圆形薄板的横向振动学习资料
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第十五章--薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
得常微分方程
d2 F d r2
或
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
取振形函数为如下的形式：
W F(r) cosn
其中n=0，1，2，…。相应于n＝0，振形是轴对 称的。相应于n＝1, 2；圆板的环向围线将分别 具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根 或两根径向节线，余类推。将上式代入式
(1)试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。
(2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。
当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这
时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
kx ny
Dkn sin a sin b
Ckn
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为
（7-93） 代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到 （7-94） 其中 式(7-88)可改写为 （7-95）
7.6 圆形薄板的横向振动
因而下列两个方程的解是式（7-94）的解
（7-96）
（7-97）
设主振型
（7-98）
其中
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-42）
（7-45）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-89）
7.6 圆形薄板的横向振动
对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定 圆板半径为a，那么在r=a处相应的边界条件分类如下 ①固定边 （7-90） ②简支边 （7-91） ③自由边 （7-92） （7-50） （7-49） （7-48）
7.6 圆形薄板的横向振动
为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于n=1及n=2，圆板 的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分 别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，……也以此类推。 将式（7-98）代入式（7-96）及式（7-97），得到下列两 个常微分方程：
（7-99）
（7-100）
7.6 圆形薄板的横向振动
式（7-99）为n阶贝塞尔方程，其通解为
（7-101）
式（7-100）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为
（7-102）
7.6 圆形薄板的横向振动
这样，式（7-94）的通解为 （7-103）
（7-104）
7.6 圆形薄板的横向振动
R（r）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（798）代入式（7-93），然后再代入式（7-90）至式（792），得出以下边界条件：
弹性力学圆形薄板.ppt
所以轴对称载荷的圆板弯曲的一般解为：
（解题思路→A、B、C、K）
A2 B2 ln C ln K q4
64D
3、典型问题的边界分析
※ 对于无孔圆板受均布载荷的问题
由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。 否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参 考前内力公式）。而A、K 则由边界条件求解。
d2 d 2
d d
Εz
1 2
1
d d
d2 d 2
0
在弹性曲面微分方程解答中的ω1是任意一 个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微
分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，
由边界条件来决定。
对于均布载荷q，取特解ω1=N ρ 4 代入微分 方程，可解得N=q/64D。
得特解 ω1=q ρ 4/64D
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx A
M yx A
M yx d x x
边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 M yx d x
x
边界上的总的分布剪力为
Vy
Qy
M yx x
d
x
除此之外，在A和B 还有未被抵消的集中剪力（也
就是有集中反力）M yx A M yx B
yz
0
u w 0 w v 0
z x
y z
u w 0 v w
z x
z y
u
w x
z
f1 ( x,
y)
v
w y
z
f2 ( x,
（解题思路→A、B、C、K）
A2 B2 ln C ln K q4
64D
3、典型问题的边界分析
※ 对于无孔圆板受均布载荷的问题
由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。 否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参 考前内力公式）。而A、K 则由边界条件求解。
d2 d 2
d d
Εz
1 2
1
d d
d2 d 2
0
在弹性曲面微分方程解答中的ω1是任意一 个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微
分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，
由边界条件来决定。
对于均布载荷q，取特解ω1=N ρ 4 代入微分 方程，可解得N=q/64D。
得特解 ω1=q ρ 4/64D
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx A
M yx A
M yx d x x
边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 M yx d x
x
边界上的总的分布剪力为
Vy
Qy
M yx x
d
x
除此之外，在A和B 还有未被抵消的集中剪力（也
就是有集中反力）M yx A M yx B
yz
0
u w 0 w v 0
z x
y z
u w 0 v w
z x
z y
u
w x
z
f1 ( x,
y)
v
w y
z
f2 ( x,
弹性力学圆形薄板
xz
Qx
t Ez 2 2 2 t 2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
z d zx
Et 3 2 w 12 (1 ) x
t 2 t 2
x
Q
同样可得Qy,
记 可得
Et 2 D 12 (1 2 )
x z 0
0, 0
y z 0 xy z 0
0,
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成 弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形 状却保持不变。
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。 薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基 本未知函数是薄板的挠度ω 。因此把其它 所有物理量都用ω 来表示，即可得弹性曲 面的微分方程。
z t 2
3、边界条件
边界上的应力边界条件，一般难于精确满足， 一般只要求满足边界内力条件。 情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处 的边界条件。假设OA边是固支边界， 则边界处的 挠度和曲面的法向斜率等于零。即
x 0
0,
0 x x 0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度 和弯矩等于零。即：
y xz yx z x y
即
z Ez t2 2 z 4 w z 2(1 2 ) 4 Ez z3 4 t2 z z w F3 ( x, y ) 2 2(1 ) 4 3
积分得
根据薄板下面内的边界条件：
圆形薄板轴对称 弯曲问题
主要内容：
一、有关概念及假定
二、弹性曲面的基本公式 三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解
非线性弹性地基上圆形薄板主参数共振研究
维普资讯
第２ Ｏ卷 第 ６期 ２０ ０ ７年 儿 月
唐 山 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＴａ ｇ ｈ ｎ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｓ ａ ｏ ｌ ｅ ｏ ｅ
Ｖ０ ． Ｏ Ｎｏ ６ Ｉ２ ．
ＮＯＶ ０ ．２ ０７
非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形薄 板 主 参 数 共振 研究
ｐ ｒ ｍｅ ｒ ｃｒ ｓ ｎａ ｃ ；ｃｒ ｕｌｒ ｐｌ ｔ ａ ａ ｔ ｉ ｅ ｏ ｎ ｅ ｉｃ ａ ａ ｅ
０ 引 言
近年 来 ． 同 几 何 特 性 板 的非 线 性 振 动 得 到 了 人 们 广 泛 不
本 文 研 究 一 个 置 于 非 线 性地 基 上 圆板 的参 数 共 振 问题 。
ｌ 非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形 薄 板 受 简 谐 激 励
的 基 本 方 程
考 虑 图 １ 示 的周 边 固定 的 圆形 薄板 ． 厚 为 ｈ 半 径 为 所 板 。 Ｒ， 其 周 边 上 均 匀 分 布 简 谐 压 力 Ⅳｒ 。 在 —ｎ ＋ ｃｓ ｔ考 虑 非 ｏＳ ．
关键词 ： 非线 性地基 ； ａｅｋｎ方法 ； Ｇ ｌｒ ｉ 多尺度 法 ； 主参 数 共振 ； 圆板
中图分 类号 ： ２ 文献标 识码 ： ０３ １ Ａ 文章编 号 ：６ ２—３ ９ ２ ０ ） ６ ０ １ ４ １７ ４ Ｘ（０ ７ ０ —０ ０ —０
Ｓ ｕ ｙ ｏ ｉ ａ ｙ Ｐａ ａ ｅ ｒ ｃ Ｒｅ ｏ ｎ ｅ ｔ ｄ ｎ Ｐｒ ｍ ｒ ｒ ｍ ｔ ｉ ｓ ｎａ ｃ
杨 志 安
（ 山学 院 唐 山市 结 构 与振 动工 程 重 点 实 验 室 ． 北 唐 山 ０ ３ ０ ） 唐 河 ６ ００
摘要 ： 究非 线性地 基 上 圆形 薄板 受简谐 激励 的非 线性振 动 问题 。按 照 弹性 力 学理 论 建 立 非线 性 研 地基 上 圆形 薄板 受简谐 激 励 的动 力学 方 程 ， 利用 Ｇａｅｋｎ方 法将 其 转 化 为 非 线 性振 动方 程 ， 方 ｌｒ ｉ 该 程是 马休 型方 程 。应用 非 线性 振 动 的 多尺 度 法 求 得 系 统 主参 数 共 振 的近似 解 ， 并进 行 数 值 计 算。 分析 阻尼 、 地基 系数 、 何参 数 等对 共振 响应 曲线 的影 响。 几
第２ Ｏ卷 第 ６期 ２０ ０ ７年 儿 月
唐 山 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＴａ ｇ ｈ ｎ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｓ ａ ｏ ｌ ｅ ｏ ｅ
Ｖ０ ． Ｏ Ｎｏ ６ Ｉ２ ．
ＮＯＶ ０ ．２ ０７
非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形薄 板 主 参 数 共振 研究
ｐ ｒ ｍｅ ｒ ｃｒ ｓ ｎａ ｃ ；ｃｒ ｕｌｒ ｐｌ ｔ ａ ａ ｔ ｉ ｅ ｏ ｎ ｅ ｉｃ ａ ａ ｅ
０ 引 言
近年 来 ． 同 几 何 特 性 板 的非 线 性 振 动 得 到 了 人 们 广 泛 不
本 文 研 究 一 个 置 于 非 线 性地 基 上 圆板 的参 数 共 振 问题 。
ｌ 非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形 薄 板 受 简 谐 激 励
的 基 本 方 程
考 虑 图 １ 示 的周 边 固定 的 圆形 薄板 ． 厚 为 ｈ 半 径 为 所 板 。 Ｒ， 其 周 边 上 均 匀 分 布 简 谐 压 力 Ⅳｒ 。 在 —ｎ ＋ ｃｓ ｔ考 虑 非 ｏＳ ．
关键词 ： 非线 性地基 ； ａｅｋｎ方法 ； Ｇ ｌｒ ｉ 多尺度 法 ； 主参 数 共振 ； 圆板
中图分 类号 ： ２ 文献标 识码 ： ０３ １ Ａ 文章编 号 ：６ ２—３ ９ ２ ０ ） ６ ０ １ ４ １７ ４ Ｘ（０ ７ ０ —０ ０ —０
Ｓ ｕ ｙ ｏ ｉ ａ ｙ Ｐａ ａ ｅ ｒ ｃ Ｒｅ ｏ ｎ ｅ ｔ ｄ ｎ Ｐｒ ｍ ｒ ｒ ｍ ｔ ｉ ｓ ｎａ ｃ
杨 志 安
（ 山学 院 唐 山市 结 构 与振 动工 程 重 点 实 验 室 ． 北 唐 山 ０ ３ ０ ） 唐 河 ６ ００
摘要 ： 究非 线性地 基 上 圆形 薄板 受简谐 激励 的非 线性振 动 问题 。按 照 弹性 力 学理 论 建 立 非线 性 研 地基 上 圆形 薄板 受简谐 激 励 的动 力学 方 程 ， 利用 Ｇａｅｋｎ方 法将 其 转 化 为 非 线 性振 动方 程 ， 方 ｌｒ ｉ 该 程是 马休 型方 程 。应用 非 线性 振 动 的 多尺 度 法 求 得 系 统 主参 数 共 振 的近似 解 ， 并进 行 数 值 计 算。 分析 阻尼 、 地基 系数 、 何参 数 等对 共振 响应 曲线 的影 响。 几
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
(2.1.1)
y
Qx q0 x y
将(2.1.1)式的前两式一并代入第三式有：
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 x y x2 y2
(2.1.2)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
将(1.2.4)代入(2.1.2)式中有：
4 w 4w 4w D w D w D 4 2 2 2 q x x y y4
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
2w D w N x 0 2 x
4
(2.2.1)
2w x 0, a: w 0 2 x 2w y 0, b: w 0 y2
2 xy 2 w 2 w 2 w x 2 2 x y x 2 y 2 x y y x
第二章 薄板振动分析
第二章 薄板的振动问题
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
板壳理论 15
2
现讨论特征根
m 2 2 m 2 2 2 , 2 2 2 a a
薄板的振动问题
板壳理论
14
则微分方程的解可以写成
Ym C1 cosh y C2 sinh y C3 cos y C4 sin y
其中
振形函数
m 2 2 m m 2 2 2 2 , a D a
m 1 n 1
A11
Amn 0 (m 1, n 1), Bmn 0
min 11 2
1 1 D x y w cos 2 2 2 t sin sin a b a b m
板壳理论
薄板的振动问题
12
2 wt at 2 t 2 wt qi m t 2
wt wt ( x, y, t )
其中qi — 薄板的惯性力（单位面 积）
其中m — 薄板单位面积的质量
D 4 we q
2 we 0 t 2
2 wt D ( wt we ) m 2 t 2 4 D ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
其中Ym为常系数
W 0
W
2m
D
则有
m 4 4 D 4 a m
2
m 2 2 a
D m
当两边不全是自由边，则其振动自然频率则有
2m
D
4
m 2 2 2 a
D m
2
D m 2 2 2 m a
D m
m 2 2 2 a
m 2 2 m 2 2 2 2 , i 2 a a
板壳理论
薄板的振动问题
11
例如：设初速度
现讨论特征根
m 2 2 m 2 2 2 , 2 2 2 a a
薄板的振动问题
板壳理论
14
则微分方程的解可以写成
Ym C1 cosh y C2 sinh y C3 cos y C4 sin y
其中
振形函数
m 2 2 m m 2 2 2 2 , a D a
m 1 n 1
A11
Amn 0 (m 1, n 1), Bmn 0
min 11 2
1 1 D x y w cos 2 2 2 t sin sin a b a b m
板壳理论
薄板的振动问题
12
2 wt at 2 t 2 wt qi m t 2
wt wt ( x, y, t )
其中qi — 薄板的惯性力（单位面 积）
其中m — 薄板单位面积的质量
D 4 we q
2 we 0 t 2
2 wt D ( wt we ) m 2 t 2 4 D ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
其中Ym为常系数
W 0
W
2m
D
则有
m 4 4 D 4 a m
2
m 2 2 a
D m
当两边不全是自由边，则其振动自然频率则有
2m
D
4
m 2 2 2 a
D m
2
D m 2 2 2 m a
D m
m 2 2 2 a
m 2 2 m 2 2 2 2 , i 2 a a
板壳理论
薄板的振动问题
11
例如：设初速度
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7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
分析圆形薄板的横向振动，采用
y
极坐标最方便，如图7-17所示。
P
极坐标与直角坐标的关系为
由此得到
a
O
x
7.6 圆形薄板的横向振动
利用上述关系，可以得出
（7-85）
7.6 圆形薄板的横向振动
同样能得出
（7-86） （7-87）
7.6 圆形薄板的横向振动
因而下列两个方程的解是式（7-94）的解
设主振型
（7-96） （7-97） （7-98）
7.6 圆形薄板的横向振动
为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于n=1及n=2，圆板 的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分 别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，……也以此类推。 将式（7-98）代入式（7-96）及式（7-97），得到下列两 个常微分方程：
于是，式（7-46）所示的薄板振动方程 在极坐标系中成为
其中
（7-47） （7-88）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-42）
（7-45）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-89）
7.6 圆形薄板的横向振动
对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定 圆板半径为a，那么在r=a处相应的边界条件分类如下
固定边
（7-105）
简支边
（7-106）
自由边
பைடு நூலகம்
（7-107）
7.6 圆形薄板的横向振动
例7.1 试计算外边界固定的实心圆板不出现径向节线（节 径）时较低的前三阶固有频率。
7.6 圆形薄板的横向振动
频率方程: 当n=0时，圆板不出现节径，上式为
7.6 圆形薄板的横向振动
f(x)
200
150
100
①固定边
（7-90）
（7-48）
②简支边
（7-91）
（7-49）
③自由边
（7-92）
（7-50）
7.6 圆形薄板的横向振动
现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为
（7-93） 代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到
（7-94）
其中 式(7-88)可改写为
（7-95）
7.6 圆形薄板的横向振动
50
0
-50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
r
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
圆板的固有频率通常表示为
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-99）
（7-100）
7.6 圆形薄板的横向振动
式（7-99）为n阶贝塞尔方程，其通解为
（7-101）
式（7-100）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为 （7-102）
7.6 圆形薄板的横向振动
这样，式（7-94）的通解为
（7-103）
（7-104）
7.6 圆形薄板的横向振动
R（r）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（798）代入式（7-93），然后再代入式（7-90）至式（792），得出以下边界条件：
7.6 圆形薄板的横向振动
分析圆形薄板的横向振动，采用
y
极坐标最方便，如图7-17所示。
P
极坐标与直角坐标的关系为
由此得到
a
O
x
7.6 圆形薄板的横向振动
利用上述关系，可以得出
（7-85）
7.6 圆形薄板的横向振动
同样能得出
（7-86） （7-87）
7.6 圆形薄板的横向振动
因而下列两个方程的解是式（7-94）的解
设主振型
（7-96） （7-97） （7-98）
7.6 圆形薄板的横向振动
为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于n=1及n=2，圆板 的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分 别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，……也以此类推。 将式（7-98）代入式（7-96）及式（7-97），得到下列两 个常微分方程：
于是，式（7-46）所示的薄板振动方程 在极坐标系中成为
其中
（7-47） （7-88）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-42）
（7-45）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-89）
7.6 圆形薄板的横向振动
对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定 圆板半径为a，那么在r=a处相应的边界条件分类如下
固定边
（7-105）
简支边
（7-106）
自由边
பைடு நூலகம்
（7-107）
7.6 圆形薄板的横向振动
例7.1 试计算外边界固定的实心圆板不出现径向节线（节 径）时较低的前三阶固有频率。
7.6 圆形薄板的横向振动
频率方程: 当n=0时，圆板不出现节径，上式为
7.6 圆形薄板的横向振动
f(x)
200
150
100
①固定边
（7-90）
（7-48）
②简支边
（7-91）
（7-49）
③自由边
（7-92）
（7-50）
7.6 圆形薄板的横向振动
现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为
（7-93） 代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到
（7-94）
其中 式(7-88)可改写为
（7-95）
7.6 圆形薄板的横向振动
50
0
-50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
r
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
圆板的固有频率通常表示为
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-99）
（7-100）
7.6 圆形薄板的横向振动
式（7-99）为n阶贝塞尔方程，其通解为
（7-101）
式（7-100）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为 （7-102）
7.6 圆形薄板的横向振动
这样，式（7-94）的通解为
（7-103）
（7-104）
7.6 圆形薄板的横向振动
R（r）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（798）代入式（7-93），然后再代入式（7-90）至式（792），得出以下边界条件：