平面向量数量积的坐标表示模夹角

平面向量数量积的坐标表示模夹角

教学目标

1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)

2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)

3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)

[基础·初探]

教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示：

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|

3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB

→＝

4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b夹角为θ，则

cos θ＝

a·b

|a|·|b|＝

x1x2＋y1y2

x21＋y21x22＋y22

.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．()

(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )

解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°.

(2)√.由向量数量积定义可知正确． (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×

[小组合作型]

平面向量数量积的坐标运算

(1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，

且a·b ＝－1，则x 的值等于( )

A ．1

2 B ．－12 C ．32

D ．－32

(2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________.

(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________.

根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．

解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，

所以a·b ＝(1，2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1， 解得x ＝－32.

(2)a·b ＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1，

a·(a －b )＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4. (3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b ·c ＝5， 所以⎩⎨⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，

所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.

【答案】 (1)D (2)1 4 (3)⎝ ⎛⎭

⎪⎫

97，47

1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：

|a|2＝a·a ；(a ＋b )(a －b )＝|a|2－|b|2； (a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.

2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．

3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．

[再练一题]

1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( )

A ．(－15，12)

B ．0

C ．－3

D ．－11

解：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，∴(a ＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.

【答案】 C

向量的模的问题

(1)(2016·莱州期末)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，

若a∥b，则|2a－b|等于()

A．4 B．5

C．3 5 D．4 5

(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.

(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.

(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.

解：(1)由y＋4＝0知

y＝－4，b＝(－2，－4)，

∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4 5.故选D．

(2)由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)，

因此|a＋b|＝（－2）2＋42＝25，|a－b|＝4.

【答案】(1)D(2)25 4

向量模的问题的解题策略：

(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．

(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2.

[再练一题]

2．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________.

解：∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)， ∴|a ＋b|＝x 2＋（x ＋2）2＝2x 2＋4x ＋4

＝

2（x ＋1）2＋2≥2，

∴|a ＋b|∈[2，＋∞)． 【答案】 [2，＋∞)

[探究共研型]

向量的夹角与垂直问题

探究1 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？

【提示】 cos θ＝a ·b

|a ||b |

＝

x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 2

1·

x 2

2＋y 22

.

探究2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？

【提示】 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝

1＋λ2，a ·b ＝λ－1.

∵a ，b 的夹角α为钝角，

∴⎩⎨⎧λ－1<0，

21＋λ2

≠1－λ，