天津四中2020届高三下学期线上数学复习检测(无答案)

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天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷普通高中高三调研测试文科

俯视图左视图21主视图11（第5题）天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷普通高中高三调研测试文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}02|2<--=x x x M ，{}11|<<-=x x N ，则A ．M 是N 的真子集B ．N 是M 的真子集C ．N M =D ．φ=N M 2．已知 i 为虚单位，复数i z 2321+-=，则=+||z z A ．i 2321-- B ．i 2321+- C ．i 2321+ D ．i 2321- 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间) , 0(∞+上单调递减的是A ．xy 1=B ．x e y -=C ．12+-=x y D ．||lg x y = 4．实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+0034y y x y x ，则目标函数y x z -=2的最小值为A ．1-B ．2C ．4D ．8 5．三视图如右图的几何体的体积为 A ．34B ．1C ．2D ．32 6．已知p ：k x ≥，q ：113<+x ．如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 A ．) , 2[∞+ B ．) , 2(∞+ C ．) , 1[∞+ D ．]1 , (--∞7．向量a 、b 满足1| |=a ，2| |=b ，且 ) (a b a ⊥+，则a 与b 的夹角为A ．030 B ．060 C ．0120 D ．01508．已知角θ的始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则=θ2cosA ．54-B ．53-C ．53D ．54 9．在等差数列{}n a 中，621129+=a a ，则数列{}n a 的前11项和=11S第16题A ．132B ．66C ．48D ．2410．一条光线从点)3 , 2(--射出，经y 轴反射后与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．35-或53-B ．23-或32-C ．45-或54-D ．34-或43- 11．已知椭圆C ：12222=+by a x （）0>>b a 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2=，则椭圆C 的离心率是A ．21 B ．31C ．22D ．2312．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=3 , 83103130, |log |)(23x x x x x x f ，若)()()()(d f c f b f a f ===，且d c b a <<<<0，则d c ab ++的值是A ．14B ．13C ．12D ．11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知递减．．的等比数列{}n a 满足11=a ，25223-=a a ，则通项=n a ． 14．函数1ln )(+-=ax x x f 在] , 1[e e内有零点，则实数a 的取值范围为．15．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的一个焦点，且双曲线的实轴长为2，则该双曲线的方程为． 16．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 对角线1BD 的三等分点，P 到直线1CC 的距离为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知{}n a 是正项等差数列，{}n a 的前n 项和记为n S ，31=a ，532S a a =⋅． ⑴求{}n a 的通项公式； ⑵设数列{}n b 的通项为nn S b 1=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）已知函数1)6cos(sin 4)(++=πx x x f ，R x ∈．⑴求)(x f 的最小正周期；PABC DE 第19题⑵求)(x f 在区间]3, 4[ππ-上的最大值和最小值． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，侧棱⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为侧棱PC 上一点．⑴若PC BE ⊥，求证：平面⊥BDE 平面PBC ； ⑵若//PA 平面BDE ，求证：E 是PC 的中点． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：12222=+by a x （）0>>b a 的焦点为1F 、2F ，短轴为21B B ，四边形2211B F B F 是边长为2的正方形．⑴求椭圆C 的方程；⑵过点)31 , 0(-P 且斜率为k 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，证明：无论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点)1 , 0(D ．21．（本小题满分12分）已知函数x x f ln )(=，0>x ．⑴证明：) , 0( , 21∞+∈∀x x ，2)()()2(2121x f x f x x f +≥+； ⑵若1>x 时，不等式mx m x x f ++->)1)(1()(恒成立，求常数m 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）已知向量1OP 、2OP 、3OP 满足条件0321=++OP OP ，1||||||321===OP OP ． ⑴求证：321P P P ∆是正三角形；⑵试判断直线1OP 与直线32P P 的位置关系，并证明你的判断． 23．（本小题满分10分）已知α、β、γ是三个平面，a =βα ，b =γα ，c =γβ ． ⑴若O b a = ，求证：a 、b 、c 三线共点；⑵若b a //，试判断直线a 与直线c 的位置关系，并证明你的判断． 24．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1 l ：01543=-+y x ，2l 经过点O 且与 1l 垂直．⑴求直线 2l 的方程；⑵设1 l 、2l 、x 轴两两相交的交点为A 、B 、C ，试求ABC ∆内接圆的方程．参考答案一、选择题 BDCA BBCB ADAD 二、填空题 n-12，]1 , 0[（端点、开闭每个1分，全对5分），1322=-y x ，35三、解答题17．解：⑴设{}n a 的公差为d ，由已知得)23(5)23)(3(d d d +=++……2分解得2=d ，或23-=d （与题意“{}n a 是正项等差数列”不符，舍去）……4分， {}n a 的通项公式为12)1(1+=-+=n d n a a n ……5分 ⑵由⑴得)2(2)(1+=+=n n a a n S n n ……6分 )211(21)2(11+-=+==n n n n S b n n ……8分)]211()1111()5131()4121()311[(21+-++--++-+-+-=n n n n T n ……9分]2111211[21+-+-+=n n ……11分，)2)(1(4532+++=n n n n ……12分 18．解：⑴1)6sin sin 6cos(cos sin 4)(+-=ππx x x x f ……1分x x x x x 2cos 2sin 31sin 2cos sin 322+=+-=……3分)62sin(2π+=x ……5分)(x f 的最小正周期ππ==22T ……7分 ⑵当34ππ≤≤-x 时，65623πππ≤+≤-x ……10分（对1个端点给2分，全对给3分）)(x f 在区间]3, 4[ππ-上的最大值2=M ，最小值3-=m ……12分19．证明：⑴连接AC ，因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥……1分因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥……2分因为A AC PA = ，所以⊥BD 平面PAC ……4分，PC BD ⊥……5分因为PC BE ⊥，B BE BD = ，所以⊥PC 平面BDE ……6分因为⊂PC 平面PBC ，所以平面⊥BDE 平面PBC ……8分⑵设O BD AC = ，连接OE ，因为ABCD 为菱形，所以OC AO =……9分因为//PA 平面BDF ，平面 PAC 平面OE BDE =，所以OE PA //……11分所以EC PE =，E 是PC 的中点……12分 20．⑴依题意，c b =，222==+a c b ……2分，1=b ……3分椭圆C 的方程为1222=+y x ……4分 ⑵过点)31 , 0(-P 且斜率为k 的直线的方程为kx y =+31……5分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+kx y y x 311222得01612)918(22=--+kx x k ……6分设) , (11y x A 、) , (22y x B ，则91812221+=+k k x x ，91816221+-=⋅k x x ……7分 )1 , (11y x --=，)1 , (22y x --= )1)(1(2121y y x x --+=⋅……8分916)(34)1(21212++-+=x x k x x k ……9分 09169181234918)1(16222=++⨯-++-=k k k k k ……10分所以⊥，090=∠ADB ……11分所以D 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆恒过点)1 , 0(D ……12分 21．⑴证明：2ln )2(2121x x x x f +=+，212121ln )ln (ln 212)()(x x x x x f x f =+=+ ……2分) , 0( , 21∞+∈∀x x ，022121>≥+x x x x ……3分因为x x f ln )(=在区间) , 0(∞+上是增函数，所以2)()()2(2121x f x f x x f +≥+ ……4分⑵设mx m x x m x m x x f x g ++--=++--=)1)(1(ln )1)(1()()(，则 2222/)()1)(()()1(1)(m x x x m x m x m x x g +--=++-=……5分解0)(/=x g 得2m x =或1=x ……6分若12≤m ，则1>∀x ，0)()1)(()(22/>+--=m x x x m x x g ……8分，1>∀x ，0)1()(=>g x g ，mx m x x f ++->)1)(1()(……9分若12>m ，则当) , 1(2m x ∈时，0)()1)(()(22/<+--=m x x x m x x g ……10分，从而0)1()(=<g x g ，mx m x x f ++-<)1)(1()(……11分所以，12≤m ，m 的取值范围为]1 , 1[-……12分．22. 证明：⑴（方法一）∵0321=++OP OP ，∴123OP OP OP +=-∴22123()OP OP OP +=，∴222112232OP OP OP OP OP +⋅+=……1分∵1||||||321===OP OP OP ，∴2221231OP OP OP ===，∴1212OP OP ⋅=-……3分 32||||212122212221=+⋅-=-=OP OP OP P P ……5分∴3||21=P P ，同理3||||32231==P P P P，∴321P P P ∆是正三角形……6分（方法二）设111(,)P x y ，222(,)P x y ，333(,)P x y∵1||||||321===OP OP ，∴221122222233111x y x y x y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩……1分 ∵0321=++OP OP OP ，∴12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩∴123123x x x y y y +=-⎧⎨+=-⎩……2分∴2222121233()()x x y y x y +++=+……3分∴222222112212123322x y x y x x y y x y +++++=+，∴1212221x x y y +=-……4分∴12PP =12PP ==1323PP P P =，∴121323PP PP P P ==，∴321P P P ∆是正三角形……6分 ⑵123OP P P ⊥……7分证明：∵0321=++OP OP OP ，∴123OP OP OP =--∴22123132233223()()()OP P P OP OP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=-=---=-……9分 ∵1||||||321===OP OP ，2223OP OP =，∴1230OP P P ⋅=，123OP P P ⊥---10分 23. 证明：⑴∵O b a = ，∴O a O b ∈∈,∵a =βα ，b =γα ，∴a b βγ⊂⊂，∴O O βγ∈∈,，即O βγ=……3分又∵c =γβ ，∴O c ∈，即,O a O b O c ∈∈∈,，∴a 、b 、c 三线共点------5分⑵//a c ……6分∵a =βα ，b =γα ，b a //，∴,a b γγ⊄⊂……8分又∵b a //，∴//a γ……9分又∵,a c ββγ⊂=，∴//a c ……10分24. ⑴直线 1l 的斜率为……1分，∵，∴直线 2l 的斜率……2分，又∵2l 经过点O ，∴直线 2l 的方程为，或……3分 ⑵设ABC ∆内接圆的圆心为，依题意，圆的半径为……4分……6分，由图可知，圆心在直线1 l 的左下方，在2l 的右下方，所以……8分，解得……9分，ABC ∆内接圆的方程为1)1()2(22=-+-y x ……10分．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01 审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期高三期中练习数学理科

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期高三期中练习数学理科创作人：百里公地创作日期：202X.04.01 审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合}21{≤<-=x x P ，}01{>-=x x Q ，则=Q PA ．}11|{<<-x xB ．}21|{≤<x xC ．}21|{≤<-x xD ．}1|{->x x2．若向量a =（1，—1），b =（—1，1），c =（5，1），则c +a+b =A ．aB ．bC ．cD ．a+b 3．抛物线24y x =-的准线方程是 A ．116x =B ．1x =C ．1y =D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为A ．647B ．9C ．738D ．780 6．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为A ．4B ．32C ．22D ．37．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A ．827B ．271C ．2627D ．1527 8．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0,1)，然后接着按图所示在x 轴，y 轴平行方向来回运动（即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0) →(2,0) ……），若每秒运动一个单位长度，那么第秒时，这个粒子所在的位置为A ．（16,44）B ．（15,44）．C ．（14,44）D ．（13,44）第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．函数sin cos y x x =的最小正周期为.10．经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标方程为_. 11．如图，是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是. 12．若函数2)(3++-=cx x x f )(R c ∈，则/3()2f -、/(1)f -、/(0)f 的大小关系是_.13．如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则=BD _.14．已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0,20,)(2x x c bx x x f ，若1)1(=-f ，2)0(-=f ，则函数x x f x g +=)()(的零点个数为____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）已知函数)2sin()42cos(21)(x x x f --+=ππ．（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）求)(x f 在区间[,)42ππ-上的最大值与最小值． 16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ， SA =AD =1，AB =2．（I ）求证：MN ⊥平面ABN ；y. .'OCO BDA（II ）求二面角A —BN —C 的余弦值． 17．（本小题满分13分）已知函数()32331f x ax x a=-+-(R a ∈,且0)a ≠，求)(x f '及函数)(x f 的极大值与极小值． 18．（本小题满分13分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．（I ）求甲答对试题数ξ的分布列及数学期望；（II ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率32e =，一个焦点的坐标为()3,0．（I ）求椭圆C 方程；（II ）设直线1:2l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ．当m 变化时，求TAB ∆面积的最大值．20．（本小题满分14分）当n p p p ,,,21 均为正数时，称np p p n+++ 21为n p p p ,,,21 的“均倒数”．已知数列{}n a 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为121+n ．（Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12+=n a c n n ，试判断并说明()*1n n c c n N +-∈的符号；（Ⅲ）已知(0)n an b t t =>，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，试求1n nS S +的值；（Ⅳ）设函数124)(2+-+-=n a x x x f n，是否存在最大的实数λ，使当λ≤x 时，对于一切正整数n ，都有0)(≤x f 恒成立？参考答案题号12345678一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. π10. 2cos ρθ= 11.20n ≤12./(0)f ＞/(1)f -＞/3()2f -13. 814.3三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15. （本小题共12分）解：（Ⅰ）由题意 0)2sin(≠-x π⇒Z k k x ∈≠-,2ππ⇒Z k k x ∈+≠,2ππ故所求定义域为 {Z k k x x ∈+≠,2|ππ} …………4分（Ⅱ）x x x x x x f cos 2sin 2cos 1)2sin()42cos(21)(++=--+=ππxx x x cos cos sin 2cos 22+=x x sin 2cos 2+=)4sin(22π+=x …………9分3,04244x x ππππ-≤<∴≤+<，…………10分 ∴当04x π+=即4x π=-时，min ()0f x =；当42x ππ+=即4x π=时，max ()f x =．……12分16．（本小题满分14分）解：（I ）以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），S （0，0，1）(图略)).21,21,22(),0,1,22(N M ∴……………………2分 ).21,21,22(),0,0,2(),21,21,0(==-=∴AN AB MN …………………………4分∴MN ⊥平面ABN .……………………………………………………………………7分（II ）设平面NBC 的法向量.,),,,(c b a ⊥⊥=则且又易知令a =1，则).2,0,1(=n ……………………………………………………11分显然，)21,21,0(-=MN 就是平面ABN 的法向量. 由图形知，二面角A —BN —C 是钝角二面角…………………………………12分.33---∴的余弦值是二面角C BN A ……………………………………14分 17．（本小题满分13分）解：由题设知)2(363)(,02ax ax x ax x f a-=-='∴≠………………2分令2()00f x x x a'===得或……………………………4分当0a >时，随x 的变化，()/f x 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a ==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小……………8分当0a <时，随x 的变化，()'fx 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a ==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小…………………12分综上，当0a >时，()31f x a =-极大，()2431f x a a=--+极小；当0a <时，()31f x a =-极大，()2431f x a a=--+极小.……………13分18．（本小题满分13分）解：（I ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0,1,2,3，…………………1分则,301)0(31034===C C P ξ.61)3(31036===C C P ξ…………………………………………………5分ξ∴的分布列为甲答对试题数ξ的数学期望为.5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………7分（II ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则.15141205656)(310381228=+=+=C C C C B P ………………………………9分因为事件A 、B 相互独立，∴ 甲、乙两人考试均不合格的概率为.451]15141][321[)()()(=--=⋅=⋅B P A P B A P ………………………11分∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544…………………13分另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544 19．（本小题满分14分）解法一：（I ）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=)0(>>b a,2=∴a ………………3分 ,1222=-=c a b ………………4分∴椭圆C 的方程是2214x y +=………………5分 (9)…………10分（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()00,M x y()21212012002,22 111,,2221,2x x m x x m AB x x x m y x m m M m m +=-=-====+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭则(),0,1012,1233,,044MT AB T t mMT AB k k t m t m T m -⊥∴⋅=⋅=-+⎛⎫=-∴- ⎪⎝⎭设解得………………11分.1)1(8522+--=m ………………13分 22<<-m ，∴当21m =，即1m =±时，TAB S ∆取得最大值为.85………………14分解法二：（I ）同解法一（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()00,M x y212122,22x x m x x m ∴+=-=-………………8分()01200111,,2221,2x x x m y x m m M m m =+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………10分MT ∴的方程为322y x m =--令0y =，得34x m =-，3,04T m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………9分设AB 交x 轴与点R,则()2,0R m -.||45||m TR =∴ ………………11分 ,852)2(8522=-+⋅≤m m ………………13分 ∴当21m =，即1m =±时，TAB S ∆取得最大值为.85…………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）121(21)n n a a a a n n -++⋅⋅⋅++=+,121(1)(21)n a a a n n -++⋅⋅⋅+=--，两式相减，得41(2)n a n n =-≥ . 又111211a =⨯+，解得 13411a ==⨯- , ∴ 41()n a n n N +=-∈ . ………4分（Ⅱ）∵4132212121n n a n c n n n -===-+++, 11322323n n a c n n ++==-++ , ∴1332123n n c c n n +-=-++＞0，即1n n c +＞c . ………7分（Ⅲ）∵41()n a n nb t t t -==＞0,∴374112n n n S b b b t t t-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，当1t =时,n S n = ,11n n S n S n++=; ………8分当t ＞0且1t ≠时, 344(1)1n n t t S t -=-，441411n n nn S tS t ++-=-. ………10分综上得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>--=+=++1,0,111,14441t t t t t nn S S nn nn ………11分（Ⅳ）由（Ⅱ）知数列 {}n c 是单调递增数列,11c =是其的最小项，即11n c c ≥=．假设存在最大实数,使当x λ≤时,对于一切正整数n ,都有2()4021na f x x x n =-+-≤+ 恒成立，则2421nn a x x c n -+≤=+ ()n N +∈．只需2141x x c -+≤=，即2410x x -+≥．解之得2x ≥+或 2x ≤-,可取2λ=-14分。

2020届天津市和平区高三下学期线上检测数学学试题(解析版)

2020届天津市和平区高三下学期线上检测数学学试题一、单选题1．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |﹣1≤x ≤5}，则（A ∪B ）∩C ＝（） A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，5} D ．{x ∈R |﹣1≤x≤5} 【答案】B【解析】先求出A ∪B ＝{1，2，4，6}，再与集合C 求交集即可. 【详解】∵A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，∴A ∪B ＝{1，2，4，6}，又C ＝{|15}x R x ∈-≤≤，∴（A ∪B ）∩C ＝{1，2，4}．故选：B ．【点睛】本题考查集合的交、并运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 2．设a ∈R ，则“|a ﹣1|≤1”是“﹣a 2+3a ≥0”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别解不等式，利用集合间的包含关系来判断. 【详解】|a ﹣1|≤1，解得：0≤a ≤2，﹣a 2+3a ≥0，解得：0≤a ≤3， ∴“|a ﹣1|≤1”是“﹣a 2+3a ≥0”的充分非必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查充分条件、必要条件，通常在判断充分条件、必要条件有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.利用集合间的包含关系判断.3．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直,则a =（） A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】【详解】试题分析：设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ，则直线方程(22)y k x -=-，即220kx y k -+-==12k =-，由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=，因此112a -⨯=-，解得2a =，故答案为C.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（） A ．54万元 B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆybx a =+上,ˆ9b =,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D. 【考点】回归直线恒过样本点的中心(),x y .5．设sin 6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小. 【详解】1sin62a π==Q ,21log 32b <=<,12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,c a b ∴<<,故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f （x ）2x x e e x --=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用()f x 的奇偶性可排除A ，由x ＞0时，f （x ）函数值的正负可排除D ，当x →+∞时，f （x ）函数值变化趋势可排除C.【详解】根据题意，函数f （x ）2x xe e x--=，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）2x xe e x --==-（2x x e e x--）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A ，又由x ＞0时，有e x ＞e ﹣x ，即有e x ﹣e ﹣x ＞0，则有f （x ）＞0，排除D ，当x →+∞时，f （x ）→+∞，排除C ；故选：B ．【点睛】本题考查由解析式确定函数图象的问题，一般做这类题，要牢牢抓住函数的性质，如奇偶性，单调性以及特殊点的函数值等，本题是一道基础题.7．已知双曲线22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2px =-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得b=1；则c =故选A ．8．已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 在[,0]π-上是增函数【答案】D【解析】根据函数()cos |sin |f x x x =-的性质,逐个判断各选项的真假．【详解】对于A ，函数()cos |sin |f x x x =-，定义域为R ，且满足()cos()|sin()|cos |sin |()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为定义域R 上的偶函数，A 正确；对于B ，[,0]x π∈-时，sin 0x …，()cos |sin |cos sin 2sin 4f x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上恰有一个零点是4π-，B 正确；对于C ，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数，C 正确；对于D ，[,0]x π∈-时，()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上先减后增，D 错误．故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求法．9．已知函数()21,70ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，()22g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()()20f m g a -=，则实数a 的取值范围为（） A ．[)1,-+∞ B ．(][),13,-∞-+∞U C ．[]1,3-D ．(],3-∞【答案】C【解析】()22g x x x =-Q ，设a 为实数，()2224,g a a a a R ∴=-∈，224,,y a a a R Q =-∈由函数()21,70,x x f x lnx e x e -⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，可得()()276,2,f f e --==-画出函数()21,70,x x f x lnx e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩的图象，由函数()f x 的图象可知，()f x 值域为[]2,6,-Q 存在实数m ，使()()20f m g a -=，22246a a ∴-≤-≤，即13a -≤≤，实数a 的取值范围为[]1,3-，故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题10．设复数z 满足()1i 3i z +=-，则z =______．【解析】求解出复数z ，根据模长的定义可求得结果. 【详解】由题意得：()()3132412122i i i iz i i ----====-+z ∴==【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.11．二项式82x ⎛⎝的展开式中，常数项为_____________.（用数字作答）【答案】112【解析】利用二项式定理的通项公式即可求解．【详解】通项公式T r+1()()()r48r 8r8r r r r388C 2x C 21x ---⎛==- ⎝, 令84r3-=0，解得r ＝6 ∴常数项6282==ð112．故答案为112 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，熟记通项公式，准确计算是关键，属于基础题．12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____．【答案】4【解析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可. 【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5， ∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2＝BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1， ∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ， ∵M 是AA 1的中点，∴1111134222A MB AA B S S ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：1111111113433A MBC C A MB A MB V V S AC --==⨯⨯=⨯⨯=V 4．故答案为：4．【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.13．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是________；若X 表示摸出黑球的个数，则EX =________．【答案】35 45【解析】从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是11232563P 105C C C ===n ； X 可取：0,1,2,.()23253P 010C X C ===,()1123256 P 110C C X C ===n ,()22251P 210C X C ===36140121010105EX =⨯+⨯+⨯=, 14．已知a ＞0，b ＞0，当（a +4b ）21ab+取得最小值为_____时，a +b ＝_____．【答案】854【解析】由a +4b 4ab ≥可得（a +4b ）21116ab ab ab+≥+，再利用一次基本不等式即可，要注意验证等号成立的条件. 【详解】因为a ＞0，b ＞0，所以a +4b 4ab ≥，当且仅当a ＝4b 时取等号，所以（a +4b ）2≥16ab ，则（a +4b ）211116216ab ab ab ab ab+≥+≥⋅=8，当且仅当4116a bab ab =⎧⎪⎨=⎪⎩即a ＝1，b 14=时取等号，此时取得最小值8，a +b 54=．故答案为：（1）8；（2）54【点睛】本题考查利用基本不等式求最小值的问题，一般在利用基本不等式求最值时，应尽量避免多次运用，以免等号不能同时成立，本题是一道中档题.15．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN u u u r •ME =-u u u r1，则tan A ＝_____，AB u u u r •BC =u u u r _____．【答案】34185-．【解析】设A （0，b ），B （﹣a ，0），C （a ，0），利用DN u u u r •ME =-u u u r1以及3AB =可求得a ，b ，在△ABC 中利用余弦定理求得cos A ，从而可得tan A ；AB u u u r •BC uuur 利用数量积的定义计算. 【详解】以边BC 所在直线为x 轴，以边BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设A （0，b ），B （﹣a ，0），C （a ，0），且D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，∴D （3a -，23b ），E （23a -，3b ），M （ 3a ，23b ），N （ 23a ，3b），∴DN =u u u r （a ，3b -），ME =u u u r （﹣a ，3b -），且 DN u u u r •ME =-u u u r 1，∴﹣a 229b +=-1①，又AC ＝3，∴a 2+b 2＝9②，联立①②得，a 295=，在△ABC 中，由余弦定理得，cos A2361899435233185a-+-===⨯⨯．因为A 为等腰三角形的顶角；且cos A 35=，∴sin A 2415cos A =-=；∴tan A 34=；sin1522A cosA -==； ∴cos B ＝cos （2Aπ-）＝sin52A =∴AB u u u r •BC BA =-u u u r u u u r •BC =-u u u r 3×2a ×cos B ＝﹣3355255185⨯⨯=-．故答案为：（1）34；（2）185-．【点睛】本题考查向量的坐标运算以及定义法求向量的数量积，做此类题关键是建好系，准确写出点的坐标，是一道中档题.三、解答题16．已知函数21()2cos 2f x x x =--．（1）求()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合．（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．【答案】（1）最小值为2-；{|6x x k ππ=-，}k Z ∈；（2）1a =，2b =【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)16f x x π=--，利用正弦函数的图象和性质即可求解．（2）由已知可求sin(2)106C π--=，结合范围0C π<<，可求3C π=，由已知及正弦定理可得2b a =，进而由余弦定理可得223a b ab +-=，联立即可解得a ，b 的值．【详解】解：（1）211cos21()2cos 2sin(2)12226x f x x x x x π+--=--=--Q ， ∴当2262x k ππ-=π-，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 的最小值为2-，此时自变量x 的集合为：{|6x x k ππ=-，}k Z ∈（2）f Q （C ）0=， sin(2)106C π∴--=，又0C π<<Q ，112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，可得：3C π=，sin 2sin B A =Q ，由正弦定理可得：2b a =①，又c =，∴由余弦定理可得：2222cos3a b ab π=+-，可得：223a b ab +-=②，∴联立①②解得：1a =，2b =.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,2BC BB ==，12BCC π∠=，AB ⊥侧面11BB C C .（Ⅰ）求直线1C B 与底面ABC 所成角正切值；（Ⅱ）在棱1CC （不包含端点）上确定一点E 的位置，使得1EA EB ⊥（要求说明理由）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若2AB =，求二面角11A EB A --的大小.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥，理由见详解；（Ⅲ）二面角11A EB A --的大小为45°.【解析】方法一：(Ⅰ) 可得1C BC ∠为直线1C B 与底面ABC 所成角，由已知可得1tan C BC ∠的值；（Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥，可得190BEB ︒∠=，即1B E BE ⊥.可得1AB EB ⊥，1EB ∴⊥平面ABE ，1EA EB ⊥；（Ⅲ）取1EB 的中点G ，1A E 的中点F ，则11//FG A B ，且1112FG A B =，连结11,A B AB ，设11A B AB O ⋂=，连结,,OF OG FG ，可得OGF ∠为二面角11A EB A --的平面角，可得二面角11A EB A --的大小.方法二：(Ⅰ)以B 为原点，1,,BC BB BA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)B C B C ，可得1(1,2,0)C B =--，面ABC 的一个法向量1(0,2,0)BB =u u u r，可得sin θ的值，可得tan θ的值；（Ⅱ）设(1,,0),(0,0,)E y A z ，则(1,,)EA y z =--u u u r，1(1,2,0)EB y =--u u u r ,由11(2)0EA EB y y ⋅=+-=u u u r u u u r，可得y 的值，可得E 的位置；（Ⅲ）可求得面1AEB 的一个法向量1(1,12)n =u r，平面11EB A 的一个法向量2(1,1,0)n =u u r,可得二面角11A EB A --的大小.【详解】解：（Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -，1C C ⊥平面ABC,∴1C B 在平面ABC 上的射影为CB.∴1C BC ∠为直线1C B 与底面ABC 所成角，1112,1,tan 2CC BB BC C BC ===∴∠=Q ，即直线1C B 与底面ABC 所成角的正切值为2. （Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥.1111,1CE EC BC B C ====Q ,1145BEC B EC ︒∴∠=∠=， 190BEB ︒∴∠=，即1B E BE ⊥.又AB ⊥Q 平面11BB C C ，1EB Q 平面11BB C C 1AB EB ∴⊥.BE AB B ⋂=Q ，1EB ∴⊥平面ABE,EA ⊂ 平面ABE ，1EA EB ⊥.（Ⅲ）取1EB 的中点G ，1A E 的中点F ，则11//FG A B ，且1112FG A B =， 1111A B EB FG EB ⊥∴⊥Q ,连结11,A B AB ，设11A B AB O ⋂=，连结,,OF OG FG ，则//OG AE ，且1112OG AE AE EB OG EB =⊥∴⊥Q ， OGF ∴∠为二面角11A EB A --的平面角.111111,22222OG AE FG A B OF BE ======Q ，45OGF ︒∴∠=， ∴二面角11A EB A --的大小为45°.另解：以B 为原点，1,,BC BB BA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)B C B C .（Ⅰ）1(1,2,0)C B =--，面ABC 的一个法向量1(0,2,0)BB =u u u r.设1C B 与面ABC 所成角为θ，则1111sin BB C B BB C B θ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u rtan 2θ∴=.（Ⅱ）设(1,,0),(0,0,)E y A z ，则(1,,)EA y z =--u u u r，1(1,2,0)EB y =--u u u r , 由11(2)0EA EB y y ⋅=+-=u u u r u u u r，得1y =，所以E 为1CC 的中点.（Ⅲ）由AB =1(0,0,2),A A ，又(1,1,0)E ,可求得面1AEB的一个法向量1(1,1n =u r，平面11EB A 的一个法向量2(1,1,0)n =u u r,设二面角11A EB A --的大小为θ，则1212|cos |2n n n n θ⋅==u r u u ru r u u r .∴二面角11A EB A --的大小为45°. 【点睛】本题主要考察线面角的求法，线线垂直的证明及二面角的求法，难度中等，方法二用空间向量求线面角，证线线垂直，求二面角，方法新颖.18．已知点A （1的椭圆C ：22221x y b a +=（a ＞b ＞0）上的一点，的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值（3）△ABD 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【答案】（1）22124x y +=．（2）见解析（3【解析】（1）由已知解方程组222222121c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩即可；（2）设出直线BD 的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理解决；（3）将△ABD 面积表示成12ABD S BD d ==V ，再利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）∵点A （1）是离心率为2的椭圆C ：22221x y b a +=（a ＞b ＞0）上的一点，∴22222121c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝2，b =c = ∴椭圆C 的方程为22124x y +=．（2）证明：设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线BD的方程为y t =+，直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ，则k AD +kAB 121212121111y y t t x x x x -++=+=+----()12121221x x t x x x x ⎡⎤+-=+⎢⎥-++⎣⎦，（）联立222244024y t x t x y ⎧=+⎪++-=⎨+=⎪⎩，得， ∴△＝﹣8t 2+64＞0，解得﹣2t ＜，12x x +=，﹣﹣﹣﹣①，21244t x x -=-----②，将①、②式代入式整理得()12121221x x t x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥-++⎣⎦0，∴k AD +k AB ＝0，∴直线AB ，AD 的斜率之和为定值．（3）|BD|=x 1﹣x 2|4==，设d 为点A 到直线BD：y t =+的距离，∴d =，∴12ABD S BD d ==≤V当且仅当t ＝±2时取等号，∵±2()2222∈-，，∴当t ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为2．【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，涉及到椭圆中的定值问题、存在性问题，考查学生的计算能力，是一道有难度的题.19．已知正项等比数列{a n }满足a 1＝2，2a 2＝a 4﹣a 3，数列{b n }满足b n ＝1+2log 2a n ．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n ＝a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ；（3）若λ＞0，且对所有的正整数n 都有2λ2﹣k λ+2nnb a ＞成立，求k 的取值范围．【答案】（1）a n ＝2n ；b n ＝1+2n ；（2）S n ＝2+（2n ﹣1）•2n +1；（3）k ＜2 【解析】（1）利用等比数列通项计算；（2）c n ＝（2n +1）•2n ，利用错位相减法计算；（3）先求出122n nn b n a +=的最大值，2λ2﹣k λ+2n n b a ＞转化为2λ2﹣k λ+232＞对λ＞0恒成立，即k ＜2λ12λ+对λ＞0恒成立. 【详解】（1）正项等比数列{a n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝2，2a 2＝a 4﹣a 3，可得4q ＝2q 3﹣2q 2，解得q ＝2（﹣1舍去），可得a n ＝2n；b n ＝1+2log 2a n ＝1+2log 22n ＝1+2n ；（2）c n ＝a n •b n ＝（2n +1）•2n，前n 项和S n ＝3•2+5•4+7•8+…+（2n +1）•2n ， 2S n ＝3•4+5•8+7•16+…+（2n +1）•2n +1，两式相减可得﹣S n ＝6+2（4+8+…+2n ）﹣（2n +1）•2n +1＝6+2•()141212n ----（2n +1）•2n +1，化简可得S n ＝2+（2n ﹣1）•2n +1；（3）若λ＞0，且对所有的正整数n 都有2λ2﹣k λ+2nnb a ＞成立，即为2λ2﹣k λ+2122nn+＞的最大值，由()111211212222n n n n n n+++++--=＜0，可得{122nn +}递减，可得n ＝1时，取得最大值32，可得2λ2﹣k λ+232＞，即为k ＜2λ12λ+的最小值，可得2λ12λ+≥=2，当且仅当λ12=时取得最小值2，则k ＜2．【点睛】本题考查等比数列通项公式，错位相减法求数列和以及数列不等式中的恒成立问题，考查学生的推理与计算能力，是一道中档题. 20．已知函数()()()211ln 2ax a f x x x a R =-++-∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）当0a =时，设函数()()g x xf x =，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使得函数()g x 在[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，求实数k 的最大值. 【答案】（1）()min 1f x = （2）答案不唯一，见解析（3）9ln 410+ 【解析】（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；（2）求导，对a 分类讨论，可求出函数()f x 的单调区间；（3）求出()'g x ，通过分析()''g x ，可得到()g x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭增函数，从而有()()()22,()22g m k m g n k n =+-=+-，转化为()()22g x k x =+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根1,2m n m n ⎛⎫>≥ ⎪⎝⎭，()22g x k x +=+，转化为()22g x y x +=+与y a =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至少有两个交点，即可求出实数k 的最大值. 【详解】（1）当0a =时，()()ln 0f x x x x =->，这时的导数()1'1f x x=-，令()'0f x =，即110x-=，解得1x =，令()'0f x >得到1x >，令()'0f x <得到01x <<，故函数()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；故函数()f x 在1x =时取到最小值，故()()min 11f x f ==；（2）当0a >时，函数()()211ln 2ax x f x x a -++-= 导数为()()()1111'x ax ax a x f x x--=-++-=-，若1a =时，()'0f x ≤，()f x 单调递减，若1a >时，11a<，当1x >或10x a<<时，()'0f x <，当11x a<<时，()'0f x >，即函数()f x 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递减，在区间1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 若01a <<时，11a>，当1x a>或01x <<时，()'0f x <，当11x a<<时，()'0f x >，函数()f x 在区间()0,1，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 综上，若1a =时，函数()f x 的减区间为()0,∞+，无增区间，若1a >时，函数()f x 的减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞，增区间为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若01a <<时，函数()f x 的减区间为()0,1，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，增区间为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）当0a =时，设函数()()2ln g x xf x x x x ==-. 令()'2ln 1g x x x =--，()()121''20x g x x x x-=-=>，当12x ≥时，()''0g x ≥，()'g x 为增函数， ()1''ln 202g x g ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭，()g x 为增函数，()g x 在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭上递增，∵()g x 在[],m n 上的值域是()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，所以()()22g x k x =+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根1,2m n m n ⎛⎫>≥⎪⎝⎭，()22g x k x +=+，令()2ln 22x x x x F x =-++，求导得，()()2232ln 2'4x x x x F x +--=+，令()2132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥⎪⎝⎭，则()()()21'221232x x x x x x G x -+⎛⎫=+-=≥⎪⎝⎭，所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，102G ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10G =，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0G x <，∴()F'0x <，当[)1,x ∈+∞，()0G x >，∴()'0F x >，所以()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[)1,+∞上递增，∴()121F k F ⎛<≤⎫⎪⎝⎭，∴9ln 41,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， ∴k 的最大值为9ln 410+. 【点睛】本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.。

天津市第四中学2022届高三下学期线上检测数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知，且，，则（）.A．B．C．D．2. 某班有包括甲、乙在内的4名学生到2个农场参加劳动实践活动，且每个学生只能到一个农场，每个农场2名学生.则甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为（）A．B．C．D．3. 某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a 个这种病毒在t 天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m 天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（）A ．4B ．8C ．12D ．164.，在不等式恒成立的条件下等式恒成立，求的取值集合A．B．C．D．5. 设为正项等比数列的前项和．若，且，，成等差数列，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．6. 已知，则（）A．B．C．D．7. 若数列对任意的均有恒成立，则称数列为“数列”，下列数列是“数列”的是（）A．B．C．D．8. 孙子定理出自古代名著《孙子算经》，其研究正整数的整除问题，其实质构成一个等差数列，例如三三数之剩一（被3除余1）的正整数构成等差数列.若满足四四数之剩三且六六数之剩五（被4除余3且被6除余5）的正整数构成数列，则的前项和（）A．B．C．D．9.设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（）A．B ．若，则点的坐标为C．的最小值为D ．满足面积为的点有2个10. 一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件：“2个产品中至少有一个正品”，事件：“2个产品中至少有一个次品”，事件：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（）A ．事件与事件为互斥事件B ．事件与事件是相互独立事件C．D．11. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）天津市第四中学2022届高三下学期线上检测数学试题天津市第四中学2022届高三下学期线上检测数学试题三、填空题四、解答题A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，，则D ．若，，则12. 设定义在R 上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A．B ．函数的图象关于对称C．D．13. 函数的反函数______14.若二项式的展开式中的第5项是常数项，则n=_______．15. 我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为______.16. 某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成，，，，5组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）规定零件长度在区间内的零件为优等品，从这批零件中随机抽取3个，记抽到优等品的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.17.记正项数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且，数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和．18. 已知函数．(1)若单调递减，求a 的取值范围；(2)若有两个极值点，且，证明：．19. 在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．20. 如图，在三棱柱中，，，平面平面，为中点.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21. 已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间及极值；（2）讨论函数的零点个数.。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷考测评

高三数学复习试卷考测评一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的))D ( 所表示的曲线是)为参数t ( ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1tt2－1参数方程．1 2x 时，0>x 中，得当t2－11t＝y 代入1x ＝t ，把1x ＝t 将参数方程进行消参，则有解析：．正确D 知对照选项，可.0≤y ，此时1＝2y ＋2x 时，0<x ；当0≥y ，此时1＝2y ＋ )C ( 所表示的曲线上的一点的坐标为)为参数θ( ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sinθ，y ＝cos2θ在方程．2 )7，－2(．A⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12．C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23．B )0,1(．D －( 2x 2－1＝y 把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性，普通方程是解析：1≤x ≤1)，再根据选择项逐个代入进行检验即可．故选C ．)C (化为普通方程为)为参数θ(⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin2θ，y ＝sin2θ将参数方程．3 A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 由，2－x ＝y 消去参数化为普通方程是)为参数θ(⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin2θ，y ＝sin2θ将参数方程解析：．C 故选.3≤x ≤2得，可1≤θ2sin ≤0)D (表示同一曲线的方程是0＝y －2x 与普通方程)为参数t (下列参数方程．4 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cost y ＝cos2t．B ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|t|y ＝t ．A ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tanty ＝1＋cos2t1－cos2t．C⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tanty ＝1－cos2t1＋cos2t．D＝x 中A 0.≥y ，R ∈x 中的0＝y －2x 普通方程．注意参数范围，可利用排除法解析：，1＝y 2x ，即1x2＝1tan2t ＝2cos2t 2sin2t ＝y 中C 而．B 和A 除，故排1,1]－[∈t cos ＝x 中B ，0≥|t |故排除C ．故选D ．)D ( 的位置关系是)为参数θ( ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθ，y ＝2sinθ与圆0＝9－y 4－x 3线直．5 A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心，再利)0,0(，圆心为2为，得到半径4＝2y ＋2x 把圆的参数方程化为普通方程，得解析：用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系．故选D ．)B ( 所表示的曲线是)为参数t ( ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2参数方程．6A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线解析：根据参数中y 是常数可知，方程表示的是平行于x 轴的直线，再利用不等式知识求出x 的范围可得x ≤－2或x ≥2，可知方程表示的图形是两条射线．故选B ．7．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标)D ( ＝|AB |则，两点B ，A 相交于)为参数t (⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3的直线与曲线4＝θcos ρ方程为A ．13B ．14C ．15D ．16 解析：∵直线的极坐标方程为ρcos θ＝4，化为直角坐标方程x ＝4，把x ＝4代入曲线方中，)为参数t ( ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3程解得t ＝±2，∴y ＝±8.∴点A (4,8)，B (4，－8)，∴|AB |＝|－8－8|＝16.故选D ．)B ( 程为互相垂直的直线方)为参数t (⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t且与直线)2,0(过点．8 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3ty ＝2＋t．B ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3ty ＝2＋t．A ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝t．D ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3ty ＝2－t．C ，设所3＝1k ，其斜率32－1＋x 3＝y 化为普通方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t直线解析：故．)为参数t (⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t ，y ＝2＋t，故参数方程为33＝－k ，得1－＝1kk ，由k 求直线的斜率为选B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1的方程为直线，)为参数θ( ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cosθ，y ＝3＋2sinθ若圆的方程．9(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是 ( B )A ．相交过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离－(，圆心坐标为0＝2＋y －x 3为，直线的方程4＝2)3－y (＋2)1＋x (圆的标准方程为解析：直∴，2<错误!＝错误!＝d 而圆心到直线的距离．上0＝2＋y －x 3线，易验证圆心不在直)3,1线与圆相交．故选B ．)D (上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是)为参数θ(⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosθ，y ＝sinθ曲线．01 12．A1．C 22．B2．D 解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ，∴d ＝|x |＋|y |＝|cos θ|＋|sin θ|，，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin 2＝θcos ＋θsin ＝d ∴，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∈θ设．D 故选.2＝max d ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cosα，y ＝23sinα为椭圆P ，为原点O 已知)湖南科大附中期末·(．11)D (坐标为P 则点，π3的倾斜角为OP ，上第一象限内一点)为参数α( A ．(2,3)B ．(4,3) )3，32(．C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455，4155．D ＝π3tan ＝23sinα4cosα＝OP k ，又)αsin 32，α4cos (坐标为P 可设∴在椭圆上，P ∵解析：，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∈α且2＝αtan ⇒3．D ，故选⎝ ⎛⎭⎪⎫455，4515P ∴⎩⎪⎨⎪⎧sinα＝255，cosα＝55，∴)为参数t ( ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2的参数方程分别为2C 和1C 曲线，中xOy 在平面直角坐标系．12)D (的交点个数为2C 与1C 则曲线，)为参数θ(⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθ，y ＝2sinθ和 A ．3B ．2 C ．1D ．0；2＝t ·1t2≥x 时，0＞t 中，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2在解析：2.－≤x ，得2＝错误!2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ＋)t －(＝x 时，－0＜t 当原方程化为普通方程是y ＝2(x ≥2，或x ≤－2)．①②4.＝2y ＋2x 的普通方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθ，y ＝2sinθ方程将①式中的y ＝2代入②式中，得x ＝0，错误!，即方程组①显然不满足．D 故选.0为的交点个数2C 与1C 无实数解，所以曲线二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(·湖南十三校联考)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a.1的值为a 则常数，的圆心C 经过圆l 若直线，θ2cos ＝ρ的极坐标方程为C 圆，)为参数t ( 的极C ，将圆a －x ＝y 化为普通方程为)为参数t (⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 的参数方程l 将直线解析： 1.＝a 可得a －x ＝y ，代入直线)0,1(，则圆心为x 2＝2y ＋2x 化为普通方程为θ2cos ＝ρ坐标方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s ：1l 若直线，在平面直角坐标系中)广东南澳校级二模·(．14.4的值为a 则常数，平行)为参数t (⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1：2l 和直线)为参数s ( ＝1－y 2－x 得普通方程为s ，消去)为参数s (⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 的参数方程为1l 直线解析：0，，0＝a －ay －x 2为得普通方程t ，消去)为参数t (⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1的参数方程为2l 直线 4.＝a ，解得12＝2a ∴，2l ∥1l ∵ 当a ＝4时，两直线在y 轴上的截距不等．1C 曲线．轴的正半轴为极轴建立极坐标系x ，为极点O 以原点，中xOy 在直角坐标系．15⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1的参数方程为的交点在直角坐标系中的坐标2C 与1C 则，3＝θcos ρ－θsin ρ的极坐标方程为2C 曲线，)为参数t (．)5,2(为＝y ，将3＋x ＝y 的直角坐标方程为：2C ，曲线)0≥x (1＋2x ＝y 普通方程为1C 曲线解析：，所5＝y 得3＋x ＝y ，代入2＝x 或)舍去(1－＝x ，解得0＝2－x －2x ，得1＋2x ＝y 代入3＋x 以交点坐标为(2,5)．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t 的参数方程为l 已知直线)重庆卷·(．16c2ρ的极坐标方程为C 曲线，轴的正半轴为极轴建立极坐标系x ，以坐标原点为极点，)为参数t (．)π，2(的交点的极坐标为C 与曲线l 则直线，⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π44＝θos2 ，联立4＝2y －2x 的直角坐标方程为C ，曲线2＋x ＝y 的直角坐标方程为l 直线解析：．)π，2(坐标为，从而交点的极)0,2－(得交点的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x2－y2＝4 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcosα，y ＝tsinα：1C 曲线，中xOy 在直角坐标系)Ⅱ全国卷·()分01(．172＝ρ：2C 曲线，轴正半轴为极轴的极坐标系中x ，为极点O 在以.π<α≤0中其，)0≠t ，为参数t (.θcos 32＝ρ：3C ，θsin ；交点的直角坐标3C 与2C 求)1( ．的最大值|B A |求，B 相交于点3C 与1C ，A 相交于点2C 与1C 若)2( ，0＝y 2－2y ＋2x 的直角坐标方程为2C 曲线)1(解析：，0＝x 32－2y ＋2x 的直角坐标方程为3C 曲线 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－2y ＝0，x2＋y2－23x ＝0联立 .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32和)0,0(为交点的直角坐标3C 和2C ∴ ，)α，α2sin (的极坐标为A ，π<α≤0中，其)0≠ρ，R ∈ρ(α＝θ的极坐标方程为1C 曲线)2(．)α，αcos 32(的极坐标为B，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π34＝|αcos 32－α|2sin ＝|AB |∴ 4为取最大值，最大值|AB |，时π56＝α当 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cosαy ＝sinα的参数方程为C 曲线，中xOy 在直角坐标系)重庆高三检测·()分21(．18(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsi.22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4n (1)求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P 的坐标为(－2,2)，求|PB |＋|AB |的最小值．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cosα，y ＝sinα的参数方程C 由曲线)1(解析：，1＝α2sin ＋α2cos ＝2y ＋2)1－x (可得 1.＝2y ＋2)1－x (的普通方程为C 所以曲线，22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ρ的极坐标方程：l 由直线可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.．)6,2(Q ∴错误!解得错误!，则)b ，a (Q 的对称点l 关于直线P 设点)2( 由(1)知，曲线C 为圆，圆心坐标为C (1,0)，C，B 在A 四点共线，且C ，A ，B ，Q 当.1－37＝1－|QC |≥|AB |＋|QB |＝|AB |＋|PB |故 1.－37的最小值为|AB |＋|PB |以号成立，所之间时，等 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t的参数方程为l 已知直线)分21(．19(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4s.⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6in (1)求圆C 的直角坐标方程；．的取值范围y ＋x 3求，的公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π64sin ≤ρ与圆面l 是直线)y ，x (P 若)2( ，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π64sin ＝ρ的极坐标方程为C 因为圆解析： .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sinθ－12cosθρ4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6sinρ4＝2ρ所以0.＝y 32－x 2＋2y ＋2x 的直角坐标方程为C ，所以圆x 2－y 32＝2y ＋2x 所以，所以4＝2)3－y (＋2)1＋x (⇒0＝y 32－x 2＋2y ＋2x 的方程C ，由圆y ＋x 3＝z 设)2( 2.是，半径)3，1－(的圆心是C 圆 .t ＝－z ，得y ＋x 3＝z 代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t 将，2≤t －≤2－，所以2≤t ≤2－，由题意有2是的半径C ，圆)3，1－(C 过点l 又直线2,2]－[的取值范围是y ＋x 3即20．(12分)(·云南昆明两区七校调⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cosθ，y ＝3sinθ的参数方程为1C 曲线，中xOy 在直角坐标系)研OP→且满足，上2C 在曲线P 点，上的动点1C 是曲线M 点，)为参数θ其中(.π3＝θ：l 射线，轴的正半轴为极轴建立极坐标系x ，为极点O 以原点，OM →2＝；的参数方程l 射线，的普通方程2C 求曲线)1( |.AB |求，两点B ，A 分别交于2C ，1C 与曲线l 射线)2(，OM →2＝OP →∵，)′y ，′x (M ，)y ，x (P 设)1(解析：上，1C 在曲线M 点∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝2y′，∴ 3.＝2′y ＋2)1－′x (∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝1＋3cosθ，y′＝3sinθ，∴ 12.＝2y ＋2)2－x (的普通方程为2C 故曲线．)0≥t 为参数且t (⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t：l 可得π3＝θ：l 由，0≥t ∵，0＝2－t －2t 的方程得1C 代入)0≥t 为参数且t (⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t：l 将方法一)2( 2.＝2－4＝|AB |∴4.＝t ∴，0≥t ∵，0＝8－t 2－2t 的方程得2C ，同理代入2＝t ∴ 的极坐标A ∴，2＝ρ代入得π3＝θ，将0＝2－θcos ρ2－2ρ的极坐标方程为1C 曲线方法二，4＝ρ代入得π3＝θ，将0＝8－θcos ρ4－2ρ的极坐标方程为2C ，曲线⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3为 2.＝2－4＝|AB |∴，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3的极坐标为B ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝t2＋1的参数方程为C 曲线，中xOy 在直角坐标系中)分21(．21(t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程和普通方程；(2)过点A (m,0)作曲线C 的两切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθy ＝ρsinθ，将1＋2x ＝y 方程为的普通C 中，得曲线1＋2t ＝y 代入t ＝x 将)1(解析：θ2sin 2ρ，即1＋θ2cos 2ρ＝θsin ρ的极坐标方程为C 中，得曲线1＋2x ＝y 的普通方程C 代入曲线 1.＋2ρ＝θsin ρ＋：AP 切线∴，x 2＝′y ∵，)Q y ，Q x (Q ，)P y ，P x (P 由已知，两切线的斜率存在，设切点)2(2＋Q y －y －x Q x 2即，)Q x －x (Q x 2＝Q y －y ：AQ ，切线0＝2＋P y －y －x P x 2即，)P x －x (P x 2＝P y －y ＝0.又两切线均过点A (m,0)，，该直线0＝2＋y －mx 2为的方程PQ 直线∴，0＝2＋Q y －m Q x 2且0＝2＋P y －m P x 2而因恒过定点(0,2)22．(12分)极坐标系与直线坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋tcosαy ＝tsinα的参数方程为2C 曲线，)0≥ρ(θ4cos ＝ρ的极坐标方程为1C 曲线，为极轴π4－φ＝θ，π4＋φ＝θ，φ＝θ射线，)π<α≤0，为参数t (.C ，B ，A 点)O 不包括极点(分别交于1C 与曲线；|OA |2＝|OC |＋|OB |：求证)1( ．的值α与m 求，上2C 两点在曲线C ，B ，时π12＝φ当)2( ＋|OB |则，⎝⎛⎭⎪⎫φ－π44cos ＝|OC |，⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π44cos ＝|OB |，φ4cos ＝|OA |意证明：依题)1(解析：2＝φcos 24＝)φsin ＋φcos (22＋)φsin －φcos (22＝⎝⎛⎭⎪⎫φ－π44cos ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π44cos ＝|OC ||OA |.，化为直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3两点的极坐标分别是C ，B 时，π12＝φ当)2(是2C ，而)1－x (3＝－3－y 的直线方程为C ，B ，所以经过点)3，－3(C ，)3，1(B2π3＝α，2＝m 的直线，故α且倾斜角为)0,m (经过点。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷普通高等学校招生全国统一考试3

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷普通高等学校招生全国统一考试创作人：百里公地创作日期：202X.04.01 审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C 3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π12 (k ∈Z )（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin2113MF F ∠=,则E 的离心率为（A（B ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =.(14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期教学检测

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期教学检测选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B..平均数 C .中位数 D .标准差 3.已知i 是虚数单位，若i 1zi3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i 4．设l 是直线，a ，β是两个不同的平面,A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β,l ∥a ，则l ⊥β5．函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为 A 32+ B .4 C . 3 D .32-6．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A.2x y =B.2x y = C .28x y = D .216x y = 8．已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f . 其中正确结论的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是______.10. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是．11. 曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 . 12. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则_____;a 5= 13. 已知平面向量(2,4)a=，．2),1(b -=若()c a a b b =-⋅，则||c=_____________．14. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷统一质量检测数学理科

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷统一质量检测数学理科第I 卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集21log ,,1,2,162U y y x x ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，集合{}{}1,1,1,4A B =-=，则()U A C B ⋂= A.{}1,1- B.{}1-C.{}1D.∅ 2.已知数据12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅（单位：公斤），其中12350,,,,,x x x x ⋅⋅⋅是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅这51个数据的平均数、中位数分别与x y 、比较，下列说法正确的是A.平均数增大，中位数一定变大B.平均数增大，中位数可能不变C.平均数可能不变，中位数可能不变D.平均数可能不变，中位数可能变小3.设随机变量ξ服从正态分布()21N σ，，则函数()2=2f x x x ξ++不存在零点的概率为 A.12 B.23 C.34 D.454.已知a R ∈，则“1a <”是“2x x a -+>恒成立”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.定义{}()2,1min ,min ,,a a b a b f x x b a b x ≤⎧⎧⎫==⎨⎨⎬>⎩⎭⎩，设，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线2x =所围成的封闭图形的面积为A.712B.512C.1ln 23+D.1ln 26+6.已知点12F F ，为双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=，则双曲线的离心率为A.312+B.512+C.3D.57.如图所示的程序框图，输出S 的值为A. 99223- B.100223- C.101223- D.102223- 8.已知,x y R ∈，且满足34,2y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为A.10B.8C.6D.39.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为 A.1：2 B.1：8C.1：6D.1：310.已知抛物线24x y =，直线y k =（k 为常数）与抛物线交于A,B 两个不同点，若在抛物线上存在一点P(不与A,B 重合)，满足0PA PB ⋅=，则实数k 的取值范围为A.2k ≥B.4k ≥C.02k <≤D.04k <≤ 第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知i 是虚数单位，,m n R ∈，且22m i ni +=-，则m ni m ni +-的共轭复数为_______； 12.在二项式6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于________（用数字作答）； 13.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<是偶函数，它的部分图象如图所示.M 是函数()f x 图象上的点，K ，L 是函数()f x 的图象与x 轴的交点，且KLM ∆为等腰直角三角形，则()f x =___________；14.若0,0a b >>，则()21a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值是___________； 15.定义在区间[]12,x x 上的函数()y f x =的图象为C ，M 是C 上任意一点，O 为坐标原点，设向量()()()()()1122,,,,,OA x f x OB x f x OM x y ===，且实数λ满足()121x x x λλ=+-，此时向量()1ON OA OB λλ=+-.若MN K ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间[]12,x x 上可在标准K 下线性近似，其中K 是一个确定的实数.已知函数()22f x x x =-在区间[]1,2上可在标准K 下线性近似，那么K 的最小值是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（,x R ω∈为常数且112ω<<），函数()f x 的图象关于直线x π=对称.（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值.17.（本小题满分12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为11,46；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23；两人滑雪时间都不会超过3小时. （I ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（II ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD AB BC ⊥⊥，，45,2BCA AP AD AC ∠====，E 为PA 的中点. （I ）设面PAB ⋂面PCD l =，求证：//CD l ；（II ）求二面角B CE D --的余弦值.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差d=2，其前n 项和为n S ，数列{}n a 的首项12b =，其前n 项和为n T ，满足()122,n S n T n N +*=+∈.（I ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}14n n a b -的前n 项和n W .20.（本小题满分13分）已知椭圆22:184x y E +=，A 、B 分别是椭圆E 的左、右顶点，动点M 在射线():420l x y =>上运动，MA 交椭圆E 于点P ，MB 交椭圆E 于点Q.（I ）若MAB ∆垂心的纵坐标为47-，求点P 的坐标；（II ）试问：直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数()sin f x x ax =-.（I ）对于()()0,1,0x f x ∈>恒成立，求实数a 的取值范围；（II ）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值；（III ）求证：()()1111ln 11231n n N n n*+<+++⋅⋅⋅++∈-. 创作人：百里公地创作日期：202X.04.01。

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（1）求数列bn 的通项公式；
（2）若 c1
1, cn1
cn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bn an
，求证： cn
3；
1
1
1k
（3）是否存在正整数 k ，使得 bn 1 bn 2 bn n 10 对任意正整数 n 均成立？
若存在，求出 k 的最大值，若不存在，说明理由．
第6页共4页
20．（本小题满分 16 分）
12．已知函数 f (x) 4sin x 1 x3 在 x 0 处的切线与直线 nx y 6 0 平行，则 (x 2)n
3
x
的展开式中常数项为__________；
13．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区
居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超
顶点的距离为 1，离心率为 1 . 2
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）过点 A 作斜率为 k 的直线与椭圆 M 交于另一点 B，连接 BF2 并延长交椭圆 M 于点 C.
若 F1C AB ，求 k 的值.
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19．（本小题满分 15 分）
设各项均为正数的等比数列an 中， a1 a3 10, a3 a5 40. bn log2 an
2
（Ⅰ）求证： PA //平面 BEF ；（Ⅱ）若 PC 与 AB 所成角为 45 ，求 PE 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角 F BE A 的余弦值．
第4页共4页
18．（本小题满分 15 分）
设椭圆 M
: x2 a2
y2 b2
1 a
b 0 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，左顶点为 A，左焦点到左
第2页共4页
第 II 卷（共 105 分）
二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
10．设复数 z 满足 (z 2i)(2 i) 5 ，则 z ________．
11．袋中装有 5 个同样大小的球，编号为 1，2，3，4，5. 现从该袋内随机取出 3 个球，记被取出的球的最大号码数为，则 E 等于 _____．
过 5 人”，根据连续 7 天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是
__________．
①平均数 x 3 ； ②标准差 S 2 ； ③平均数 x 3 且标准差 S 2 ；
④平均数 x 3 且极差小于或等于 2；
⑤众数等于 1 且极差小于或等于 4.
14．已知 a，b 均为正数，且 a b 1， a2 1 1 的最小值为________. 2ab
天津四中 2020 届高三数学复习检测
考试时间：120 分钟满分 150 分
第 I 卷（共 45 分）
一．选择题（每小题 5 分，共 45 分）
1．已知集合 A {x | 2 x 3} ， B 1,1, 2, 4 ，则 B RA （）
A．
B．4
C．1, 2, 4
D．1,1, 2
2．若 a 0,b 0 ，则“ a b 4 ”是 “ ab 4 ”的（）
B． 1 2
C． 2 5 5
D．1
5．底面是边长为 1 的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为（）
A． 2 2 3
B． 3 3
C． 2 3 3
D． 2 3
第1页共4页
6．已知圆 C 与直线 y x 及 x y 4 0 都相切，圆心在直线 y x 上，则圆 C 的方程
A． a b c
B． b c a
C． b a c
D． c b a
9．如图梯形 ABCD ， AB∥CD 且 AB 5 ， AD 2DC 4 ， E 在线段 BC 上，
AC BD 0 ，则 AE DE 的最小值为（）
A． 15 13
B． 95 13
C．15
D． 15 13
15．已知
f
x
3x , x 0 x , x 0 ，若对任意
x 1
a, a
1 ，不等式
f
2x a f x2
恒成立，则非零实数 a 的取值范围是______.
三．解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分 14 分）
在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 cos B 1 ， 3
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．函数 f x 3x 3x lg x 的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1 一个焦点与抛物线
y2
4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于
5 ，则该双曲线的实轴长为（）
A． 5 5
已知函数 f (x) x ex (a 0) . a
（1）求函数 f (x) 在[1, 2] 上的最大值；
（2）若函数
f (x) 有两个零点 x1, x2 x1
x2 ，证明：
x1 x2
ae .
第7页共4页
为（）
A． (x 1)2 ( y 1)2 2
B． (x 1)2 ( y 1)2 2
C． (x 1)2 ( y 1)2 2
D． (x 1)2 ( y 1)2 2
7．已知函数 f x cos2 x 3 sin x 1 0, x R .若函数 f x 在区间
22
2
, 2 内没有零点，则的取值范围是（）
A．
0,
5 12
C．
0,
5 6
B．
0,
5 12
5 6
,
11 12
D．
0,
5 12
5 6
,
11 12
8．设函数
f (x) log2 (x2
2x 2) (1) x1 ，a 2
f (log0.5 3) ，b
f (0.71.4 ) ，c
f
(30.75 ) ，
则 a ， b ， c 的大小关系是（）
b sin B a sin A 2c sin C .
（1）求 sin(2B ) ； 3
（2）求 a 的值. c
第3页共4页
17．（本小题满分 15 分）
在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形，BC // AD ， ADC 90 ， BC CD 1 AD 1， PA PD ， E, F 为 AD, PC 的中点．