矩形薄板的振动
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。
板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。
这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。
2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。
3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。
在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂twm y x w D y w D x w D （1） 等式中)1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。
微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1y x W t B t A w m m m m m m ωω+=∑∞=。
被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：0222244444=-∂∂+∂∂+∂∂W m yx WD y W D x W D ω (2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x xW； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0==x W ，0)(022=∂∂=x xW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((02333=∂∂∂-+∂∂=x yx Wx W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：（a ） （b ）（c ） （d ）（e ） （f ）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。
均匀热环境下四边固支矩形PCB薄板的自由振动
均匀热环境下四边固支矩形PCB薄板的自由振动高军;黄再兴【摘要】表面贴装形式中PCB板可简化为四边固支矩形薄板.基于刚性板的小挠度理论,推导了热载下四边固支矩形PCB薄板的自由振动微分方程.从微分方程中得出,热载下的PCB薄板等效于面内受均布张力的薄板,进而通过结构力学方法将热载下四边固支薄板振动问题转换为受面内均布张力固支薄板振动问题.利用虚位移理论,得出了温度沿厚度均匀线性变化的热载下四边固支矩形PCB薄板固有频率和自由振动的挠度值的计算方法.讨论了热载下温度、薄板的几何尺寸对矩形PCB薄板自由振动固有频率的影响.结论可为矩形PCB薄板在热载下的振动分析以及固有频率计算提供方法上的参考.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(033)012【总页数】5页(P75-79)【关键词】PCB矩形薄板;热环境;四边固支;微分方程;固有频率【作者】高军;黄再兴【作者单位】南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室,南京210016;南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室,南京210016【正文语种】中文【中图分类】O343表面贴装技术(SMT)以其成本低、集成度高、电子组件重量轻、易于自动化等优点广泛应用于微电子电路[1-2]。
影响表面贴装电子产品可靠性的主要环境因素是热和振动冲击,特别是在环境振动和热载荷的复杂环境下，两类载荷共同影响贴装形式元器件的内力情况，导致振动产生的动态应力和热疲劳应力相互叠加引起封装的失效，从而影响整个封装形式可靠性与寿命。
同时，这两种载荷相互间产生耦合，并非仅仅只表现为两种载荷作用的简单叠加。
目前，已发现大型的工作站随工作温度升高到一定程度会产生共振，从而会影响其正常工作。
明显地，这是由热环境温度的变化导致封装结构固有频率改变带来的问题。
该问题涉及封装结构固有频率与环境温度的相互耦合，但目前还缺乏定量的研究。
已有学者分别对振动和热环境下表面贴装形式电子元器件的结构和可靠性进行了一些研究[3-6]。
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算四边支承矩形薄板的自振频率是指薄板在四个边界被支承的情况下，能够在固有模态下以多少频率振动。
这在很多工程和物理问题中都非常重要，因为它涉及到材料和结构的固有特性。
以下将详细介绍如何计算四边支承矩形薄板的自振频率。
首先，我们需要了解薄板的振动方程。
对于四边支承矩形薄板来说，其振动方程为二维拉普拉斯方程：∇^2u+k^2u=0其中，u是振幅，∇^2是二维拉普拉斯算子，k是波数，k=2πf/c，f为频率，c为波速。
接下来，我们需要根据边界条件来确定薄板的固有频率，边界条件一般可以是位移边界条件、速度边界条件或应力边界条件。
在四边支承的情况下，我们常常使用位移边界条件。
对于四边支承的矩形薄板，位移边界条件可以表示为：u(0,y)=u(a,y)=0u(x,0)=u(x,b)=0其中，(0,y)和(a,y)表示薄板的两个平行边界，(x,0)和(x,b)表示薄板的两个垂直边界。
这些边界条件表示，在边界上薄板的位移为零，即薄板被四边支撑。
这些边界条件可以用来解二维拉普拉斯方程。
接下来，在振动方程中代入位移边界条件，我们可以得到一个特征值问题。
通过求解特征值问题，我们可以得到薄板的固有频率和对应的振型。
具体来说，我们需要通过使用分离变量法，将二维拉普拉斯方程转化为两个一维波动方程。
然后，我们可以根据一维波动方程的边值条件来解特征值问题。
解特征值问题的方法有很多种，常见的包括解析解法和数值解法。
解析解法适用于一些简单的情况，如正方形或矩形薄板。
对于复杂的几何形状或边界条件，数值解法（如有限元法或边界元法）可能更合适。
在使用数值解法时，我们需要将薄板分割成小的单元，并在每个单元上使用适当的数学模型和数值方法。
然后，我们可以通过迭代计算来获得薄板的固有频率。
在实际计算中，我们还需要确定薄板的材料参数，如杨氏模量、泊松比和密度。
这些材料参数可以通过实验测试获得，或者根据已有的文献和标准进行估算。
《磁场中通入非平稳电流矩形薄板的随机振动》范文
《磁场中通入非平稳电流矩形薄板的随机振动》篇一一、引言在现代物理学和工程学中，磁场与电流的相互作用已经成为研究的重要课题。
尤其在电磁学、电子学和材料科学等领域，非平稳电流在矩形薄板中产生的磁场效应及相应的随机振动问题引起了广泛关注。
本文旨在探讨磁场中通入非平稳电流的矩形薄板的随机振动特性，并对其背后的物理机制进行深入分析。
二、非平稳电流与磁场非平稳电流是指电流随时间发生变化的电流。
当非平稳电流通过矩形薄板时，会诱导产生磁场。
这一过程涉及复杂的电磁学原理，包括电流的时变性质、材料的电导率和磁导率等。
这些因素共同决定了磁场的大小和分布。
三、矩形薄板的振动特性矩形薄板在磁场中的振动特性受到多种因素的影响。
首先，非平稳电流产生的磁场会对薄板产生洛伦兹力，从而引发振动。
其次，薄板的材料属性（如质量、刚度和阻尼）也会影响其振动特性。
此外，随机振动还可能受到外部噪声、温度变化等因素的影响。
四、随机振动的分析方法为了研究矩形薄板的随机振动，我们采用了多种分析方法。
首先，我们通过建立数学模型来描述非平稳电流和磁场的关系，以及它们对薄板振动的影响。
其次，我们利用有限元分析方法对模型进行数值模拟，以获得更精确的结果。
此外，我们还采用了实验方法，通过实际测量来验证模型的准确性。
五、实验结果与讨论通过实验和数值模拟，我们发现在磁场中通入非平稳电流的矩形薄板会产生随机振动。
振动的幅度和频率受到电流的大小、方向、频率以及薄板的材料属性的影响。
此外，我们还发现外部噪声和温度变化也会对随机振动产生影响。
这些结果为进一步理解磁场中通入非平稳电流的矩形薄板的振动特性提供了有价值的参考。
六、结论与展望本文研究了磁场中通入非平稳电流的矩形薄板的随机振动特性。
通过建立数学模型、数值模拟和实验测量，我们深入探讨了非平稳电流与磁场的关系以及它们对薄板振动特性的影响。
研究结果表明，非平稳电流在矩形薄板中产生的磁场会引发随机振动，振动的幅度和频率受到多种因素的影响。
表面效应对矩形纳米薄板的屈曲和振动的影响
１ 引 言
现在我 们讨 论只有 方向受轴压 力 Ｎｘ，有 ：
传统 的连续模 型没有考虑到表面效应的影响。 这将导致在微纳米材料 性能的预测方面 不准确性 。 在微纳米材 料， 物体表面与体积 比很大 ， 因此 引 起 的 表 面 力 不 容 忽 视 。为 了 引入 表 面 效 应 的 影 响 ， Ｇｕ ｒ ｔ ｉ ｎ和 Ｍ ｕ ｒ ｄ ｏ ｃ ｈ建 立 了反映表面弹性的通用模 型， 将 表面看作和体 不同性 质的二维膜， 无滑移 的 黏附在体上， 由于表面应力存在导致了非经典的边界条件， 它与表面经 典的
Ｎ
和 ， 是 拉压 力，
薄板受 己知横 载荷并在 边界上 受 已知纵 向荷 载作用时 ， 可 先按平面 应力 问题 由已 知 纵向 载荷求 出 平面应 力 ｒ 、Ｏ ＇ ｙ、 ，从而求 出 、
Ｊ ｖ
Ｇｈ＋
， ｒ ㈢ ｈ
Ｅ
Ｅ
ｈ
由于表面弹性模量 Ｅ 和残余应力ｒ 可正可负， 由上式可 以看 出正的表面
。
（ ６ ）
法计算 了一些材料的表面特征常数 。 Ｗａ ｎ ｇ和 Ｆ ｅ ｎ ｇ ￣ 分析了表面应力对轴 向屈曲的纳米线 的影响 。 Ｇｕ ｒ ｔ ｉ ｎ ｔ Ｔ ￣ 和Ｌ ｕ Ｉ ｓ ］ 考虑表面弹性对纳米粱共振频率的 影 响 进 行 了研 究 。通 过 Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ － Ｙｏ ｕ ｎ ｇ方 程 ， Ｗａ ． ｎｇ和 Ｆ ｅ ｎ ｇ ￣ ， Ｈｅ和 Ｌ ｉ ｌ ｌ ｅ ｙ ｌ 涉及到对具有表面 的残余应力和表面弹性纳米梁的振动分析。Ｐ ａ ｒ ｋ ｔ “ 】 利用 表 面 Ｃａ ｕ ｃ ｈ ｖ— Ｂｏ ｒ ｎ模 型 分 析 了在 有 限 变 形 情 况 下 尺 寸 效应 对 具 有 表 面 残 余应力 的硅纳米线 的共振频率 的影响 。 Ｗａ ｎ ｇ和 Ｆ ｅ ｎ ｇ ｌ 利用 Ｔ ｉ ｍｏ ｓ ｈ ｅ ｎ ｋ ｏ梁 模型分析表面 应力对 纳米梁 的屈曲和振动的影响进行了分析。黄殿武 对 表面效应影响的弹性 条带状 薄膜非线性尺寸相关屈 曲行为进行 了分析。 但 对纳米 薄板的屈曲和震动频率 的影响研究的 比较少 。 对于微小 的纳米薄板 来 说表 面 积 与 体 积 的 比值 很 大 ， 引起 的表 面 效 应 不 可 忽 略 。 本 文 主 要 是 考 虑 表 面 效 应 对 矩 形 纳 米 薄板 的 屈 曲和 震动 频 率 的影 响 。 ２ 表面效应对薄板屈 曲的影响
矩形简支薄板振动模态及灵敏度分析
文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．１３２９１／ｊ．ｃｎｋｉ．ｄｊｄｘａｃ．２０１８．０４．００６
０ 引言
振动模态是结构的固有动力学性能，模态频 率及振动模式直接影响工程结构的动力学性能、 安全性及稳定性，尤其薄板结构的模态特性更直 接与振动强度、噪声及疲劳性能密切相关，薄板类 结构也是车辆、船舶等工程中广泛使用的基本结 构之一［１２］，对薄板类结构的研究主要是针对薄板 类结构的振动及噪声［３５］．为了减小振动，在工程 设计阶段一般会对结构进行修改，快速准确的修 改需要计算结构灵敏度［６８］，结构灵敏度是结构模 态、应力等响应随结构参数的变化率，即响应对结 构设计变量的导数．在有限单元法的基础上，灵敏 度计算方法有解析法［９１０］、半解析法［１１］、完 全 差 分法 ［１２］、伴 随 变 量 法 等 ［１３１４］．解 析 法 是 从 有 限 单 元方程出发，严格求响应对设计变量的导数，对不 同的单元类型及不同的结构参数，其理论是完全 不同的，如壳单元和梁单元中的质量矩阵和刚度 矩阵完全不同，其对结构参数的灵敏度也是完全 不同的．解析法发展最早，精度最高，但求解效率 低．半解析法是在有限单元法的基础上，总体上基
矩形简支薄板振动模态及灵敏度分析
王秀颖，张军，兆文忠
（大连交通大学 交通工程学院，辽宁 大连 １１６０２８）
摘 要：基于矩形简支薄板模态频率的理论解，推导了模态频率对薄板厚度灵敏度理论解，通过实例计 算了矩形简支薄板前 １０阶模态频率及灵敏度，并计算分析了厚度增加单位值时模态频率灵敏度理论差 分解；建立了矩形薄板的有限单元模型，用有限单元法计算了矩形简支薄板的模态频率和振型，分析比 较了有限单元数量对模态计算精度的影响；基于有限单元法，用数值微分法计算了薄板模态频率对板厚 度的灵敏度，并计算分析了基于有限单元法的模态频率灵敏度差分解．理论推导和计算结果表明，简支 矩形薄板模态频率对板厚度灵敏度的理论解与厚度无关，数值微分模态频率灵敏度与理论解的误差最 小，其精度高于理论差分解和有限元差分解，证明了数值微分法模态频率灵敏度的准确性和有效性．
悬臂矩形薄板自由振动分析的有限积分变换法
悬臂矩形薄板自由振动分析的有限积分变换法钟阳;高嫄嫄;田斌;李锐【摘要】The double finite integral transform method was used to obtain accurate vibration theoretical solution of rectangular thin cantilever plate. Compared with the superposition method and the Fourier series method, the approach used in this paper is concise in form and calculation. It is not need prior to select the deformation function arbitrarily due to the basic elasticity equations of the thin Cantilever plate were only used, therefore, the solution method is reasonable, and theoretical and the numerical solution is accurate. In order to prove the correction of formulation, the numerical results are compared with that in the other references.%为了求解悬臂矩形薄板振动问题的精确解,利用二维有限积分变换的方法将高阶偏微分方程问题转化为易于求解的线性代数问题,推导出了悬臂矩形薄板固有频率和振型的精确解,该方法不仅概念清晰、计算简便,而且较传统叠加法、傅立叶级数法等解析方法计算量有了明显减少.由于在求解过程中不需要预先人为选取挠度函数,而是直接从弹性薄板的基本方程出发,仅利用有限域积分变换的数学方法推导出完全满足边界条件的精确解,使得问题的求解更加直接、简便,所得到的解析解更加合理、数值解更加精确.最后,通过计算实例验证了本文所采用方法合理性和公式推导的正确性.【期刊名称】《土木工程与管理学报》【年(卷),期】2012(029)004【总页数】5页(P6-10)【关键词】悬臂矩形薄板;固有频率;振动分析;有限积分变换【作者】钟阳;高嫄嫄;田斌;李锐【作者单位】大连理工大学建设工程学部,辽宁大连116024;大连理工大学建设工程学部,辽宁大连116024;中国路桥工程有限责任公司科技部,北京100011;大连理工大学建设工程学部,辽宁大连116024【正文语种】中文【中图分类】TU33+9;TU311桥梁工程中的桥面板、高速公路中的水泥混凝土路面、机场跑道以及各种房屋建筑中的楼板等，都是以弹性薄板为力学模型进行计算的。
面内变刚度矩形薄板自由振动问题的辛弹性分析
构 分析 的伽 辽金 线法 ； Ｌ ｉ ｕ等Ｅ ］ 提 出了面 内变 刚度 矩
形 板 自由振 动 问题 的半 解 析法。 Ｂ ａ ｈ ａ ｒ 等＿ ８ ］ 通 过假 设
面 内变 刚 度 板 的位 移 函数 为 切 比雪夫 多 项 式 ， 利 用
里 兹法 研究 了变 刚度 板 自由振 动 问题 ． 于天崇等＿ ９ ］
ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ；ｓ ｙ ｍｐ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ
功 能梯度 材料 是指 材料 的组分 沿 某一 方 向连 续
变化， 从 而 导致 材 料 的宏 观 性质 随空 间位 置 梯 度 变
化． 功 能梯度 材料 结构 的力 学研究 越来 越受 关 注．
文章编 号 ： ０ ２ ５ ３ — ３ ７ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ — １ ３ １ ０ — ０ ８
Ｄ Ｏ Ｉ ： ｉ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ０ ２ ５ ３ — ３ ７ ４ ｘ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ９ ． ０ ０ ６
面 内变 刚 度矩 形 薄 板 自由振 动 问题 的辛 弹 性 分 析
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｓ ａ ｓ ｙ ｍｐ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ
第４ １ 卷第 ９期 ２ ０ １ ３年 ９月
同 济 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ ｏ Ｆ ｍＮ Ｇ Ｊ Ｉ Ｕ Ｎ Ｉ ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ （ Ｎ Ａ Ⅱ Ａ Ｉ ， Ｓ ｃ Ｉ Ｅ Ｎ ｃ Ｅ ）
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即有
2 4Y Y 2 4 4 2 ( k )Y 0 4 2 y x
4.106
于是变量得到了分离，要满足式（4.105）的三角函数为
sin x X ( x) cos x
2M y
4.94
因
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M x x zdz h M y 2h y zdz 2 h M xy M yx 2h xy zdz 2
h 2 h 2
4.95
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连续系统的振动
X ( x) sin
m x ,0<x<a,m=1,2 a
4.109
2014年3月15日 《振动力学》
18
连续系统的振动
令
Wm ( x,y ) Ym (y)sin
m x a
代入式（4.100）有 m 4 m x m 2 m x ( ) sin Ym -2( ) sin Ym a a a a m x m x 4 -k sin + sin Ym Ym 0 a a 即为 m 2 4 m 2 Ym -2( ) Ym - k -( ) Ym 0 a a 上式的解为
连续系统的振动
多自由度系统的振动
教学内容
2014年3月15日 《振动力学》
2
连续系统的振动
4.3 薄板的振动 在工程结构中，除梁、柱基本构件外，还经常会遇到一 种板的基本构件。在本节中将简单介绍薄板的振动问题。 薄板是指其厚度要比长、宽这两方面的尺寸小得多板， 薄板在上下表面之间存在着一对称平面，此平面称为中面， 且假定： （1）板的材料由各向同性弹性材料组成；
k
h
2
4.101
来说精确解是难于找到的。 为了寻求一个封闭解，现考察在什么条件下，式（4.100）可 用分离变量法来求解。
2014年3月15日 《振动力学》 14
连续系统的振动
令
W ( x, y) X ( x)Y ( y)
将上式代入式（4.100）中，可得
4 X ( x) 2 X ( x) 2Y ( y ) 4Y ( y ) 4 Y ( y) 2 X ( x ) k X ( x)Y ( y ) 0 4 2 2 4 x x y y （4.102）
2014年3月15日 《振动力学》
4.107
17
连续系统的振动
类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为
sin y Y ( y) cos y
4.108
现设x方向板的长度为a，y方向板的长度为b，且当x=0和 x=a边为简支，则满足此边界的条件β=mπ/α，故式(4.107)可写 为
4 X ( x) 2 4 X X 4 x
4 X ( x) 4 X 4 x 2 X ( x) 2 X x 2
则-α4=β4，故有
4.105
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连续系统的振动
将上两式代入式（4.103a）中，可写为
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9
连续系统的振动
整理后，得
M xy M x Qy x y
4.92
M
y
0
M yx Mx ( M x dy dxdy ) M x dy ( M yx dx dxdy ) M yx dx x y Qx 1 1 (Qx dy dxdy ) dx Qx dy dx 0 x 2 2
Ym (y)=C1mch(1m y)+C2 msh(1m y)+C3mcos(2 m y)+C4 msin(2 m y)
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（4.110）
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连续系统的振动
式中
m 2 k ( ) , a m 2 2 2 2m k ( ) a 再由y=0及y=b的边界条件，由式（4.110）可求得Cim(i=1,2,34)
2014年3月15日 《振动力学》
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连续系统的振动
整理后，可得
M M yx Qx 4.93 x y 将式（4.92）、式（4.93）代入式（4.91）得
Mx 2w 2 P( x, t ) f (t ) h 2 2 2 x xy y t
2
M yx
ua z w x w va z y wa w (高阶小量)
4.88
5
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连续系统的振动
根据弹性力学中应变与位移的几何关系可以求出各点 的三个主要是应变分量为
ua 2w x z 2 x x va 2w y z 2 y y 4.89 ua va 2w 2 z y x xy
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连续系统的振动
i x j y sin dxdy ，并对整个面积进行积分 a b 2 2 2 ，并考虑 m n k 4 ，则得固有频率为 a b
将上式两边乘以 sin
mn
4.90
现画薄板微元的受力图如图4.28所示。
2014年3月15日 《振动力学》
7
连续系统的振动
图4.28中Mx、 Mxy和 Qx、My、Myx和Qy分别为OB面、 OC面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩
和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。Mx、My是由正应力σx、
σx引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy引起的合力矩。 p(x,y,t)=P(x,y)f(t)为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z轴 方向。应用动静法计算时，沿z轴负方向有一虚加惯性力
整理后，可得
Qx Qy 2w P( x, t ) f (t ) h 2 x y t
4.91
M
x
0 M y
Qy 1 M y dx ( M y dx dydx) Qy dx dy (Qy dx dydx) y 2 y M xy M xy dy ( M xy dy dydx) 0 x
2w h 2 dxdy t
，则有
z
F
0 Qy x dydx Qx dy Qy dx Qx dydx Qy dx y
8
Qx dy
2 w 2014年3月15 日 P( x, y ) f (t )dydx h 2 dydx 0 t 《振动力学》
连续系统的振动
4.103a 4.103b
15
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连续系统的振动
现讨论式（4.103a）中，首先要满足边界条件，设
4 X ( x) 4 X 4 x 2 X ( x) 2 X 2 x
4.104a 4.104b
根据上两式，有
4.97
这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。 2. 矩形板横向振动微分方程的解 矩形板的横向自由振动的微分方程为
4w 4w 4w 2w D 4 2 2 2 4 h 2 0 x y y t x
4.98
此方称同样可应用分离法来求解，设解为
中面位置上，如图4.27所示。设板上任意一点a的位置，将
由变形前的坐标 x、y、z来确定。
2014年3月15日
图 4.27
4
连续系统的振动
根据假定（2），板的横向变形和面内变形u、v是相互 独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移
w(x,y,t)所决定。
根据假定（3），可认为处处为零。 根据假定（4），剪切应变分量 不难看出，板上任意一点a(x,y,z)沿x,y,z三个方向的位 移分量u,v,w分别为
2 1m 2
的齐次方程组，再令其系数行列式为零，可得到固有频率方程 式，从而求出固有频率。
2014年3月15日 《振动力学》
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连续系统的振动
【例4.6】求解四边简支矩形薄板的自由振动 【解】本题边界条件为
Wx 0 Wx a Wy 0 Wy b
m 1 n 1
2W 2W 0, ( 2 ) x 0 ( 2 ) x a 0 x x 2W 2W 0, ( 2 ) y 0 ( 2 ) y b 0 x x
D 2 k h
D h
m 2 n 2 a b
w( x, y, t ) W ( x, y ) cos t
2014年3月15日 《振动力学》
4.99
13
连续系统的振动
将式（4.99）代入式（4.98）可得
4w 4w 4w 4 2 k W 0 4 2 2 4 x x y y
4.100
式中
D 再根据板的边界条件来求解固有频率。注意到对于一般边界条件
图 4.28
xy
2014年3月15日 《振动力学》
6
连续系统的振动
再根据胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：
E Ez 2 w 2w x ( x y ) ( 2 2 ) 2 2 1 1 x y E Ez 2 w 2w y ( ) ( ) y x 1 2 1 2 y 2 x 2 Ez 2 w xy G xy 1 xy
微分方程为
4w 4w 4w 2w D 4 2 2 2 4 h 2 P ( x, y ) f (t ) x y y t x