用分离变量法解常微分方程
02 第二节 可分离变量的微分方程.
第二节可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示★可分离变量微分方程★例2 ★例6★逻辑斯谛方程★齐次方程★例1★例4 ★例5 ★例8 ★例10★例13 ★例14★例17 ★例18★例3 ★例7 ★例9★例11 ★例12★可化为齐次方程的微分方程★例15 ★内容小结★习题7—2★例16★课堂练习★返回内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程dydx=F(x,y),如果其右端函数能分解成F(x,y)=f(x)g(x)，即有dydx=f(x)g(y). (2.1)则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(x)都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如dy⎛y⎫=f ⎪ (2.8) dx⎝x⎭的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的微分方程：对于形如dy⎛a1x+b1y+c1=f ax+by+cdx22⎝2⎫⎪⎪⎭的方程，先求出两条直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0的交点(x0,y0)，然后作平移变换⎧X=x-x0⎨⎩Y=y-y0 即⎨⎧x=X+x0⎩y=Y+y0 这时，dydx=dYdX，于是，原方程就化为齐次方程⎛a1X+b1Y=f aX+bYdX2⎝2dY⎫⎪,⎪⎭例题选讲可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程解分离变量得从而y=±ex例2（E02）求微分方程dx+xydy=y2dx+ydy的通解.解先合并dx及dy的各项,得y(x-1)dy=(y2-1)dx设y2-1≠0,x-1≠0,分离变量得两端积分⎰yy-122dydx=2xy的通解. dyy=dyy=2xdxx2两端积分得⎰⎰2xdxln|y|=x2+C1 2+C1=±eC1⋅e,记C=±eC1,则得到题设方程的通解 y=Cex. yy-12dy=21x-1dx dy=⎰x-11dx得 12ln|y-1|=ln|x-1|+ln|C1|于是 y2-1=±C12(x-1)2记C=±C12,则得到题设方程的通解 y2-1=C(x-1)2.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定g(y)≠0的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使g(y)=0的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C≠0，但这样方程就失去特解y=±1，而如果允许C=0，则y=±1仍包含在通解y-1=C(x-1)22中.例3 已知 f'(sin2x)=cos2x+tan2x, 当0<x<1时，求f(x).解设y=sin2x,则cos2x=1-2sin2x=1-2y,sincos22tan2x=xx=sin2x21-sinx=y1-y.所以原方程变为f'(y)=1-2y+⎛⎝1y1-y,即f'(y)=-2y+11-y. 所以 f(y)= -2y+⎫2⎪dy=-y-ln1(-y)+C, 1-y⎪⎭故 f(x)=-[x2+ln(1-x)]+C(0<x<1).例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律.解设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t),在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:⎧dT(1)⎪=-k(T-20) ⎨dt(2)⎪T|t=0=100⎩其中k(k>0)为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分⎰1T-20=dTT-20=-kdt; ⎰-kdt,得ln|T-20|=-kt+C11(其中C1为任意常数)， 1即 T-20=±e-kt+C=±eCe-kt=Ce-kt(其中C=±eC). 1从而T=20+Ce-kt,再将条件(2)代入,得C=100-20=80,于是，所求规律为T=20+80e-kt.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37 C按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为35 C，并且假定周围空气的温度保持20 C 不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是30 C，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？解根据物体冷却的数学模型，有⎧dT⎪=-k(T-20),⎨dt⎪⎩T(0)=37k>0,.其中k>0是常数．分离变量并求解得T-20=Ce-kt，为求出k值，根据两个小时后尸体温度为35 C这一条件，有35=20+17e-k⋅2，求得k≈0.063，于是温度函数为T=20+17e-0.063t，将T=30代入上式求解t，有1017=e-0.063t，即得t≈8.4(小时)．于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.例6（E04）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.解设降落伞下落速度为v(t),降落伞下落时，同时收到重力P与阻力R的作用. 降落伞所受外力为 F=mg-kv根据牛顿第二定律: F=mα,得到v(t)满足微分方程mdvdt=mg-kv (1)初始条件 vt=0=0.将方程(1)分离变量得dvmg-kvdtm=两边积分得⎰mg-1kdv-kv=⎰m tm+C1，-kmt-kC⎛e1C＝－ k⎝dtln(mg-kv)=即 mg-kv=e⎛t⎫-k +C1⎪⎝m⎭或 v=mgkmgk+Ce⎫⎪⎪⎭代入初始条件得 C=-⎫⎪. ⎪⎭k-tmg⎛m 1-e故所求特解为 v=k ⎝下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t),则有dh(t)dt=kh(t)[H-h(t)] (2.8)其中k>0的是比例常数. 这个方程称为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.注：Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”,因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型dydt=y(k-by),y(t0)=y0 (2.9)其中k,b的称为生命系数.这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得b=2，从而估计得：(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿.(2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得，水从孔口流出的流量为Q＝dVdt=0⋅流量系数孔口截面面积重力加速度S=1cm, ∴dV=0.6222ghdt. ①2设在微小的时间间隔[t,t+∆t],水面的高度由h降至h+∆h,则dV=-πrdh,r=2-(100-h)2=200h-h, ∴dV=-π(200h-h)dh. ② 22比较①和②得:-π(200h-h)dh=0.622ghdt, 即为未知函数得微分方程.dt=-2π0.622g-(200h-h)dh,3ht=0=100, ∴C=π0.622g⨯14155⨯10,5所求规律为 t=π4.652g(7⨯10-103h3+3h).5例8 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少?解设鼓风机开动后t时刻CO2的含量为x(t)%,在[t,t+dt]内，CO2的通入量=2000⋅dt⋅0.03,CO2的通入量—CO2的排出量,即dxdt16-16t12000dx=2000dt⋅0.03-2000dt⋅x(t)=-16(x-0.03)x=0.03+Ce,e由x|t=0=0.C=0.07x=0.03+007-t,-1x|t=6=0.03+0.07e≈0.056,故6分钟后，车间内CO2的百分比降低到0.056%. 齐次方程例9（E05）求解微分方程dydx=yxyx+tandydxyx满足初始条件ydudx1x, dx.x=1=π的特解.解题设方程为齐次方程,设u=代入原方程得u+x dudx,则=u+x=u+tanu,分离变量得cotudu=两边积分得ln|sinu|=ln|x|+ln|C|sinu=Cx, 将u=yx回代，则得到题设方程的通解为sinyx=Cx.利用初始条件y|x=1=π/6,得到C=例10 求解微分方程xdx212.从而所求题设方程的特解为sinyx=12x.-xy+y2=dy2y2-xy.解原方程变形为dydx=2y-xyx-xy+y222=y⎛y⎫2 ⎪-x⎝x⎭1-⎛y⎫+ ⎪x⎝x⎭22y2,令u=yx,则dydx=u+xdudx,方程化为u+xdudx=2u-u21-u+u,分离变量得⎢两边积分得⎡1⎛1⎣2⎝u-2-1⎫21⎤dx+du=, ⎪-⎥xu⎭u-2u-1⎦ln(u-1)-32ln(u-2)-=Cx.12lnu=lnx+lnC,整理得u-1u(u-2)3/2所求微分方程的解为 (y-x)2=Cy(y-2x)3. 例11（E06）求解微分方程 y+x22dydx2=xydydx.解原方程变形为dydx=y22xy-xdudx⎛y⎫⎪⎝x⎭,（齐次方程） =y-1xdudx=u2令u=yx,则y=ux,⎛⎝dydx=u+x,故原方程变为u+xu-1,即xdudx=uu-1.分离变量得 1-回代u=yx1⎫dx⎪du=.两边积分得u-ln|u|+C=ln|x|或ln|xu|=u+C. u⎭x ,便得所给方程的通解为 ln|y|=yx+C.例12 求下列微分方程的通解:x(lnx-lny)dy-ydx=0. 解原方程变形为ln代入原方程并整理yxdy+yxdx=0,dxx令u=.yx,则dydx=u+dudx,lnuu(lnu+1)du=-两边积分得 lnu-ln(lnu+1)=-lnx+lnC,即y=C(lnu+1).变量回代得所求通解 y=C ln⎝⎛⎫+1⎪. x⎭y例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面——旋转抛物面. 解设旋转轴Ox轴，光源在(0,0), L:y=y(x),1设M(x,y)为L上任一点，MT为切线，斜率为y',MN为法线，斜率为-, ∠OMN=∠NMR, ∴tan∠OMN=tan∠NMR, 由夹角正切公式得-1ytan∠OMN=y'-x1-y, tan∠NMR=1y',xy'x2得微分方程 yy'+2xy'-y=0, y'=-y±⎛ x⎫y⎪⎪+1,⎝⎭2令 u=yx,方程化为 u+xdu1±1+udx=-u, 分离变量得udu=-dx,(1+u2)±+u2x令 1+u2=t2,得tdtt(t±1)=-dxx,积分得 ln|t±1|=lnCx, 即u2+1=Cx±1.平方化简得u2=C22Cx2+x, 代回u=yx,得y2=2C ⎛x+C⎫⎝2⎪.⎭y'所求旋转轴为Ox轴得旋转抛物面的方程为 y2+z2=2C x+⎝⎛C⎫⎪. 2⎭例14（E07）设河边点O的正对岸为点A, 河宽OA=h, 两岸为平行直线, 水流速度为 a, 有一鸭子从点A游向点O, 设鸭子(在静水中)的游速为b(b>a), 且鸭子游动方向始终朝着点O, 求鸭子游过的迹线的方程.解设水流速度为a(|a|=a),鸭子游速为b(|b|=b),则鸭子实际运动速度为v=a+b. 取坐标系如图，设在时刻t鸭子位于点P(x,y),则鸭子运动速度v={vx,vy}={xt,yt}, 故有dxdyxtytvxvy .现在a=(a,0),而b=be,其中ePO为与PO同方向的单位向量. po ==由PO=-{x,y},故ePO=-{x,y}于是b=-bx+y22x+y, 22{x,y},⎛ v=a+b=a-⎝bxx+y22,-byx+y22⎫⎪. ⎪⎭由此得微分方程dxdy=vxvy=-ax+yby222+xy,即 dxdy=-abxy⎛x⎫x ⎪+1+, y⎪y⎝⎭=u,则x=yu,ydxdy=yabdudy+u,代入上面的方程,得 2初始条件为x|y=h=0.令dudy=-u+1,分离变量得abduu+12=-abydy, 积分得arshu=-故x=y2[(Cy)-a/b(lny+lnC),a/b即u=shln(Cy)-a/b=1[(Cy)1-a/b12[(Cy)-a/b-(Cy)a/b], -(Cy)]=2C-(Cy)1+a/b]. 将初始条件代入上式得C=1/h,故所求迹线方程为1-a/b1+a/b⎤⎛y⎫h⎡⎛y⎫- ⎪⎢⎪⎥,0≤h≤y. x=h⎭2⎢⎝h⎭⎝⎥⎣⎦可化为齐次方程的方程例15（E08）求dydx=x-y+1x+y-3的通解.解直线x-y+1=0和直线x+y-3=0的交点是(1,2),因此作变换x=X+1,y=Y+2.代入题设方程,得dYdX=Y⎫⎛= 1-⎪X⎭X+Y⎝X-YY⎫⎛1+⎪X⎭⎝dudX12=1-u1+u,令u=YX,则Y=uX,dYdX2=u+XdudX,代入上式,得u+X2分离变量,得即u=YX1+u1-2u-udu=ln|X|+lnC1,两边积分,得-ln|1-2u-u|=ln|X|+lnC1回代得X2-2XY-Y2=C,再将X=x-1,Y=y-2回代，并整理所求题设方程的通解x2-2xy-y2+2x+6y=C. 例16（E09）利用变量代换法求方程解令x+y=u,则分离变量得du1+u2dydx=(x+y)的通解.dudx=1+u,22dydx=dudx-1,代入原方程得=dx,两边积分得arctanu=x+C,回代得arctan(x+y)=x+C,故原方程的通解为y=tan(x+C)-x.例17 求微分方程y'=解令u=x+2y,则dudx12tan(x+2y)dydx22的通解.=1+2,代入原方程得u⇒1⎛du⎫1-1⎪=tan2⎝dx⎭2dudx=1+tanu,2即dudx=secu.2分离变量得两端积分得dusecu2=dx或1+cos2u2du=dx.1⎛1⎫u+sin2u⎪=x+C,2⎝2⎭即sin[2(x+2y)]+4112(x+2y)=x+C,故所求通解为 y=x2+C-14sin(2x+4y).例18 求下列微分方程的通解. x+y222yy'=ex+x+yx22-2x.解令u=x+y,则再令v=ux,则dudxdvdx22dudx=2x+2ydydx,原方程化为dudxdxxu=ex+ux. =v+x,代入上式，并整理得e-vdv=,两边积分得 -e-v=lnx+C,变量还原得通解x+y22-ex=lnx+C.课堂练习1.求微分方程dydx+cosx-y2=cosx+y2的通解.x2.方程⎰⎡2y(t)+t2+y2(t)⎤dt=xy(x)是否为齐次方程? 0⎢⎣⎥⎦3.求齐次方程(x+ycosyx)dx-xcosyxdy=0的通解.。
常微分方程组的解法
常微分方程组的解法常微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的方程组成的方程组，它是数学中的重要研究对象。
常微分方程组的解法可以分为解析解法和数值解法两种。
解析解法是指通过数学方法求出常微分方程组的解析表达式。
常微分方程组的解析解法主要包括分离变量法、一阶线性方程法、变量代换法、常数变易法、特殊函数法等。
其中，分离变量法是指将常微分方程组中的各个变量分离出来，然后对每个变量分别积分，最后得到常微分方程组的解析解。
一阶线性方程法是指将常微分方程组转化为一阶线性方程，然后通过求解一阶线性方程来得到常微分方程组的解析解。
变量代换法是指通过合适的变量代换将常微分方程组转化为更简单的形式，然后通过求解简化后的方程组得到常微分方程组的解析解。
常数变易法是指将常微分方程组中的常数作为未知量，然后通过求解常数得到常微分方程组的解析解。
特殊函数法是指通过特殊函数的性质求解常微分方程组，如指数函数、三角函数等。
数值解法是指通过计算机数值计算的方法求出常微分方程组的数值解。
常微分方程组的数值解法主要包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。
其中，欧拉法是一种简单的数值解法，它的基本思想是将常微分方程组的解曲线上的点离散化为一系列点，然后通过计算机逐步求解得到常微分方程组的数值解。
龙格-库塔法是一种高阶数值解法，它通过计算机采用多个不同的计算公式来逼近常微分方程组的解曲线，从而得到更为准确的数值解。
变步长法是一种自适应数值解法，它通过计算机根据误差大小自动调整步长大小，从而得到更为准确的数值解。
常微分方程组的解法包括解析解法和数值解法两种，每种方法都有其适用的范围和优缺点。
在实际应用中，需要根据具体问题的性质和求解要求选择合适的解法来求解常微分方程组。
常微分方程小结
常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。
初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。
例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。
故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。
现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。
分离定理种类及应用方法
分离定理种类及应用方法分离定理是数学中的一个重要定理，用于解决线性偏微分方程的问题。
下面将详细介绍分离定理的种类及应用方法。
一、分离变量法分离变量法是分离定理的一种常见应用方法。
它的基本思想是将多变量的函数表示为各个变量的乘积形式，然后分别求解每个变量的方程，最后将得到的解合并，得到原问题的解。
应用方法：1.设定变量的分离形式：根据问题的具体情况，设定合适的变量分离形式。
通常来说，分离变量法适用于一维的偏微分方程，可以将解表示为一系列的单变量函数或特定的形式。
2.将偏微分方程转化为一系列的常微分方程：将原方程中的多个变量分离开来，得到一系列只包含一个变量的常微分方程。
3.逐个求解每个常微分方程：对于每个常微分方程，根据具体的形式选择适当的求解方法，例如使用分离变量法、常数变易法、变量替换法等。
4.合并得到原问题的解：将每个常微分方程的解合并，得到原问题的解。
二、特解法特解法是分离定理的另一种常见应用方法。
它的基本思想是通过猜测特定的解形式，将原问题转化为常微分方程或代数方程求解。
应用方法：1.设定特定解形式：根据问题的特点和已知条件，猜测合适的特定解形式。
常见的特定解形式有指数函数、幂函数、三角函数等。
2.代入原方程：将猜测的特定解形式代入原方程，得到常微分方程或代数方程。
3.求解方程得到特解：根据具体的形式选择适当的求解方法，例如积分、代数运算等，得到特解。
4.合并特解和通解：特解是原问题的一个解，将其与通解合并，得到原问题的完整解。
三、变量替换法变量替换法是分离定理的一种补充应用方法。
它的基本思想是通过改变变量的形式，将分离变量法或特解法无法解决的问题转化为可以求解的形式。
应用方法：1.寻找合适的变量替换：根据问题的特点和已知条件，寻找合适的变量替换，使得原方程可以转化为容易求解的形式。
2.代入原方程和求解：将变量替换代入原方程，得到新的方程。
根据具体的形式选择适当的求解方法，例如分离变量法、特解法等，求解得到新方程的解。
微分方程中的常微分方程解析
微分方程中的常微分方程解析微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界和各个学科中许多现象的变化规律。
而常微分方程则是其中常见且重要的一类微分方程，它们具有许多有趣的性质和解析解的求解方法。
本文将介绍常微分方程的概念、解析解的求解方法以及解析解的应用。
一、常微分方程的概念常微分方程是指不含有偏导数的微分方程，一般形式可表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可以通过求解微分方程来确定未知函数y的具体形式。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程中只包含未知函数的一阶导数，而高阶常微分方程中包含未知函数的多阶导数。
二、常微分方程解析解的求解方法求解常微分方程的解析解是指通过确定函数的具体形式来解决方程。
常见的常微分方程求解方法包括分离变量法、齐次化法、线性方程法、变量代换法等。
1. 分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，可以通过将变量分离来求解。
具体步骤如下：(1) 将方程改写为f(y)dy = g(x)dx的形式；(2) 对两边同时积分，得到∫f(y)dy = ∫g(x)dx；(3) 对于右边的积分，可以通过适当的变量代换或积分方法进行求解；(4) 最后，再通过反函数求解y，得到解析解。
2. 齐次化法对于形如dy/dx = f(x, y)的一阶常微分方程，可以通过齐次化来求解。
具体步骤如下：(1) 令y = vx，将方程转化为v + x(dv/dx) = f(x, vx)的形式；(2) 对两边同时求导，得到v' + (dv/dx)x = (df/dx)x^2；(3) 令u = v/x，可以得到u + x(du/dx) = (df/dx)x；(4) 对两边同时积分，再通过适当的变量代换或积分方法进行求解，最后得到解析解。
3. 线性方程法对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以通过线性方程法来求解。
数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
微分方程解法总结
微分方程解法总结微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
解微分方程的方法繁多，但主要可以归纳为以下几种常见的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法、常系数线性齐次微分方程法、变量可分离的高阶微分方程法和常系数高阶线性齐次微分方程法等。
一、分离变量法分离变量法是解微分方程最基本的方法之一，适用于可以把方程中的变量分离开的情况。
其基本思想是将微分方程两边进行分离，将含有未知函数和其导数的项移到方程的一边，含有自变量的项移到另一边，并对两边同时进行积分。
最后，再通过反函数和常数的替换，得到完整的解。
二、齐次方程法齐次方程法适用于微分方程中，当未知函数和其导数之间的比值是关于自变量的函数时，可以通过引入新的变量进行转换，将微分方程转化为可分离变量或者常微分方程的形式。
三、一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解这类方程需要使用一阶线性常微分方程解的通解公式，即y=e^(-∫p(x)dx)*∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx。
通过对p(x)和q(x)的积分以及指数函数的运用，可以得到最终的解。
四、常系数线性齐次微分方程法常系数线性齐次微分方程可以表示为ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c为常数。
解这类方程需要使用特征根的方法。
通过假设y=e^(mx)的形式，将其带入方程中，并解出方程的特征根m1和m2，再根据数学推导，可以得到最终的通解。
五、变量可分离的高阶微分方程法变量可分离的高阶微分方程适用于可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的情况。
其基本思想是对微分方程两边进行合理的转化和变量替换，将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式，然后使用分离变量法进行求解。
六、常系数高阶线性齐次微分方程法常系数高阶线性齐次微分方程可以表示为ay^n + by^(n-1) + ... + cy = 0，其中a、b、c为常数。
常微分方程解法大全
常微分方程解法大全在数学中，常微分方程是研究微积分的一个重要分支，常微分方程解法是数学中常见的问题之一。
通过对常微分方程解法的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的微分方程。
在本文中，我们将探讨一些常见的常微分方程解法方法，帮助读者更好地理解和掌握这一领域。
常微分方程的定义在开始讨论常微分方程的解法之前，我们首先来了解一下常微分方程的定义。
常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程，其中未知函数是一个变量，其导数是这个变量的函数。
通常常微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y′,y″,...,y(n))=0其中，y是未知函数，y′是y的一阶导数，y″是y的二阶导数，n是常微分方程的阶数。
常微分方程的解法方法常微分方程的解法方法包括但不限于以下几种常见方法：1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法之一。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(x)g(y)时，就可以使用分离变量法。
2. 含参微分法含参微分法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，就可以使用含参微分法。
3. 齐次方程法齐次方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(y/x)时，就可以使用齐次方程法。
4. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，可以使用一阶线性微分方程法。
5. 求解高阶微分方程除了以上几种方法外，还有很多其他方法可以用来求解高阶常微分方程，例如特征方程法、常数变易法等。
结语通过本文的介绍，相信读者对常微分方程的解法有了更深入的了解。
常微分方程解法作为数学中一个重要的研究领域，有着广泛的应用。
希望读者通过学习本文，可以更好地掌握常微分方程的解法方法，提升自己在数学领域的能力。
如果读者对常微分方程解法还有其他疑问或想要了解更多相关知识，可以继续深入学习或咨询数学相关的专业人士。
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用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如
dxdy=xfy(1.1)
的方程，称为变量分离方程，这里xf，y分别是的连续函数. 如果(y)≠0，我们可将（1.1）改写成
)(ydy=xfxd,
这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：)(x
dy
=dxxf)(+c. (1.2)
其中，c表示该常数，)(xdy，dxxf)(分别理解为)(1y，xf的原函数.常数c的取值必须保证（1.2）有意义.使0y 的0yy是方程(1.1)的解.
例1求解方程011
22dxydyx的通解.
解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： cxdxydy2211，
得 cxyarcsinarcsin.
可以验证1y也是原方程的解，若视x和y是平等的，则1x也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2曲线L上的点),(yxP处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分.求曲线L的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ的方程，用大写的),(YX
表示法线上的动点，用小写的表示曲线L上的点，法为过点),(yxP的法线的斜率. 解：由题意得 y1法.
从而法线PQ的方程为 )(1xXyyY.
又PQ被y轴平分，PQ与y轴交点M的坐标为2,0y，代入上式，得 )0(12xyyy. 整理后，得 xyy2，
分离变量，解得 cyx2
22，
其中c为任意正数，如图1. ２变量可替换的微分方程
通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型: 2.1齐次方程
形如
xydx
dy(1.3)
的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u是u的连续函数. 对方程(1.3)做变量变换 xyu，(1.4)
即uxy，于是 udxduxdxdy.(1.5)
将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 )(uudxdux，
图1 整理后，得到 xuudxdu)(.(1.6)
方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解. 例3求微分方程dxdyxydxdyxy22的通解.
解：原方程化为 22ydxdyxxy
xy，
即
1
xy
x
y
dxdy，
于是，令xyu，即xuy，将dxduudx
dy代入该方程，得
12uudxduxu，
整理，即有 112uuuuudxdux，
分离变量，得 xdxduuu10u，
两边积分，得 1lnlnlncxuu，
将x
yu代回来，得
yccxxyxy11lnln，
x
yeyc1，
即 xycey，其中c为任意常数.
另, 0u即0y也是原方程的解，但此解课包含于通解0c之中.故,方程的通解为xycey. 2.2形如 222111cybxacybxadxdy
(1.7)
的方程，这里212121,,,,,ccbbaa
均为常数.此方程经变量变换可化为变量分离方程.
我们分三种情形来讨论： 2.2.1常数kccbbba
212111
的情形.
这时方程化为 有通解 ckxy，
其中为任意的常数c. 2.2.2212111cckbbaa的情形.
令ybxau22，这时有
是变量分离方程.
2.2.32111bbba的情形.
如果方程1.2中21,cc不全为零，方程右端分子、分母都是yx,的一次多项式，因此
0121cybxa，
0222cybxa.（1.8）
代表Oxy平面上两条相交直线，设交点,.若令 xX，
yY.
则（2.2）化为 011YbXa，
022YbXa.
从而（2.1）变为
XYYbXaYbXadX
dY2211.(1.9) 因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.1）的解. 如果方程（2.1）中0
21cc可不必求解（2.2），直接取变换xyu即可.
上述解题的方法也适用于比方程（2.1）更一般的方程类型
222111cybxacybxafdxdy
.
例4求解方程 766322yxyxdxdy（2.0）
解：解方程组0322yx, 0766yx, 得34,6
1yx.
于是，令 61Xx,
34Yy,
代入方程（2.4），则有 YXYXdxdy6622.1.2
再令X
Yu,即uXY，则5.2化为
duuuuXdX2211， 两边积分，得 cuuX~12lnln22，
因此 1~2212ceuuXc，
代回原变量，得 1222cXXYY，
即 122613461234
cxyxy. 因此，方程（2.3）的通解为 cxyxyxy184737222，
其中，c为任意常数. 通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的，但是对于像例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法——凑微分进行求解. 凑微分 当方程 满足：
21ba（2.2）
时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）. 即：将12ba代入方程222111cybxacybxadxdy中，
有 即 展开，得 dxcydxbxdxa111dycydybxdya222（2.3）
有条件（2.6）可知， dxbxdyaydxaxdyaxyda12222)(（2.4）
将（2.8）代入（2.7）中，得 0)222(1212222xcxaycybxyad.
很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为 Cxcxaycybxya1212222222，其中C为任意常数.
例5求解方程85yxyxdx
dy.
解法一：，令yxu.则dydxdu 所以，原方程可化为
83udxdu.
这是一个分离变量方程.整理可得 xuu6162. 将yxu代入，可得 即，通解为 cyxxyyx1610222.其中c为任意常数.
观察例6可以发现，方程也满足条件(2.6)，于是用凑微分的方法同样可以求解. 解法二：原方程变形为 dxyxdyyx)5()8(. 整理得 058)(dxxdxdyydyydyxdy. 所以 0)521821(22xxyyxyd.
两边积分，得原方程的通解为xxyyxy5
2182
122=C，其中C为任意常数.
以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程. 2.3形如cbyaxfyxdxdy
1
1的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的cba,,均为
常数. 做变量变换 cbyaxu，
这时有 ufxbxadxdyybxadxdu1111，
即
dxxufbadu1
.
是变量分离方程.而当1时，cbyaxf
dx
dy为其特殊形式.
例7求解方程yxxyyxdx
3dy
.
解：因为 yxxyyxdx3dy
，(2.5)
可以化为