2014运筹学-03-2表上作业法
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运筹学——运输问题
22
2021/7/26
表3.20
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
2
5
7
A2
1
3
4
A3
6
3
9
销量
3
6
5
6
表3.21
销地
产地
B1
B2
A1
A2
3-
A3
6
销量
3
6
B3
B4
产量
5
2-
7
1+
4
3
9
5
6
23
2021/7/26
例：用表上作业法求下列运输问题的最优解:
销地 B1
B2
B3 产量
产地
A1
5
1
8 12
10
2021/7/26
1.求初始基可行解 方法1：最小元素法
基本思想：就近供应，即 从运价最小的地方开始供 应（调运），然后次小， 直到供完为止.
A1 A2 A3 销量
B1
3
3
1
7
03
B2
11
9
6
4
06
B3
4
3
1
2
10
045
B4
3
10
8
3
5
6
产量 73 410 93
11
2021/7/26
1.求初始基可行解 方法2：Vogel法
j1
m
xij bj ( j 1, , n)
i1
xij
0
(i 1,
,m
j 1,
运筹学运输问题表上作业法详述
+1
-1
-1
+1
54
3. 得到调整后的调运方案：
B1
B2
B3
B4
A1
5
2
A2
3
1
A3
6
3
4.计算新方案的检验数，重复上述步骤，直至所 有检验数都 ≥0，即得到最优方案。
55
最优调运方案
B1 B2 B3 B4
A1
52
A2 3
1
A3
6
3
相应的最小总运费为：
34
Z
cij xij 3 5 10 2 1 3 81 4 6 5 3 85
θ=miinj {该闭回路中奇数次顶点调运量xij}
若有多个检验数小于零，则取其中最小的负数
52
继续上例，因σ24= -1 ，画出以x24为起始变量的闭回路
53
计算调整量： θ =Min（3，1）=1
2. 按照下面的方法调整调运量：
闭回路上，奇数次顶点的调运量减去θ ，偶数 次顶点（包括起始顶点）的调运量加上θ ；闭回 路之外的变量调运量不变。
列差额 2 5 1 3
2-13
2-12
--12
34
34 Z
cij xij 3 5 10 2 1 3 81 4 6 5 3 85
i1 j1
伏格尔法的优劣？
离最优解貌 似很近了哦
求解过程有点 麻烦呢！
用Vogel法求出的初始解叫做“近似最优解”
35
课堂练习：用最小元素法求初始解
A1 A2 A3 销量
1
1
1
1
n
行
15
产销平衡运输问题模型的特点
1.变量数：mn个 2.约束方程数：m+n个
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学-表上作业法
在初始表上判断：
4、通过矩阵变化，把该列变 成单位列向量
入基变量这一 列对应的系数
迭代 基变 次数 量
cB
s1
0
s2
0
0
s3
0
zj
σj=cj－zj
x1
x2
s1
50 100
0
1
1
1
2
1
0
0
1
0
0
0
0
50
100 0
s2 0
s3 0
b
比值 bi / aij
0
0 300 300/1
1
0 400 400/1
2.2 单纯形法的表上作业方法
School of Information Management, CCNU
1
《运筹学》 All Rights Reserved ,Lu Xinyuan (2013)
在讲解单纯形法的表格形式之前，先从一般数学模型里推
导出检验数 s j 的表达式。
可行基为m 阶单位矩阵的线性规划模型如下（假设其系数
迭代 基变 次数 量
cB
x1 50
x2 100
s1 0
s2 0
s3 0
比值
b
bi / aij
x1 50
1
0
1
0
－1 50
－
s2
0
0
0
－2
1
1 50
－
2 x2 100
0
1
0
0
1 250
－
zj
σj=cj－zj
矩阵的前m列是单位矩阵）：
(n-m)个非基变量
m a x z = c1 x1 + c 2 x 2 + x1 + a x 1, m +1 m +1 + x 2 + a x 2 , m +1 m +1 +
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
表上作业法
第三章 运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设 表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…， ）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
1.2 运输问题的特性∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===mi nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
管理运筹学第七章运输问题之表上作业法
10 （12）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
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销地
B3 3 x14 8 B4 10
供应
7 4
需求
3
6
5
6
20
元素差额法(VAM法) 例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 . 元素差额法是在最小元素法的基础上改进的 和 B4四个销地，求如何调运使总运费最少？ 在确定产销关系时，不从最小元素开始，而 从运输表中各行各列的最小元素和次小元素 产地 销地 供应 B1 B2 B3. B4 之间的差额来确定产销关系
2
5
×
3 差 额
3
8
4
4
×
6
2 1
1
1 5
2 8
3 2
初始调运方案为
2 3 5 9 7 1 2 5 4 3 2 4 88
作业： 用元素差额法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
初始总运费为
5 9 4 7 3 1 2 2 3 4 4 2 100
作业： 用最小元素法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
供 应
9 9-3 9-3-6 5 5-2 5-2-3 7 7-1 21
3
A2 A3 需求
1
6-6 6
初始调运的运费为
3 2 6 9 2 3 3 4 1 2 6 5 110
作业： 用西北角法求解下列问题的调运方案
产地 销地 供应
B1
A1 x11 3 x12
产地 B1 A1 2 B2 9 销地 B3 10 B4 7 9 5 供应
x11
A2 x21 1
x12
3 x22
x13
4 x23
x14
2 x24
A3
x31 需求 3
8
x32 8
4
x33 4
2
x34 6
5
7
21
这是一个产销平衡问题，西北角法具体步骤 第一步，做产销空格表，将空格对应的产销 地运费填在空格的右上角.
第三步，在差额行和差额列中选取差额最大 的一行或一列进行分配，并对该行(列)的最 小元素填数，填数规则同最小元素法. 第四步，重新计算差额并进行分配，直到每 一个格上都被填上数字或画×为止.
B1
A1 A2 2
B2
9
B3
10
B4
差额
7 2 9 5 7 21
3
1
5
3
×
4
1 5
2 5 1
×
A3 8
×
4
×
第二步，在表中增加一行vj和一列ui , 使得表 中的基变量的单位运价cij刚好是ui和vj的和. 第三步，计算空格处的检验数: σij=cij-( A1 A2 3 A3 7 6 4 3 1 B2 11 4 9 1 10 3 5 9 2
销地
B3 3 3 8 B4 10
闭回路法 由一个空格开始，沿水平方向或垂直方向前 进. 遇到一个有数字的格子时，则可以按前 进方向的垂直方向转向前进，经过若干次后, 必然回到原出发点. 这样就形成了一条由水平线段和垂直线段组 成的封闭折线，称为闭回路法. 拐角：填有数字，并且前进方向改变的格子. 检验数求法：从空格开始沿闭回路前进，空 格的单位运费取正，第一个转角运费取负， 第二个取正, …, 然后将这些运费加起来，即 空格的检验数.
A1 x11 A2 x21 A3 8 1 x22 4 2 x12 3 x23 2 9 x13 4 x24 5 7 21 10 x14 2 5 7 9
x31
需求 3
x32
8
x33
4
x34
6
第一步，做产销空格表，并将空格对应的产 销地运费填在空格的右上角.
第二步，产销空格表上增加一行和一列作为 差额行和差额列，填上对应行和对应列的最 小元素和次小元素的差额.
例 求下表A2B2的一个闭回路和检验数
产地
B1 A1 A2 3 A3 7 6 4 3 1 B2 11 4 9 1 10 3 5 9 2
销地
B3 3 3 8 B4 10
供应
7 4
需求
3
6
5
6
20
检验数:
9 4 5 10 3 2 1
第三章
第二节 表上作业法
运输问题
2 最优调运方案的判断 位势法 如果产销地的个数很多，闭回路法应用起来 非常麻烦，对于这种情况，采用位势法: 第一步，做产销空格表，并作初始调运方案， 表中的数字是相应的单位运价和运量.
销地
B3 3 x14 8 B4 10
供应
7 4
需求
3
6
5
6
20
2 最优调运方案的判断 判断一个调运方案是否是最优方案，实质是 判别一个基本可行解是否为最优解. 单纯形法中，最优解是根据对应的非基变量的 检验数来判断的. 运输问题也采用类似的方法.
由单纯形法可知，最优解中非基变量一般取0 那么运输问题中，哪些是非基变量呢？ 调运量为零(即×位置)的对应于非基变量！ 所以只要判别出每个空格的检验数就可以了 检验数该如何求？ 闭回路法和位势法
供应
7 4
需求
3
6
5
6
20
解：
产地
B1 A1 A2 3 A3 B2 3 1
销地
B3 11 4 9 1 4 6 2 3 3 B4 10
位势
1
2
2 9 1
1 0 -4
-1 9
8 5
8
7
10
-3
12 -2
10 3
位势
1
8
2
9
此方法求出的检验数和闭回路法求的是一致的
求得检验数后，就可以判断这个运输方案是 否是最优的. 由于运输问题的目标函数是极小化问题 所以所有的检验数都是非负的时候，最优. 如果有检验数为负值，该如何处理？
第二步，在表中对左上角进行分配 (1) 如果产大于销，则在这个方格填上销量, 并在表中划去这一列 (2) 如果销大于产，则在这个方格填上产量, 并在表中划去这一行 第三步，在剩下的表中，反复进行第二步.
产地
B1 A1 2 B2
销地
B3 9 6 1 × 8 × 3-3 3 × 8-6-2 8-6 8 2 4 3 3 2 × 4 × 5 6 4 4-3 4-3-1 10 × 2 B4 7
第二节 表上作业法
表上作业法一般分为两个阶段 第一阶段，制定初始调运方案; 第二阶段，从初始调运方案出发，调整调运 方案，逐步获得最优解. 1 制定初始调运方案 下面通过例题来介绍几种常用的求运输问题 的初始基本可行解的方法
左上角法(西北角法) 例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 和B4四个销地，求如何调运使总运费最少？
销地
位势
B3 B4 3 10 2 2 1 10 3 5 8
0 3
B1 3 1
2 9 2 7
6
B2 11 5 9 4
2
9 -2
7
1 1 12 -2
0
-3
1 7 1 8 所有的检验数均已大于等于零 所以此表为最优调运方案，总运费为
位势
s 1 3 6 4 5 3 2 10 1 8 3 5 85
3 调整已有的调运方案 就是从一个已知方案求出另一个较好的方案. 实质上就是从一个基本可行解找出另一个基 本可行解，使目标函数下降. 具体步骤如下:
第一步，选出一个检验数为负的空格(一般选 具有最负值的检验数的空格，如果两个空格 的检验数一样，则任选一个)，然后做选出空 格的闭回路. 第二步，从空格处出发，沿闭回路前进，在 各奇数次拐角点的调运量中选取一个最小的 调运量. 第三步，在空格中填上所选的最小调运量， 并使所有的奇数次拐角的调运量减去这个最 小调运量，偶数次拐角的调运量加上最小调 运量.
B2
11 x13
B3
3 x14
B4
10 7
A2
x21 A3 x31 需求 3
1
x22 7 x32 6
9
x23 4 x33 5
2
x24 10 x34 6
8
5
4
9 20
最小元素法 例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 和B4四个销地，求如何调运使总运费最少？
产地
B1 A1 2 B2 9
产地
B1 A1 A2 A3 位势 3 10 -3 1 1 2 3 1 7 6 8 2 9 1 8 B2
销地
B3 11 3 B4 10
位势
1 0 -4
4+1 4
9 2
3-1 3
-1 19 3 8 5 9
1-1 1
4 12 -2 2 10
相当于单纯形法的转轴运算. 重新计算位势和检验数.
产地
A1 A2 3 A3
销地
B3 10 B4 7
供应
9 5 7 21
x11
A2 x21 A3 x31 需求 3 8 1
x12
3 x22 4 x32 8
x13
4 x23 2 x33 4
x14
2 x24 5 x34 6
第一步，做产销空格表，并将空格对应的产 销地运费填在空格的右上角; 第二步，在表中找出运价最小的一个，对比 产地和销地;
(1) 如果产大于销，则在该格中填上销量; (2) 如果销大于产，则在该格中填上产量;