七年级数学培优资料上册
七年级上册数学培优
七年级上册数学培优一、有理数。
1. 知识点梳理。
- 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
包括正整数、0、负整数、正分数、负分数。
- 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴上的点与有理数一一对应。
- 相反数：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。
例如，2和 - 2是相反数，0的相反数是0。
- 绝对值：一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
2. 典型例题。
- 例1：已知a = - 3，求a的相反数和绝对值。
- 解：a=-3，a的相反数是-a=-(-3) = 3，a的绝对值| a|=| - 3| = 3。
- 例2：在数轴上表示-2，1.5，0，并比较它们的大小。
- 解：先画出数轴，标注原点、正方向和单位长度。
在数轴上找到对应的点，从左到右的顺序为-2＜0＜1.5。
3. 培优练习。
- 练习1：若| x| = 5，求x的值。
- 练习2：比较-(3)/(4)和-(4)/(5)的大小。
二、整式的加减。
- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如，3x，-5，a都是单项式。
- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
例如，2x + 3y是多项式。
- 整式：单项式和多项式统称为整式。
- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
例如，3x^2y和-5x^2y是同类项。
- 合并同类项：把同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变。
2. 典型例题。
- 例1：化简3x^2 - 2x+5x^2 - 4x。
- 解：首先找出同类项，3x^2和5x^2是同类项，-2x和-4x是同类项。
- 合并同类项得(3x^2 + 5x^2)+(-2x - 4x)=8x^2 - 6x。
- 例2：已知A = 2x^2 - 3x+1，B=-x^2 + 2x - 3，求A - B。
- 解：A - B=(2x^2 - 3x + 1)-(-x^2+2x - 3)- 去括号得2x^2 - 3x + 1+x^2 - 2x + 3- 合并同类项得(2x^2+x^2)+(-3x - 2x)+(1 + 3)=3x^2 - 5x+4。
七年级上册人教版数学培优讲义(带答案平时讲课时用过的)
第1讲 有理数（1）1.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度.已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（ ） A .乙地比丙地高70米 B .乙地比甲地低90米 C .丙地最低 D .甲地高出海平面100米2.下列各组数中，大小关系正确的是（ ）A .752-<-<-B .752->->C .725-<-<-D .275->->-3.一个数在数轴上所对应的点向左移动6个单位后，得到它的相反数的点.则这个数是（ ） A .3 B .－3 C .6 D .－64.在数轴上点Ａ所表示的数是－3，点Ｂ与点Ａ的距离是5，那么Ｂ点所表示的有理数是（ ） Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．２ Ｄ．２或－８ ５．一个数是７，另一个数比它的相反数大３，则这两个数的和是（ ） Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ．－10 Ｄ．11 ６．如果2(3)x +与3(1)x -互为相反数，那么x 的值是（ ） Ａ．－８ Ｂ．８ Ｃ．－９ Ｄ．９ 7.若,0a b c a b c <<++=，则a b +的范围是（ ）A .0a b +>B .0a b +<C .0a b +≥D .0a b +≤8.如果a 、b 均为有理数，且0b <，则有（ ）A .a a b a b <+<-B .a a b a b <-<+C .a b a a b +<<-D . a b a b a -<+< 9.下列各数中：－6；5；＋2.5；0；－1；13-；100；10% 正数是：_________________________________； 负数是_________________________________.10.数－3；＋8；12-；＋0.1；0；－10；5；13中，正数有______________________个.11.将下列各数5；23-；2010；0.02-；6.5；0；2-填入相应的括号里.正数集合{} 负数集合{}12.最大的负整数是___________；小于3的非负整数是______________________.13.若12.332x -<≤，则x 的整数值有___________个.14.从数轴上表示1-的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后到达的终点所表示的数是___________.15.如果a 、b 互为相反数，那么a b +=___________，22a b +=___________.16.如果a 的相反数是最大的负整数，b 的相反数是最小的正整数,则a b +=___________.17.一个数的相反数大于它本身，那么这个数是___________,一个数的相反数等于它本身，这个数是___________,一个数的相反数小于它本身，这个数是___________.18.若果a 和b 是符号相反的两个数，在数轴上a 所对应的数和b 所对应的点相距6个单位长度，如果2a =-，则b 的值为___________.19.如果a 的相反数是2-，且234x a +=，求x 的值；20.数轴上Ａ点表示的数为＋４，Ｂ、C 两点表示的数互为相反数，且C 到A 的距离为2，点B 和点C 各表示什么数；21.已知A 、B 为数轴上的两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为多少？22.已知A 为数轴上的一点，将A 先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点Ｂ，若A 、B 两点对应的数恰好互为相反数，求Ａ点对应的数.23.小康水平的一个指标是年人均收入1000美元.2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的美元数用正数表示，不足1000美元的美元数用负数表示.此10户的年人均收入如下（单位：美元）：(1) 请你计算一下这10户有百分之几达到了小康指标？（2）10户年平均收入为多少美元？24.（1）照这样计算小亮家6月用电多少度？（2）供电部门规定：每月每户用电不超过200度，每度按0.5元收费，超过200度但不超过300度的，超过的部分每度按0.55元收费，超过300度的，超过部分每度按0.8元收费，则小亮家6月应缴电费多少？（3）7月份由于天气变热，用电量增大，小亮妈缴费时发现这个月用电每度平均0.63元，求小亮家7月份用电多少度？25.（1）通过计算，说明本周内那天粮库剩下的粮食最多？（2）若运进的粮食为购进的，购买价为2000元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为2300元/吨，则这一周的利润为多少？（3）若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库库存粮食为50吨？26.一串数：1121123211234321,,,,,,,,,,,,,,,1222333334444444------……根据以上规律：(1)请问：20132014是这一串数中的第几个数？(2)请问：这组数中的第2014个数是多少？27.考察下列一串有规律的数.（横排为行）根据上面的规律，解答下列问题： （1）第10行最后一个数是多少？（2）2015是第几行第几个数？（3）用n S 表示第n 行的所有数的和.观察1S 、2S 、3S ……，根据规律猜想n S 为多少？（用含n 的代数式表示，n 为正整数）；(4)第n 行第m 个数是多少？用含m 、n 的代数式表示. (29272523211917151311)97531第2讲 有理数（2）1.有理数(2)--，(2)-+，(2)+-，2--，2+-，a -中，一定是负数的个数是（ ） A .2个 B .3个 C .4个 D .5个2.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列关系中： （1）a b c <<；（2）0c >；（3）a c =；（4）0a <正确的是（ ）A .(1)(2)(3)B .(2)(3)(4)C .(1)D .(1)(4)3.下列说法：①若a 、b 互为相反数，则0a b +=；②若a b =-，则a 、b 互为相反数；③若a 、b 互为相反数，则1ab=-；④若a b =，则a 、b 互为相反数.其中正确的结论是（ ） A .②③④ B .①②③ C .①②④ D .①②4.给出下列结论：①一个数的3倍大于这个数.②绝对值最小的数是0. ③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ④如果a a =，那么0a >.其中正确的个数为（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个5.a 、b 是有理数，若3,4a b ==，则a b +=（ ）A . 1或7-B . 1-或7-C .1或7D . 1,7,17--或 6.若a 为有理数，则a --是（ ）A .正数B .负数C .非正数D .非负数 7.数轴上的点A 、B 分别表示12-和13，则线段AB 的中点所表示的数是（ ）A .512 B .112 C . 112- D . 16- 8.观察下面按次序排列的一组数，并按要求填空. 2,4,6,8,10,--______,_______,……，则第50个数是______________.9.若257x -=，则x 的值为____________;若4x -=-，则x ＝_________.10.已知A 、B 为数轴上两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为_______. 11.已知0,0,a b a b <>>，试用""<将a a b 、b 、-、-连接起来_____________________.12.一个数在数轴上对应的点先向右移动3个单位，再向左移动7个单位后，得到它的相反数对应的点，则这个数是___________.13.已知，在数轴上，Ａ点到原点的距离为３，P 点到A 点的距离为2，画出数轴并在数轴上直接标出Ｐ点所对应的数．14.已知，x 和212x -互为相反数.求x 的值.15.已知，x 与14互为倒数，y 的相反数是3-，50a -=，求x y a ++的值.16.若x 与2y -互为相反数，y 与z 互为倒数.m 是绝对值最小的数，求式子2243x y yz m -+-+的值.17.若a 是有理数，在a -与a 之间有2015个整数，求a 取值范围.18.若0,0,m n <>且m n >，试比较,,,m n m n n m ----的大小，并用“＞”号连接.dc ba19.某洗衣厂上月生产了30000 袋洗衣粉，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽取了20袋进行检测，记超过或不足标准重量的部分为“＋”和“”,记录如下：(2) 通过计算估计本厂上月生产的洗衣粉平均每袋多少克？(3)厂家规定超过或不足的部分大于5克时，不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？20.出租车司机小李某天下午从客运站出发后，所有营运都是在东西走向的人民大道上进行的.如果规定向东为正，向西为负，他这一天下午的行车情况如下（单位：千米）15,3,11,11,10,4,12,15,18,16+-+-++---+.根据记录，解答下列问题：（1）小李将最后一名乘客送到目的地时，他的位置在那？（2）若在出车前油箱内有10升油，汽车每千米的耗油量为0.08升，试问：小李将最后一名乘客送到目的地时，油箱内的余油量为多少？21.给出下列数阵（3） 如图，框出四个数请你用一个等式表示a 、b 、c 、d 四者的关系；（3）是否存在上述四数之和为①414；②10？若存在，请求出四个数；若不存在请说明理由.，B点对应的数为100.22.已知，如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为30（1）请写出AB中点M对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁Ｐ从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应点数是多少吗?请求出来.（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，另一只电子蚂蚁Ｑ恰好同时从A点出发，以3单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？请求出来.23. 已知，数轴上点Ａ在原点左边，到原点的距离为８，Ｂ在原点的右边，从Ａ走到Ｂ，要经过32个单位长度.（1）求Ａ、Ｂ两点所对应的数.（2）若点Ｃ也是数轴上的点，Ｃ到Ｂ的距离是Ｃ到原点的距离的３倍，求Ｃ对应的数．（３）已知，Ｍ从Ａ向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时Ｎ从Ｂ向右出发，速度为每秒2个单位长度，设ＮＯ的中点为Ｐ，则下列结论：①ＰＯ＋ＡＭ的值不变；②ＰＯ ＡＭ的值变化，其中只有一个是正确的，请选出并求出其值或说明理由.第3讲 有理数(3)知识理解1、下列各组数中，互为相反数的一组是 ( )A 、＋ (－2)和－( ＋ 2)B 、－|－2|和－| ＋ 2|C 、－(－2)和－|－2|D 、－( ＋ 2)和－| ＋ 2|2、数轴上的点A 、B 分别表示－2和3，则线段AB 的中点所表示的数是 ( ) A 、12 B 、12- C 、52- D 、523、已知a 、b 互为相反数，下列各式中成立的是 ( )A 、ab ＜0B 、a －|b |＝0C 、|a －b |＝|a | ＋ |b |D 、a ÷b ＝－1 4、a ， b 是有理数，若|a |＝2， |b |＝3，则|a ＋ b |＝ ( )A 、5B 、1C 、1或5D 、1，5，－1或－5 5、若|－x |＝4， |y |＝2，且x ＞y ，则xy 的值是 ( )A 、－8B 、8C 、－8或8D 、以上答案都不对 6、若a ＞0， b ＜0 ，化简3|||2|a b a b +-+得 ( )A 、bB 、5bC 、2a ＋ bD 、2a ＋ 5b7、一艘潜水艇的高度为－40米，如果它再下滑30米，则它这时所在的高度为__________.8、若|－x |＝2，则x ＝___________；若|x －3|＝0，则x ＝__________；若|x －3|＝1，则x ＝__________. 9、实数a ， b 在数轴上位置如图所示，则|a |， |b | 的大小关系是___________.10、比较下列各组有理数的大小：(1)－0.6________－60 (2) －3.8________－3.9 (3) 0________|－2| (4)34______45-- 11、绝对值小于122的所有整数为_____________，绝对值小于3的整数是__________. 12、已知|a |＝1，|b |＝2，且a ， b 异号，则3a ＋ b ＝__________.13、若|a |＝4，|b |＝3，且|a |＝－a ，则2a ＋ b ＝____________________. 输入 (1)2345…… 输出……13 26 311 418 527……当输入的数为10时，输出的数为___________.方法运用15、已知|a |＝|b |＝9，|a |＝2，求b 的值.16、已知a ＝3，|b |＝2，|c |＝1，且a ＜b ＜c ，求a ， b ， c 的值.17、已知|x |＝2003，|y |＝2002，且x ＞0 ，y ＜0，求x ＋y 的值.18、已知|x ＋y ＋3|＝0，求|x ＋y | 的值.19、|2||3||4|0a b c -+-+-=，求a ＋2b ＋3c 的值.20、如果a ， b 互为相反数，c ， d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式2a bx cd x+++的值.21、已知|a |＝3， |b |＝5， a 与b 异号，求|a －b |的值.22、已知|a ＋1|与|b －2|互为相反数，求式子()||a b a a ---的值.23、若2、2、5和a 的平均数是5，而3、4、5、a 和b 的平均数也是5， (1) 求a ， b ；(2) 若|c |＝－c ， 求||||c a b c ---的值.实际应用24、某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 误差，现抽查6瓶食请用绝对值知识说明：（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？综合思考25、在标有6，12，18，24，30……的卡片中，小明拿了相邻的3张.（1）若相邻的3张数字之和为342，求这3张卡片上各自的数字？（2）你能拿到数码相邻的3张卡片，使其上数字之和是86吗？试说明理由？26、有理数a，b，c，d在数轴上如图所示：①在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中4个，且在数轴上位置如图所示，如果3a＝4b－3，求c＋2d的值；②在数轴上，N点与原点的距离是N与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？27、有若干个数，123,,,n a a a a ，若112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”(1) =1a =2a (2) 求91011a a a ⋅⋅的值；(3) 是否存在M 的值，使111()n n n M a a a a -+÷⋅⋅=？若存在，请求出M 的值.第4讲 有理数(4)知识理解1、若2-=a ，24,0b ab =>，则||a b +＝( ) A 、0 B 、4 C 、－4 D 、0或4 2、若20,0a b a -><，下列各式中成立的是( )A 、2a b ＞0B 、0a b +>C 、20a ab +> D 、20ba > 3、若a ＜0，则下列各式不成立的是( )A 、22()a a =-B 、22()a a =-- C 、 22||a a =- D 、23||a a =-4、已知1234a b c d -=+=-=+，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ( ) A 、d b a c >>> B 、a c b d >>> C 、c a d b >>> D 、c b a d >>>5、已知0,0a b ab +=≠，则化简(1)(1)b aa b a b+++得 ( ) A 、2a B 、 2b C 、2 D 、－2 6、若a 、b 、c 为正整数，且23108ab c =，则a ＋ b ＋ c 的最大值为 ( ) A 、6 B 、32 C 、40 D 、1107、有理数a 、b 在数轴上的对应位置如图所示，则 ( )A 、0a b +<B 、0a b +>C 、0a b -=D 、0a b -> 8、计算1110(2)(2)-+-的值是 ( )A 、－2B 、(－2)21C 、0D 、－210 9、下列各式中正确的是 ( )A 、22()a a =- B 、33()a a =- C 、22||a a -=- D 、33||a a = 10、若(x ＋ 3)2与|y －5|互为相反数，则x ＋ y 的值为__________. 11、瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据9162536,,,5122132中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出接下来的两个数据是___________.12、在数－5、1，－3、5、－2中任取三个数相乘，其中最大的积是__________，最小的积是__________. 13、A 、B 两点在数轴上对应的数分别是－4，2，点P 到点B 的距离是点P 到点A 距离的2倍，则P 点在数轴上表示的数是__________.14、已知数m 小于它的相反数且数轴上表示数m 的点与原点的相距3个单位的长度，将该点m 向右移动5个单位长度后，得到的数是___________. 15、观察下列数列，找出规律后，写出数列下一项：0，3，－3，9，－15，33，－63，_____________________. 16、如果x －y ＝5，则|2－x ＋ y |＝__________；如果4 ＋ x ＋ y ＝0，那么－x ＋ 3－y ＝___________. 17、若a ＋ b ＜0，则||||||a b ab a b ab++＝___________. 方法运用18、如果规定符号“*”的意义是*aba b a b=+求2*(－3)*4的值.19、已知2|1|4,(2)4x y +=+=，求x ＋ y 的值.20、若a ， b ， c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||a c c b b a -+-+-的值.21、如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是－2，已知点A 、B 是数轴上的点，完成下列各题：（1）如果点A 表示数－3，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（2）如果点A 表示数是3，将点A 向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（3）一般地，如果点A 表示数为a ，将点A 向右移动b 个单位长度，再向左移动c 个单位长度，那么请你猜想终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是．__________22、同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2的差的绝对值，实际上也可理解5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5－（－2）|＝____________．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|x ＋ 5| ＋ |x －2|＝7成立的整数是______________．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|x －3| ＋ |x －6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．实际应用23、七年级一班某次数学测验的平均成绩为80分，数学老师以平均成绩为基准，记作0，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为 ＋ 10，－15，0， ＋ 20，－2，问这五位同学的实际成绩分别是多少分？24、已知水结成冰的温度是00C ，酒精冻结的温度是－1170C ，现有一杯酒精的温度为120C ，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低1.60C ，要使这杯酒精冻结，需要几分钟？(精确到0.1分钟)25、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：（1）这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？ （2）若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少克？综合思考26、已知：a ， b ，c 在数轴上的位置如图所示.0b a1(1)填空：a 、b 之间的距离为___________；b 、 c 之间的距离为___________；a 、c 之间的距离是__________.(2)化简|1||||1|a c b b +--+-(3)若0a b c ++=且b 与－1的距离和a 与－1的距离相等，求22(4)c b a c a b -+----的值.27、已知数轴上两点A、B对应的数为－1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，(1) 用x的式子表示线段P A、PB的长度；(2) 数轴上是否存在点P，使P A＋PB＝5？请求出x的值；若不存在，请说明理由.28、观察下面三行数：3，－9，27，－81，243，－729，…；①6，－6，30，－78，246，－726，…；②1，－3，，9，－27，81，－243，…；③(4)第①行按什么规律排列？(5)第②③行数与第①行数分别有什么关系？(6)写出每行第9个数，共计算这三个数的和.(7)第②行中是否存在连续的三个数，使得这三个数的和为－5094？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由；(5)是否存在一列数，使得其中的三个数的和为5106？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由.第5讲 整式（1）知识理解1.下列各式：－n ，a ＋b ，3ab ，x －1，3ab ，1x，其中单项式的个数是（ ）. A.2 B.3 C.4 D.52.下列各式：2＋x 2、2x 、xy 2、3x 2＋2x －1、abc 、1－2y 、3x y-中，其中多项式的个数是（ ）.A.2B.3C.4D.53. 若743x a b +与yba 24-是同类项，则y x 的值为（ ）A.9B.－9C.4 D －4. 4.已知－x ＋3y ＝5，则25(3)8(3)5x y x y ----的值是（ ） A.160 B.80 C.－170D.－905.三个有理数a ，b ，c 两两不等，那么a b b c--，b c c a --，c aa b --中负数的个数是 （ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.不能确定6. 已经a ＜－b ，且0ab>，化简|a |－|b |＋|a ＋b |＋|ab |＝（ ）.A.2a ＋2b ＋abB.－abC.－2a －2b ＋abD.－2a ＋ab7.已知535y ax bx cx =++-，当x ＝－3时，y ＝7，那么当x ＝3时，y ＝（ ）. A.－17 B.－7 C.－3 D.78.减去－3x 等于 2535x x --的代数式是（ ）.A. 255x -B. 2565x x --C. 2565x x --+D. 255x -+9.若关于x 、y 的多项式y bxy x x xy ax +--++222不含二次项，则5a －8b 的值为（ ）.A.－11B.21C.－21D.11 10.若3k x y 与2x y -是同类项，那么k ＝___________. 11.若32x a b 与yb a 43-是同类项，那么x ＋y ＝____________.12. 当x ＝____________时，||23x a 和42a -是同类项.13.如果2(5)b a mn +-是关于m 、n 的一个五次单项式，那么a _______，b ＝_________.14.如果a 、b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求代数式2a bx cd x+-+＝ ____________. 15. 三角形的第一边长为(a ＋b )，第二边比第一边长(a －5)，第三边长为2b ，那么这个三角形的周长是____________.16. 已知多项式：876253a a b a b a b -+-+…，按此规律写下去，这个多项式的第八项是____________.17.有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，其中某三个相邻数的和是－1701，那么这三个数中最小的数是 ____________.方法运用18.已知123a b x y +-与225x y 是同类项，求2221232a b a b a b +-的值19.若单项式84a b x y +与单项式239b a b x y -的和仍是一个单项式，求这两个单项式的和.20.化简求值：)]4(3[25222b a ab abc b a abc --+-其中a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的负整数，|c |＝18，且abc ＞0.21.已知s ＋t ＝21，3m －2n ＝9，求多项式(2s ＋9m )＋[－(6n －2t )]的值.22.化简求值：22225[4(31)3]x x x x -----，其中32x =-23.已知x －y ＝0，求3223x x y xy y --+的值.24.已知A ＝2x 2－3xy ＋2y 2，B ＝2x 2＋xy －3y 2，求3A －B 的值.25.a 、b 是有理数，|a |＝b ，|ab |＋ab ＝0，化简：|a |＋|－2b |－|3b －2a |.26.已知A ＝3m 2－4m ＋5，B ＝3m －2＋5m 2，且A －2B －C ＝0，求多项式C .实际应用分每吨收取较高的定额费用，已知今年7月张家用水量与李家用水量的比是2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么超出5吨部分的收费标准是每吨多少元？28. 张校长暑假将带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内的全部按全票价的6折优惠.”若全票价为240元.设学生人数为x ，甲旅行社的收费记为y 甲，乙旅行社的收费记为y 乙. (1) 分别用含x 的代数式表示两个旅行社的收费；(2) 若学生有200人，那么买哪个旅行社的票合算，为什么？综合思考29.若x 3＋x 2＋x ＝－1，求多项式x 2012＋x 2011＋…＋x 2＋x ＋1的值.30.观察下列数阵：(1) 观察以上数阵的变化规律，猜想第11行第4个数是 . (2) 第n 行第m 个数是 .(3) 请猜想第2015行正中间的数是 . (4) 求第100行所有数的和.31.a 、b 为有理数，且a ＋b 、a －b 在数轴上如图所示： (1) 判断a 、b 的符号及a 、b 的大小关系；(2) 若x ＝|2a ＋b |－3|b |－|3－2a |＋2|b －1|，求代数式x 2－6x ＋9的值； (3) 若c 为有理数，且345a b c==，ab ＋bc ＋ca ＝188，求代数式(a －b ＋c )2－abc 的值. a-b a+b O第6讲 整式（2）知识理解1.前年我国城镇固定资产投资为7509600元，用科学记数法表示为（ ）.（保留三个有效数字）A.7.51×107元B. 7.50×107元C. 7.51×106元D. 7.50×106元2.下列各式：－2；3x -；3x ；m ＋n ；－a 2b ；35xy-中，单项式的个数有（ ）. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.下列式子0、2mn 、 13x +、48a 2b 、1－x 、x 2＋2x ＋1、15xy -、3x 其中单项式共有（ ）.A.3个B.4个C.5个D.6个 4.下列合并同类项运算，结果正确的是 （ ）.5.下列各组数是同类项的是（ ）.A.x 2y 和xy 2B.3ab 和－abcC.2x 和12D.0和－5 6.下列说法：①2与－2是同类项；②2ab 与－3abc 是同类项；③3x 5与5x 3是同类项；正确的个数有 （ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.下列说法：①若1ab=-，则a ，b 互为相反数；②若a ＋b ＜0，ab ＞0，则|a －2b |＝2b －a ；③若m ＞n ，则m 2＞n 2；④一个数的倒数是它本身，则这个数是0和±1；⑤近似数1.80的有效数字是1、8、0；⑥－23ab 2的次数为6.其中正确说法的个数是 （ ）.A.2个B.3个C.4个D.5个8.下列结论：①若，则a 、b 互为相反数；②若|a |＞|b |，则a ≠b ；③多项式－22x 3y 3＋3x 2y 2－2xy －x ＋1的次数是6次；④若|x －6|＝|y －6|，且x ＞y ，则x ＋y ＝12；⑤1.60×106的有效数字有7个；⑥若一个数的倒数等于它的平方，则这个数为±1；其中正确的个数有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.写一个系数为负数，含三个字母的四次单项式为 .10.单项式－3x 3y 的次数是 ；单项式25ab-的系数是 . 11.单项式－6a 5b 2c 的系数是 ；它的次数是 .12.多项式－x 3y 2＋3x 2y 4－2xy 2的次数是 .13.三峡工程是具有防洪、发电、航运、养殖、供水等巨大综合利用效益的特大水利水电工程，其防洪库容量约为22150000000m 3，这个数用科学记数法可表示为 . 14.已知2a 3b 4与－3a 2m b n 是同类型，则m －n ＝ . 15.如果16a 3m ＋n b n 与6378a b -是同类型，则m －n ＝ . 16.去括号－2(3x ＋y －2z )＝ .17.如图，第一个图形有1个正方形；第二个图形有5个正方形；第三个图形有14个正方形……；则按此规律，第五个图形有 个正方形.方法运用18.先化简再求值：(x 2y －2y 2－xy －1)－(2xy ＋4x 2y －y 2)＋3，其中x ＝－1，y ＝－2.19.先化简再求值：(4x －2y 2)－[5x －(x －y 2)]－x ，其中x ＝－2，y ＝31.20.(1)根据条件列式：a 的2倍与b 的和减去b 的平方与a 的 半的差； (2) 在(1)的条件下，若a ＝－4，b ＝3，求上式的值.21.已知A ＝x 3＋2y 3－xy －3，B ＝－y 3＋x 3＋2xy ＋1，且2A －M ＝B ，求M .(8) 已知，A ＝2x 2－3xy ；B ＝2x 2＋xy －5，若M ＋B ＝2A ，求M .23.已知M ＝x －13y 2，N ＝－32x ＋12y 2－1. (1) 化简3M －2N . (2) 若|x －2|＝－(y －1)2，求－2N ＋3M 的值.实际应用24.某个体水果店经营某种水果，每千克进价2.80元，售价4.50元，10月1日至10月5日经营情况依次如下表：(1) 若9月30日晚库存为零，则10月1日晚库存为 kg ；(2) 就10月3日这一天的经营情况看，当天是赚了还是赔了多少钱？ (3) 10月1日到10月5日该个体户共赚多少钱？25.国庆节即将来临，张华高兴地看着2014年10月的日历，发现其中有很有趣的问题，他用笔在上面画如图所示的十字框，若设任意一个十字框里的五个数为a 、b 、c 、d 、k ，如图：试回答下列问题： (1) 此日历中能画出 个十字框？ (2) 若a ＋b ＋c ＋d ＝76，求k 的值.(3) 是否存在k26.数轴上，A 点表示的数为10，B 点表示的数为－6，A 点运动的速度为4单位/秒，B 点运动速度为2单位/秒.(1) B 点先向右运动2秒，A 点再开始向左运动，当它们在C 点相遇时，求C 点表示的数；(2) A 、B 两点都向左运动，B 点先运动2秒时，A 点于开始运动，当A 点到原点的距离和B 点到原点的距离相等时，求A 点运动的时间； k dcba10(3) A、B两点都向左运动，B先运动2秒，A再运动t秒时，求A、B两点之间的距离.第7讲 一元一次方程知识理解1、下列由等式的性质进行的变形，错误的是（ ）A 、如果b a =，那么33+=+b aB 、如果b a =，那么33-=-b aC 、如果b a =，那么a a 32= D 、如果a a 32=，那么3=a2、下列方程中：①312+=-x x ；②21=-x ；③123222=+；④3-x ；⑤6=+y x .其中是一元一次方程的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、已知方程x m x 743-=+的解为1=x ，则m 的值为（ ） A 、- 2 B 、- 5 C 、6 D 、- 64、若y x =，下列各式中：①33-=-y x ；②55+=+y x ；③88-=-y x ；④y x x +=2；其中正确的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、下列等式变形：①如果y x =，那么ay ax = B ；②如果y x =，那么a y a x =；③如果ay ax =，那么y x = ；④如果a y a x =，那么y x =.其中正确的是（ ）A 、③④B 、①②C 、①④D 、②③6、下列说法：①在等式42=x 两边都加上2，可得等式64=x ；②在等式42=x 两边都减去2，可得等式2=x ；③在等式42=x 两边都乘以21，等式变为2=x ；④等式两边都除以同一个数，等式仍然成立.其中正确的说法有（ ）7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）个正方体的重量.A 、2B 、3C 、4D 、58、已知a 是任意有理数，在下面各题：（1）方程0=ax 的解是1=x ；（2）方程a ax =的解是1=x ；（3）方程1=ax 的解是ax 1=；（4）方程a x a =的解是1±=x .其中结论正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、如果652=-x ，那么_________2=x ，其中依据是__________________________.10、若方程()0122=+++c bx x a 是关于x 的一元一次方程，则字母系数a 、b 、c 满足的条件是_____________________________.方法运用11、解方程：（1）23141x x x --=--； （2）214311--=++x x x ；（3）()x x x =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1151321 ； （4）121103121412+--=-+x x x ；12、已知1=x 是方程()x x a 2312=--的解，那么关于x 的方程()()3225-=--x a x a 的解是多少？13、某书有一道方程：x x =+*+132，*处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为5.2-=x ，那么*处被墨盖住的数应该是多少？14、若a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，此方程的解总是1=x ，求a 、b 的值.15、小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，数学老师在黑板上写了一个关于x 的一元一次方程：69312k x x a kx +--=--，方程中的常数a 老师已给出，但常数k 老师却未写出.数学老师让小组中的60名学生每人自己想好一个值()3≠k ，然后代入方程中，在解出方程.小明想了一个k 值后，很快解出了方程的解，他惊奇地发现，全班同学的答案竟然是一模一样，你能告诉小明这是什么原因吗？你知道题中老师给出的a 是多少吗？方程的解是多少吗？16、已知方程423523-=-x x （1）求方程的解；（2）若上述方程与关于x 的方程()a a x a 2383-+=+是同解方程，求a 的值；（3）在（2）的条件下，a 、b 在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求()2005c b a ++17、已知2=x 是关于x 的方程c b ax =+的解.（1）求()200312--+c b a （2）求ba c 2410+的值； （3）解关于x 的方程()()0242≠++=+cb ac x b a .18、已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三点，A 点对应的数位-200，B 点对应的数位为- 20 ，C 点对应的数为40.甲从C 出发，以6单位/秒的速度向左运动.（1）当甲在B 点、C 点之间运动，设运动时间为x 秒，请用x 的代数式表示；甲到A 点的距离：____________________；甲到B 点的距离：____________________；甲到C 点的距离：____________________；（2）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两人在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数；（3）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向左运动，设两人在数轴上的E 点相遇，求E 点对应的数.19、数轴上A 、B （A 左B 右）所对应的数为a 、b ，()01052=-++b a ，C 为数轴上一动点且对应的数位c ，O 为原点.（1）若2=BC ，求c 的值.（2）是否存在一点C使得CB=2CA，若存在求出对应的数位c，不存在说明理由.（3）是否存在一点C使得CA+CB=21，若存在求出对应的数位c，不存在说明理由.第8讲 一元一次方程（2）一、基础知识1、若3-=x 是方程()52=+k x 的解，求k 的值.2、讨论12=x 是不是方程14732+=x x 的解.3、已知3-=x 是1312-=--m x 的解，求代数式132--m m 的值.4、已知1-=y 是关于y 的方程08432=+++-m y y 的解，求式子mm m 122+-的值.5、已知方程()0243=+--a xa 是关于x 的一元一次方程，求a 的值.6、如果关于x 的方程06365=+-k x是一元一次方程，求k 的值.7、关于x 的方程()()0241122=-+-+-a x a x a 是一元一次方程求a 的值.8、方程432-=+x m x 与方程626-=-x 的解相同，求m 的值.9、已知：关于x 的方程1232-=---x a x a x 与方程()5423-=-x x 同解，求a 的值.10、若关于x 的方程①a x =+2和②a a x 32=-，若①的解比②的解大1，求a 的值.11、设关于x 的方程55=-m x ，m x 244=-，当m 为何值时，这两个方程的解互为相反数？12、方程()0132=+-x 的解与关于x 的方程x k x k 2232=--+的解互为倒数，求k 的值.13、当4=x 时，式子a x ax A 642--=的值是- 1，那么当5-=x 时，A 的值是多少？14、小明在解关于x 的方程1123=-x a 是，误将x 2-看成了x 2+，得到的解为2-=x ，请你帮小明算一算，方程正确的解为多少？二、列方程解应用题（行程问题和工程问题）15、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分，（1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人相遇？（2）如果两人同时相向开跑，多少分钟两人相遇？（3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人相遇？16、甲乙骑自行车，从相距60千米的两地相向而行，甲每小时走12千米，乙每小时走10千米，如果走15分钟后乙出发，问甲出发后几小时与乙相遇？17、某项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲先做了7天，乙来支援，由甲、乙合做完成余下的工程，求乙做多少天？18、整理一批或污物，由甲一人做需80小时完成，现由一部分人先做2小时后，在增加5人做8小时，恰好完成这项工作的43，怎样安排参与整理货物的具体人数？19、北京市为了能够成功举办2008年奥运会，市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务，其中一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲、乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？三、方案选择20、一件工程，甲工程队独做10天完成，每天需费用160元；乙工程队独做15天完成，每天需费用100元.（1）若由甲、乙两个工程队合做3天后，剩余 工程有乙工程队独做完成，求工程所需的总费用是多少元？（2）由于场地限制，两队不能同时施工.若先安排甲工程队单独施工做一部分工程再由乙工程队单独施工完成剩余工程，预计公付工程总费用1500元，你知道甲、乙两个工程队各做了工程的几分之几吗？（3）为了保证工程质量，工程指挥部决定安排一名质检员全程进行质量监督，每天需付给质检员工作、生活补助30元，请你安排甲、乙两个工程队进行施工，使工程所需的总费用最少？。
七年级上册数学有理数培优50题含详细答案
（七年级上册数学有理数培优50题一．填空题（共5小题）1．＝2．若|a|+|b|＝2，则满足条件的整数a、b的值有组．3．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是．4．如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点或点．（填“A”、“B”“C”或“D”）5．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．二．解答题（共45小题）6．在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．7．阅读下面解题过程：计算：解：原式＝（第一步）＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）＝（第三步）回答：1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第步，错误的原因是，第二处是第步，错误的原因是；（ （2）正确的结果是．8．如图，已知数轴上的点A 表示的数为 6，点 B 表示的数为﹣4，点 C 是 AB 的中点，动点P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 x 秒（x＞0）．（1）当 x ＝秒时，点 P 到达点 A ．（2）运动过程中点 P 表示的数是（用含 x 的代数式表示）；（3）当 P ，C 之间的距离为 2 个单位长度时，求 x 的值．9．观察下列两个等式：3+2＝3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：我们称使等式 a +b ＝ab ﹣1 成立的一对有理数 a ，b 为“椒江有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（3，2），（4， ）都是“椒江有理数对”．（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是 ；（2）若（a ，3）是“椒江有理数对”，求 a 的值；（3）若（m ，n ）是“椒江有理数对”，则（﹣n ，﹣m ）“椒江有理数对” 填“是”、“不是”或“不确定”）．（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）10．计算：（﹣+1 ﹣ ）÷（﹣ ）×|﹣110﹣（﹣3）2|11．已知 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，并且 x 的绝对值等于 2．试求：x 2﹣（a +b +cd ）+2（a +b ）的值．12．如图，A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为﹣20，B 点对应的数为 100．（1）请写出与 A 、B 两点距离相等的点 M 所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，你知道 C 点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？13．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．（1）点B表示的数是；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．14．若“三角”表示运算：a﹣b+c，若“方框”，表示运算：x﹣y+z+w，求的值，列出算式并计算结果．15．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．（1）计算2⊙（﹣4）的值；（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b．16．乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：请你帮助分析：乐乐爸爸究竟是赚了还是赔了，赚或赔了多少元？股票名称每股净赚（元）股数天河北斗白马海湖﹣22+1.5﹣4﹣（﹣2）5001000100050017．阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）＝+6；（﹣4）❈（﹣3）＝+7；（﹣5）❈（+3）＝﹣8；（+6）❈（﹣7）＝﹣13；（+8）❈0＝8；0❈（﹣9）＝9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．举一个例子即可）”18．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）①则数轴上数3表示的点与数表示的点重合．②若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是．③若数轴上M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是．则N点表示的数是．19．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，（1）求3※（﹣5）的值；（2）若（﹣3）※b与b互为相反数，求b的值．20．已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，表示有理数dB ， 的点到原点的距离为 4，求 a ﹣b ﹣c +d 的值．21．阅读下列材料：点 A 、B 在数轴上分别表示两个数 a 、b ，A 、B 两点间的距离记为|AB|，O 表示原点．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 为原点，如图 1，则|AB|＝|OB|＝|b |＝|a ﹣b |；当 A 、B 两点都不在原点时，①如图 2，若点 A 、B 都在原点的右边时，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b |﹣|a|＝b ﹣a ＝|a ﹣b |；②如图 3，若点 A 、B 都在原点的左边时，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b |﹣|a|＝﹣b ﹣（﹣a ）＝|a﹣b |；③如图 4，若点 A 、B 在原点的两边时，|AB|＝|OB|+|OA|＝|b |+|a|＝﹣b +a ＝|a ﹣b |．回答下列问题：（1）综上所述，数轴上 A 、B 两点间的距离为|AB|＝．（2）若数轴上的点 A 表示的数为 3，点 B 表示的数为﹣4，则 A 、 两点间的距离为 ；（3）若数轴上的点 A 表示的数为 x ，点 B 表示的数为﹣2，则|AB|＝ ，若|AB|＝3，则 x 的值为．22．已知数轴上 A ，B 两点对应数分别为﹣2 和 5，P 为数轴上一点，对应数为 x ．（1）若 P 为线段 AB 的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点） 求 P点对应的数．（2）数轴上是否存在点 P ，使 P 点到 A 点，B 点距离和为 10？若存在，求出 x 值；若不存在，请说明理由．（3）若点 A ，点 B 和点 P （P 点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为 1，6，3 个长度单位/分，则第几分钟时，A ，B ，P 三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？23．已知|x|＝5，|y|＝3．（1）若 x ﹣y ＞0，求 x +y 的值；（2）若 xy ＜0，求|x ﹣y|的值；（3）求 x ﹣y 的值．24．解答下列问题：：（1）计算：6÷（﹣ + ）方方同学的计算过程如下：原式＝6÷（﹣ ）+6÷ ＝﹣12+18＝6．请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．（2）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）①999×（﹣15）；②999×118 +333×（﹣ ）﹣999×18 ．25．阅读材料，解答下列问题：例：当 a ＝5，则|a|＝|5|＝5，故此时 a 的绝对值是它本身；当 a ＝0 时，|a|＝0，故此时 a的绝对值是 0；当 a ＜0 时，如 a ＝﹣5，则|a|＝|5|＝﹣（5）＝5，故此时 a 的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即|a|＝这种分析方法涌透了数学中的分类讨论思想．请仿照图例中的分类讨论，解决下面的问题：（1）|﹣4+5|＝；|﹣ ﹣3|＝ ；（2）如果|x+1|＝2，求 x 的值；（3）若数轴上表示数 a 的点位于﹣3 与 5 之间，求|a +3|+|a ﹣5|的值；（4）当 a ＝时，|a ﹣1|+|a +5|+|a ﹣4|的值最小，最小值是 ．26．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米），﹣3，﹣4，+7，﹣5，+8，+3，﹣8．（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？（2）若汽车耗油量为 0.3 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？27．定义一种新运算：a ⊕b ＝a ﹣b +ab ．（1）求（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）求 5⊕[1⊕（﹣2）]的值．28．在学习绝对值后，我们知道，a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示|5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是．（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值为．（3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．29．夫子庙派出所巡警骑摩托车在东西大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东方向为正，当天行驶记录如下（单位：千米）+11，﹣9，7，﹣14，+8，﹣13，+4．①该巡警巡逻时离岗亭最远是千米．②在岗亭东面6千米处有个加油站，该巡警巡逻时经过加油站次．③A在岗亭何方？距岗亭多远？④若摩托车每行1千米耗油0.06升，那么该摩托车这天巡逻共耗油多少升？30．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行3km到达A村，继续向南骑行2km到达B村，然后向北骑行8km到达C村，最后回到邮局，以邮局为原点，以向南方向为正方向，用1cm 表示1km，画出数轴如图．（1）在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村有km；（3）邮递员一共骑行了km；（4）如果邮递员骑行的速度为10千米/小时，在每个村庄停留10分钟，那么邮递员从出发到回到邮局一共用了多少小时？31．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿（AC 方向，以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，设点 P 运动时间为 t 秒．（1）用含 t 的代数式表示点 P 到点 A 、C 的距离，PA ＝；PC ＝ ．（2）当点 P 运动到点 B 时，点 Q 从 C 点出发，沿 CA 方向，以每秒 3 个单位的速度向 A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．①当 t ＝，点 P 、Q 相遇，此时点 Q 运动了 秒．②请用含 t 的代数式表示出在 P 、Q 同时运动的过程中 PQ 的长．32．如图 A 在数轴上所对应的数为﹣2．（1）点 B 在点 A 右边距 A 点 4 个单位长度，求点 B 所对应的数；（2）在（1）的条件下，点 A 以每秒 2 个单位长度沿数轴向左运动，点 B 以每秒 2 个单位长度沿数轴向右运动，当点 A 运动到﹣6 所在的点处时，求 A ，B 两点间距离．（3）在（2）的条件下，现 A 点静止不动，B 点沿数轴向左运动时，经过多长时间 A ，B两点相距 4 个单位长度．33．随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上，他原计划每天卖 100 斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；星期与计划量一+4二﹣3 三﹣5 四+14五﹣8 六+21鈤﹣6的差值（1）根据记录的数据可知前三天共卖出斤；（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤；（3）本周实际销售总量达到了计划数量没有？（4）若冬季每斤按 8 元出售，每斤冬枣的运费平均 3 元，那么小明本周一共收入多少元？34．如图，半径为 1 个单位的圆片上有一点 A 与数轴上的原点重合，AB 是圆片的直径． 注：结果保留 π ）（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点 B 到达数轴上点 C 的位置，点 C 表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是；（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．①第次滚动后，A点距离原点最近，第次滚动后，A点距离原点最远．②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有，此时点A所表示的数是．35．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A→C（，），B→C（，），C→（+1，﹣2）；（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N →A应记为什么？36．某公路检修组乘汽车沿公路检修，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走的路程（单位：千米）为+10，﹣3，+4，﹣2，﹣8，+13，﹣2，﹣11，+7，+5．（1）问收工时相对A地是前进了还是后退了？距A地多远？（2）若检修组最后回到了A地且每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？37．我们定义一种新运算：△a b＝a﹣b+ab．3 2）（1）求 △2 （﹣）的值；（2）求（﹣△5） △[1 （﹣ ]的值．38．学校图书馆平均每天借出图书 50 册，如果某天借出 53 册，就记作+3；如果某天借出40 册，就记作﹣10．上星期图书馆借出图书记录如表：星期一0 星期二+8 星期三+6星期四﹣2 星期五﹣7（1）上期五借出图书多少册？（2）上星期二比上星期五多借出图书多少册？（3）上星期平均每天借出图书多少册？39．已知，如图 A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为﹣10，B 点对应的数为 70（1）请写出 AB 的中点 M 对应的数（2）现在有一只电子蚂蚁 P 从 A 点出发，以 3 个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 B 点出发，以 2 个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，请你求出 C 点对应的数（3）若当电子蚂蚁 P 从 A 点出发，以 3 个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 B 点出发，以 2 单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距 35 个单位长度，并写出此时 P 点对应的数．40．一辆交通巡逻车在南北公路上巡视，某天早上从 A 地出发，中午到达 B 地，行驶记录如下（规定向北为正方向，单位：千米）：+15，﹣8，+6，+12，﹣8，+5，﹣10．回答下列问题：（1）B 地在 A 地的什么方向？与 A 地相距多远？（2）巡逻车在巡逻中，离开 A 地最远多少千米？（3）巡逻车行驶每千米耗油 a 升，这半天共耗油多少升？41．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2③，读作“2 的圈 3 次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3 的圈 4 次方”，一般地，把 （a ≠0）记作 a ，读作“a 的圈 n 次方”．+，【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣ ）⑤＝ ；（2）关于除方，下列说法错误的是A ．任何非零数的圈 2 次方都等于 1；B ．对于任何正整数 n ，1 ＝1；C ．3④＝4③；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝ ；（﹣ ）⑩＝ ．（2）想一想：将一个非零有理数 a 的圈 n 次方写成幂的形式等于；（3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33．42．若|a|＝5，|b |＝2，且 a ＜b ，求 a ﹣b 的值．43．观察下列等式： ＝1﹣ ， ＝ ﹣ ， ＝ ﹣ ，把以上三个等式两边分别相加得： + + ＝1﹣ + ﹣ + ﹣（1）猜想并写出：＝．（2）规律应用：计算： + +++ +（3）拓展提高：计算：+ +…+．44．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）操作一：（1）折叠纸面，使表示的1 点与﹣1 表示的点重合，则﹣3 表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣1 表示的点与 3 表示的点重合，回答以下问题：①5 表示的点与数表示的点重合；b ：② 若数轴上 A 、B 两点之间距离为 11，（A 在 B 的左侧），且 A 、B 两点经折叠后重合，求 A 、B 两点表示的数是多少．45．阅读下面材料：点 A 、B 在数轴上分别表示实数 a 、 ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|．当 A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1，|AB|＝|OB|＝|b |＝|a ﹣b |；当 A 、B 两点都不在原点时，如图 2，点 A 、B 都在原点的右边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b |﹣|a|＝b ﹣a ＝|a ﹣b |；如图 3，点 A 、B 都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b |﹣|a|＝﹣b ﹣（﹣a ）＝|a ﹣b |；如图 4，点 A 、B 在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b |＝a +（﹣b ）＝|a ﹣b |；回答下列问题：（1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2 和﹣5 的两点之间的距离是，数轴上表示 1 和﹣3 的两点之间的距离是．（2）数轴上表示 x 和﹣1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么 x为；（3）当代数式|x +1|+|x ﹣2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是．46．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车 100 辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）星期与计划量的差值一+4二﹣3 三﹣5 四+14五﹣8 六+21 日﹣6（1）根据记录的数据可知该店前三天共销售该品牌儿童滑板车辆；（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售辆；（ （3）本周实际销售总量达到了计划数量没有？（4）该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得 40 元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖 15 元；少销售一辆扣 20 元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？47．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2③，读作“2 的圈 3次方”， ﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3 的圈 4 次方”．一般地，把（a ≠0）记作 ，读作“a 的圈 n 次方”．（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣3）④＝，（﹣ ）⑤＝；（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈 n 次方等于；（3）计算 24÷23+（﹣8）×2③．48．已知 a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且 a ≠0，那么 3a +3b + ﹣cd 的值是多少？49．已知（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣2）|+|y+1|）（|z ﹣3|+|z+1|）＝36，求 2016x+2017y+2018z 的最大值和最小值50．已知 a 2＝9，|b |＝5，且 a ＜b ，求 a ﹣b 的值．（七年级上册数学有理数培优 50 题参考答案与试题解析一．填空题（共 5 小题）1．【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：＝．2．若|a|+|b |＝2，则满足条件的整数 a 、b 的值有8 组．【解答】解：∵|a|+|b |＝2，∴|a|＝0，|b |＝2 或|a|＝1|b |＝1，或|a|＝2，|b |＝0，∴a ＝0，b ＝2；a ＝0，b ＝﹣2；a ＝1，b ＝1；a ＝1，b ＝﹣1；a ＝﹣1，b ＝1；a ＝﹣1，b＝﹣1；a ＝﹣2，b ＝0；a ＝2，b ＝0，故答案为：8．3．已知 a ，b ，c ，d 分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a ﹣b |+|b ﹣c|+|c ﹣d |+|d ﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 1119 ．【解答】解：若使|a ﹣b |+|b ﹣c|+|c ﹣d |+|d ﹣a|的值最大，则最低位数字最大 d ＝9，最高位数字最小 a ＝1 即可，同时为使|c ﹣d |最大，则 c 应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故 c 为 1，此时 b 只能为 1．所以此数为 1119．故答案为 1119．4．如图，若数轴上 a 的绝对值是 b 的绝对值的 3 倍，则数轴的原点在点C 或点D ．填“A ”、“B ”“C ”或“D ”）|【解答】解：由图示知，b ﹣a ＝4，①当 a ＞0，b ＞0 时，由题意可得|a|＝3|b |，即 a ＝3b ，解得 a ＝﹣6，b ＝﹣2，舍去；②当 a ＜0，b ＜0 时，由题意可得|a|＝3|b |，即 a ＝3b ，解得 a ＝﹣6，b ＝﹣2，故数轴的原点在 D 点；③当 a ＜0，b ＞0 时，由题意可得 a |＝3|b |，即﹣a ＝3b ，解得 a ＝﹣3，b ＝1，故数轴的原点在 C 点；综上可得，数轴的原点在 C 点或 D 点．故填 C 、D ．5．|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的值为．【解答】解：当 x ≤﹣1 时，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|＝﹣x ﹣1﹣x +2﹣x +3＝﹣3x +4；当﹣1＜x ≤2 时，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|＝x +1﹣x +2﹣x +3＝﹣x +6；当 2＜x ≤3 时，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|＝x +1+x ﹣2﹣x +3＝x +2；当 x ＞3 时，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|＝x +1+x ﹣2+x ﹣3＝3x ﹣4．综上所述，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的值为．故答案为： ．二．解答题（共 45 小题）6．在一个 3×3 的方格中填写了 9 个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的 3×3 的方格称为一个三阶幻方．（1）在图 1 中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图 2 的方格中填写了一些数和字母，当 x +y 的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．【解答】解：（1）2+3+4＝9，9﹣6﹣4＝﹣1，9﹣6﹣2＝1，9﹣2﹣7＝0，9﹣4﹣0＝5，如图所示：（2）﹣3+1﹣4＝﹣6，﹣6+1﹣（﹣3）＝﹣2，﹣2+1+4＝3，如图所示：x＝3﹣4﹣（﹣6）＝5，y＝3﹣1﹣（﹣6）＝8，x+y＝5+8＝13．7．阅读下面解题过程：计算：解：原式＝（第一步）＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）＝（第三步）回答：（1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第一步，错误的原因是在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行，第二处是第三步，错误的原因是同号两数相除，结果为正（事实上结果应为正数）；（2）正确的结果是．【解答】解：正确做法：原式＝（第一步）＝15××6（第二步）＝（第三步）．故答案为：（1）一，在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行，二，同号两数相除，结果为正（事实上结果应为正数）；（2）．8．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x ＞0）．（1）当x＝5秒时，点P到达点A．（2）运动过程中点P表示的数是2x﹣4（用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．【解答】解：（1）∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，∴AB＝10，∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动时间为10÷2＝5（秒），故答案为：5；（2）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动过程中点P表示的数是：2x﹣4；故答案为：2x﹣4；（3）点C表示的数为：[6+（﹣4）]÷2＝1，当点P运动到点C左侧2个单位长度时，2x﹣4＝1﹣2解得：x＝1.5，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，2x﹣4＝1+2解得：x＝3.5综上所述，x＝1.5或3.5．9．观察下列两个等式：3+2＝3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：我们称使等式a+b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，）都是“椒江有理数对”．（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是（5，）；（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”（6，1.4）（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）【解答】解：（1）﹣2+1＝﹣1，﹣2×1﹣1＝﹣3，∴﹣2+1≠﹣2×1﹣1，∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”，∵5+＝，5×﹣1＝，∴5+＝5×﹣1，∴（5，）中是“椒江有理数对”；（2）由题意得：a+3＝3a﹣1，解得a＝2．（3）不是．理由：﹣n+（﹣m）＝﹣n﹣m，﹣n•（﹣m）﹣1＝mn﹣1∵（m，n）是“椒江有理数对”∴m+n＝mn﹣1∴﹣n﹣m＝﹣（mn﹣1）＝﹣（﹣n）×（﹣m）+1＝﹣[（﹣n）×（﹣m）﹣1]，∴（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”，（4）（6，1.4）等．故答案为：（5，）；不是；（6，1.4）．10．计算：（﹣+1﹣）÷（﹣）×|﹣110﹣（﹣3）2|【解答】解：原式＝（﹣+﹣）×（﹣42）+×|﹣1﹣9|＝27﹣54+10+×10＝﹣17+15＝﹣2．11．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且x的绝对值等于2．试求：x2﹣（a+b+cd）+2（a+b）的值．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，∴原式＝4﹣（0+1）+2×0＝4﹣1+0＝3．12．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40；（2）它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒），即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位），即从数﹣20向右运动48个单位到数28；（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．13．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．（1）点B表示的数是﹣4；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是0；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．【解答】解：（1）点B表示的数是﹣4；（2）2秒后点B表示的数是﹣4+2×2＝0；（3）①当点O是线段AB的中点时，OB＝OA，4﹣3t＝2+t，解得t＝0.5；②当点B是线段OA的中点时，OA＝2OB，2+t＝2（3t﹣4），解得t＝2；③当点A是线段OB的中点时，OB＝2OA，3t﹣4＝2（2+t），解得t＝8．综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8．故答案为：﹣4；0．14．若“三角”表示运算：a﹣b+c，若“方框”，表示运算：x﹣y+z+w，求的值，列出算式并计算结果．【解答】解：根据题意得：原式＝（﹣+）×（﹣2﹣1.5+1.5﹣6）＝（﹣（﹣8）＝．15．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．（1）计算2⊙（﹣4）的值；（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b．）×【解答】解：（1）2⊙（﹣4）＝|2﹣4|+|2+4|＝2+6＝8；（2）由数轴知a＜0＜b，且|a|＞|b|，则a+b＜0、a﹣b＜0，所以原式＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a．16．乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：请你帮助分析：乐乐爸爸究竟是赚了还是赔了，赚或赔了多少元？股票名称每股净赚（元）股数天河北斗白马海湖﹣22+1.5﹣4﹣（﹣2）50010001000500【解答】解：﹣22×500+1.5×1000﹣4×1000﹣（﹣2）×500＝﹣2000+1500﹣4000+1000＝﹣3500，答：乐乐的爸爸赔了，赔了3500元．17．阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）＝+6；（﹣4）❈（﹣3）＝+7；（﹣5）❈（+3）＝﹣8；（+6）❈（﹣7）＝﹣13；（+8）❈0＝8；0❈（﹣9）＝9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都得这个数的绝对值．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．举一个例子即可）”【解答】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都得这个数的绝对值，故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．（2）原式＝（﹣5）❈12＝﹣17；（3）加法的交换律仍然适用，例如：（﹣3）❈（﹣5）＝8，（﹣5）❈（﹣3）＝8，所以（﹣3）❈（﹣5）＝（﹣5）❈（﹣3），。
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第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c|c |的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l 8届迎春杯）已知(m ＋n )2＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n )2＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n )2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2＋|m |＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】 01．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l |＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a |＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ． 156B ． 172C ． 190D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a ( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b | ③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确的是( )A ． |b |＞a ＞－a ＞bB ． |b | ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b |＞b ＞－aD ． a ＞|b |＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a |a ＋|b |b ＋|abc |abc ＋|c |c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a |＝4，|b |＝5，|c |＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a |具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l |＋|x －3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l 8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b |＋|b －c |＝|a －c |；③（a －b ）(b －c )(c －a )＞0；④|a |＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a |＋b |b |＋c |c |＋abc|abc |的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m |＝－m ，化简|m －l |－|m －2|所得结果( )A ． －1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p |＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )A ． 30B ． 0C ． 15D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a |＋|x －b |＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m |＋|n |－5＝0所有这样的整数组(m ，n )共有 组 09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l |＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l |）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k 0，第一步从k 0向左跳1个单位得k 1，第二步由k 1向右跳2个单位到k 2，第三步由k 2向左跳3个单位到k 3，第四步由k 3向右跳4个单位到k 4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算1111 12233420082009 ++++⨯⨯⨯⨯L【解法指导】依111(1)1n n n n=-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111 (1)()()()2233420082009 -+-+-++-L＝1111111 12233420082009 -+-+-++-L＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋…＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号） 02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811） 【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511()()()()(1)32632--+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋3 5＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋2 50＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋ (49)49(491)2⨯+＝1225 ∴S＝12252【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋1 2004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x＝0 B．－x－x＝0 C．|x|＋|－x|＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx-值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-L L 等于（ ）A ．14B ．14-C ．12D ．12-02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b＋51c ＋61d 等于（ ）A ．18B ．316C ．732D ．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ） A ．30 B ．32 C ．34 D ．36 04．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯L 的值得整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m |＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)534333231314．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算. 4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=- ⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+- 02．24(9)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ） A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大 【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞0 02．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0ba>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞004．(广州)下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷=⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷- 02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯ 03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a 、b 满足0a ba b+=，则ab ab ＝___________. 【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩； 当ab ＜0，0a ba b+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1. 【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k )÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数 02．若A ．b 都是非零有理数，那么aba b a b ab++的值是多少？ 03．如果0x y xy+=，试比较xy-与xy 的大小.【例５】已知223(2),1x y =-=- ⑴求2008xy的值； ⑵求32008x y的值.【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=- ⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy =-=当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy=-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==-当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()nnx y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A ．1.03×105B ．0.103×105C ．10.3×104D ．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩 【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ ＝49222+1++⋅⋅⋅+1442443个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A ．31003B ．31004C ．1334D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知111111111.2581120411101640+++++++=求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab |＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜0 05．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m+-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或1 06．若a ＞1a，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞1 07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1ab=-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab ≠0，则a ba b+的取值不可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－2 09．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________. 12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x yxy +=，试比较x y-与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-，求abcabc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个 02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）A ．abcde ＜0B ．ab 2cd 4e ＜0 C ．ab 2cde ＜0 D ．abcd 4e ＜0 04．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y+-这四个数中的三个数相等，则|y |－|x |的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．9 06．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 07．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abc a b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753- 第二组：112,315-第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.13．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n=-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n++==⑵126A B-=，求m、n的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x的商；⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32-，次数为3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式02．说出下列单项式的系数与次数【例２】如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.解：由题意得【变式题组】01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例３】已知多项式⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴ (2)02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴ (2)【例４】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式的值是8,求的值.【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由得由（3【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若,则的值为_______________.03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.【例６】证明代数式的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知,且的值与x无关，求a的值.02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n 值.02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．是单项式B．的次数为5C．单项式系数为0D．是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b03．若多项式的值为1，则多项式的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A．B．C．D．05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：0.05元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（）A．2007 B．2 C．D．－102．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即,则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（）①②③④A．①②③B．①②④C．①③④D．②④03．已知,那么在代数式中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（）A．B．C．D．04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定05．（广安）已知_____________.06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.07．已知＝_____________.08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简后的结果是______________.09．已知＝______________.10．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P大小关系______________.11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，。
七年级数学培优资料上册
七年级数学上册培优材料2021年9月1日第一章丰富的图形世界一、三视图我们将观测者从正面、左面、上面三个不同角度观察到的同一个空间几何体而画出的图形叫做三视图.一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状.三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，这样就根本能完整的表达出物体的结构.一般来说，未作说明的情况下，主视图在图纸的左上方，左视图在主视图的右方，俯视图在主视图的下方.假设不按上述顺序放置，那么应注明三个视图名称.主视图与俯视图长应对正〔简称长对正〕，主视图与左视图高度保持平齐〔简称高平齐〕，左视图与俯视图宽度应相等〔简称宽相等〕.在初中阶段，我们主要学习和研究多个相同的立方体码放在一起的几何空间的三视图. 在一道视图题目中，如果给出了三视图，或者只给出主视图、俯视图而限制左视图，或者给出主视图、左视图问最多或最少〔网格限制法，第9、21题〕，那么要牢牢记住口诀：俯视打根底，主视疯狂建，左视拆违章.1、〔山东淄博〕如图(1)放置的一个机器零件，假设其主视图如图(2)，那么其俯视图是〔 〕2、〔山东枣庄〕一物体及其正视图如以下图所示，那么它的左视图与俯视图分别是右侧图形中的〔 〕(A)①② (B)③② (C)①④ (D)③④3、〔山东济宁〕一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体是〔 〕。
4、〔山东青岛〕如下图圆柱的左视图是〔 〕．A ．B ．C ．D ．5、〔重庆〕将如图的Rt △ABC 绕直角边AC 旋转一周，所得几何体的主视图是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕 ( 2) ( 1)•D C B A CB A5 题图6、〔浙江金华〕如图是小玲在九月初九“重阳节〞送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视图是〔 〕7、〔湖南岳阳〕下面的三个图形是某几何体的三种视图，那么该几何体是〔 〕A 、正方体B 、圆柱体C 、圆锥体D 、球体8、〔浙江义乌〕下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是〔 〕Ａ．圆柱 Ｂ．正方体 Ｃ．三棱柱 Ｄ．圆锥9、〔湖南怀化〕一个几何体是由假设干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如下图，那么这个几何体最多．．可由多少个这样的正方体组成？〔 〕正面 A． B． C． D ．俯视图侧视图主视图Ａ．12个 Ｂ．13个 Ｃ．14个 Ｄ．18个10、〔四川成都〕下左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为〔 〕11、〔甘肃白银〕如下图的几何体的右视图〔从右边看所得的视图〕是 〔 〕12、〔浙江宁波〕与如下图的三视图对应的几何体是( )13.〔2021四川〕在一个仓库里堆放着假设干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来.如下图，那么这堆正方体货箱共有〔 〕主视图 左视图A ．B ．C ．D ．4 312 2 1左 视 图俯 视 图 主 视 图A. 9箱B. 10箱C. 11箱D. 12箱14、〔四川绵阳〕以下三视图所对应的直观图是〔 〕A ．B ．C ．D ．15、〔江苏盐城〕如图，这是一幅电热水壶的主视图，那么它的俯视图是〔 〕A ．B ．C ．D ．16〔江西〕桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如下图的方式摆放在一起，其左视图是〔 〕左面A ．B ． Ｃ． Ｄ．17、〔山东枣庄〕小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是〔 〕A18、〔广东韶关〕小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上形成的投影不可能．．．是〔 〕19、右图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是_____________。
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七年级数学上册培优训练第一讲有理数（一）一、【问题引入与概括】1、正负数，数轴，相反数，有理数等观点。
2、有理数的两种分类：3、有理数的实质定义，能表成m（n0,m,n互质）。
n4、性质：①次序性（可比较大小）；②四则运算的关闭性（0不作除数）；③浓密性：随意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：①|a|a(a0)②非负性(|a|0,a20) a(a0)③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题分析】：1、若abf0,则|a||b||ab|的值等于多少？a b ab2．假如m是大于1的有理数，那么m必定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求x2(abcd)x(a b)2006(cd)2007的值。
4、假如在数轴上表示a、b两上实数点的地点，以以下图所示，那么|ab||a b|化简的结果等于（)A.2aB.2a D.2b5、已知(a3)2|b2|0，求a b的值是（）6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么a b,b c,c a中有几个负数？b cc aa b7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a b,a的形式式，又可表示为0，b，b的形式，求a2006b2007。
a8三个有理数a,b,c的数，和正数，且X ab c|ab||bc||ac|ax3bx2cx1的是多少？|a||b||c|ab bc ac9、若a,b,c整数，且|a b|2007|ca|20071，求|c a||ab||bc|的。
三、堂用。
1、算：1+2-3-4+5+6-7-8+⋯+2005+20062、算：1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)3、算：59173365129132481632644、已知a,b非整数，且足|a b|ab1，求a,b的全部可能。
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七年级数学上册培优训练第一讲有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m（ n 0, m, n互质）。
n4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（ 0 不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① | a | a(a 0) ② 非负性 (| a |0, a20)a( a 0)③ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为 0，则他们都为 0。
二、【典型例题解析】：1 、若 ab f 0,则| a | |b | | ab |的值等于多少？a b ab2 ． 如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的（ ）A. 相反数B. 倒数C. 绝对值D. 平方3 、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2 ，求x 2 (a b cd ) x (ab)2006( cd ) 2007 的值。
4、如果在数轴上表示 a 、b 两上实数点的位置， 如下图所示，那么 | a b | | a b | 化简的结果等于（ )A. 2aB. 2aC.0D.2b5、已知 (a 3)2 |b2 | 0 ，求 a b 的值是（）A.2B.3C.9 D .66、有 3 个有理数 a,b,c ，两两不等，那么ab , bc , ca中有几个负数？b c c a a b7、三个互不相等的有理数，既可表示1，a b, a 的形式式，又可表示0，b， b 的形式，求a2006 b2007 。
a8 三个有理数a,b, c 的数，和正数，且X ab c | ab | | bc | | ac | ax3 bx2 cx 1 的是多少？| a | | b | |c | ab bc ac9、若a, b,c整数，且| a b |2007| c a |20071，求 | c a | | a b | |b c |的。
(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义精编版
最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
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七年级数学培优资料上册-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN七年级数学上册培优材料2015年9月1日第一章丰富的图形世界一、三视图我们将观测者从正面、左面、上面三个不同角度观察到的同一个空间几何体而画出的图形叫做三视图.一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状.三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，这样就基本能完整的表达出物体的结构.一般来说，未作说明的情况下，主视图在图纸的左上方，左视图在主视图的右方，俯视图在主视图的下方.若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称.主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）.在初中阶段，我们主要学习和研究多个相同的立方体码放在一起的几何空间的三视图. 在一道视图题目中，如果给出了三视图，或者只给出主视图、俯视图而限制左视图，或者给出主视图、左视图问最多或最少（网格限制法，第9、21题），那么要牢牢记住口诀：俯视打基础，主视疯狂建，左视拆违章.1、（山东淄博）如图(1)放置的一个机器零件，若其主视图如图(2)，则其俯视图是（ ）2、（山东枣庄）一物体及其正视图如下图所示，则它的左视图与俯视图分别是右侧图形中的（ ）(A)①② (B)③② (C)①④ (D)③④3、（山东济宁）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）。
4、（山东青岛）如图所示圆柱的左视图是（ ）．A ．B ．C ．D ． （A ） （B ） （C ） （D ） ( 2) ( 1)5、（重庆）将如图的Rt △ABC 绕直角边AC 旋转一周，所得几何体的主视图是（ ）•D C B A CB A5 题图6、（浙江金华）如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视图是（ ）7、（湖南岳阳）下面的三个图形是某几何体的三种视图，则该几何体是（ ）A 、正方体B 、圆柱体C 、圆锥体D 、球体8、（浙江义乌）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（ ）Ａ．圆柱Ｂ．正方体Ｃ．三棱柱 Ｄ．圆锥正面 AB CD俯视图侧视图主视图9、（湖南怀化）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多．．可由多少个这样的正方体组成（）Ａ．12个Ｂ．13个 Ｃ．14个Ｄ．18个 10、（四川成都）下左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（ ）11、（甘肃白银）如图所示的几何体的右视图（从右边看所得的视图）是 （ ）12( ) 主视图 左视图 A ． B ． C ． D ．4 31 2 2 1左 视 图俯 视 图 主 视图13.（2008四川）在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来.如图所示，则这堆正方体货箱共有（ ）A. 9箱B. 10箱C. 11箱D. 12箱14、（四川绵阳）下列三视图所对应的直观图是（ ）A ．B ．C ．D ．15、（江苏盐城）如图，这是一幅电热水壶的主视图，则它的俯视图是（ ）A． B． C．D．16（江西）桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）17、（山东枣庄）小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（）A18、（广东韶关）小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上形成的投影不可能．．．是（）19、右图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是_____________。
(把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上)。
左面A．B．Ｃ．Ｄ．DCBA20、(2014贵州黔东南)在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为________．二、正方体表面展开图如果不考虑旋转，正方体表面展开图共有以下十一种情况. 1. 一·四·一型以上六种展开图可归结为四方连线，即，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。
2. 一·三·二型3. 三·三型4. 二·二·二型从以上11种图形可以看出：①将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形后总有5条楞相连。
也就是说，把一个立方体沿着楞剪开，至少需剪7刀。
②无论哪一种排列方式，要想折叠成立方体，都不能出现“5连方”、“7”、“凹”、“田”.（1） （2） （3）如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。
如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点只与三条棱相连。
如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。
f e d c ba f e d cb a ③对面相隔不相连，这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。
如下图所示，a 对b ，c 对d ，e 对f.1．（2004海口）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）2．（2005扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.(注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示.)3．（2006浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ）4．（2004镇江）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ）5．（2004海南）如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A 、B 、C 内的三个数依次是（ ）．（A ）0，－2，1（B ）0，1，－2（C ）1，0，－2（D ）－2，0，16.（2005济南）在正方体的表面上画有如图（1）中所示的粗线，图（2）是其展开图的示意图，但只在A 面上画有粗线，那么将图（1）中剩余两个面中的粗线画入图（2）中，画法正确的是（如果没有把握，还可以动手试一试）（正方体纸（A （B（C （D7. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________.三、堆叠染色与六面数字1.堆叠染色当许多相同的正方体堆叠在一起时，从不同的方位所看到的正方形的面积之和便是需要染色的面积.如：例1图中的俯视图是一个3×3的正方形网格，面积为9，所以从上面看，这14个正方体需要染色的面积等于9.例1.一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它们摆成如下图的形状，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（）A．19m2 B．21m2 C．33m2 D．34m2程前你祝似锦首先，把露出来的表面分成两部分--向上的部分和面向侧面的部分(包括面向前、后、左、右的) 先算面向上面的: 很明显，把它们压到一个平面上，就会发现这部分的面积总和相当于9个正方形的面积(想象一下，当你从上俯视时所看到的景象); 下面算面向侧面的: 最下面的一层，面积和是3×4=12(可以数) 第二层，2×4=8 第三层，1×4=4 所以，这部分的面积总和是12+8+4=24 那么，整个东西露出来的表面积总和就是9+24=33例2.棱长为a的正方体，摆放成如图所示的形状．（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面棱长为a的正方体，摆放成如图所示的形状．2.六面数字在正方体中，任何一个面的四周总有4个面相围绕，根据题设中的条件可以推断出这5个面上的数、字、符，进而推断第6面.547例3.有一个立方体，每个面上分别写上数字1、2、3、4、5、6、，有3个人从不同的角度观察的结果如下图所示，这个立方体的每一个数字的对面各是什么数字?解：从上图可知，1、3、4出现的次数最多，我们就从这些出现次数最多的数字中选取一个来分析.数字1所在面的周围环绕的标有2、3、4、6的四个面，所以它的对面是5.这个结论不要忘记，它潜在的成为一个条件，以备后用. 4的周围环绕着1、6、5、3.显然它的对面是2.由此可知，1对5,2对4,3对6.例4.把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画出朵数不等的花，各面上的颜色与花朵的朵数情况列表如下，现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，那么长方体的下底面共有多少朵花？例5.如图所示，正方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为例6.将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A．6 B．5 C．3 D．2图1 图2第二章有理数及其运算一、知识梳理：1.正数与负数：大于零的数叫正数，在正数前面加上“－”号的数叫负数。
正数和负数用来表示意义相反的两个量。
2.有理数：正整数、0、负整数统称为整数。
正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称有理数。
因为小数都可以化成分数，所以小数、百分数也都属于分数。
有理数的分类：3.相反数：a 的相反数是-a 。
只符号不同。
如果a 、b 互为相反数，就有a+b=0 ab ＜0.正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
0的相反数是0.4.倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
a 、b 互为倒数，就有1=•b a 。
0没有倒数。
通俗点就是分子与分母颠倒。
5.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，这是判断一条直线是否是数轴的根本依据。