用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例

1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为、为的中点

又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。例

2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。

二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程例

3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即点的坐标为。例

4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为

三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例

5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立

①②解得，所求椭圆的方程是

四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例

6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，

这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得例

7、已知抛物线C: 和直线为使抛物线上存在关于对称的两点，求的取值范围。解：设抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，线段的中点为，则，①，②① －②可得：＝，即由于，所以，故，即，即。又因为在直线上，所以，因为在抛物线开口内，所以，故，所以。即的取值范围是。策略：本题需要根据弦中点位置求的取值范围，如果不考虑位置，可能得出错误的结果。请务必小心。

五、注意的问题利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题、对称性问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。但不能忽略弦中点的轨迹应在曲线内的条件。