圆形薄板的横向振动
第十五章--薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
得常微分方程
d2 F d r2
或
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
取振形函数为如下的形式：
W F(r) cosn
其中n=0，1，2，…。相应于n＝0，振形是轴对 称的。相应于n＝1, 2；圆板的环向围线将分别 具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根 或两根径向节线，余类推。将上式代入式
(1)试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。
(2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。
当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这
时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
kx ny
Dkn sin a sin b
Ckn
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
阶梯圆环盘横向弯曲振动特性研究
Ａｂｓｔｒａｃｔ: Ｔｈｅ ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｈｏｎｉｎｇ ｄｅｖｉｃｅꎬａｎｄ ｔｈｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｖｉ￣ ｂｒａｔｉｏｆ ｔｈｅ ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃ ｈｏｎｉｎｇ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｓｙｓｔｅｍ������ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｉｎｄｌｉｎ ｍｅｄｉｕｍ ｐｌａｔｅ ｔｈｅｏｒｙꎬｔｈｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｔｅｐｐｅｄ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｄｉｓｋ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ａｎｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔꎬ ｒｏｔａｔｉｏｎꎬ ｂｅｎｄｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔ ａｎｄ ｓｈｅａｒ ｆｏｒｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｅｐｐｅｄ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｄｉｓｋ������ Ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ｂｙ Ｍａｔｌａｂ������ Ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍ ｖｅｒｉｆｉｅｓ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｂｙ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｓｏ￣ ｌｕｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓꎬａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｂｅｎ￣ ｄｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄｉｓｋ������
[ ９] Ｚｈｏｕ ＹꎬＮｙｂｅｒｇ ＴꎬＸｉｏｎｇ Ｇꎬｅｔ ａｌ������ Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｓｅｄ ｄｅｐ￣
加热压电纤维复合材料圆板的横向自由振动
加热压电纤维复合材料圆板的横向自由振动王硕;滕兆春【摘要】基于经典薄板理论和极正交各向异性材料的本构理论,建立了加热压电纤维复合材料圆板的线性振动控制微分方程.采用打靶法分别获得了加热压电纤维复合材料圆板在周边固支和简支情况下,无量纲固有频率随温度和电场强度变化的关系曲线,并分析了压电纤维体积分数、刚度参数、电场强度和温度变化对压电纤维复合材料圆板无量纲固有频率的影响.结果表明,一定体积分数或者电场强度下,压电纤维复合材料圆板的无量纲固有频率都随温度的升高而单调下降;同一温度下,刚度参数越小,无量纲固有频率越低;电场强度越大,无量纲固有频率越高.%Based on the classical thin plate theory and the constitutive theory for orthotropic materials,the linear differential equations of vibration for circular plate of heated piezoelectric fibre composite materials are derived.By using a shooting method,the relationship curves of the dimensionless natural frequencies of the heated piezoelectric fibre composite circular plate versus temperature rise and electric field strength change are presented with clamped and simply supported boundary conditions.And the influence of the volume fraction of piezoelectric fibre,stiffness parameters,electric field strength and temperature rise on the dimensionless natural frequencies of piezoelectric fibre composite materials circular plate is also discussed.The results show that the dimensionless natural frequency of the piezoelectric fibre composite material circular plate monotonically decreases with the temperature.Itdecreases with decreasing the stiffness parameters,but increases with increasing electric field strength at certain fixed values of temperature.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2017(034)003【总页数】6页(P286-291)【关键词】压电纤维复合材料;圆板;自由振动;固有频率;打靶法【作者】王硕;滕兆春【作者单位】兰州理工大学理学院,兰州 730050;兰州理工大学理学院,兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O343因为具有力电耦合的性能，压电材料常用于传感器和致动器的制造，并广泛应用于机电系统和智能结构[1，2]。
第二章 薄板振动
2 1 2 D W dxdy 2
（6）
对于圆形薄板轴对称问题，振形变形能为
d 2W 2 1 dW 2 dW d 2W U W D r dr 2 r dr 2 dr dr 2 dr
mn mn
思考题
能否将薄板受迫振动化为初值问题处理？
谢谢
第二章 薄板的振动问题
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
m 2 w px, y, t w 2 D t D
4
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。 首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
m 2w w 0 2 D t
4
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
2W 2W 2W 2 1 2 2 U W D W 21 2 2 xy dxdy 2 x y
（5）
对于具有夹支或简支边的矩形薄板，可简化为
于是得
63 a 4 4a2 1 4 2 2 b 7b a2 D m
对于正方形薄板
9.000 D a2 m
与最低固有频率的精确答案
几乎相同。
8.996 D a2 m
思考题
对于方形薄板 •是简支的基频较高 •还是夹支的基频较高
2 2 a2 D 8.996 D m a2 m
设有四边夹支的矩形薄板如图所示。试用 瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。
O
C
非线性弹性地基上圆形薄板主参数共振研究
第２ Ｏ卷 第 ６期 ２０ ０ ７年 儿 月
唐 山 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＴａ ｇ ｈ ｎ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｓ ａ ｏ ｌ ｅ ｏ ｅ
Ｖ０ ． Ｏ Ｎｏ ６ Ｉ２ ．
ＮＯＶ ０ ．２ ０７
非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形薄 板 主 参 数 共振 研究
ｐ ｒ ｍｅ ｒ ｃｒ ｓ ｎａ ｃ ；ｃｒ ｕｌｒ ｐｌ ｔ ａ ａ ｔ ｉ ｅ ｏ ｎ ｅ ｉｃ ａ ａ ｅ
０ 引 言
近年 来 ． 同 几 何 特 性 板 的非 线 性 振 动 得 到 了 人 们 广 泛 不
本 文 研 究 一 个 置 于 非 线 性地 基 上 圆板 的参 数 共 振 问题 。
ｌ 非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形 薄 板 受 简 谐 激 励
的 基 本 方 程
考 虑 图 １ 示 的周 边 固定 的 圆形 薄板 ． 厚 为 ｈ 半 径 为 所 板 。 Ｒ， 其 周 边 上 均 匀 分 布 简 谐 压 力 Ⅳｒ 。 在 —ｎ ＋ ｃｓ ｔ考 虑 非 ｏＳ ．
关键词 ： 非线 性地基 ； ａｅｋｎ方法 ； Ｇ ｌｒ ｉ 多尺度 法 ； 主参 数 共振 ； 圆板
中图分 类号 ： ２ 文献标 识码 ： ０３ １ Ａ 文章编 号 ：６ ２—３ ９ ２ ０ ） ６ ０ １ ４ １７ ４ Ｘ（０ ７ ０ —０ ０ —０
Ｓ ｕ ｙ ｏ ｉ ａ ｙ Ｐａ ａ ｅ ｒ ｃ Ｒｅ ｏ ｎ ｅ ｔ ｄ ｎ Ｐｒ ｍ ｒ ｒ ｍ ｔ ｉ ｓ ｎａ ｃ
杨 志 安
（ 山学 院 唐 山市 结 构 与振 动工 程 重 点 实 验 室 ． 北 唐 山 ０ ３ ０ ） 唐 河 ６ ００
摘要 ： 究非 线性地 基 上 圆形 薄板 受简谐 激励 的非 线性振 动 问题 。按 照 弹性 力 学理 论 建 立 非线 性 研 地基 上 圆形 薄板 受简谐 激 励 的动 力学 方 程 ， 利用 Ｇａｅｋｎ方 法将 其 转 化 为 非 线 性振 动方 程 ， 方 ｌｒ ｉ 该 程是 马休 型方 程 。应用 非 线性 振 动 的 多尺 度 法 求 得 系 统 主参 数 共 振 的近似 解 ， 并进 行 数 值 计 算。 分析 阻尼 、 地基 系数 、 何参 数 等对 共振 响应 曲线 的影 响。 几
圆形薄板的横向振动学习资料27页PPT
6
、露ຫໍສະໝຸດ 凝无游氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
(2.1.1)
y
Qx q0 x y
将(2.1.1)式的前两式一并代入第三式有：
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 x y x2 y2
(2.1.2)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
将(1.2.4)代入(2.1.2)式中有：
4 w 4w 4w D w D w D 4 2 2 2 q x x y y4
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
2w D w N x 0 2 x
4
(2.2.1)
2w x 0, a: w 0 2 x 2w y 0, b: w 0 y2
2 xy 2 w 2 w 2 w x 2 2 x y x 2 y 2 x y y x
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
－α４Ｗ ＝０
（４）
式中：α４＝ω２ ρh D
Ｗ （ｘ，ｙ）为 ｘ，ｙ 的函数，具体表达式和边界条件有关，根据各种不同的
边界条件写出 Ｗ （ｘ，ｙ）的形式，带入方程（４）和其相应的边界条件，可求出
Ｗ （ｘ，ｙ）的表达式。
三、总结
本文介绍了基于泊松—克希霍夫（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋ ｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论的小
由滑动），其边缘上各点挠度为零并且沿该边垂直方向的挠度斜率为
零，即：
鄣 鄣 （ｗ ）ｙ＝ｙ０ ＝０，
鄣ｗ 鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ａ）
（２）简支边 若平板边界是铰接支承（无论水平方向可以或不可以
滑动），其边缘上各点挠度以及弯矩为零，即：
鄣 鄣 （ｗ ）ｙ＝ｙ０ ＝０，
鄣２ｗ 鄣ｙ２
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｂ）
（３）自由边 若平板边界完全不受力，应该有边缘上各点弯矩、扭矩、
515518弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程乐山职业技术学院机电系要薄板振动属于弹性体振动本文主要介绍弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程介绍薄板小挠度理论给出弹性薄板横向振动的振动方程和不同边界条件的数学模型
科技信息
高校理科研究
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
乐山职业技术学院机电系 杨丽媛
挠度平板理论。建立了弹性薄板振动的基本方程，并列出各种边界条件
的数学模型，介绍了求解弹性薄板振动方程的求解思路，为不同边界条
件，不同尺寸的弹性薄板振动方程的求解提供了理论支持和思路指导。
参考文献 ［1］黄炎.弹性薄板理论［M］.北京：国防科学技术大学出版社，1992 ［2］曹志远.板壳振动理论［M］.北京：中国铁道出版社，1989 ［3］张英世，刘宗德.矩形薄板的横向振动［J］.工程力学，1997 增刊: 515- 518
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7.6 圆形薄板的横向振动
现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为
（7-93） 代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到 （7-94） 其中 式(7-88)可改写为 （7-95）
7.6 圆形薄板的横向振动
因而下列两个方程的解是式（7-94）的解
（7-96）
（7-97）
设主振型
（7-98）
其中
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-42）
（7-45）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-89）
7.6 圆形薄板的横向振动
对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定 圆板半径为a，那么在r=a处相应的边界条件分类如下 ①固定边 （7-90） ②简支边 （7-91） ③自由边 （7-92） （7-50） （7-49） （7-48）
7.6 圆形薄板的横向振动
为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于n=1及n=2，圆板 的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分 别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，……也以此类推。 将式（7-98）代入式（7-96）及式（7-97），得到下列两 个常微分方程：
（7-99）
（7-100）
7.6 圆形薄板的横向振动
式（7-99）为n阶贝塞尔方程，其通解为
（7-101）
式（7-100）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为
（7-102）
7.6 圆形薄板的横向振动
这样，式（7-94）的通解为 （7-103）
（7-104）
7.6 圆形薄板的横向振动
R（r）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（798）代入式（7-93），然后再代入式（7-90）至式（792），得出以下边界条件：
7.6 圆形薄板的横向振动
分析圆形薄板的横向振动，采用 极坐标最方便，如图7-17所示。
极坐标与直角坐标的关系为
y
P
a
由此得到
O
x
7.6 圆形薄板的横向振动
利用上述关系，可以得出
（7-85）
7.6 圆形薄板的横向振动
同样能得出
（7-86）
（7-87）
7.6 圆形薄板的横向振动
于是，式（7-46）所示的薄板振动方程 （7-47） 在极坐标系中成为 （7-88）
固定边
（7-105）
简支边
自由边
（7-106）
（7-107）
7.6 圆形薄板的横向振动
例7.1 试计算外边界固定的实心圆板不出现径向节线（节 径）时较低的前三阶固有频率。
7.6 圆形薄板的横向振动
频率方程:
当n=0时，圆板不出现节径，上式为
7.6 圆形薄板的横向振动
200
150
100
f(x)
50 0 -50 0
1
2
3
4
5
Hale Waihona Puke 6789
r
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
圆板的固有频率通常表示为
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动