m＝1即可得到B（﹣1，0），C（3，0），再求出D（0，﹣3），画出抛物线，通过画图可得当k＞0 时，直线y＝kx+b 过A、C 时，k 最大；当k＜0，直线y＝kx+b 过A、D 时，k 最大，然后分别求出两直线解析式即可得到k 的范围．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx+m﹣4＝m（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的顶点A的坐标为（1，﹣4）；（2）①∵BC＝4，抛物线的对称轴为x＝1，点 B 在点C 左侧，∴点B坐标为（﹣1，0），点C坐标为（3，0），将B（﹣1，0）代入y＝m（x﹣1）2﹣4，得：0＝4m﹣4，解得m＝1所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；②B（﹣1，0），C（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），如图，当直线y＝kx+b 过A、C 时，直线解析式为y＝2x﹣6；当直线y＝kx+b 过A、D 时，直线解析式为y＝﹣x﹣3，所以若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，k 的取值范围为0＜k≤2 或﹣1≤k＜0．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和一次函数图象的性质．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．，（1） 求抛物线的表达式；（2） 抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 在第一象限内的部分记为图象 G ，如果过点 P （﹣3，4）的直线 y ＝mx +n （m ≠0）与图象 G 有唯一公共点，请结合图象，求 n 的取值范围．【分析】（1）将点 A 、B 坐标代入二次函数解析式即可求得；（2）如图，先求出直线 PB 解析式．从而知其与 y 轴的交点 E ，由图象知过点 P 的直线与 y 轴交点在 C 、E （含点 C ，不含点 E ）之间时，与图象 G 有唯一公共点，据此解答可得．【解答】解：（1）将 A 、B 两点的坐标代入抛物线的表达式中，得：， 解得∴抛物线的表达式为 y ＝﹣x 2+2x +3．（2）设抛物线 y ＝﹣x 2+2x +3 与 y 轴交于点 C ，则点 C 的坐标为（0，3）．抛物线 y ＝﹣x 2+2x +3 的顶点坐标为（1，4）．设直线 PB 解析式为 y ＝kx +b ，将点 P （﹣3，4）、B （3，0）代入，得：，∴直线 PB 的表达式为，∴与 y 轴交于点 E （0，2）．∵直线 PD 平行于 x 轴，∴与 y 轴交于点 F （0，4）．由图象可知，当过点 P 的直线与 y 轴交点在 C 、E （含点 C ，不含点 E ）之间时，与图象G 有唯一公共点，另外，直线 PD 与图象 G 也有唯一公共点，但此时 m ＝0．∴n 的取值范围是 2＜n ≤3．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象上的点的坐标特征，根据函数图象得出过点的直线与图象 G 有唯一公共点时，与 y 轴交点的范围是解题的关键，9. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 1：y ＝x 2+bx +c 与 x 轴交于点 A ，B （点 A 在点 B 的左侧），对称轴与 x 轴交于点（3，0），且 AB ＝4．（1） 求抛物线 C 1 的表达式及顶点坐标；（2） 将抛物线 C 1 平移，得到的新抛物线 C 2 的顶点为（0，﹣1），抛物线 C 1 的对称轴与两条抛物线 C 1，C 2 围成的封闭图形为 M ．直线 l ：y ＝kx +m （k ≠0）经过点 B ．若直线 l 与图形 M 有公共点，求 k 的取值范围．，解得：【分析】（1）利用对称轴与x轴交于点（3，0），AB＝4可得A，B坐标，将A，B坐标代入y＝x2+bx+c 可得解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）利用平移后的C2的顶点为（0，﹣1），可得抛物线C2的解析式，易得抛物线C1的对称轴x＝3 与抛物线C2 的交点E，当直线l 过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，代入y＝kx+m（k≠0）可得k BD，将点B（5，0）和点E（3，8）代入y＝kx+m（k≠0）可得k BE，易得k 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线C1的对称轴与x轴交于点（3，0），∴抛物线C1 的对称轴为直线x＝3．又∵AB＝4，∴A（1，0），B（5，0）．∴解得∴抛物线C1 的表达式为y＝x2﹣6x+5．即y＝（x﹣3）2﹣4．∴抛物线C1的顶点为D（3，﹣4）．（2）∵平移后得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），∴抛物线C2 的表达式为y＝x2﹣1．∴抛物线C1 的对称轴x＝3 与抛物线C2 的交点为E（3，8）①当直线l 过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，得解得k BD＝2．②当直线l 过点B（5，0）和点E（3，8）时，得解得k BE＝﹣4，∴结合函数图象可知，k 的取值范围是﹣4≤k≤2 且k≠0．【点评】本题主要考查了二次函数的性和二次函数图象与几何变换，利用代入法求交点是解答此题的关键．第21页（共21页）。
九年级数学上册专题突破19二次函数和反比例函数解密二次函数与一次函数的交点问题新
解密二次函数与一次函数的交点问题1. 知识载体ymxnmnm≠0）+ （1（）一次函数解析式:为常数且=、2acabyaxbxc :,=为常数且+,+≠0）（（2）二次函数解析式解题思想2.数形结合（把交点问题转化为方程问题求解）解题方法3.求这两个函数的交点坐标或交点个数需要把一次函数解析式和二次函数解析式联立方程组y?mx?n?，整理后得到一个新的一元二次方程，根据判别式来确定交点的个数：?2y?ax?bx?c??一次函数与二次函数有两个交点；0 （1）△＞?二次函数与一次函数有一个交点；）△=0 （2?二次函数与一次函数没有交点。
0 （3）△＜注意：（2）△=0是（1）和（3）的分界点，所以在解决问题时往往利用△=0求出参数的值，从而确定所求范围。
2?2xx?1y?y?x?n，分析两图象的交点个数。
抛物线解析式为：，直线解析式为：例22AxABxymxm在轴交于例题1 （历下区二模）已知二次函数的图象与=﹣2两点（点+、﹣422xyDmxmxmBy轴下方的部分的图象在=﹣1时，将函数=﹣﹣点2的左边），且与轴交于点4。
当+QQx有两个公共与图象沿图象的其余部分保持不变，轴翻折，得到一个新的图象当直线。
b点时，求实数的取值范围。
22mxxxymxmm=0得﹣2+2+，解得﹣4=0==，﹣2，令答案：212mDBAmm ﹣4，，0））（0，∴（2﹣，0），（+2，2BAymxx，﹣0，则﹣3，（﹣30），（1，），顶点为（﹣14）时，﹣当=1=+21x??by Q有两个公共点，因为直线与图象213x?y?bb?A，则当直线点时过22 111x?bb?y?B，，0当直线过）时，（122731?bx?by?2xxy只有一个公共点时，﹣2，与+3当直线=﹣1627331bb根据图象，可得﹣＞＜。
＜或2216Q抛折后直线与翻键题的关，还要注意的点拨：弄清直线与图象的交点个数情况是解法。
b的求切物线相时，2BaxybxA，0），）两点。
二次函数与一次函数交点问题
二次函数与一次函数交点问题1. 一次函数（直线）：情况一：一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 为定值时，通过平移去讨论产生的交点问题． 如：b x y +=2是与x y 2=平行的一组直线。
情况二：当一次函数)0(≠+=k b kx y 中，b 为定值时，此时一次函数过定点(0,b)，可以通过旋转的方式， 从而讨论交点个数问题．如：3+=kx y 是过定点），（30的直线； k kx y +=是过定点），（31-的直线。
2. 一次函数与二次函数交点问题情况一：一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠产生交点，求交点坐标方法。
联立二次函数与一次函数的解析式⎩⎨⎧++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2=-++=n c x ax y ，解此一元二次方程即可。
例：一次函数1+=x y 与二次函数322--=x x y 交于A 、B 两点，求交点坐标。
解：联立⎩⎨⎧=+=3-2-12x x y x y 整理得：1322+=--x x x即：0432=--x x ∴.1421-==x x ；∴.0521==y y ；∴A （4,5）、B （-1,0）情况二：当n 为何值时，一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠只有一个交点？有两个交点？无交点？联立二次函数与一次函数的解析式⎩⎨⎧++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2=-++=n c x ax y ，∵ 二次函数c x ax y ++=b 2与一次函数n kx y +=只有一个交点，两个交点，无交点， ∴ 令0=∆，0>∆，0<∆，即可求得n 的值或范围.例：一次函数n x y +=与二次函数322--=x x y 只有一个交点，求n 的值。
解：联立⎩⎨⎧=+=3-2-2x x y n x y 整理得：n x x x +=--322即：0-332=--n x x令0=∆，即0-3-4-9=）（n ∴421-=n。
一次函数与二次函数相交引出的问题
一次函数与二次函数相交引出的问题
郭奕津
【期刊名称】《初中数语外辅导》
【年(卷),期】2000(000)001
【摘要】中考数学的最后一、两道题一般都是考查代数、几何中多个知识点综合运用能力的试题，考生们常常不知从何下手，丢分较多。
本期起，我刊特别开辟此栏目，精选全国各地中考压轴试题进行精析、精解，帮助你闽过难关，决胜中考!【总页数】2页(P25-26)
【作者】郭奕津
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.一次函数和二次函数中的“恒成立问题”
2.关于一次函数和二次函数迭代的一些问题
3.一次函数与反比例函数相交问题的再探究
4.精选问题引出新知,明辨重点突破难点——以二次函数单元起始课为例
5.探讨一次函数和二次函数中恒成立问题
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一次函数和二次函数相交的问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小1如图，已知直线y=x与抛物线y=-x2交于A、B两点.21 (2)记一次函数y=x的函数值为y i,二次函数y=^x2 若y i>y2,求x的取值范围.类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y (x-2) 2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点 A (1, 0)及点B.(1) 求一次函数与二次函数的解析式；(2) 根据图象，写出满足kx+b>(x-2) 2+m的x的取值范围.练习1:如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D. (1)求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.练习2:在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于 A (-1, 0), B (3, 0), C (0, -3), 一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点.(1)求一次函数和二次函数的解析式.(2) 当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大?(3) 当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值.(4) 当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0.类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题1如图，一次函数y=x- 1与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，已知二次函数图2象的对称轴为x=1，并与y轴的交点为(0，1).( 1)求二次函数的解析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC,求三角形ABC的面积. 瑞练习1：如图，A (-1，0)、B (2，-3)两点在一次函数y i=-x+m与二次函数y2=a«+bx-3的图象上.(1 )求m的值和二次函数的解析式.(2) 二次函数交y轴于。
一次函数和二次函数相交的问题
一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小1如图，已知直线y=x 与抛物线y=_x 2交于A 、B 两点.21(1) 求交点A 、B 的坐标；(2)记一次函数y=x 的函数值为y i ，二次函数y= — x 2的函数值为y ?2若y i > y 2,求x 的取值范围.类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小 如图，二次函数y= (x-2 ) 2+m 的图象与y 轴交于点C,点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点 A (1, 0)及点B .(1) 求一次函数与二次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足 kx+b >( x-2 ) 2+m 的x 的取值范围.练习1:如图所示，二次函数的图象与 x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点 一次函数的图象过点 B 、D . (1 )求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式； 函数值的x 的取值范围.练习2:在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于 A (-1，0)，函数图象交于B 、C 两点.(1) 求一次函数和二次函数的解析式. (2)当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？(3) 当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值. (4)当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0.3： 一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于 A( m, 5)和B (3, n )两点，且点B 是抛物线的顶点. (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)在同一坐标系中画岀两个函数的图象;(3)从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随 x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值?类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
1如图，一次函数y=x- 与x 轴交点A 恰好是二次函数与 x 的其中一个交点，已知2二次函数图象的对称轴为 x=1，并与y 轴的交点为(0，1).( 1)求二次函数的解 析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为 C 点，连接BC ，求三角形ABC的面积.(1)求m 的值和二次函数的解析式.(2)二次函数交y 轴于。
一次函数和二次函数相交的问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B（3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
练习1：如图，A （-1，0）、B （2，-3）两点在一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象上．（1）求m 的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y 轴于C ，求△ABC 的面积．变式：已知一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象交于两点A （-1，0）、B （2，-3），且二次函数与y 轴交于点C ，P 为抛物线顶点．求△ABP 的面积．练习2：如图，一次函数的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=21x 2+bx+c 的图象与一次函数y=21x+1的图象交于B ，C 两点，与x 轴交于D ，E 两点，且D 点坐标为（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求线段BC 的长及四边形BDEC 的面积S ；1.附加题：已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y=的图象交于点A （3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MN ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．,2.如图，过y 轴上点A 的一次函数与反比例函数相交于B 、D 两点，B （﹣2，3），BC ⊥x 轴于C ，四边形OABC 面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）当x 在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）3.如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．4.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．。
(完整版)一次函数和二次函数相交的问题
一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小 如图，已知直线y=x 与抛物线y=21x 2交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=21x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．ABC Oxy练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小 如图，已知直线y=x 与抛物线y=2
1x 2交于A 、B 两点．（1）求交点A 、B 的坐标； （2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=2
1x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．
类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小
如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．
练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、
二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围． 练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．
（1）求一次函数和二次函数的解析式．
（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？
（3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值．
（4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．
类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
如图，一次函数y=x-2
1与x 轴交点A 恰好是二次函数与x 的其中一个交点，已知二次函数图象的对称轴为x=1，并与y 轴的交点为（0，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C 点，连接BC ，求三角形ABC 的面积．
练习1：如图，A （-1，0）、B （2，-3）两点在一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图
象上．
（1）求m 的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y 轴于C ，求△ABC 的面积． 变式：已知一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象交于两点A （-1，0）、B （2，-3），
且二次函数与y 轴交于点C ，P 为抛物线顶点．求△ABP 的面积．
练习2：如图，一次函数的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=21
x 2+bx+c 的
图象与一次函数y=21
x+1的图象交于B ，C 两点，与x 轴交于D ，E 两点，且D 点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；（2）求线段BC 的长及四边形BDEC 的面积S ；
1.附加题：已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y=的图象交于点A （3，2）
A B
C O x
y
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
,
2.如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）
3.如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A
的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．
（1）直接写出k，m的值；
（2）求梯形ABCD的面积．
4.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A
的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求△AOC的面积．。