十字相乘法_非常非常好用详解
2013-11-22 十字相乘法_非常非常好用
2
2
x
－3
3x －1 －9x－x=－10x 5x ＋3
例3 分解因式 5x －17x－12 解：5x －17x－12 =(5x＋3)(x－4)
2
－4 x －20x＋3x=－17x
练习：将下列各式分解因式
1、 7x －13x＋6 2、 －y －4y＋12
2 2 2
3、 15x ＋7xy－4y
2
2
4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10 5、 x －(a＋1) x＋a
2+2x)(x2+2x-11)+11 2、(x
3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
一、计算：
( x p)( x q) x
2
( p q)x pq
( x 1)( x 3) ( x 2)( x 4) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 6)
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： 2+(a+b)x+ab的反 (x+a)(x+b)=x 向运算，它适用于分解二次三 2＋mx＋n (a≠0) 。 项式x 例1、把 x2＋6x－7分解因式
一、计算：
(1) mn m n 1 (2) x bx a ab
2 2
(3) x y x y 2 x y xy
5 3 2
(4) x 2 xy y 3x 3 y
2 2
(5) a 2ab b 2bc 2ac c
2 2 2 2 2
2
(6) 已知 a b c ab bc ac 0 , 求 a b c 的值
十字相乘法
十字相乘法因式分解十字相乘法是二次三项式因式分解的重要方法．一个二次三项式2ax bx c ++,若可以分解,则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式,它的系数可以写成12a a 12c c ,十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数,其实就是分解系数a ,b ,c ,使得:12a a a =,12c c c =,1221a c a c b +=,2()()()x a b x ab x a x b +++=++.这个方法的要领可以概括成16个字“头尾分解,交叉相乘,求和凑中,试验筛选”． 若24b ac -不是一个平方数,那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解． 注意:十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解,有些多项式为了能用十字相乘法分解,一般需经过下面两个步骤:⑴将多项式按某一个字母降幂排列,将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式． ⑵若系数为分数,设法提出一个为分数的公因数,使括号内的多项式成为整系数,再利用十字相乘法分解．【例1】分解因式256x x ++1123256(2)(3)x x x x ∴++=++【例2】分解因式210173x x -+2531-- 210173(23)(51)x x x x ∴-+=-- 【例3】分解因式2216312m mn n --11621- 2216312(2)(16)m mn n m n m n ∴--=-+【例4】分解因式()2233kx k x k +-+-1k 13k -()2233(1)(3)kx k x k x kx k ∴+-+-=++-十字相乘法因式分解练习100题(1) 22321845m mn n --(2) 22784830x xy y +-(3) 245428y y --+(4) 2295835x xy y -++ (5) 284236x x --+ (6) 22108272a ab b +-(7) 22186939m mn n --(8) 2232526m mn n ---(9) 22169318x xy y +-(10) 239272a a +-(11) 22186954x xy y --(12) 2288012a a -- (13) 28307x x -+ (14) 22161612m mn n +- (15) 214644x x +- (16) 22334542m mn n +- (17) 22555832a ab b --(18) 22323x x -- (19) 222575126x x --(20) 2242740a ab b --(21) 2232428m mn n +-(22) 22348192x x --(23) 22411514x x ++(24) 2201060x x --(25) 2248448a a --(26) 22965233x xy y --(27) 2812x x --(28) 214143204x x ++(29) 2107214n n -+- (30) 22101545m mn n +- (31) 2551424n n +- (32) 22275427m mn n --- (33) 2309824x x -+ (34) 22268872m mn n -+- (35) 22204642x xy y --(36) 21314x x +- (37) 23215050x x -++(38) 232860b b --+(39) 2218633x x -+(40) 260464b b ++(41) 219698144x x --(42) 22122214a ab b --+(43) 2232328a ab b -+-(44) 2163670x x --+(45) 26040195x x --(46) 21538361x x --+(47) 22123420a ab b ++ (48) 2830x x -++(49) 22183934x xy y --+(50) 22396112a ab b ++ (51) 224512970x xy y +-(52) 22919712a ab b ++ (53) 221510988x xy y -++(54) 2221527m mn n --- (55) 22209157m mn n ---(56) 2262727m mn n -+-(57) 222011575x xy y ++(58) 2229480b b -++(59) 2238434a ab b +-(60) 2192300x -(61) 2701715x x --(62) 296990x x ++(63) 22182296a ab b --+(64) 2244315x xy y -+(65) 22997655x xy y --(66) 242135132x x +- (67) 251015x x --+ (68) 22122210x xy y ---(69) 22681072a ab b +- (70) 22138966m mn n -+-(71) 222868x x -- (72) 2218184x xy y -+(73) 2260733x x ++(74) 22381957a ab b +-(75) 244939x x --(76) 23635100n n +-(77) 22084612x x +-(78) 2480256x x ---(79) 227714445x xy y +-(80) 224495a ab b --(81) 243406x x -+(82) 22186939x xy y --(83) 2284448m mn n ++ (84) 2155550a a -+ (85) 220150130x x -+- (86) 212121304x x -+-(87) 265487a a ++ (88) 236222a a --- (89) 2210448m mn n --+(90) 223411642a ab b -+- (91) 242220n n +-(92) 226636a ab b --+(93) 22145230m mn n ++(94) 2905214b b +-(95) 228015670x xy y ++(96) 2169036x x +-(97) 26135x x +-(98) 2135512y y -+(99) 2210176a ab b -++(100) 22787130x x --+十字相乘法因式分解练习100题答案(1)(23)(1615)m n m n-+ (2)6(135)()x y x y-+ (3)2(14)(21)y y-+-(4)(95)(7)x y x y-+-(5)2(6)(43)x x-+-(6)2(54)(9)a b a b-+ (7)3(313)(2)m n m n-+ (8)2(23)(8)m n m n -++ (9)(163)(6)x y x y-+(10)(34)(1318)a a-+ (11)3(29)(32)x y x y-+(12)4(71)(3)a a+-(13)(41)(27)x x--(14)4(2)(23)m n m n-+ (15)2(711)(2)x x-+ (16)3(2)(117)m n m n+-(17)(52)(1116)a b a b+-(18)(17)(19)x x+-(19)3(1514)(53)x x-+(20)(8)(45)a b a b-+(21)4(87)()m n m n-+ (22)2(1312)(98)x x-+ (23)(314)(81)x x++ (24)10(23)(2)x x+-(25)12(21)(4)a a+-(26)(121)(83)x y x y-+ (27)(28)(29)x x+-(28)(217)(712)x x++ (29)2(7)(51)n n---(30)5(23)(3)m n m n-+ (31)(54)(116)n n+-(32)27()()m n m n-++ (33)2(154)(3)x x--(34)2(1318)(2)m n m n ---(35)2(107)(3)x y x y+-(36)(14)(1)x x+-(37)2(5)(165)x x--+(38)4(45)(23)b b--+ (39)(73)(311)x x--(40)2(32)(101)b b++(41)2(149)(78)x x+-(42)2(37)(2)a b a b-+-(43)8(2)(2)a b a b---(44)2(27)(45)x x-+-(45)5(23)(613)x x+-(46)(319)(519)x x-+-(47)2(65)(2)a b a b++ (48)(815)(2)x x-+-(49)(32)(617)x y x y--+(50)(133)(34)a b a b++ (51)(157)(310)x y x y-+(52)(7)(1312)a b a b++ (53)(8)(151)x y x y--+ (54)(3)(29)m n m n-++ (55)(43)(519)m n m n -++ (56)3(23)(3)m n m n---(57)5(5)(43)x y x y++(58)2(118)(5)b b-+-(59)2()(1917)a b a b+-(60)12(45)(45)x x+-(61)(145)(53)x x+-(62)3(6)(35)x x++(63)2(3)(916)a b a b-+-(64)(4)(115)x y x y--(65)(91)(115)x y x y-+ (66)3(1411)(4)x x-+ (67)5(3)(1)x x-+-(68)2(65)()x y x y-++(69)(47)(173)a b a b+-(70)(131)(6)m n m n---(71)2(111)(4)x x+-(72)2(32)(3)x y x y--(73)(133)(201)x x++(74)19(23)()a b a b+-(75)(13)(43)x x-+ (76)(45)(920)n n-+ (77)2(132)(83)x x-+ (78)4(16)(4)x x-++ (79)(715)(113)x y x y+-(80)(115)(4)a b a b-+ (81)(14)(29)x x--(82)3(313)(2)x y x y-+(83)4(23)(4)m n m n++(84)5(35)(2)a a--(85)10(213)(1)x x---(86)(419)(316)x x---(87)(51)(137)a a++(88)2(91)(21)a a-++ (89)2(512)(2)m n m n -+-(90)2(3)(177)a b a b---(91)2(32)(75)n n-+(92)6(3)(2)a b a b-+-(93)2(3)(75)m n m n++(94)2(97)(51)b b+-(95)2(107)(45)x y x y++(96)2(83)(6)x x-+(97)(15)(9)x x+-(98)(133)(4)y y--(99)(2)(103)a b a b--+(100)(910)(313)x x--+第11页共11页。
专题04 十字相乘法(解析版).pdf
专题04 十字相乘法【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++,若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ,则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时,要先从常数项c 的正、负入手,若0c >,则p q 、同号(若0c <,则p q 、异号),然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时,要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于b ,直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即12a a a =,常数项c 可以分解成两个因数之积,即12c c c =,把1212a a c c ，，，排列如下： 按斜线交叉相乘,再相加,得到1221a c a c +,若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ,即1221a c a c b +=,那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积,即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端,凑中间” （2）二次项系数a 一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的方法方法方法技巧性,在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项,在反复尝试中熟练掌握方法方法方法技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法例1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【参考参考参考答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数,就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+例2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘.【参考参考参考答案与解析】解： 因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ---- ＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便,大家一定要熟练掌握.举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【参考参考参考答案】解：原式()()223432x x x x =---+ ()()()()4112x x x x =-+--例3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++-(2)22(33)(34)8x x x x +-++-【参考参考参考答案与解析】解：（1）令21x x t ++=,则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=,原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点,欲分解都必须先拆开,再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法,这与我们生活中搬家有些类似,要先将一些碎东西找包,会省许多事.类型二、分组分解法例4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学,一看见该式,首先想到的肯定是式子中前三项恰好组成2()x y -,第4、5项→3()x y -.【参考参考参考答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母,其实代数式学习是一个结构的学习,其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代,故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc-++（2）225533a b a b--+（3）23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】分解因式：．2242244241a b c ab ac bc ++--+-【参考参考参考答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+-=()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++-=()()()()222222211b a c b a c c -+-++-=．()()222121b a c b a c -++-+-类型三、拆项或添项分解因式例5、阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax +a 2可以直接用公式法分解为（x +a ）2的形式,但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2,就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2,使其成为完全平方式,再减去a 2这项,使整个式子的值不变,于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax +a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x +a ）2﹣9a 2=[（x +a ）+3a ][（x +a ）﹣3]=（x +4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法,并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣ ）•（x﹣ ）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0,且x≠y）（3）先化简﹣﹣,再利用（2）中y与x的关系式求值．【参考参考参考答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故参考参考参考答案为：y；3y（3）原式===﹣,若x=y,原式=﹣2；若x=3y,原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法,正确地添（拆）项是解本题的关键．【稳固练习】一.选择题1.如果多项式能因式分解为,那么下列结论正确的是 ( ).22mx nx --()()32x x p ++A.＝6B.＝1C.＝-2D.＝3m n p mnp 2. 若,且,则的值为( ).()2230x a b x ab x x +++=--b a <b A.5B.－6C.－5D.63. 将因式分解的结果是( ).()()256x y x y +-+-A. B.()()23x y x y +++-()()23x y x y +-++C.D. ()()61x y x y +-++()()61x y x y +++-4．把多项式1+a +b +ab 分解因式的结果是（ ）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a +1）（b +1）C ．（a +1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b +1）5. 对运用分组分解法分解因式,分组正确的是( )224293x x y y +--A. B.22(42)(93)x x y y ++--22(49)(23)x y x y -+-C. D. 22(43)(29)x y x y -+-22(423)9x x y y +--6．如果有一个因式为,那么的值是（ ）3233x x x m +-+()3x +m A. －9 B.9C.－1D.1二.填空题7.分解因式： ．2242y xy x --+=8. 分解因式：= ．224202536a ab b -+-9．分解因式的结果是__________.5321x x x -+-10. 如果代数式有一因式,则的值为_________．a 11．若有因式,则另外的因式是_________.3223a a b ab b --+()a b -12. 分解因式：（1）；（2）3)32(2-+-+k x k kx mnm x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知,, 求的值.0x y +=31x y +=2231213x xy y ++14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a （2）32344xy xy x y x y-++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax +by +bx +ay =（ax +bx ）+（ay +by ）=x （a +b ）+y （a +b ）=（a +b ）（x +y ）2xy +y 2﹣1+x 2=x 2+2xy +y 2﹣1=（x +y ）2﹣1=（x +y +1）（x +y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x +1﹣4=（x +1）2﹣22=（x +1+2）（x +1﹣2）=（x +3）（x ﹣1）请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【参考参考参考答案与解析】一.选择题1. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--∴,解得.22,32p p n =-+=-1n =2. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,由,所以.()()23065x x x x --=-+b a <6b =-3. 【参考参考参考答案】C ；【解析】把看成一个整体,分解.()x y +()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++4. 【参考参考参考答案】B ；【解析】解：1+a +b +ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【参考参考参考答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后,组与组之间无公因式可提取,所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得,与第二组有公因式可提取,所以分组合理,C 与D 各组均()()2323x y x y +-23x y -无公因式,也不符合公式,所以无法继续进行下去,分组不合理.6. 【参考参考参考答案】A ；【解析】由题意当时,代数式为零,解得.3x =-9m =-二.填空题7. 【参考参考参考答案】．()()22x y x y -+--【解析】解：===．2242y xy x --+()2224y xy x -+-()24x y --()()22x y x y -+--8. 【参考参考参考答案】；()()256256a b a b -+-- 【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+--9. 【参考参考参考答案】；()()()22111x x x x +--+ 【解析】原式.()()()()()()()23222321111111x x x x x x x x x =-+-=-+=+--+10.【参考参考参考答案】16；【解析】由题意当时,代数式等于0,解得.4x =16a =11.【参考参考参考答案】；()()a b a b -+ 【解析】.()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+12.【参考参考参考答案】；；()()31kx k x +-+()()x m x m n --+ 【解析】；()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+.()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++ 由,解得0x y +=31x y +=12y =所以,原式.21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭14.【解析】解：（1）原式；()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-（2）原式；()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦（3）原式；()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+（4）()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+.15.【解析】解：（1）原式=（a +b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a +b +1）；（2）原式= x 2﹣6x +9-16=（x -3）2﹣16=（x -3+4）（x -3-4）=（x +1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b 2= a 2+4ab +4b 2﹣9b 2= （a +2b ）2﹣9b 2=（a +2b ﹣3b ）（a +2b +3b ）=（a ﹣b ）（a +5b ）．知识改变命运。
十字相乘公式法
十字相乘公式法
（最新版）
目录
1.十字相乘公式法的概念
2.十字相乘公式法的应用
3.十字相乘公式法的优点
4.十字相乘公式法的局限性
正文
十字相乘公式法是一种常用的数学计算方法，主要应用于解决乘法运算，尤其是在涉及到两位数相乘时，该方法可以极大地提高计算效率。
首先，我们来了解一下十字相乘公式法的概念。
十字相乘公式法，顾名思义，就是将两个两位数通过十字交叉的方式进行相乘。
例如，我们要计算 23 乘以 45，我们可以将 23 写在上方，45 写在下方，然后通过
十字交叉的方式，将 23 和 45 的每一位相乘，最后将结果相加，就可以得到最终的乘积。
其次，十字相乘公式法广泛应用于各种乘法运算中。
无论是在学校的数学课程中，还是在实际的生活工作中，都可以看到它的身影。
尤其是在涉及到大量的乘法运算时，使用十字相乘公式法可以大大节省时间和精力。
然而，十字相乘公式法也有其优点和局限性。
首先，它的优点在于简单易懂，操作方便。
只需要通过简单的十字交叉，就可以得到乘积，无需进行复杂的计算。
其次，它的局限性在于，只适用于两位数的乘法运算。
对于更大的数字，使用十字相乘公式法会显得非常繁琐，效率也会大大降低。
总的来说，十字相乘公式法是一种简单有效的乘法运算方法，尤其在解决两位数的乘法运算时，可以大大提高计算效率。
十字相乘法技巧
十字相乘法技巧
十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。
对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那
么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数为1时，可表达为
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。
快速学习十字相乘法
做一做
十字相乘法解题实例： 十字相乘法解题实例：
-12可以分为分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2, 可以分为 12， 12×1.当 12分成 分成-12×1.当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 ╳ 1 6 所以m +4m 12=（ +4m）（m+6 m+6） 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 例2、 、
解法一、10x -27xy-28y²-x+25y解法一、10x²-27xy-28y -x+25y-3 =10x²- 27y+1） 28y²-25y+3） =10x -（27y+1）x -（28y -25y+3） =10x²- 27y+1） 4y- ）（7y =10x -（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） +（ =[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] +1）（ ）（5x =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把28y 25y+3用十字相乘法分解为 4y28y²用十字相乘法分解为（ 说明：在本题中先把28y -25y+3用十字相乘法分解为（4y-3） ），再用十字相乘法把10x²- 27y+1） 再用十字相乘法把10x 4y- ）（7y （7y -1），再用十字相乘法把10x -（27y+1）x -（4y-3）（7y 分解为[2x +（ 1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
回顾思考
• 十字相乘法虽然比较难学,但是─旦学会了它,用它来解题, 十字相乘法虽然比较难学,但是─旦学会了它,用它来解题,会给外们带来 非常多方便,以下是对十字相乘法提出的一些见解。 非常多方便,以下是对十字相乘法提出的一些见解。 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数， 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于 常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法的用处：（ ：（1 用十字相乘法来分解因式。（ 。（2 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字 相乘法来解一元二次方程。 相乘法来解一元二次方程。 十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快， 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约 时间，还运用算量不大，不容易出错。 时间，还运用算量不大，不容易出错。 十字相乘法的缺陷：（ ）、有些题目用十字相乘法来解比较简单 ：（1 有些题目用十字相乘法来解比较简单， 4、十字相乘法的缺陷：（1）、有些题目用十字相乘法来解比较简单， 但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。（ ）、十字相乘法只适 。（2 但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。（2）、十字相乘法只适 用于二次三项式类型的题目。（ ）、十字相乘法比较难学 。（3 十字相乘法比较难学。 用于二次三项式类型的题目。（3）、十字相乘法比较难学。
十字相乘法的运算方法
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
╳
2 6
1X6+2X1=8 8>7不成立继续试
第二次
1 2
╳
2 3
1X3+2X2=7所以分解后为:(x+2)(2x+3)
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
a^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以
上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).
十字相乘法
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多 项式再因式分解。 问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作 一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字分解法分解因式了。 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 = 2 ( x - y ) ²- 3 ( x - y ) - 2 1 -2 ╳ 21
十字相乘法
因式分解方法
01 原理
03 运算举例
目录
02 判定 04 分解因式
05 例题解析
07 注意事项
பைடு நூலகம்目录
06 重难点
基本信息
十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等 于一次项。原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
例题解析
例3 例1
例2
例4
例1
把 2 x ²- 7 x + 3 分 解 因 式 . 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数（只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同。）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 13 ╳ 21
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小结： 用十字相乘法把形如
5 3
x ax b
2
二次三项式分解因式使
a p q, b pq
(3x) (5x) 8x
2 x -5x+6 2 X +5x-6 2 x -5x-6
2 X +5x+6
注意：
当常数项是正数时，分解的 两个数必同号，即都为正或都为 负，交叉相乘之和得一次项系数。 当常数项是负数时，分解的两个 数必为异号，交叉相乘之和仍得 一次项系数。因此因式分解时， 不但要注意首尾分解，而且需十 分注意一次项的系数，才能保证 因式分解的正确性。
3、x2y2+16xy+48
2 4、(2+a) +5(2+a)-36 4 3 2 5、x -2x -48x
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾 分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 2 2 3、4m +7mn-36n
一、计算：
( x p)(x q) x (p q) x pq
2
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq的 反向运算，它适用于分解二次 三项式。 例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
2 4、10(y+1) -29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
拓展创新
把下列各式分解因式
1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
x
x
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项相加 ③检验确定，横写因式
1
顺口溜： 竖分常数交叉乘， 横写因式不能乱。
x 7x 6x
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉乘，横写因式不能乱。)
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1
4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
作业：
各学习小组长每人出5道 类似例题的作业题布置 个小组成员。
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12
5. y2-11y+24
4. x2-5x-14
例2、把 解因式
例3、把 分解因式
4 2 y -7y -18
分
2 2 x -9xy+14y
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2