分离变量积分
7.2可分离变量
②
当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 说明由②确定
的隐函数 y＝ (x) 是①的解. 同样, 当 F (x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx 在求解过程中每一步
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
y
不一定是同解变形,因
两边积分
此可能增、减解.
得 ln y x3 C1
或
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
x ydx ( x2 1) dy 0
例2. 解初值问题 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x2
练习:
解法 1 分离变量
积分 即
ey ex C (exC)ey1 0
(C<0 )
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
解: 根据题意, 有
圆筒壁的稳定热传导概述
1、单层圆筒壁的热传导
t2
r2
Q
t1 r
dr
r1
t
t1
r2
t1
r1
t2
r
dr
圆筒壁的热传导
仿照平壁热传导公式，通过该圆筒壁的导热速率可以表示
为： Q A dt 2rl dt
dr
dr
2021/10/24
分离变量积分：
Q 2lt1 t2 t1 t2 t1 t2
ln r2
解：由圆筒壁一维稳态热传导公式
Q 2Lt1 t2
ln r2 r1
所以
Q L
2
1.09 （75 ln 6
30）
021/10/24
包有绝热层时由多层圆筒壁热传导公式
Q 2（t1 t3）
L ln r2 ln r3
r1 r2
1
2
2（75 25） 53.77W m1
ln 3 ln 5 2.5 3
b
t2
t1 t2 b
Am
其中：b r2 r1 圆筒壁的厚度, m;
rm
r2 r1 圆筒壁的对数平均半径
ln r2
Am
r1
2rml
2 r2 r1
ln 2lr2
A2 A1 ln A2
2lr1
A1
——圆筒壁的内外表面的对数平均面积，m2
当r2/r1≤2时可用算术平均值代替对数平均值
[例4-3]有一玻璃管，内外直径分别为5mm和6mm，用来输 送流体，若管内壁温度为75℃，外壁温度为30℃，玻璃 的平均热传导系数λ为1.09W/m. ℃。求单位管长的热 传导速率？若外包扎一层厚为2mm的绝热材料，绝热材 料外表面温度为25℃，热传导系数为0.09W/m. ℃，这 时单位管长的热传导速率又为多少？
可分离变量的微分方程
代入原方程得
du (1 2e ) u y 2e u (1 u) 0 dy
u
u 1 2 e dy 分离变量，得 du 0 u y u 2e
两端积分
d ( u 2e u ) dy u 2e u y ln C
y( u 2e u ) C .
.
第三节 齐次方程
dy y 1. 定义 可化为形如 dx x
的一阶微分方程, 称为齐次方程.
例如，方程 (2 y 2 xy )dx ( x 2 xy y 2 )dy
y y 2 2 dy 2 y xy x x . 可化成 2 2 2 y y dx x xy y 1 x x 是齐次方程.
两端积分
dy csc xdx y ln y
lnln y ln(csc x cot x ) ln C
于是，y
e
C (csc x cot x )
为原方程的通解.
将y x e 代入，有
2
ee
C (10)
, C 1.
csc x cot x
故所求特解为
ye
du u cos u 1 代入原方程得 x u dx cos u dx 分离变量，得 cos udu x
两端积分，得
sin u ln x C
y 原方程的通解为 sin ln x C . x
x x x y y 例2 解方程 1 2e dx 2e 1 dy 0. y x dx du 解 令 u( y ), 则 u y . y dy dy
dy f ( x )dx . g( y )
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
微分方程常见题型解法
微分方程常见题型攻略一、一阶微分方程1.可分离变量的微分方程及或化为可分离变量的微分方程（齐次）（略）2.一阶线性微分方程（1）一阶线性齐次微分方程：0)( y x P y 法一：分离变量，积分；法二：套公式dxx P Ce y )(.（2）一阶线性非齐次微分方程：)()(x Q y x P y 法一：常数变易法①先求出对应齐次微分方程的通解 dxx P Ce y )(；②常数变易（设原方程的通解为） dx x P e x u y )()(；③代入原方程求出)(x u 即得原方程的通解。
法二：公式法])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P 。
例1【2011年考研】微分方程x ey y xcos 满足条件0)0( y 的解为_________。
解：此为一阶线性微分方程，其中1)( x P ，x ex Q xcos )( ，通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ]cos [11C dx xe e e dxx dx ]cos [C dx xe e e x x x ]cos [C xdx e x )(sin C x e x 。
由初始条件0)0( y ，得0 C ，故所求特解为x ey xsin 。
注：对于微分方程，经常以积分方程的形式出现，即给出的方程中含有积分上限函数。
（1）对于积分方程，方法是两边同时求导，化为微分方程。
但是在求导过程中要注意，如果两边同时求一阶导后还是含有积分上限函数，那么需要再一次求导，直到方程中不再求有积分上限函数，并且也要注意有时候需要对方程进行恒等变换后再求导。
（2）注意积分方程中隐含的初始条件。
例2已知函数)(x f 满足1)(21)(1x f du ux f ，1)(10 dx x f ，求)(x f 。
解：设ux t ，则dt x du 1，于是 10)(du ux f xdt t f x 0)(1。
微分方程及其解几何意义分离变量方法
微分方程及其解几何意义分离变量方法微分方程是描述物理、工程和数学问题中变量之间关系的数学方程。
它在科学和工程领域中具有广泛的应用。
微分方程的解具有重要的几何意义，可以帮助我们理解和研究问题的性质和行为。
微分方程的解几何意义可以通过以下几个方面来解释：1.几何形状描述：微分方程的解可以用来描述几何形状。
例如，二阶微分方程可以描述曲线的形状、三维曲面的曲率等。
通过求解微分方程，我们可以获得形状和曲线的各种性质，如切线、切面、曲率等。
几何形状的描述对于理解和研究问题的本质非常重要。
2.动力学行为：微分方程的解可以描述物体或系统的动力学行为。
例如，质点的运动、电路中电流的变化等。
通过求解微分方程，我们可以获得物体或系统的位置、速度、加速度等关键信息。
这对于研究运动和相互作用等动力学现象非常有用。
3.稳定性分析：微分方程的解可以用来分析和评估系统的稳定性。
例如，稳定性方程可以用微分方程描述，通过求解稳定性方程的解可以判断系统的稳定性。
这对于分析工程系统、控制系统等的稳定性非常重要。
4.相空间分析：微分方程的解可以用来描述系统在相空间中的行为。
例如，相图可以用微分方程描述，通过求解相图的解可以研究系统在相空间中的运动轨迹、稳定点、周期等。
相空间分析对于理解系统的动力学行为有着重要的意义。
分离变量方法是求解一阶常微分方程的常用方法之一、它的基本思想是将方程中的所有变量分离，然后对两边分别积分。
分离变量方法适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的方程。
分离变量方法的步骤如下：1. 将变量分离：将方程中的dy和dx分离为两个单独的项。
通常可以将方程重写为dy/g(y) = f(x)dx。
2. 对两边积分：对方程两边进行积分，即∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
这样就可以求出g(y)和f(x)的积分。
3.求解常数：在进行积分过程中，可能会产生一个或多个常数。
根据已知条件或边界条件，解出这些常数。
4.得到解：将求得的积分结果代入方程中，得到方程的解。
第4章理论力学习题解
4.1一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，质点的质量为m ，比例系数为k ，如此质点从距原点O 为a 的地方由静止开始运动，求其到达O 点所需的时间。
解：质点受引力为：xk F -=，其运动微分方程为：xk tm-=d d v （1）即： x k xm -=d d v v分离变量积分：⎰⎰-=x axx k m d d 0v v vxa k m ln212=v)ln(2d d xa mk tx -==v （2）（v 与x 反向，取负值） )ln00ln ),0((∞→→>∴∈xa x xa a x令：y ayex aex xa y yyd 2d )ln(22---===，代入（2）式得；mk ty aey2d d 22-=-分离变量积分：)0:0:(∞→→y a x⎰⎰=-∞t yt mk y ea 0d 2d 22t mk a22π2=故到达O 点所需的时间为： km a t 2π=4.2一质点受力3K xa x F +-=作用，求势能)(x V 与运动微分方程的解。
解：C x a x x xa x x F x V ++=+--=-=⎰⎰2232K 21d )K (d )(适当选取势能零点，使0=C ，则222K 21)(xa x x V +=机械能 =++=2222K 2121xa x xm E 常量 （1）将（1）改写成2222K 242xa x E xm --= （2）质点运动微分方程：32K xa x xm +-= 22K 22xa x xmx +-=⇒ （3）（3）+（2）得22K 44)(2x E xx x m -=+ 即0)K(K 4d d 2222=-+E x mtx （4）（4）式通解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=02 K2cos K θt m A Ex当0=x时，222K 21xa x E += 解得KK K)(2max 2a EE x -+=，KK 2aEA -=所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=022K2cos KK Kθt m aE E x4.3若质点受有心力作用而在圆θcos 2a r =上运动时，则5228rh ma F -=，式中m 为质量，h 为速度矩。
分离变量求积分
分离变量求积分分离变量求积分是微积分中的一个重要方法之一，也是计算微积分题目中经常要用到的方法。
它的核心思想是将一个以两个变量为自变量的函数分解成两个只有一个变量的函数的乘积形式，然后分别对这两个只含有一个变量的函数进行积分，并最后将结果相乘得到原始的函数的积分结果。
分离变量求积分可以应用于很多领域，比如物理学、生物学、化学等等。
在这些领域中，我们通常需要对两个或更多变量的函数进行积分计算，这时候就可以采用分离变量的方法来解决问题。
下面我们将对分离变量求积分的方法以及应用进行详细介绍。
一、分离变量的方法假设我们有一个以两个变量x和y为自变量的函数f(x,y)，我们需要对它进行积分计算。
我们可以采用分离变量的方法，将f(x,y)表示为两个只含有一个变量的函数的乘积形式，如下所示：f(x,y) = g(x)h(y)这里g(x)和h(y)都是只含有一个变量的函数。
这个式子的意义在于，我们将x和y分别表示为g(x)和h(y)的函数，然后将它们乘在一起得到原始函数f(x,y)。
在这个式子中，我们需要先选取一个变量（比如说x），然后将其看成是一个参数，代入f(x,y)中，变成如下形式：f(x,y) = g(x)h(y) = G(x)H(y)这里，G(x)和H(y)分别表示g(x)和h(y)的积分函数，它们可以通过积分计算得出。
对于这两个函数，我们可以分别对它们进行积分，得到如下结果：G(x) = ∫g(x)dx H(y) = ∫h(y)dy最后我们将G(x)和H(y)相乘再加上常数项C，即可得到函数f(x,y)的积分结果：∫f(x,y)dx = G(x)H(y) + C这就是分离变量求积分的基本方法。
通过这个方法，我们可以将一个以两个变量为自变量的函数分解成两个只含有一个变量的函数的积分形式，然后分别对这两个函数进行积分，最后将结果相乘得到原始函数的积分结果。
二、分离变量的应用分离变量求积分可以应用于很多领域，比如物理学、生物学、化学等等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分离变量积分
分离变量积分法是微积分中的一种常见求解方程的方法，它能够将一个复杂的方程转化为两个简单的方程，从而解决问题。
本篇文章中，我们将介绍分离变量积分法的基本原理、应用方法和例题解析，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
一、基本原理
对于一般的微分方程dy/dx=f(x)g(y)，如果将y和x的函数分别归到一边，即将所有包含y的项归到一边，所有包含x的项归到另一边，则可得到以下形式：
g(y)dy=f(x)dx
此时，对两边同时积分，即可得到解析式：
这个解析式可以用来求解原微分方程。
其中，左边的积分是y的函数，右边的积分是x的函数，因此，只需要逐一求解这两个简单的积分即可得到原方程的解。
二、应用方法
分离变量积分的应用方法主要包括以下几个步骤：
3、逐一解出左右积分，并将它们组合在一起，得到原方程的解析式。
4、根据题目所给的初始条件，求出未知的常数，并得到特定的解析式。
需要注意的是，在具体求解过程中，有些微分方程并不容易直接分离变量，这时需要采用一些方法进行处理。
例如，可以采取两边同乘一个函数的方法，将方程转化为可分离变量的形式。
此外，对于某些方程，可能需要进行一定的代数运算和化简，才能得到可分离变量的形式。
三、例题解析
以下是一些关于分离变量积分法的例题解析。
例1：解微分方程dy/dx=4xy，y(0)=2。
解题思路：
ln|y|=2x^2+C
其中C是积分常数。
根据题目所给的初始条件，y(0)=2，代入得到：
因此，解析式为：
这样就得到了微分方程的通解。
将初始条件y(0)=2代入解析式中，可得到：因此，C=ln2。
最终的特解为：
总结：。