解一元二次方程(十字相乘法)专项训练
十字相乘法 解一元二次方程（十字相乘法）专项训练
一、一元二次方程的解法归类：
1.直接开平方法：适合)0()(2kkhx的形式。
如：07)5(2x 解：57,57,75,7)5(212xxxx
2.配方法：→万能方法（比较适合二次项系数等于1，而且一次项系数是偶数的方程）
关键步骤：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
如：1562xx 解：362,362,623,24)3(,915962122xxxxxx
注：代数式的配方，应先提取二次项系数，将二次项系数变成1，再进行配方。因为代数式没有两边，无法进行两边都加上一次项系数一半的平方，所以必须加多少再减多少，而且配方与常数项无关，所以常数项必须放到括号以外。如：
455)23(37427)23(37)49493(37)3(379322222xxxxxxxx3.公式法：→万能方法（系数比较大的方程不太适合）
如：0122xx 解：∵,1,1,2cba∴,9)1(24142acb∴431x
4.因式分解法：①提公因式法：如1)2)(1(xxx
解：3,1,0)3)(1(,0)12)(1(,0)1()2)(1(21xxxxxxxxx
②运用平方差公式：))((22bababa
如0)12(22xx 解：1,31,0)1)(13(,0)12)(12(21xxxxxxxx
③运用完全平方公式：222)(2bababa， 222)(2bababa
如：016)1(8)1(2xx 解：3,0)3(,0)41(2122xxxx
④十字相乘法：如：0652xx 解：3,2,0)3)(2(21xxxx
x 2 x 3
xxx523
0)3)(2(xx
又如：035682xx 解：47,25,0)74)(52(21xxxx
x2 5
x4 7
xxx62014
0)74)(52(xx 步骤：①因式分解竖直写
②交叉相乘验中项
十字相乘法 二、十字相乘法专题练习：
（1）01072xx （2）0672xx
（3）0862xx （4）01582xx
（5）01662xx （6）0122xx
（7）03722xx （8）071362xx
（9）0101962xx （10）0351162xx
三、用恰当的方法解方程：
（1）02732x （2）142xx
（3）42)2(3xxx （4）01522xx
（5）01492xx （6）07252xx
专题1.13解一元二次方程(精选100题)(全章专项练习)2「含答案」
试卷第1页，共6页专题1.13 解一元二次方程（精选100题）（全章专项练习）
2
1．解方程：
(1)2
232xx-=-
；
(2)
2
2610xx=．
2．（1
）21
310
2xx--=
（2）2
28=0xx--．
3．选用适当的方法解下列方程．
(1)2
60xx--=；
(2)2
30xx=．
4．解方程：
(1)2
232xx-=-
(2)2
240xx--=
5．用适当方法解方程：
(1)
44xx=
；
(2)2
2310xx-=．
6．（1
）解方程31
1
44x
xx
=
--；
（2）2
32(2)xx=
．
7．解方程：
(1)2
2xx=
(2)2
2610xx-=
8．解方程
(1)
4416xxx-=-
；
(2)2
2830xx-=
9．解方程：
(1)2
19x-=
；试卷第2页，共6页(2)
211xxx-=-
．
10．解方程：
(1)2
(2)4(2)xx=
；
(2)2
2310xx--=．
11．解方程：
(1)2
311xxx-=-
；
(2)2
251xx-=-．
12．解方程：
(1)2
215xx-=.
(2)
1525xxx-=-
；
13．解下列方程：
(1)
234xxx-=-
．
(2)2
2
239xx-=-．
14．解下列方程：
(1)2
3(1)27x-=
；
(2)
2
421xx-=．
15．解下列方程．
(1)22
321yy-=-
．
(2)
2
13120xx-=．
16．解方程：
(1)2
6925xx=
(2)
2
5160xx-=
17．用适当的方法解下列方程：
(1)2
230xx--=；
(2)
2
(1)21xxx=
；
(3)2
2420yy-=；试卷第3页，共6页(4)2
(2)120y--=．
18．选择合适的方法解下列方程：
(1)2
28=0xx--．
(2)
3121xxx-=-
．
19．解下列方程：
(1)33
2
22x
xx-
=
--；
(2)2
30xx--=．
20．解方程：
(1)2
14210xx-=．
解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
十字相乘法 解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为解一元二次方程之十字相乘法专项练习题的全部内容。
解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
十字相乘法 解一元二次方程十字相乘法专项练习题
（1) a2－7a+6=0； (2）8x2+6x－35=0；
（3）18x2－21x+5=0； （4) 20－9y－20y2=0；
(5)2x2+3x+1=0; （6)2y2+y－6=0；
（7)6x2－13x+6=0; (8)3a2－7a－6=0；
（9)6x2－11x+3=0； （10)4m2+8m+3=0;
（11)10x2－21x+2=0； （12)8m2－22m+15=0；
（13)4n2+4n－15=0； （14)6a2+a－35=0；
（15）5x2－8x－13=0； （16）4x2+15x+9=0；
（17）15x2+x－2=0； （18）6y2+19y+10=0;
(19) 2（a+b） 2+（a+b)(a－b)－6(a－b） 2=0； 解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
一元二次方程解法专项训练以及题型分类
一元二次方程题型分类讲解
一元二次方程解法《基础训练篇》
（1）直接开平方
1.方程 (3x－1)2=－5的解是 。
2.用直接开平方解下列方程：
(1)4x2－1＝0 ； (2)(x+4)2 = 9； (3)81(x-2)2=16 ； (4)4(2x+1)2-36=0 ； (5)22)32()2(xx
（4）因式分解法
1、填写解方程2-2-3=0xx的过程
解：
x
-3
x 1
-3x+x=-2x
所以2-2-3=xx（x- ）（x+ ）
即（x- ）（x+ ）=0
即x- =0或x+ =0
∴x1=__________,x2=__________
2、用十字相乘法解方程6x2－x-1=0
解： 2x
1
2x- x=-x
所以6x2－x-1=（2x ）（ ）
即（2x ）（ ）=0
即2x =0或 =0
∴x1=__________,x2=__________
例题1、26=xx 2、4(3+)7(3+)xxx 3、244-y+=039y 4、22-1=9xx（2） 5、20322xx=0；
练习：解方程
1、22-3=0xx 2、(3)3(3)xxx 3、24-12x-9=0x 4、22-3=25+4xx（）（）
5、22-3=-9xx（） 6.3x2 ＋7x－6=0 ； 7.2216-3(4)xx 8.22(-3)+436xx
9.(-3)2(2)xx（x+2） 10.2(4-3)+44-3+4=0xx（） 11. 2x2 ＋5x＋2=0； 12.27196=0xx
用十字相乘法解一元二次方程问题
1 十字相乘法解一元二次方程问题
赵军 魏秀侠
解答某些与一元二次方程有关的问题时，灵活应用十字相乘法，有时可独辟蹊径，化难为易，请看下面几例。
例1. 若abc0，一元二次方程()()()abxbcxca20的两个实数根中，较大的一个实根等于__________。
解：将已知方程变形，得
()[()()]xabxca10，
∴xxcaab121，。
∵abc0
∴caabx0002，，。
故所求的较大的一个实根等于1。
例2. 已知二次方程()()abbxbaxaab22202有两个相等的实数根，那么11ab___________。
解：已知方程变形，
得()[()()]xabbxaab1220
∴xxaababb12122，，
∵xxaababbabab12221，∴，即，
故111ababab。
例3. 若关于x的方程()121022mxmx的两个根都是比1小的正数，则实数m的取值范围是__________。
解：已知方程变形，得
[()][()]11110mxmx，
∴xmxm121111，，
又∵010112xx，，
∴01110111mm且。
2 ∴mm20且。
故实数m的取值范围是m2。
例4. 已知方程axaaxaa222238213150()至少有一个整数根，则非负整数a=____________。
解：已知方程变形，得
[()][()]axaaxa5230，
∴xaaxaa12523，
当xaaxaa12523，。
一元二次方程解法专题训练导学案(直接开平方、配方法、求根公式、十字相乘、因式分解)
1 鸡西市第十九中学学案
班级 姓名
学科 数学 课题 一元二次方程 课型 新课
时间 年 月 日 人教版 八年级下
学习目标 知道什么是一元二次方程，一元二次方程的一般形式。
会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项 。
重点
难点 一元二次方程的概念及它的一般形式 。
会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项 。
学习内容
【复习引入】
1、含有 的等式叫做方程。
2、含有 个未知数，并且未知数的次数是 的整式方程叫做
一元一次方程。
3、一元一次方程都可以化为最简形式 。
4、若方程ax-3=2的解是x=1，则a= 。
【新知探究】
问题 1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
问题2 某小区在两栋楼之间开辟面积为900 平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各是多少？
如果设绿地宽为x米，那么它的长应是 米。
根据面积计算公式可列方程： 。
整理得： 。
观察以上整理后方程，它们两边都是 式，含有的未知数有 个，
未知数的最高次数是 。这样的方程叫做一元二次方程。 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。
任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式（又叫标准形式）。其中ax2 叫做 ，a是二次项的系数；
bx叫做 ，b是一次项的系数；c叫做 。
十字相乘法 28.2解一元二次方程
十字相乘法
班级： 9. 编 号：8 时 间：9.5 课型：预习+展示
编制人：付连敏 审核人：张小龙 使用人： 小组： 组
号
学习目标： 会用十字相乘法解一元二次方程
一、知识链接：解方程x2+6x+8=0
二、获取新知：
题组1： 方程（1）x2+5x+6=0 （2 ）x2+10x+16=0 (3) x2+14x+24=0
题组2： 解方程（1）x2-5x+6=0 （2) x2-10x+16=0 (3) x2-14x+24=0
题组3： 解方程（1）x2-x-6=0 （2) x2-6x-16=0 (3) x2-10x-24=0
高手练兵场：（选做题）
2x2+11x+15=0 2x2-11x+15=0 2x2+x-15=0
总结：十字相乘法适合解什么样的一元二次方程？
方程左边是一个 ，右边
三、巩固训练：快速解方程
（1）x2+7x+6=0 （2) x2-17x+16=0 (3) x2-23x-24=0
四、达标测评：一、基础题：每题2分，共6分
1、方程x2+3x+2=0的解是
2、方程x2-8x+12=0的解是
3、方程x2-4x-12=0的解是
二、提升题：每题2分，共4分
1、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长是
完整版)解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
完整版)解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
解一元二次方程十字相乘法专项练题
1.a2－7a+6=0；2.8x2+6x－35=0；
3.18x2－21x+5=0；4.20－9y－20y2=0；
5.2x2+3x+1=0；6.2y2+y－6=0；
7.6x2－13x+6=0；8.3a2－7a－6=0；
9.6x2－11x+3=0；10.4m2+8m+3=0；
11.10x2－21x+2=0；12.8m2－22m+15=0；
13.4n2+4n－15=0；14.6a2+a－35=0；
15.5x2－8x－13=0；16.4x2+15x+9=0；
17.15x2+x－2=0；18.6y2+19y+10=0；
19.2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2=0；20.7(x－1)2+4(x－1)－20=0
参考答案：
1.(a-6)(a-1)
3.(3x-1)(6x-5) 5.(x+1)(2x+1)
7.(2x-3)(3x-2)
9.(2x-3)(3x-1)
11.(x-2)(10x-1)
13.(2n+5)(2n-3)
15.(x+1)(5x-13)
17.(3x-1)(5x+2)
19.(3a-b)(5b-a)
2.(2x+5)(4x-7)
4.(4y-5)(5y+4)
6.(y+2)(2y-3)
8.(a-3)(3a+2)
10.(2m+1)(2m+3)
12.(2m-3)(4m-5)
14.(2a+5)(3a-7)
16.(x+3)(4x+3)
18.(2y+5)(3y+2)
20.(x+1)(7x-17)
解一元二次方程十字相乘法专项练题
以下是20个一元二次方程，使用十字相乘法分解因式后得到的答案。
例如，第一题a2－7a+6=0，使用十字相乘法可得到(a-6)(a-1)。
其他题目的答案如上所示。
5x2+6x-8
6x2-5x-25
6x2-7x+3
学乐教育数学
分解因式：
(完整版)解一元二次方程(十字相乘法)专项训练
十字相乘法 解一元二次方程（十字相乘法）专项训练
一、一元二次方程的解法归类：
1.直接开平方法：适合)0()(2kkhx的形式。
如：07)5(2x 解：57,57,75,7)5(212xxxx
2.配方法：→万能方法（比较适合二次项系数等于1，而且一次项系数是偶数的方程）
关键步骤：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
如：1562xx 解：362,362,623,24)3(,915962122xxxxxx
注：代数式的配方，应先提取二次项系数，将二次项系数变成1，再进行配方。因为代数式没有两边，无法进行两边都加上一次项系数一半的平方，所以必须加多少再减多少，而且配方与常数项无关，所以常数项必须放到括号以外。如：
455)23(37427)23(37)49493(37)3(379322222xxxxxxxx3.公式法：→万能方法（系数比较大的方程不太适合）
如：0122xx 解：∵,1,1,2cba∴,9)1(24142acb∴431x
4.因式分解法：①提公因式法：如1)2)(1(xxx
解：3,1,0)3)(1(,0)12)(1(,0)1()2)(1(21xxxxxxxxx
②运用平方差公式：))((22bababa
如0)12(22xx 解：1,31,0)1)(13(,0)12)(12(21xxxxxxxx
③运用完全平方公式：222)(2bababa， 222)(2bababa
如：016)1(8)1(2xx 解：3,0)3(,0)41(2122xxxx
④十字相乘法：如：0652xx 解：3,2,0)3)(2(21xxxx
解一元二次方程-因式分解法-十字相乘法(贯穿中学代数几何应用)(解析版)25学年九年级数学上学期期末
解一元二次方程-因式分解法-十字相乘法
（贯穿中学代数几何应用）
1.因为一些原因，本篇主要以十字相乘法因式分解练习十字相乘法解一元二次方程(可加＝0
改成方程)；
2.本篇可能可以短时间提高分解十字相乘法能力，但还要长期在不同的情境的代数应用和几
何应用题中去夯实它；
3.最后篇章有11道与十字相乘法有关的一元二次方程的应用题。
1．分解因式：
(1)
2
32xx-+；
(2)
2
310xx+-．
【答案】(1)
21xx--
(2)
25xx-+
【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；
（2）利用十字相乘法因式分解即可．
【解析】（1）解：原式
21xx=--
；
（2）原式
25xx=-+
．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
2．用十字相乘法解方程：
(1)
2
560xx+-=；
(2)
2
230xx--=．
【答案】(1)6x=-
或1x=
(2)3x=或1x=-
【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．
【解析】（1）解：2
560xx+-=
(6)(1)0xx+-=
，
60x+=
或10x-=，
6x=-
或1x=；
（2）解：2
230xx--=，
(3)(1)0xx-+=，
30x-=
或10x+=
，
3x=或1x=-．
【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．
3．分解因式：x
2
﹣7x+12 = ．
【答案】(x-4)(x-3)
【分析】因为（-3）×（-4）=12，（-3）+（-4）=-7，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解析】解：x2-7x+12=（x-3）（x-4）．
故答案为：（x-3）（x-4）．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质
是二项式乘法的逆过程．
4．2
536pp--=
【答案】(4)(9)pp+-
【解析】试题分析：常数项-36=-9×4，一次项系数-5=-9+4，由此即可进行因式分解.
试题解析：p2-5p-36=(p+4)(p-9).
解一元二次方程的方法十字相乘法
解一元二次方程的方法十字相乘法
一、什么是一元二次方程？
一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，x为未知数，a≠0。
二、十字相乘法的思路
十字相乘法（也叫配方法）是解一元二次方程的一种常用方法。其思路是通过把x的系数b拆分成两个因数，每个因数与a相乘得到两个新的乘积，然后再寻找这两个乘积的和能否与c相加得到0，如果能，则把方程拆分成两个一次方程进一步求解。
三、详细步骤
1. 将一元二次方程的形式化表示为ax² + bx + c = 0。
2. 将b拆分成两个数p和q，满足p + q = b，且p和q的积等于ac。
3. 列出一个新的二次方程(ax² + px) + (qx + c) = 0；这个新方程的实质是把原方程中的bx项分解成px和qx两项，把原来的一元二次方程变成两个一次方程。
4. 分别解出新方程中的两个一次方程。
5. 根据结果确定原方程是否有实数根，如果有，则输出解集；如果没有，则说明原方程的解是纯虚数。
四、举例说明
假设要求解一元二次方程2x² + 5x - 3 = 0，按照十字相乘法的步骤，我们可以这么做：
1. 把方程的形式化表示为2x² + 5x - 3 = 0。
2. 拆分系数b为2个数，即2和3，同时满足2 + 3 = 5，且2 × 3 = 6 =
2 × 1 × 3。
3. 根据拆分得到的2个系数1和3，重写原方程为2x² + x + 3x - 3 = 0。
4. 把新方程转化成2个一次方程：(2x² + x) + (3x - 3) = 0。
5. 分别解出这两个一次方程：x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0，即(2x + 1)(x + 3)
= 0。
6. 根据解出的方程得到x = -3/2或x = -1/2，所以原方程的解集为{-3/2，-1/2}。
五、总结
十字相乘法是解一元二次方程的常用方法，比较适用于系数较小的方程。这种方法的核心思路是将系数b拆分成两个数，然后组成新的一次方程进一步求解。这种方法简单易理解，但也存在着只适用于一部分方程、误用和身份暴露等问题。因此，在使用十字相乘法时，需根据具体情况斟酌使用。