力的正交分解法
力的正交分解
力的正交分解导读：（1）概念：把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解叫力的正交分解。
（2）目的：在多个共点力作用下，运用正交分解法的目的是用代数运算公式来解决矢量的运算。
分解的目的是为了求合力，尤其适用于物体受多个力的情况。
（3）应用：当物体受到不在同一直线上的多个共点力时，正交分解法可以把物体受到的所有力分解到两个互相垂直的坐标轴上，分别求出两个不同方向上的合力x F 和y F ，然后就可以求出物体所受的合力F 。
（4）应用正交分解法求合力的步骤： ① 确定研究对象，进行受力分析。
② 建立直角坐标系（让尽可能多的力落在坐标轴上）。
③ 将不在坐标轴上的各力分解在坐标轴上。
④ 分别求出x 轴和y 轴上各力的合力x F 和y F F x = F 1x + F 2x + F 3x + … F y = F 2y + F 3y + F 3y +…⑤ 求出x F 和y F 的合力，即为多个力的合力。
合力的大小：22y x F F F +=合力的方向：xy F F =θtan （合力与x 轴的夹角为θ）例1.大小均为F 的三个力共同作用在O 点，如图1所示，F 1、F 2与F 3之间的夹角均为600，求这三个力的合力。
例2. 如图2所示，物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N ，受到斜向上与水平面成300角的力F 作用，F = 50N ，物体仍然静止在地面上，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少？例3：如图3所示，重为G 的物体放在水平面上，推力F 与水平面夹角为α，物体做匀速直线运动，已知物体与地面间的动摩擦因数为μ，则物体所受摩擦力的大小为（ ）A.G μB.)sin αμF G +（C.F αcos D αμsin F例4.如图4所示，斜面上质量为m 的物体在水平力F 的作用下保持静止，已知斜面的倾角为θ，试分析摩擦力的大小和方向。
图2图1F 1F 2F 3图3 图4。
力的正交分解法
力的正交分解法1、定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫做力的正交分解法。
说明：正交分解法是一种很有用的方法，尤其适于物体受三个或三个以上的共点力作用的情怳。
2、正交分解的原理一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得。
当物体受到多个力的作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便。
为此，我们建立一个直角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，分别求出两个不同方向上的合力Fx和Fy，然后就可以由F合=，求合力了。
说明：“分”的目的是为了更方便的“合”正交分解法的步骤：（1）以力的作用点为原点作直角坐标系，标出x轴和y轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据方便自己选择。
（2）将与坐标轴不重合的力分解成x轴方向和y轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号Fx和Fy表示。
（3）在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出Fx、Fy的数学表达式。
如：F与x 轴夹角为θ，则Fx=Fcosθ，Fy=Fsinθ。
与两轴重合的力就不需要分解了。
（4）列出x轴方向上的各分力的合力和y轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。
【典型例题】例1、如图所示，用绳AC和BC吊起一个重100N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°。
求：绳AC和BC对物体的拉力的大小。
例2、如图所示，重力为500N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。
不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。
例3、如图所示：将重力为G的光滑圆球用细绳拴在竖直墙壁上，如图，当把绳的长度增长，则绳对球的拉力T和墙对球的弹力N是增大还是减小。
选用方法：A、合成法：B、分解法：C、用正交分解法：说明：合成法分解法主要是对三个力来说的，如果力太多只能应用正交分解法3、一根轻弹簧，当它在100牛的拉力作用下，总长度为0.55米；当它在300牛的压力作用下总长度为0.35米。
正交分解法
3、正交分解法四个步骤 、 坐标， 重要的一 第一步：建立直角坐标系， 坐标 这是最重要 第一步：建立直角坐标系，正交 x 、y坐标，这是最重要的一 坐标的设立， 步，x、y坐标的设立，并不一定是水平与竖直方向，可根据问 、 坐标的设立 并不一定是水平与竖直方向， 题方便来设定方向，不过x与y的方向一定是相互垂直而正交。 题方便来设定方向，不过 与 的方向一定是相互垂直而正交。 的方向一定是相互垂直而正交 第二步：将题目所给定的各矢量沿 方向分解， 第二步：将题目所给定的各矢量沿x 、y方向分解，求出各分 方向分解 凡跟x、 轴方向一致的为 轴方向一致的为正 凡与x、 轴反向为 量，凡跟 、y轴方向一致的为正；凡与 、y轴反向为负，标以 凡跟轴垂直的矢量，该矢量在该轴上的分量为0,这 垂直的矢量 “一”号，凡跟轴垂直的矢量，该矢量在该轴上的分量为 这 关键的一步 的一步。 是关键的一步。 第三步：根据在各轴方向上的运动状态列方程， 第三步：根据在各轴方向上的运动状态列方程，这样就把 列方程 矢量运算转化为标量运算 Fx=F1+F2+F3+…， ， Fy=F1+F2+F3+…；若各时刻运动状态不同，应根据各时间 ；若各时刻运动状态不同， 区间的状态，分阶段来列方程。这是此法的核心一步。 核心一步 区间的状态，分阶段来列方程。这是此法的核心一步。 第四步：根据各 轴的分量， 第四步：根据各x 、y轴的分量，求出该矢量（合力）的大小 轴的分量 求出该矢量（合力） F2=Fx 2+Fy2，一定要标明方向，这是最终的一步。 一定要标明方向 这是最终的一步。 标明方向， 最终的一步0Fra bibliotek600
力的合成分解——正交分解法+课件+-2023-2024学年高一上学期物理人教版(2019)必修第一册
Ff G sin FN G cos
正交分解法总结
1、建立直角坐标系（使更多的力落在坐标轴上） 2、正交分解各力（将各力分解到两个坐标轴上）
3、分别求出x 轴和y 轴上各力的合力： Fx F1x F 2xF3x
Fy F1y F 2 yF3y
4、根据题目条件求解所需物理量
3、力的分解的一些情况汇总
F
F1
F2
F F1
F2
（4）练习：把一个已知F的力分解，要求其中一个分
力F1跟F成30o，而大小未知，另一个分力F2= 但方向未知，则F1的大小可能是多少？
பைடு நூலகம்3 F，
3
3 F, 2 3 F 33
例题：如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面 上，它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面 成θ角的斜向上的拉力F作用下匀速向右运动。求拉 力F的大小。
Fy合 0 Fx合 0
4、正交分解法
（2）例：如图，重为500N的人通过滑轮的轻绳牵引重 200N的物体，当绳与水平成60o角时，物体静止，不计 滑轮与绳子的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。
y
FT1 FT cos 100N
FT 2 FT sin 100 3N
FT
FN FT 2
Y轴： FN FT 2 G
（1）已知合力和两个分力的方向，只有一种分解方法。
F1
F
F2
（2）已知合力F和两个分力的大小F1、F2时
1、F1 F2 F或 F1 F2 F, 无解 2、有两个解（在同一平面内）
F1 F
F2
F2 F
F1
（3）已知合力和一个分力的大小和方向时，只有一种分解方法。
F1
F2
(完整)1力的正交分解法及其应用
又f =μN;
③
联立①②③得F=μGB+FA(cos θ-μsin θ). 可见,随着θ不断减小,水平力F将不断增大.
答案 随着θ不断减小,水平力F将不断增大
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练习8如图1所示,重物的质量为m,轻细绳AO和BO的 A端、B端是固定的,平衡时AO水平,BO与水平面的夹
角为θ,AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是多少？
为θ3，绳子的张力为F3。不计摩擦。则（ A．θ1=θ2 =θ3 B．θ1= θ2＜θ3 C．F1＞F2＞F3 D．F1＝F2＜F3
）
θθ
θ
答案：BD
拓展练习1如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成 θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物 体与墙壁间的动摩擦因数。
F θ
F G cos - sin
正交分解力的目的： 化复杂的矢量运算为普通的代数运算。便于运
用普通代数运算公式来解决矢量的运算。
基本思想： 正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策
略，即先分解再合成，降低了运算的难度，是一种 重要物理思维方法。
五、典例 求合力
例1一个物体受到四个力的作用，已知F1=1N，方向
正东；F2=2N，方向东偏北600，F3= 3 3 N，方向西
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力
4、别写出x、y方向的方程
5、根据方程求解
练习2质量为m的物体在与水平方向成θ角的恒力F作 用下，沿水平天花板向右做匀速直线运动。物体与天 花板间动摩擦因数为μ。请写出物体受摩擦力大小的 表达式。
F mg sin cos
练习3如图所示，用绳AO和BO吊起一个重100N的物体， 两绳AO、BO与竖直方向的夹角分别为30o和40o，求绳 AO和BO对物体的拉力的大小。
力的正交分解法
N2 N1
G
y
N2 N1
G
正
x
交 法
四边形法
解:以球为对象 由于球静止 F合=0 N1=Gtan370 N2=G/cos370
解:以球为对象 建立如图坐标 Fx=0 N1 - N2sin370=0 Fy=0
N2cos370 - G=0
物体静止或匀速运动，受力分析如下：
正交分解
例、G=100N，绳子OA、OB所受张力分别多大？
y
F3
F2y F3yF2
300
600 F4x
F3
F3
F3y
F2y
F2
300
600 F4x
F3x
6F002xF1
x
F x F 1 F 2 x F 3 x F 4 x
F4y
F4
12co6s0 033co3s0 04co6s0 0
1133/221/2(N)
4、将坐标轴上的力分别合成，按坐标轴规定的方向求代数和
即：Fx合=F1x+F2x+F3x+...... Fy合=F1y+F2y+F3y+......
5、最后求再求合力F的大小和方向 F合 Fx2合Fy2合
例1：一个物体受到四个力的作用，已知
F1=1N，方向正东；F2=2N，方向东偏北600， F偏3=南600，N求，3 物方3 体向所西受偏的北合30力0；。F4=4N，方向东
A. mg
FN y
B. (mg+Fsin) C. (mg-Fsin) D. Fcos
Ff
F2 x
mg
F1
F
为了求合力进行正交分解，分解是方法，合 成是目的。
正交分解
正交分解法——把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量运算。
利用力的正交分解法求合力：这是一种比较简便的求合力的方法，它实际上是利用了力的分解的原理把力都分解到两个互相垂直的方向上，然后就变成了在同一直线上的力的合成问题了.这样计算起来就简单多了。
力的正交分解法步骤如下：1、正确选定直角坐标系：通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴的方向的选择则应根据实际问题来确定。
原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即是使需要向两坐标轴投影分解的力尽可能少，在处理静力学问题时，通常选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其它方向较简便时，也可选用。
一般选水平和竖直方向上的直角坐标；也可以选沿运动方向和垂直运动方向上的直角坐标.在力学计算上，这两种选择可以使力的计算最简单，只要计算到互相垂直的两个方向就可以了，不必求总合力.2、分别将各个力投影到坐标轴上：分别求x轴和y轴上各力的投影的合力和其中：（式中的轴上的两个分量，其余类推。
）这样，共点力的合力大小可由公式：求出。
设力的方向与轴正方向之间夹角是。
∴通过数学用表可知数值。
注意：如果这是处理多个力作用下物体平衡问题的好办法。
计算方法举例：例：如图所示，物体A在倾角为θ的斜面上匀速下滑，求物体受到的摩擦力及动摩擦因数。
分析：选A为研究对象分析A受力作受力图如图，选坐标如图：将不在坐标轴上的重力在x,y坐标上分解：Gx=GžsinθGy=Gžcosθf在x轴(反向),N在y轴上(正向)∵物体匀速下滑则有则一、合力与分力：在实际问题中，一个物体往往同时受到几个力的作用。
如果一个力产生的效果与原来几个力产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，而那几个力就叫这个力的分力。
二、力的合成与分解：求几个力的合力的过程叫力的合成，求一个力的分力的过程叫力的分解。
合力与分力有等效性与可替代性。
求力的合成的过程实际上就是寻找一个与几个力等效的力的过程；求力的分解的过程，实际上是寻找几个与这个力等效的力的过程。
人教版物理必修一第三章力的正交分解法
例:一物块在拉力F的作用下静止在倾角为30 °的斜面
上,物块重40N, 拉力F与斜面成30°,大小为10N.求物
块所受支持力和摩擦力的大小.
y
f FN
N
F=10N
G
30°
x 30°
G
x方向： Gsin300 - f - Fcos300=0
y方向： N f = Gsin300
何正交分解？
Fx F1 F2x F3x ...
Fy F1y F2y F3y ...
F
Fx2 Fy2
tan Fy
Fx
y
F2
F1y F2y
F1
F2X
O
F3x F1x
x
F3y
F3
y
ΣFy
ΣF
O
ΣFx
x
总结 1.正交分解法求解合力的一般步骤:
建立坐 标系
→
正交分 解各力
→
求出x,y 轴上各力 的矢量和
4、将坐标轴上的力分别合成，求出x,y轴上的合力Fx，Fy
即：Fx=F1x+F2x+F3x+...... Fy=F1y+F2y+F3y+......
5、最后求再求合力F的大小和方向
F合 Fx2合 Fy2合
方向：tan
Fy Fx
（ɸ为与x轴的夹角）
三个力F1、F2与F3共同 作用在O点。如图, 该如
→
求出 合力
2.正交分解法建立坐标系的原则：
（1）一般用共点力作用线交点为坐标轴的原点。 （2）尽可能使较多的力落在坐标轴上，以少分解力和容易 分解力。
3.根据物体的状态得出各坐标轴上合力的值.如果物 体处于平衡状态,则两个坐标轴上的合力都为0。
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0
F3
F3x
F
y
F2 y F3 y F4 y
2 s i n600 3 3 3
3 s i n300 4 s i n600 3 3 / 2( N )
F3y F2y F2 60 F 30 4x 0 x 60 F 0 1 F 2x 0 F4y F4
3/2 22
F
y
F2 y F3 y F4 y
F4x 0 x 60 F F2x 1
2 sin600 3 3 sin300 4 sin600 3 3 3 / 2 2 2 3 3 / 2( N )
F4y F4
将各力分别分解到两坐标轴上 将两坐标轴上的力分别合成 建立直角坐标系 画受力示意图
正交——相互垂直的两个坐标轴
y
Fy
F
θ
Fx
O
x
Fx F cos Fy F sin
正交分解的目的
是化复杂的矢量运算为普通的代 数运算，将力的合成化简为同向或反 向或垂直方向。便于运用普通代数运 算公式来解决矢量的运算。
正交分解的基本思想
正交分解法求合力，运用了“欲合
先分”的策略，即为了合成而分解，降 低了运算的难度，是一种重要思想方法。
例：一个物体受到四个力的作用，已知F1=1N，方向正 东；F2=2N，方向东偏北600，F3= 3 3 N，方向西偏 北300；F4=4N，方向东偏南600，求物体所受的合力。 y F
3
1 F2 cos600 F3 cos 300 F4 cos600
F3x
F2y
300
F3y F2
600
F
例：一个物体受到四个力的作用，已知F1=1N，方向正东；F2=2N，方向东 偏北600，F3= N，方向西偏北300；F4=4N，方向东偏南600，求物 3 3 体所受的合力。 y
x
F1 F2 x F3 x F4 x
0 0
1 F2 cos 60 F3 cos 30 F4 cos 60 1 1 3 3 / 2 2 1 / 2( N )
如图,三个力F1、F2与F3 共同作用在一点。求它 们的合力？
y
F2
F2X
F1y F2y
F1
F3x F1x
F F
x
O
F3y
x
1x
F2 x F3 x
F3 y
F F F
2 x 2 y
Fy F1 y F2 y F3 y
tan Fy Fx
ΣFy
ΣF
O
ΣFx
即：Fx合=F1x+F2x+F3x+...... Fy合=F1y+F2y+F3y+...... 5、最后再求合力F合的大小和方向
F合
2 Fx2 F 合 y合
Fx F1 F2 x F3 x F4 x
1 1 3 3 / 2 2 1 / 2( N )
F Байду номын сангаас
F F
2 x
2 y
( 3 / 2) 2 (1 / 2) 2 1 N
F =1N
y
Fy= 3 / 2 N
3/2 tan 3 Fx 1/ 2
Fy
Fx = -1/2 N
x
60
0
求 合 力 F合
资源县民族中学 李代贵
微
课
导
学
1、知道什么是正交分解. 2、会用正交分解法求多个共点力的合力。
力 的 合 成
两个力合成时，以 表示这两个力的线
F1 F合
段以邻边，作平行
四边形，这两个邻 边之间所夹的对角 线就代表合力的大 小和方向。
F2
力 的 合 成
F合
F3 F2
F12
F1
力的正交分解
定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解
x
正交分解法解题步骤
1、先对物体进行受力分析，画出受力示意图。 2、以力的作用点为坐标原点，恰当地建立直角坐标系，标出x 轴和y轴。 注意：坐标轴方向的选择原则是：使坐标轴与尽量多的力重合， 使需要分解的力尽量少和容易分解。 3、将不在坐标轴上的各力分解为沿两坐标轴方向的分力。
4、将坐标轴上的力分别合成，按坐标轴规定的方向求代数和