上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题与详细解析
华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________．10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以32x =-时，arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦；∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.考点：余弦定理；三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-.【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】【分析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.（2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x 的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.【答案】（1）π或3π；（2）[arctan；（3）19；【解析】试题分析：(1) 4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或，arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.（2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kka=-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos7π为无理数，所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。
上海华东师范大学附属中学高一数学文下学期期末试卷含解析
上海华东师范大学附属中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）若集合U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则?U（M∪N）是（）A．{1，2，3} B．{4} C．{1，3，4} D．{2}参考答案：B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由并集、补集的运算分别求出M∪N、?U（M∪N）．解答：解：因为M={1，2}，N={2，3}，所以M∪N={1，2，3}，又集合U={1，2，3，4}，则?U（M∪N）={4}，故选：B．点评：本题考查并集、补集的混合运算，属于基础题．2. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】棱锥的结构特征．【分析】根据棱锥的结构特征我们易判断出这是一个有三条棱在P点两两垂直的三棱锥，由已知中O 在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，利用“三余弦”定理，我们易求出∠OPB的余弦值．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．3. 已知，则值为（）A.11B.9C.8D. 7参考答案：D略4. 若方程在区间上有一根，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：C 解析：容易验证区间5. 已知函数为偶函数，则的值是A. B. C. D.参考答案：B因为函数为偶函数，那么可知二次函数关于y轴对称，因此一次项系数m-2=0,m=2,故选B6. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A. 12πB.C. 8πD. 4π参考答案：A试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.7. 若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e x，则有A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．g(0)＜f(3)＜f(2)C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3)参考答案：8. 函数在区间的简图是参考答案：A9. 的值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据二倍角的余弦公式整理为特殊角的三角函数值求解.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查二倍角余弦公式求解三角函数值，属于基础题.10. 四边形中，对角线、相交于点，给出下列四个条件：①AD∥BC②AD=BC③OA=OC④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线??直线??有下列四个命题(1)?(2);?(3)?(4)?其中正确的命题是_______参考答案：（1）（3）12. 已知函数，若存在实数，当时，，则的取值范围是．参考答案：所以，，得则，令，得，又，则的取值范围为。
上海市华二附中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
华二附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 函数arcsin y x =（1[]2x ∈-）的值域是 2. 数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为n a =3. ()cos f x x x =+的值域是4. “1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的 条件 （填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则30S =6. △ABC 三条边的长度是a 、b 、c ，面积是2224a b c +-，则C = 7. 已知数列{}n a ，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 8. 等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，1720n n m a a a +++⋅⋅⋅+=（,n m *∈N ，n m <）， 则n m +=9. 在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+=++ 10. 已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n=++，1,2,3n =⋅⋅⋅，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=二. 选择题11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A. B. C. D.12. 已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为413. 将函数sin(2)5y x π=+向右平移10π个单位长度，那么新函数（ ） A. 在53[,]42ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4ππ上单调递减 C. 在35[,]44ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 14. 已知函数215cos()36k y x ππ+=-（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[,3]a a + 上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A. 2或3 B. 4或3 C. 5或6 D. 8或7三. 解答题15. 在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-. （1）求A ；（2）求AC 边上的高.16. 已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++⋅⋅⋅++（n *∈N ，,0a b >）.（1）当a b =时，求数列{}n u 的前n 项和n S （用a 和n 表示）；（2）求1lim n n n u u →∞-.17. 已知方程arctanarctan(2)2x x a +-=. （1）若4a π=，求arccos 2x 的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：3cos(3)4cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得cos()(cos )n nx f x =对所有实数 x 均成立，其中1111()2n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时， 0n a =，当n 为偶数时，2(1)n n a =-；（3）利用（2）的结论判断cos7m π（16m ≤≤，m *∈N ）是否为有理数？参考答案一. 填空题 1. [,]36ππ-- 2. 3122n n n =⎧⎨≥⎩ 3. [2,2]- 4. 必要非充分 5. 60 6. 4π 7. 1 8. 9 9. 2201710. lg3二. 选择题11. D 12. B 13. C 14. A三. 解答题15.（1）3A π=；（2）2.16.（1）12(1)12(1)01(1)1n n n n n a S a a naa a a a++⎧=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且；（2）1lim n n n aa b u ba b u →∞-≥⎧=⎨<⎩. 17.（1）0或23π；（2）33[arctan ]22+；（3）19.18.（1）证明略；（2）证明略；（3）不是有理数.。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n }中.已知a 2=4.a 6=16.则a 4=___ ．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ．4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ．7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n13.（单选题.3分）设S k =1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k.则S k+1为（ ）A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k +12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+114.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 9015.（问答题.0分）已知关于x 的方程sin 2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）． （1）当m=1时.解此方程（2）试确定m 的取值范围.使此方程有解．16.（问答题.0分）在公差为d 的等差数列{a n }中.已知a 1=10.且a 1.2a 2+2.5a 3成等比数列． （Ⅰ）求d.a n ；（Ⅱ）若d ＜0.求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金； （2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n}中.已知a2=4.a6=16.则a4=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由等比数列通项公式得a2a6=a42 .由此能求出a4．【解答】：解：∵在等比数列{a n}中.a2=4.a6=16.∴ a2a6=a42 =4×16=64.且a4＞0.解得a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等比数列的第4项的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．【正确答案】：[1]π+arcsin 13【解析】：先将x∈[π. 32π ].化为π-x∈[- π2，0 ].再利用诱导公式sin（π-x）=sinx.求出π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.然后计算得解．【解答】：解：因为x∈[π. 32π ].所以π-x∈[- π2，0 ].由sinx=- 13.sin（π-x）=sinx.所以sin（π-x）=- 13.即π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.所以x=π+arcsin 13.故答案为：π+arcsin 13 ．【点评】：本题考查了解三角方程.及正弦的主值区间.属简单题3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ． 【正确答案】：[1] {4，n =14n −1，n ≥2【解析】：根据数列的递推公式即可求出通项公式．【解答】：解：当n=1时.a 1=S 1=2×12+1+1=4.当n≥2时.a n =S n -S n-1=2n 2+n+1-[2（n-1）2+n-1+1]=4n-1. 当n=1时.a 1=3≠4. 故a n = {4，n =14n −1，n ≥2 .故答案为： {4，n =14n −1，n ≥2 ．【点评】：本题考查了数列的递推公式.属于基础题4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．【正确答案】：[1] 2661【解析】：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= S17T 17.代值计算可得．【解答】：解：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= 2a 92b 9 = a 1+a 17b 1+b 17 = S 17T 17 = 3×17+17×17+3 = 2661. 故答案为： 2661【点评】：本题考查等差数列的性质和求和公式.属基础题． 5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：求出数列通项公式的表达式.求出数列的和.然后求解数列的极限即可．【解答】：解： 11+2+3+⋯+n = 2n (n+1) =2（ 1n −1n+1 ）.∴ lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）= lim n→∞2（1- 12+12−13+13−14 +… +1n −1n+1 ）=lim n→∞（2- 2n+1 ）=2．故答案为：2．【点评】：本题考查数列的和.数列的极限的求法.考查计算能力．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ． 【正确答案】：[1]√5+12【解析】：根据题意.这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.结合等比数列的性质可得a 2q 2=a （a-aq ）.即q 2+q-1=0.解可得q 的值.又由aq 为正整数且aq 2＜1.设aq 这个正整数为m.则有a= mq =m× √5+12且m （√5+12 ）×（ √5−12）2＜1.解可得m 的值.变形可得a 的值.即可得答案．【解答】：解：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列. 不妨设这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.则q ＞0. 则有a 2q 2=a （a-aq ）. 即q 2+q-1=0. 解得q=√5−12 .q= −1−√52（舍去）. 又由aq 为正整数.设aq 这个正整数为m.则a= mq =m× √5+12. 又由aq 2＜1.即m （ √5+12 ）×（ √5−12）2＜1. 解可得m ＜√5+12.又由m 为整数.则m=1.则a= mq=m× √5+12 = m q = √5+12. 故答案为： √5+12．【点评】：本题考查等比数列的性质.涉及等比中项的计算.注意分析q 的范围.属于基础题． 7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ． 【正确答案】：[1] 1955【解析】：由0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+….可得等号右边的数从0.045起为公比为0.01的无穷等比数列.运用无穷递缩等比数列的求和公式.计算可得所求值．【解答】：解：0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+… =0.3+ 0.0451−0.01 =0.3+ 45990 = 342990 = 1955 ． 故答案为： 1955．【点评】：本题考查循环小数化为分数的方法.考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0. 18 ]【解析】：由题意 a 11−q =12 .|q|＜1.从而q=1-2a 1.进而a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+18.利用-1＜q ＜1.能求出a 2的取值范围．【解答】：解：∵无穷等比数列{a n }的各项和为 12 .∴ a 11−q =12 .|q|＜1.∴q=1-2a 1.a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+ 18 . ∵-1＜q ＜1.a 2的取值范围是（-1.0）∪（0. 18]． 故答案为：（-1.0）∪（0. 18 ]．【点评】：本题考查等比数列的第二项的取值范围的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．【正确答案】：[1] 3π4【解析】：先将两方程变形为：-θ- π4 =sinθ.-θ- π4 =arcsinθ.由y=sinθ.y=arcsinθ互为反函数.其图象关于直线y=x 对称.则方程组 {y =xy =−x −π4.由对称性及中点坐标公式可得.解的横坐标为θ1+θ22.得解．【解答】：解：由x-cosx= π4 .可化为： π4 -x=sin （x- π2 ）. x+arcsin （x- π2 ）= π4 .可化为： π4 -x=arcsin （x- π2 ）. 设θ=x - π2.则有：-θ- π4=sinθ.-θ- π4=arcsinθ. 由y=sinθ.y=arcsinθ.互为反函数. 其图象关于直线y=x 对称. 联立 {y =x y =−x −π4 .得：x=- π8 .即θ1+θ2=- π4 . 所以x 1- π2 +x 2- π2 =- π4 . 则x 1+x 2= 3π4 . 故答案为： 3π4 ．【点评】：本题考查了函数与其反函数图象关于直线y=x 对称的性质.属中档题 10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ． 【正确答案】：[1]若sp+tm=kn.s+t=k.则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*） 【解析】：利用类比推理可得【解答】：解：利用类比推理可得.对于等比数列{b n }.若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）. 故答案为：若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）【点评】：本题考查了类比推理的问题.属于基础题．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：C【解析】：由举例1.-1.1可得“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “.由等比中项概念可得：当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac “.可推出“a 、b 、c 成等比数列”.故“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac “的必要不充分条件．【解答】：解：当“a 、b 、c 成等比数列”时.不妨取“1.-1.1“.则不满足“b= √ac “. 即“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “. 当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac ”.由等比中项概念可得：“a 、b 、c 成等比数列”即“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的必要不充分条件. 故选：C ．【点评】：本题考查了等比数列的性质及充分.必要条件.属简单但易错题． 12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n【正确答案】：C【解析】：此题可采用排除法法.可取a n =（-1）n .排除A ；取a n = 1n.排除B ；取a n =b n =n.排除D 得到答案．【解答】：解：取a n =（-1）n .排除A ； 取a n = 1n .排除B ； 取a n =b n =n.排除D ． 故选：C ．【点评】：考查学生认识极限及运算的能力.以及学会采用排除法做选择题． 13.（单选题.3分）设S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .则S k+1为（ ） A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k + 12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+1【正确答案】：C【解析】：先利用S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .表示出S k+1.再进行整理即可得到结论．【解答】：解：因为S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .所以s k+1= 1(k+1)+1 + 1(k+1)+2 +…+ 12(k+1)−2 + 12(k+1)−1 + 12(k+1) =1k+1 +1k+2 +…+ 12k + 12k+1 + 12k+2 - 1k+1=s k +12k+1 - 12k+2． 故选：C ．【点评】：本题主要考查数列递推关系式.属于易错题.易错点在与整理过程中.不能清楚哪些项有.哪些项没有．14.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 90 【正确答案】：B【解析】：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ].考虑数列{a n }的周期为360.一个周期内的和.即可得到所求最小值和最大值．【解答】：解：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ]. 当n 取1到90的自然数可得： S 90=π180 + 2π180 +…+ 90π180； 当n 取91到180的自然数可得： a 91+a 92+…+a 180= 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0； 当n 取181到270的自然数可得：a 181+a 182+…+a 270=-（ π180 + 2π180 +…+ 90π180 ）； 当n 取271到360的自然数可得：a 271+a 272+…+a 360=-（ 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0）． 由{a n }的周期为360.可得S 360=0.且S180＞0.且为最大值；而S1800=S360×5=0.S2016=S216＞0.S1980=S180＞0.则故排除A.C.D．故选：B．【点评】：本题考查反正弦函数值的求法.以及数列的求和.考查分类讨论思想方法.以及运算能力和推理能力.属于中档题．15.（问答题.0分）已知关于x的方程sin2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）．（1）当m=1时.解此方程（2）试确定m的取值范围.使此方程有解．【正确答案】：【解析】：（1）由sin2x+cos2x=1.则sin2x+cosx+m=0可化为：cos2x-cosx-1-m=0.将m=1代入解一元二次方程可得解.（2）分离m与cosx.用值域法可得解.即1+m=cos2x-cosx.再用配方法求cos2x-cosx的值域即可得解．【解答】：解：（1）sin2x+cosx+m=0.所以cos2x-cosx-1-m=0.当m=1时.方程为：cos2x-cosx-2=0.所以cosx=-1或cosx=2.又cosx∈[-1.1].所以cosx=-1.又x∈[0.2π）．所以x=π.故方程的解集为：{π}（2）由（1）得.cos2x-cosx-1-m=0有解.即1+m=cos2x-cosx有解.又1+m=cos2x-cosx=（cosx- 12）2- 14.又cosx∈[-1.1].所以（cosx- 12）2- 14∈[- 14，2 ].即1+m∈[- 14，2 ].即m∈[ −54，1 ].故答案为：[ −54，1 ]【点评】：本题考查了三角函数的运算及二次函数的值域.与方程有解问题.属中档题16.（问答题.0分）在公差为d的等差数列{a n}中.已知a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列．（Ⅰ）求d.a n；（Ⅱ）若d＜0.求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列列式求出公差.则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论.得到等差数列{a n}的前11项大于等于0.后面的项小于0.所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】：解：（Ⅰ）由题意得5a3•a1=(2a2+2)2 .即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2 .整理得d2-3d-4=0．解得d=-1或d=4．当d=-1时.a n=a1+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．当d=4时.a n=a1+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．所以a n=-n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n.因为d＜0.由（Ⅰ）得d=-1.a n=-n+11．则当n≤11时. |a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|=S n=−12n2+212n．当n≥12时.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11= 12n2−21n2+110．综上所述.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|= {−12n2+212n，n≤1112n2−212n+110，n≥12．【点评】：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念.考查了等差数列的通项公式.求和公式.考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力.是中档题．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【正确答案】：【解析】：（1）计算n=1.2.3.4.5.6.7即可得到所求结论；（2）考虑1到5年不符题意；n ＞5时.可得1500+2000[n-5-0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.结合n的特殊值.计算可得结论．【解答】：解：（1）新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5 （万元）. 可得a 1=0.a 2=150.a 3=300.a 4=450.a 5=600.a 6=2000×（1-0.6）=800.a 7=2000×（1-0.36）=1280＞1000.则第7年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）由n=5时.a 1+a 2+…+a 5=1500＜5000.可得所求n 超过5.可得1500+2000[n-5- 0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.化简可得n+3•0.6n-5＞11.5.由于3•0.6n-5随着n 的增大而减小.当n=11时.11+3•0.66＜11.5.当n=12时.12+3•0.67＞11.5.则第12年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【点评】：本题考查数列在实际问题中的运用.考查化简运算能力和推理能力.属于中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得数列为等差数列.即可得到所求通项公式；（2）由条件可得a n+1+1=2（a n+1）.由等比数列的定义和通项公式、求和公式.计算可得所求；（3）由条件可得a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.结合首项成立.以及二次函数的最值.计算可得所求范围．【解答】：解：（1）λ=0.μ=1.a1=3.可得a n+1=a n+1.即有a n=3+n-1=n+2；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.可得a n+1=2a n+1.即有a n+1+1=2（a n+1）.可得a n+1=2n.即a n=2n-1.前n项和为S n=（2+4+…+2n）-n= 2(1−2n)1−2-n=2n+1-2-n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立. 可得a n+1=a n2+μa n+1.即有a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.由a1=-1.可得1-（1+μ）+1＞0.即有μ＜1；又（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24≥1- (1+μ)24.可得1- (1+μ)24＞0.可得-3＜μ＜1.综上可得μ的范围是（-3.1）．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。
2024届上海市华东师范大学附属第二中学高一数学第二学期期末达标检测试题含解析
2024届上海市华东师范大学附属第二中学高一数学第二学期期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知偶函数()y f x =在区间[0,)+∞上单调递增，且图象经过点(1,0)-和(3,5)，则当[3,1]x ∈--时，函数()y f x =的值域是( )A ．[0,5]B ．[1,5]-C ．[1,3]D ．[3,5]2．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3- 3．函数ln x y x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．4．已知1tan 2α=，则cos2=α（ ） A ．35 B ．25 C ．35 D ．25- 5．已知{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，且lim 2n n na b →∞=，12n n S a a a =++⋯+，则22limn n n S nb →∞的值为（ ） A ．2 B ．-1 C ．1 D ．不存在6．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A ．710 B ．58 C ．38 D ．310 7．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（ ）A ．14B ．27C ．28D ．328．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ）A ．45B ．925C ．1225D ．13259．己知关于x 的不等式21x a x -++≥解集为R ，则突数a 的取值范围为( ) A ．](),13,⎡-∞⋃+∞⎣B ．[]1,3C ．](),31,⎡-∞-⋃-+∞⎣ D ．[]3,1-- 10．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ）.A ．3B ．-3C ．32D ．32- 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（上）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）函数f（x）= lg(x+1)x的定义域为___ ．2.（填空题.3分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且满足f（x+2）=-f（x）.则f（-2）=___ ．3.（填空题.3分）已知cosα=√55，−π2＜α＜0 .则tanα=___ ．4.（填空题.3分）2020°是第___ 象限角．5.（填空题.3分）已知函数y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数.若函数f−1(x)=x−ax+1(x≠−a，x∈R)的图象过点（2.3）.则f（4）=___ ．6.（填空题.3分）若关于x的方程|a x-1|=2a.（a＞0.a≠1）有两个不相等实数根.则实数a的取值范围是___ ．7.（填空题.3分）屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为___ 元（保留整数）8.（填空题.3分）已知函数f（x）=k•4x-k•2x+1-4（k+5）在区间[0.2]上存在零点.则实数k的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）下列命题正确的序号为___ ．① 周期函数都有最小正周期；② 偶函数一定不存在反函数；③ “f（x）是单调函数”是“f（x）存在反函数”的充分不必要条件；④ 若原函数与反函数的图象有偶数个交点.则可能都不在直线y=x上；10.（填空题.3分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且当x≥0时.f（x）=x2.若对任意的x∈[t.t+2].不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立.则实数t的取值范围是 ___ ．11.（单选题.3分）“我自横刀向天笑.笑完我就去睡觉．睡醒我又拿起刀.我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中.蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象.它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点的图象大致为（）12.（单选题.3分）函数y= e x+e−xe x−e−xA.B.C.D.13.（单选题.3分）已知f（x）=|x+1|+|x+2|+……+|x+2018|+|x-1|+|x-2|+……+|x-2018|（x∈R）.且集合M={a|f（a2-a-2）=f（a+1）}.则集合N={f（a）|a∈M}的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个14.（单选题.3分）下列命题中正确的命题是（）A.若存在x1.x2∈[a.b].当x1＜x2时.有f（x1）＜f（x2）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数B.若存在x i∈[a.b]（1≤i≤n.n≥2.i、n∈N*）.当x1＜x2＜x3＜…＜x n时.有f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（x n）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数C.函数y=f（x）的定义域为[0.+∞）.若对任意的x＞0.都有f（x）＜f（0）.则函数y=f（x）在[0.+∞）上一定是减函数D.若对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0 .则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数15.（问答题.0分）已知一个扇形的周长为30厘米.求扇形面积S的最大值.并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数．16.（问答题.0分）判断并证明函数f(x)=1+2x1−2x +log21+x1−x的奇偶性．17.（问答题.0分）已知函数f（x）=9x-2a•3x+3：（1）若a=1.x∈[0.1]时.求f（x）的值域；（2）当x∈[-1.1]时.求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n.同时满足下列条件：① n＞m＞3；② 当h（a）的定义域为[m.n]时.其值域为[m2.n2].若存在.求出m、n的值.若不存在.请说明理由．18.（问答题.0分）设ℎ(x)=x+mx . x∈[14，5] .其中m是不等于零的常数．（1）写出h（4x）的定义域：（2）求h（x）的单调递增区间：（3）已知函数f（x）（x∈[a.b]）.定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）.f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）．其中.min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值.max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=x.x∈[0.1].则f1（x）=0.x∈[0.1].f2（x）=x.x∈[0.1].当m=1时.设M(x)=ℎ(x)+ℎ(4x)2+|ℎ(x)−ℎ(4x)|2.不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立.求t.n的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：0的定义域为___ ．1.（填空题.3分）函数f（x）= lg(x+1)x【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0.+∞）【解析】：根据对数函数以及分母不为0.求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得：.{x+1＞0x≠0解得：x＞-1且x≠0.故函数的定义域是（-1.0）∪（0.+∞）.故答案为：（-1.0）∪（0.+∞）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题.考查对数函数的性质.是一道基础题．2.（填空题.3分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且满足f（x+2）=-f（x）.则f（-2）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：利用奇函数的性质f（0）=0；给已知等式中的x赋值0.求出f（2）；利用奇函数的定义求出f（-2）．【解答】：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数.∴f（0）=0∵f（x+2）=-f（x）.令x=0得f（2）=-f（0）所以f（2）=0∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（-2）=-f（2）=0故答案为0【点评】：本题考查奇函数的性质：若f（x）是奇函数.且在x=0处有意义则f（0）=0；考查奇函数的定义；考查通过赋值法求函数值．3.（填空题.3分）已知cosα=√55，−π2＜α＜0 .则tanα=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：利用同角三角函数的基本关系式.求出sinα.然后得到tanα．【解答】：解：因为cosα=√55，−π2＜α＜0 .所以sinα= −√1−cos2α = −√1−(√55)2=−2√55.所以tanα= sinαcosα=−2√55√55=-2；故答案为：-2【点评】：本题是基础题.考查同角三角函数的基本关系式的应用.注意角的范围.三角函数值的范围.考查计算能力．4.（填空题.3分）2020°是第___ 象限角．【正确答案】：[1]三【解析】：把2020°写成5×360°+220°.可知2020°与220°角的终边相同.则答案可求．【解答】：解：∵2020°=5×360°+220°.∴2020°与220°角的终边相同.为第三象限角．故答案为：三．【点评】：本题考查了象限角.考查了终边相同的角.是基础题．5.（填空题.3分）已知函数y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数.若函数f−1(x)=x−ax+1(x≠−a，x∈R)的图象过点（2.3）.则f（4）=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：根据f-1（2）=3得a=-7.再根据f-1（x）=4解得x=1即可．=3.解得a=-7.所以f-1（x）= 【解答】：解：因为f-1（x）过（2.3）.所以f-1（2）=3.所以2−a2+1x+7.x+1=4解得x=1.所以f（4）=1.由x+7x+1故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数.属基础题．6.（填空题.3分）若关于x的方程|a x-1|=2a.（a＞0.a≠1）有两个不相等实数根.则实数a的取值范围是___ ．）【正确答案】：[1]（0. 12【解析】：先画出a＞1和0＜a＜1时的两种图象.根据图象可直接得出答案．【解答】：解：据题意.函数y=|a x-1|（a＞0.a≠1）的图象与直线y=2a有两个不同的交点．a＞1时0＜a＜1时）.由图知.0＜2a＜1.所以a∈（0. 12）．故答案为：（0. 12【点评】：本题主要考查指数函数的图象与性质.考查方程根的个数的判断.体现了数形结合及转化的数学思想．7.（填空题.3分）屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为___ 元（保留整数）【正确答案】：[1]53877【解析】：利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】：解：屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为：（1+0.025）+（1+0.025）2+（1+0.025）3+（1+0.025）4+（1+0.025）5≈53877．= 1.025(1−0.0255)1−0.025故答案为：53877．【点评】：本题考查他可取回的钱数的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．8.（填空题.3分）已知函数f（x）=k•4x-k•2x+1-4（k+5）在区间[0.2]上存在零点.则实数k的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-4]∪[5.+∞）【解析】：要使函数f（x）=k•4x-k•2x+1-4（k+5）在区间[0.2]上存在零点.换元令t=2x.则t∈[1.4].即f（t）=k•t2-2k•t-4（k+5）=k（t-1）2-5（k+4）在[1.4]上有零点.根据零点判定定理即可求得结论．【解答】：解：令t=2x.则t∈[1.4].∴f（t）=k•t2-2k•t-4（k+5）=k（t-1）2-5（k+4）在[1.4]上有零点.∴f（1）f（4）≤0即可.即-5（k+4）（4k-20）≤0.解得k≥5或k≤-4.故答案为：（-∞.-4]∪[5.+∞）．【点评】：此题是中档题．考查函数的零点与函数图象的交点之间的关系.体现了转化的能力.同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．9.（填空题.3分）下列命题正确的序号为___ ．① 周期函数都有最小正周期；② 偶函数一定不存在反函数；③ “f （x ）是单调函数”是“f （x ）存在反函数”的充分不必要条件；④ 若原函数与反函数的图象有偶数个交点.则可能都不在直线y=x 上；【正确答案】：[1] ③ ④【解析】：根据题意.对题目中的命题进行分析、判断真假性即可．【解答】：解：对于 ① .不是所有的周期函数都有最小正周期.如f （x ）= {0，x 为有理数1，x 为无理数.∴ ① 错误；对于 ② .f （x ）=0.x∈{0}.是偶函数.它有反函数.∴ ② 错误；对于 ③ .f （x ）是单调函数时.f （x ）存在反函数.充分性成立.f （x ）存在反函数时.f （x ）不一定是单调函数.如f （x ）= 1x .（x≠0）.必要性不成立. 是充分不必要条件. ③ 正确；对于 ④ .原函数与反函数的图象有偶数个交点时.则它们的交点必关于直线y=x 对称. 也可能都不在直线y=x 上. ④ 正确；综上所述.正确的命题序号是 ③ ④ ．故答案为： ③ ④ ．【点评】：本题利用命题真假的判断考查了函数的定义与性质的应用问题.是中档题．10.（填空题.3分）设f （x ）是定义在R 上的奇函数.且当x≥0时.f （x ）=x 2.若对任意的x∈[t .t+2].不等式f （x+t ）≥2f （x ）恒成立.则实数t 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] [√2，+∞)【解析】：由当x≥0时.f （x ）=x 2.函数是奇函数.可得当x ＜0时.f （x ）=-x 2.从而f （x ）在R 上是单调递增函数.且满足2f （x ）=f （ √2 x ）.再根据不等式f （x+t ）≥2f （x ）=f （ √2 x ）在[t.t+2]恒成立.可得x+t≥ √2 x 在[t.t+2]恒成立.即可得出答案．【解答】：解：当x≥0时.f （x ）=x 2∵函数是奇函数∴当x ＜0时.f （x ）=-x 2∴f （x ）= {x 2 x ≥0−x 2 x ＜0. ∴f （x ）在R 上是单调递增函数.且满足2f （x ）=f （ √2 x ）.∵不等式f （x+t ）≥2f （x ）=f （ √2 x ）在[t.t+2]恒成立.∴x+t≥ √2 x在[t.t+2]恒成立.即：x≤（1+ √2）t在[t.t+2]恒成立.∴t+2≤（1+ √2）t解得：t≥ √2 .故答案为：[ √2 .+∞）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性.难度适中.关键是掌握函数的单调性与奇偶性．11.（单选题.3分）“我自横刀向天笑.笑完我就去睡觉．睡醒我又拿起刀.我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中.蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象.它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【正确答案】：C【解析】：本题符合函数周期性特点．【解答】：解：函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”．打油诗作者【横刀向天笑】→【睡觉】→【拿起刀】→【横刀向天笑】→……每三句重复出现一样的内容.符合函数周期性的特点．故选：C．【点评】：打油诗作者通过循环句式.表达了面对将要发生的灾难时.豁达坦然的心境.诙谐中透露出自己的无奈和寂寞．的图象大致为（）12.（单选题.3分）函数y= e x+e−xe x−e−xA.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：欲判断图象大致图象.可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑.还可从函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．【解答】：解析：函数有意义.需使e x-e-x≠0.其定义域为{x|x≠0}.f（-x）= e−x+e xe−x−e x =- e x+e−xe x−e−x=-f（x）.故函数为奇函数.排除选项D；又因为y=e x+e−xe x−e−x =e2x+1e2x−1=1+2e2x−1.所以当x＞0时函数为减函数.排除选项B.C．故选：A．【点评】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的函数比较复杂.需要对其先变形.再在定义域内对其进行考查其余的性质．13.（单选题.3分）已知f（x）=|x+1|+|x+2|+……+|x+2018|+|x-1|+|x-2|+……+|x-2018|（x∈R）.且集合M={a|f（a2-a-2）=f（a+1）}.则集合N={f（a）|a∈M}的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【正确答案】：A【解析】：先判断函数f （x ）奇偶性.由f （a 2-a-2）=f （a+1）进而|a 2-a-2|=|a+1|解得a.另外当x∈[-1.1]时f （x ）=4074342.联立） {−1≤a 2−a −2≤1−1≤a +1≤1得到a 的范围.根据f （a ）的解析式可以得到f （a ）的个数.从而得到结果．【解答】：解：∵函数f （x ）=|x-2018|+|x-2017|+…+|x -1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|. ∴f （-x ）=|-x-2018|+|-x-2017|+…+|-x-1|+|-x+1|+…+|-x+2017|+|-x+2018|=|x-2018|+|x-2017|+…+|x -1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|=f （x ）. 即函数f （x ）是偶函数.当x∈[-1.1]时.f （x ）=4074342；当x∈[-2.-1]时.f （x ）=-2x+2（3+4+……+2018）=-2x+4074336 若f （a 2-a-2）=f （a+1）. 则a 2-a-2=a+1 ① .或a 2-a-2=-（a+1） ② ； {−1≤a 2−a −2≤1−1≤a +1≤1③ 由 ① 得a 2-2a-3=（a+1）（a-3）=0. 即（a-1）（a-3）=0.解得a=-1或a=3； 由 ② 得a 2-1=0.解得a=1或a=-1； 由 ③ 得1−√132 ≤a ≤1−√52综上a=-1或1−√132 ≤a ≤1−√52或a=3；又f （1）=4074342. 当-1≤a ≤1−√52时f （a ）=4074342当1−√132≤a ＜-1时f （a ）=-2a+4074336.有无数个f （3）=4+5+……+2021+2+1+0+1+……+2015=4074348 ∴f （a ）的值有无数个． 故选：A ．【点评】：本题考查了函数性质.方程与不等式的解法.集合的性质.考查了推理与计算能力.属于难题．14.（单选题.3分）下列命题中正确的命题是（）A.若存在x1.x2∈[a.b].当x1＜x2时.有f（x1）＜f（x2）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数B.若存在x i∈[a.b]（1≤i≤n.n≥2.i、n∈N*）.当x1＜x2＜x3＜…＜x n时.有f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（x n）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数C.函数y=f（x）的定义域为[0.+∞）.若对任意的x＞0.都有f（x）＜f（0）.则函数y=f（x）在[0.+∞）上一定是减函数D.若对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0 .则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数【正确答案】：D【解析】：比值大于零.说明分子分母同号.即自变量与函数值变化方向一致.由增函数的定义可得结论．【解答】：解：对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0成立.即有x1＞x2时.f（x1）＞f（x2）.x1＜x2时.f（x1）＜f（x2）.由增函数的定义知：函数f（x）在区间[a.b]上是增函数．故选：D．【点评】：本题主要考查增函数、减函数的定义.熟记定义是解题的关键．属基础题．15.（问答题.0分）已知一个扇形的周长为30厘米.求扇形面积S的最大值.并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数．【正确答案】：【解析】：设扇形的半径为R.弧长为l.依题意有l+2R=30.利用扇形面积公式S扇形= 12lR.利用基本不等式即可求得答案．【解答】：解：设扇形的半径为R.弧长为l.则l+2R=30．可得：S扇形= 12 lR= 12（30-2R）•R=（15-R）•R≤[ (15−R)+R2]2= 2254（当且仅当R= 152时取等号）．可得：S扇形最大值为2254.此时R= 152.l=15．可得：扇形圆心角的弧度数α= lR = 15152=2（rad ）．【点评】：本题考查扇形面积公式.考查弧长公式.考查基本不等式（也可利用配方法）的应用.属于中档题．16.（问答题.0分）判断并证明函数 f (x )=1+2x 1−2x+log 21+x1−x的奇偶性．【正确答案】：【解析】：容易看出f （x ）是奇函数.根据奇函数的定义证明：可求出f （x ）的定义域.然后可得出f （-x ）=-f （x ）.从而判断出f （x ）是奇函数．【解答】：解：解 {1−2x ≠01+x 1−x＞0得.-1＜x ＜1.且x≠0；∴f （x ）的定义域为{x|-1＜x ＜1.且x≠0}； 又 f (−x )=1+2−x 1−2−x+log 21−x 1+x = −1+2x1−2x−log 21+x1−x =−f (x ) ；∴f （x ）是奇函数．【点评】：考查奇函数的定义及判断.对数的运算性质． 17.（问答题.0分）已知函数f （x ）=9x -2a•3x +3： （1）若a=1.x∈[0.1]时.求f （x ）的值域； （2）当x∈[-1.1]时.求f （x ）的最小值h （a ）；（3）是否存在实数m 、n.同时满足下列条件： ① n ＞m ＞3； ② 当h （a ）的定义域为[m.n]时.其值域为[m 2.n 2].若存在.求出m 、n 的值.若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设t=3x .则φ（t ）=t 2-2at+3=（t-a ）2+3-a 2.φ（t ）的对称轴为t=a.当a=1时.即可求出f （x ）的值域；（2）由函数φ（t ）的对称轴为t=a.分类讨论当a ＜ 13时.当 13≤a≤3时.当a ＞3时.求出最小值.则h （a ）的表达式可求；（3）假设满足题意的m.n 存在.函数h （a ）在（3.+∞）上是减函数.求出h （a ）的定义域.值域.然后列出不等式组.求解与已知矛盾.即可得到结论．【解答】：解：（1）∵函数f （x ）=9x -2a•3x +3. 设t=3x .t∈[1.3].则φ（t ）=t 2-2at+3=（t-a ）2+3-a 2.对称轴为t=a ． 当a=1时.φ（t ）=（t-1）2+2在[1.3]递增. ∴φ（t ）∈[φ（1）.φ（3）]. ∴函数f （x ）的值域是：[2.6]； （Ⅱ）∵函数φ（t ）的对称轴为t=a. 当x∈[-1.1]时.t∈[ 13.3].当a ＜ 13 时.y min =h （a ）=φ（ 13 ）= 289 - 2a3 ； 当 13 ≤a≤3时.y min =h （a ）=φ（a ）=3-a 2； 当a ＞3时.y min =h （a ）=φ（3）=12-6a ． 故h （a ）= {289−2a3，a ＜133−a 2，13≤a ≤312−6a ，a ＞3 ；（Ⅲ）假设满足题意的m.n 存在.∵n ＞m ＞3.∴h （a ）=12-6a. ∴函数h （a ）在（3.+∞）上是减函数． 又∵h （a ）的定义域为[m.n].值域为[m 2.n 2].则 {12−6m =n 212−6n =m 2. 两式相减得6（n-m ）=（n-m ）•（m+n ）. 又∵n ＞m ＞3.∴m -n≠0.∴m+n=6.与n ＞m ＞3矛盾． ∴满足题意的m.n 不存在．【点评】：本题主要考查二次函数的值域问题.二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理.是中档题．18.（问答题.0分）设ℎ(x)=x+mx . x∈[14，5] .其中m是不等于零的常数．（1）写出h（4x）的定义域：（2）求h（x）的单调递增区间：（3）已知函数f（x）（x∈[a.b]）.定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）.f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）．其中.min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值.max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=x.x∈[0.1].则f1（x）=0.x∈[0.1].f2（x）=x.x∈[0.1].当m=1时.设M(x)=ℎ(x)+ℎ(4x)2+|ℎ(x)−ℎ(4x)|2.不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立.求t.n的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）考查复合函数的定义域；（2）x+ mx在m＜0时在（0.+∞）单调递增.在m＞0时是对勾函数.x= √m是其极小值点.利用这个求单调递增区间；（3）不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立.就是求函数M1（x）-M2（x）的最大值与最小值.而M（x）实际上是对函数h（x）与h（4x）求较小的那个．【解答】：解：（1）4x∈[ 14 .5].所以h（4x）的定义域为[116，54]；（2）m＜0时.h（x）在[14，5]递增；0＜m≤116时.h（x）在[14，5]递增；116＜m≤25时.h（x）在[√m，5]递增；m＞25时.h（x）在[√m，5]递减.无单调增区间．（3）M（x）的定义域为[ 14 .5 4 ]h（x）≥h（4x）时.M（x）=h（x）；h（x）＜h（4x）时.M（x）=h（4x）．h（x）≥h（4x）⇔x+ 1x ≥4x+ 14x⇔x2≤ 14．所以当x∈[ 14 . 12]时.h（x）≥h（4x）.M（x）=h（x）=x+ 1x.在[ 14. 12]单调递减.所以M1（x）=x+ 1x .M2（x）=M（14）= 174．令g（x）=M1（x）-M2（x）=x+ 1x - 174.则g（x）在区间[ 14. 12]上的最小值为- 74.最大值为0．当x∈（12 . 54]时.h（x）＜h（4x）.M（x）=h（4x）=4x+ 14x.在（12. 54]单调递增.并且M（1）= 174 =M （ 14 ）i ．当x∈（ 12 .1）时.M 1（x ）=M （ 12 ）= 52 .M 2（x ）=M （ 14 ）= 174 .所以g （x ）=- 74 ． ii ．当x∈[1. 54]时.M 1（x ）=M （ 12）= 52.M 2（x ）=M （x ）=4x+ 14x.所以g （x ）= 52-4x- 14x.在[1. 54 ]上单调递减所以g （x ）的最大值为g （1）=- 74.最小值为g （ 54）=- 2710． 综上g （x ）的最大值为0.最小值为- 2710 ． ∴n≥0.t≤- 2710 ．【点评】：本题考查函数的单调性、不等式恒成立等问题.使用了分类讨论、数形结合、转化法等方法.属于难题．。
华师大二附中高一期末(2019.01)好题详解(1)(1)
华二附中高一期末数学试卷好题2019.01一.填空题8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为二.选择题12.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（）A. B. C. D.13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数三.解答题17.已知函数()9233x x f x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.华二附中高一期末数学试卷好题详解2019.01一.填空题8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是【答案】(,4][5,)-∞-+∞ ；【解析】[]121,4222020424(5)04224[1,4]24(1)5xx x x x t t y k k k t k ky t t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--=--⎩令有交点，法一：由图，知20111[5,4][,0)(0,](,4][5,)45k k k ∈-⇒∈-⇒∈-∞-+∞ ；法二：)(x f 在]2,0[上单调递增⇒≤⇒0)2()0(f f (,4][5,)k ∈-∞-+∞ 9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；【答案】③④；【解析】①错误；如：()f x C =无最小正周期；②错误；如()(0)f x C x ==为偶函数，但是其有反函数；③正确；④正确，不连续就行；如3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩（图像为黑色部分），则13[2,3]()2[0,1]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈⎩⇒交点为)21,25()25,21(、，个数为2个，且交点不在y x =上，如图；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为【答案】a 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x <时，2()()()f x f x x x x =--=-=-，()f x x x =⇒函数单调递增；22max ()2()2))(1)(1)f x a f x x f x a a x a x ⎡⎤+===⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥≥max1)a x ⎡⎤⇒⎣⎦≥1)(2)1)2a a =+=+a ⇒；二.选择题12.函数x xxxe e y e e --+=-的图像大致为（）A.B. C. D.【答案】B ；【解析】由计算器Table 数表，得当0>x 时，2)(>x f ，且单调递减，故选B ；13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）【答案】D ；A【解析】()f x 为偶函数，且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数；那么情况有三种：（1）221a a a --=+31a ⇒=-或；（2）22(1)11a a a a --=-+⇒=-或；（3）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤，不用解了，则{(1),(3)}N f f =，一共2个元素，故答案选D ；14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数【答案】D ；【解析】A 错，选项描述为存在性，而单调性定义要求任意性；B 选项同A 错误；C 选项与单调性无关，错；D 选项正确；三.解答题17.已知函数()9233x xf x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）[]2,6；（2）228219331()3331263a a h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪=⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）不存在m n 、满足题意.【解析】（1）1a =，()9233x x f x =-⋅+，令3[1,3]x t =∈，则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈，则：[]()2,6g t ∈；（2）[1,1]x ∈-，令13[,3]3x t =∈，则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈，讨论对称轴t a =与定义域位置关系，得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）()126,3h a a a =-≥，函数单调递减，那么[,]a m n ∈时，22221266()126m n n m n m n m⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减；得6m n +=，而3n m >>，则6m n +>，故矛盾，则不存在m n 、满足题意.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x的单调递增区间是⎤⎦；（3）0n ≥，2710t -≤.【解析】（1）1154,5,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x的单调递增区间是⎤⎦.（3）由题知()()()2314113443444x h x h x x x x x x x x --=+--=-+=，]45,41[]45,161[]5,41[=∈ x ∴()()4h x h x >，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()()4h x h x =，12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；()()4h x h x <，15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪⇒=⎨<⎪⎩≥111,,421154,,424x x x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎪⎣⎦⎩，()1111,,42515,,224x x x M x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ，12117711[,0],,444271,425127754[,],1,241044x x x M M x x x x ⎧⎡⎤+-∈-∈⎪⎢⎣⎦⎪⎪⎡⎤⇒-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤--∈--∈⎪⎢⎣⎦⎩()()1227,010M x M x ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦，∴0n ≥，2710t -≤.华二附中高一期末数学试卷2019.01一.填空题1.函数lg(1)x y x+=的定义域是2.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2)f -= 3.已知5cos 5α=，02πα-<<，则tan α=4.2020是第象限角5.已知函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数，若函数1()x af x x a--=+（x a ≠-，x ∈R ）的图像过点(2,3)，则(4)f =6.若关于x 的方程|1|2xa a -=（0a >，1a ≠）有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是7.屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为元（保留整数）8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为11.“我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点12.函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为（）A. B. C. D.13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数15.已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.16.判断并证明函数2121()log 121x x xf x x++=+--的奇偶性.17.已知函数()9233x xf x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.华二附中高一期末数学试卷答案2019.01一.填空题1.函数lg(1)x y x+=的定义域是【答案】(1,0)(0,)-+∞ ；【解析】10(1,0)(0,)0x x x +>⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩；2.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2)f -=【答案】0；【解析】令0x =代入(2)()f x f x +=-，得(2)(0)0f f -=-=； 3.已知5cos 5α=，02πα-<<，则tan α=【答案】2-；【解析】同角三角关系，注意tan 0α<即可；4.2020是第象限角【答案】三；【解析】20203212 1.31ππ⨯+ ，位于第三象限；5.已知函数()y f x =与1()y fx -=互为反函数，若函数1()x af x x a--=+（x a ≠-，x ∈R ）的图像过点(2,3)，则(4)f =【答案】53；【解析】12(2)312a f a a --==⇒=-+，11()1x f x x -+=-，利用原函数与反函数关系得(4)f 的值为方程1()4f x -=的解，解得53x =；6.若关于x 的方程|1|2x a a -=（0a >，1a ≠）有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是【答案】102a <<；【解析】|1|2x a a -=，等价于|1|2x y a y a =-=，两函数有两个交点，分01,1a a <<>两种情况讨论，分别画图，都得12(0,1)(0,)2a a ∈⇒∈；7.屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为元（保留整数）【答案】53877；【解析】12510000(1 2.5%)(1 2.5%)(1 2.5%)53877⎡⎤⨯++++++⎣⎦ ；8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是【答案】(,4][5,)-∞-+∞ ；【解析】[]121,4222020424(5)04224[1,4]24(1)5x x x x x t t y k k k t k k y t t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--=--⎩令有交点，法一：由图，知20111[5,4][,0)(0,](,4][5,)45k k k ∈-⇒∈-⇒∈-∞-+∞ ；法二：)(x f 在]2,0[上单调递增⇒≤⇒0)2()0(f f (,4][5,)k ∈-∞-+∞ 9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；【答案】③④；【解析】①错误；如：()f x C =无最小正周期；②错误；如()(0)f x C x ==为偶函数，但是其有反函数；③正确；④正确，不连续就行；如3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩（图像为黑色部分），则13[2,3]()2[0,1]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈⎩⇒交点为)21,25()25,21(、，个数为2个，且交点不在y x =上，如图；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为【答案】a 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x <时，2()()()f x f x x x x =--=-=-，()f x x x =⇒函数单调递增；22max ()2()2))(1)(1)f x a f x x f x a a x a x ⎡⎤+===⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥≥max1)a x ⎡⎤⇒⎣⎦≥1)(2)1)2a a =+=+a ⇒；二.选择题11.“我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【答案】C ；12.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（）A.B. C. D.【答案】B ；【解析】由计算器Table 数表，得当0>x 时，2)(>x f ，且单调递减，故选B ；13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）【答案】D ；A【解析】()f x 为偶函数，且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数；那么情况有三种：（1）221a a a --=+31a ⇒=-或；（2）22(1)11a a a a --=-+⇒=-或；（3）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤，不用解了，则{(1),(3)}N f f =，一共2个元素，故答案选D ；14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数【答案】D ；【解析】A 错，选项描述为存在性，而单调性定义要求任意性；B 选项同A 错误；C 选项与单调性无关，错；D 选项正确；三.解答题15.已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】15,2()2r rad α==【解析】230l r +=≥90022582rl =≤，当且仅当2l r =时等号成立，得152()2lr rad rα=⇒==.16.判断并证明函数2121()log 121x xxf x x++=+--的奇偶性.【答案】见解析.【解析】定义域满足：10(1,0)(0,1)1120x x x x +⎧>⎪⇒∈--⎨⎪-≠⎩，定义域关于原点对称；222121211211()log log log ()121211121x x x x x x x x xf x f x x x x--+-+++--=+=+=-----+---+故()f x 为奇函数.17.已知函数()9233x x f x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）[]2,6；（2）228219331()3331263a a h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪=⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）不存在m n 、满足题意.【解析】（1）1a =，()9233x x f x =-⋅+，令3[1,3]x t =∈，则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈，则：[]()2,6g t ∈；（2）[1,1]x ∈-，令13[,3]3x t =∈，则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈，讨论对称轴t a =与定义域位置关系，得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）()126,3h a a a =-≥，函数单调递减，那么[,]a m n ∈时，22221266()126m n n m n m n m ⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减；得6m n +=，而3n m >>，则6m n +>，故矛盾，则不存在m n 、满足题意.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x 的单调递增区间是,5m ⎤⎦；（3）0n ≥，2710t -≤.【解析】（1）1154,5,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x 的单调递增区间是,5m ⎤⎦.（3）由题知()()()2314113443444x h x h x x x x x x x x --=+--=-+=，]45,41[]45,161[]5,41[=∈ x ∴()()4h x h x >，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()()4h x h x =，12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；()()4h x h x <，15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪⇒=⎨<⎪⎩≥111,,421154,,424x x x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎪⎣⎦⎩，()1111,,42515,,224x x x M x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ，12117711[,0],,444271,425127754[,],1,241044x x x M M x x x x ⎧⎡⎤+-∈-∈⎪⎢⎣⎦⎪⎪⎡⎤⇒-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤--∈--∈⎪⎢⎣⎦⎩()()1227,010M x M x ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦，∴0n ≥，2710t -≤.。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
2019华二附中高一期末)
华二附中高一期末数学试卷2019.01一. 填空题 1. 函数lg(1)x y x+=的定义域是 2. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2)f -= 3. 已知5cos 5α=，02πα-<<，则tan α= 4. 2020是第 象限角5. 已知函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数，若函数1()x af x x a--=+（x a ≠-，x ∈R ）的图像过点(2,3)，则(4)f =6. 若关于x 的方程|1|2x a a -=（0a >，1a ≠）有两个不相等实数根，则实数a 的取值范 围是7. 屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为 元（保留整数）8. 已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是 9. 下列命题正确的序号为① 周期函数都有最小正周期；② 偶函数一定不存在反函数； ③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件； ④ 若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；10. ()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为二. 选择题11. “我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉. 睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（ ）A. 函数的奇偶性B. 函数的单调性C. 函数的周期性D. 二分法求函数零点12. 函数x x x xe e y e e --+=-的图像大致为（ ）A. B. C. D.13. 已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（ ）A. 无数个B. 3个C. 4个D. 2个 14. 下列命题中正确的命题是（ ）A. 若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B. 若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<<时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<<，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C. 函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D. 若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数三. 解答题15. 已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.16. 判断并证明函数2121()log 121x x xf x x++=+--的奇偶性.17. 已知函数()9233x x f x a =-⋅+. （1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域； （2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.18. 设()m h x x x =+，1[,5]4x ∈， 其中m 是不等于零的常数. （1）写出(4)h x 的定义域； （2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 【答案】(1,0)(0,)-+∞；【解析】10(1,0)(0,)0x x x +>⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩；2.【答案】0；【解析】令0x =代入(2)()f x f x +=-得：(2)(0)0f f -=-=； 3.【答案】2-；【解析】同角三角关系，注意tan 0α<即可； 4.【答案】三；【解析】20203212 1.31ππ⨯+，位于第三象限；5.【答案】53；【解析】12(2)312a f a a --==⇒=-+，11()1x f x x -+=-利用原函数与反函数关系得：(4)f 的值为方程1()4f x -=的解，解得：53x =；6.【答案】102a <<； 【解析】|1|2x a a -=，等价于|1|2x y a y a =-=，两函数有两个交点，分01,1a a <<>两种情况讨论，分别画出得：102a <<满足题意； 7.【答案】53877； 【解析】12510000(1 2.5%)(1 2.5%)(1 2.5%)53877⎡⎤⨯++++++⎣⎦；8.【答案】(,4][5,)-∞-+∞；【解析】[]121,422020424(5)04224[1,4]24x x x x x t t y k k k t k k y t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--⎩令有交 点；易得：20[5,4](,4][5,)k k∈-⇒∈-∞-+∞；9.【答案】③④；【解析】①错误；如：()f x C =如()(0)f x C x ==④正确，不连续就行；如：3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩（图像为黑色部分）与其反函数交点个数为2个， 交点不在y x =上，如下图； 10.【答案】a ；【解析】()f x x x =，函数单调递增；max()2())1)1)f x a f x f x a a x a x ⎡⎤+=⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥1)(2)a a +≥，解得：a ；二. 选择题 11.【答案】C ； 12.【答案】B ；【解析】令(1)0f >，排除A ，C ；如按计算器(1000)1f >排除D ，如分析亦可：0,1x xxxxxx xe e x e e e e y e e ----+>+>-⇒=>-；故排除D ；故选B ；13.【答案】A ；【解析】()f x 为偶函数，且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数；那么情况有三种： （1）221a a a --=+31a ⇒=-或；（2）22(1)11a a a a --=-+⇒=-或；（3）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤，不用解了；则：{(1),(3)}N f f =，一共2个元素，故答案选A ；14.【答案】D ；【解析】A 错，选项描述为存在性，而单调性定义要求任意性；B 选项同A 错误；C 选项与单调性无关，错；D 选项正确；三. 解答题15.【解析】230l r +=≥则90022582rl =≤，当且仅当2l r =，由l r α=得2()rad α=，又2230l r l r =⎧⎨+=⎩得：152r =.16.【解析】定义域满足：10(1,0)(0,1)1120x x x x+⎧>⎪⇒∈--⎨⎪-≠⎩，定义域关于原点对称； 222121211211()log log log ()121211121x x x x x x x x xf x f x x x x--+-+++--=+=+=--=---+---+故()f x 为奇函数. 17.【解析】（1）1a =，()9233x x f x =-⋅+，令3[1,3]x t =∈，则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈，则：[]()2,6g t ∈；（2）[1,1]x ∈-，令13[,3]3x t =∈，则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈，讨论对称轴t a =与定义域位置关系，得2min 28219331()()3331263a a f x h a a a a a ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）()126,3h a a a =-≥，函数单调递减，那么[,]a m n ∈时，22221266()126m n n m n m n m ⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减； 得：6m n +=，而3n m >>，则6m n +>，故矛盾，则不存在m n 、满足题意.18.【解析】本题选自2011年奉贤一模23题（理） （1）1154,5,,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）0m <时，()h x 在1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增；1016m <≤时，()h x 在1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增；12516m <≤时，()h x 在⎤⎦递增； （3）由题知：()()()231444x h x h x x--=，∴4()()4h x h x > 11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()()4h x h x =，12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；()()4h x h x <，15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥，()111,,421154,,424x x x M x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩， ()1111,,42515,,224⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x x x M x x ，()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ， 1211711,,44271,,1425154,1,244⎧⎡⎤+-∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫⎡⎤-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩x x x M M x x x x()()1221,010⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦M x M x ，∴0n ≥，2110t -≤.。
2024届上海华东师大二附中高一数学第二学期期末经典试题含解析
2024届上海华东师大二附中高一数学第二学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知a 是第一象限角，那么2a是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角2．函数()()sin f x A x =+ωϕ，()0,0A ω>>，若()f x 在区间[0,]2π上是单调函数，()()0()2ππ-==-f f f ，则ω的值为（ ）A ．12B ．2C ．12或23D ．23或2 3．已知21tan tan 544παββ+=-=（），（），则tan 4πα+（）的值为（） A ．16B ．322C ．2213D ．13184．如图，函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，5PM =，则A 的值为（ ）A ．62B ．52C 1633D 8335．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2) (4)D ．(2)(3)6．在ABC 中，已知30A ∠=︒，3AB =，2BC =，则ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定7．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知22(2,2cos )222a sinαα=-，(cos ,)2b m α=，若对任意的[1,1]m ∈-，12a b ⋅>恒成立，则角α的取值范围是 A ．713(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ B ．57(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ C ．5(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ D ．7(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ 9． 过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( ) A ．4B ．2C ．D ．10．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 13a =-，则10S 等于 （ ） A ．18B ．24C ．60D ．90二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期末数学试卷-学生版+解析版(无水印)
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一期末数学试卷一.填空题1．（3分）在等比数列{}n a 中，已知24a =，616a =，则4a = ． 2．（3分）已知1sin 3x =-，[x π∈，3]2π，则x = ．3．（3分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知221n S n n =++，则n a = ． 4．（3分）等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，和n T ，且3173n n S n T n +=+，则99ab = ． 5．（3分）111lim(1)12123123n n→∞+++⋯⋯+=++++++⋯+ ． 6．（3分）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，则这个正实数是 ．7．（3分）化小数为最简分数：0.345= ． 8．（3分）若无穷等比数列{}n a 的各项和为12，则2a 的取值范围是 ． 9．（3分）设方程cos 4x x π-=的根是1x ，方程arcsin()24x x ππ+-=的根是2x ，则12x x +的值是 ．10．（3分）在等差数列{}n a 中，若即sp tm kn +=，s t k +=，则有p m n sa ta ka +=，(s ，t ，k ，p ，m ，*)n N ∈，对于等比数列{}n b ，请你写出相应的命题： ．二.选择题11．（3分）已知a 、b 、c 是非零实数，则“a 、b 、c成等比数列”是“b =“的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．（3分）下列四个命题中正确的是( )A ．若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=B ．若0n a >，lim n n a A →∞=，则0A >C ．若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=D ．若lim()0n n a b →∞-=，则lim lim n n n n a b →∞→∞=13．（3分）设11111232k S k k k k =+++⋯++++，则1k S +为( ) A ．12(1)k S k ++ B ．11212(1)k S k k ++++ C ．11212(1)k S k k +-++ D ．112(1)21k S k k +-++ 14．（3分）已知数列arcsin(sin )n a n =︒，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则当12016n 剟时( ) A ．198090n S S S 剟 B ．1800180n S S S 剟C ．1980180n S S S 剟D ．201690n S S S 剟三.解答题15．已知关于x 的方程2sin cos 0x x m ++=，[0x ∈，2)π． （1）当1m =时，解此方程（2）试确定m 的取值范围，使此方程有解．16．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列． （Ⅰ）求d ，n a ；（Ⅱ）若0d <，求123||||||||n a a a a +++⋯+．17．某公司自2016年起，每年投入的技术改造资金为1000万元，预计自2016年起第n 年(2016年为第一年），因技术改造，可新增的盈利5150(1),52000(10.6),5n n n n a n --⎧=⎨->⎩…（万元）．按此预计，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年的技术改造金； （2）第几年起，新增盈利累计总额超过累计技术改造金．18．已知数列{}n a ，满足211n nn a a a λμ+=++； （1）若0λ=，1μ=，13a =，求{}n a 的通项公式； （2）若0λ=，2μ=，11a =，求{}n a 的前n 项和为n S ；（3）若1λ=，11a =-，{}n a 满足10n n a a ++>恒成立，求μ的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等比数列{}n a 中，已知24a =，616a =，则4a = 8 ． 【解答】解：在等比数列{}n a 中，24a =，616a =，∴226441664a a a ==⨯=，且40a >，解得48a =． 故答案为：8．2．（3分）已知1sin 3x =-，[x π∈，3]2π，则x = ．【解答】解：因为[x π∈，3]2π，所以[,0]2x ππ-∈-，由1sin 3x =-，sin()sin x x π-=，所以1sin()3x π-=-，即11arcsin()arcsin 33x π-=-=-，所以1arcsin 3x π=+，故答案为：1arcsin 3π+．3．（3分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知221n S n n =++，则n a = 4,141,2n n n =⎧⎨-⎩… ．【解答】解：当1n =时，21121114a S ==⨯++=，当2n …时，22121[2(1)11]41n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=-， 当1n =时，134a =≠， 故4,141,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…，故答案为：4,141,2n n n =⎧⎨-⎩…．4．（3分）等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，和n T ，且3173n n S n T n +=+，则99a b = 2661． 【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得9911717991171723171262717361a a a a Sb b b b T +⨯+=====+⨯+， 故答案为：26615．（3分）111lim(1)12123123n n→∞+++⋯⋯+=++++++⋯+ 2 ．【解答】解：12112()123(1)1n n n n n ==-+++⋯+++，∴11111111112lim(1)lim2(1)lim(2)2121231232233411n n n n n n n →∞→∞→∞+++⋯⋯+=-+-+-+⋯+-=-=++++++⋯+++故答案为：2．6．（3分）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，则这个正实数是． 【解答】解：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列， 不妨设这个数为a ，则整数部分aq ，则小数部分为a aq -，则0q >， 则有22()a q a a aq =-， 即210q q +-=，解得qq =， 又由aq 为正整数，设aq 这个正整数为m，则m a m q ==， 又由21aq <，即21m ⨯<，解可得m <，又由m 为整数，则1m =，则m m a m q q ====，7．（3分）化小数为最简分数：0.345=1955．【解答】解：0.3450.30.0450.0045=+++⋯ 0.04545342190.30.310.0199099055=+=+==-．故答案为：1955． 8．（3分）若无穷等比数列{}n a 的各项和为12，则2a 的取值范围是 (1-，0)(0⋃，1]8 ．【解答】解：无穷等比数列{}n a 的各项和为12， ∴1112a q =-，||1q <， 112q a ∴=-，222111(12)22()48a a q q q q q q ==-=-=--+，11q -<<，2a 的取值范围是(1-，0)(0⋃，1]8．故答案为：(1-，0)(0⋃，1]8．9．（3分）设方程cos 4x x π-=的根是1x ，方程arcsin()24x x ππ+-=的根是2x ，则12x x +的值是 ．【解答】解：由cos 4x x π-=，可化为：sin()42x x ππ-=-，arcsin()24x x ππ+-=，可化为：arcsin()42x x ππ-=-，设2x πθ=-，则有：sin 4πθθ--=，arcsin 4πθθ--=，由sin y θ=，arcsin y θ=，互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 联立4y xy x π=⎧⎪⎨=--⎪⎩，得：8x π=-，即124πθθ+=-，所以12224x x πππ-+-=-，则1234x x π+=， 故答案为：34π．10．（3分）在等差数列{}n a 中，若即sp tm kn +=，s t k +=，则有p m n sa ta ka +=，(s ，t ，k ，p ，m ，*)n N ∈，对于等比数列{}n b ，请你写出相应的命题： 若sp tm kn +=，s t k +=，则有s t kp m n b b b =，(s ，t ，k ，p ，m ，*)n N ∈ ．【解答】解：利用类比推理可得，对于等比数列{}n b ，若sp tm kn +=，s t k +=，则有s t k p m n b b b =，(s ，t ，k ，p ，m ，*)n N ∈，故答案为：若sp tm kn +=，s t k +=，则有s t k p m n b b b =，(s ，t ，k ，p ，m ，*)n N ∈二.选择题11．（3分）已知a 、b 、c 是非零实数，则“a 、b 、c 成等比数列”是“b =“的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：当“a 、b 、c 成等比数列”时，不妨取“1，1-，1“，则不满足“b ”，即“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b = ”，当a 、b 、c 是非零实数，“b ”， 由等比中项概念可得：“a 、b 、c 成等比数列”即“a 、b 、c 成等比数列”是“b = ”的必要不充分条件， 故选：C ．12．（3分）下列四个命题中正确的是( )A ．若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=B ．若0n a >，lim n n a A →∞=，则0A >C ．若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=D ．若lim()0n n a b →∞-=，则lim lim n n n n a b →∞→∞=【解答】解：取(1)n n a =-，排除A ；取1n a n=，排除B ； 取n n a b n ==，排除D ． 故选：C ． 13．（3分）设11111232k S k k k k =+++⋯++++，则1k S +为( ) A ．12(1)k S k ++ B ．11212(1)k S k k ++++ C ．11212(1)k S k k +-++ D ．112(1)21k S k k +-++ 【解答】解：因为11111232k S k k k k=+++⋯++++， 所以111111(1)1(1)22(1)22(1)12(1)k s k k k k k +=++⋯++++++++-+-+ 11111112221221k k k k k k =++⋯+++-+++++ 112122k s k k =+-++． 故选：C ．14．（3分）已知数列arcsin(sin )n a n =︒，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则当12016n 剟时( ) A ．198090n S S S 剟 B ．1800180n S S S 剟C ．1980180n S S S 剟D ．201690n S S S 剟【解答】解：由arcsin y x =的值域为[2π-，]2π， 当n 取1到90的自然数可得： 90290180180180S πππ=++⋯+； 当n 取91到180的自然数可得： 919218089880180180180a a a πππ++⋯+=++⋯++； 当n 取181到270的自然数可得：181182270290()180180180a a a πππ++⋯+=-++⋯+；当n 取271到360的自然数可得： 2712723608988(0)180180180a a a πππ++⋯+=-++⋯++．由{}n a 的周期为360，可得3600S =， 且1800S >，且为最大值；而180036050S S ⨯==，20162160S S =>，19801800S S =>， 则故排除A ，C ，D ． 故选：B ． 三.解答题15．已知关于x 的方程2sin cos 0x x m ++=，[0x ∈，2)π． （1）当1m =时，解此方程（2）试确定m 的取值范围，使此方程有解． 【解答】解：（1）2sin cos 0x x m ++=， 所以2cos cos 10x x m ---=，当1m =时，方程为：2cos cos 20x x --=， 所以cos 1x =-或cos 2x =， 又cos [1x ∈-，1]， 所以cos 1x =-， 又[0x ∈，2)π． 所以32x π=， 故方程的解集为：32π⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）由（1）得，2cos cos 10x x m ---=有解， 即21cos cos m x x +=-有解，又22111cos cos (cos )24m x x x +=-=--，又cos [1x ∈-，1]，所以2111(cos )[,2]244x --∈-，即11[,2]4m +∈-，即5[,1]4m ∈-，故答案为：5[,1]4-16．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列． （Ⅰ）求d ，n a ；（Ⅱ）若0d <，求123||||||||n a a a a +++⋯+．【解答】解：（Ⅰ）由题意得23125(22)a a a =+，即21115(2)(222)a d a a d +=++，整理得2340d d --=．解得1d =-或4d =．当1d =-时，1(1)10(1)11n a a n d n n =+-=--=-+． 当4d =时，1(1)104(1)46n a a n d n n =+-=+-=+． 所以11n a n =-+或46n a n =+；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为0d <，由（Ⅰ）得1d =-，11n a n =-+． 则当11n …时，2123121||||||||22n n a a a a S n n +++⋯+==-+．当12n …时，212311121||||||||211022n n na a a a S S n +++⋯+=-+=-+．综上所述，21232121,1122||||||||121110,1222n n n n a a a a n n n ⎧-+⎪⎪+++⋯+=⎨⎪-+⎪⎩……． 17．某公司自2016年起，每年投入的技术改造资金为1000万元，预计自2016年起第n 年(2016年为第一年），因技术改造，可新增的盈利5150(1),52000(10.6),5n n n n a n --⎧=⎨->⎩…（万元）．按此预计，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年的技术改造金； （2）第几年起，新增盈利累计总额超过累计技术改造金． 【解答】解：（1）新增的盈利5150(1),52000(10.6),5n n n n a n --⎧=⎨->⎩…（万元）， 可得10a =，2150a =，3300a =，4450a =，5600a =，62000(10.6)800a =⨯-=， 72000(10.36)12801000a =⨯-=>，则第7年起，当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）由5n =时，12515005000a a a ++⋯+=<，可得所求n 超过5， 可得50.6(106)15002000[5]100010.6n n n --+-->-， 化简可得530.611.5n n -+>，由于530.6n -随着n 的增大而减小，当11n =时，61130.611.5+<，当12n =时，71230.611.5+>，则第12年起，新增盈利累计总额超过累计技术改造金．18．已知数列{}n a ，满足211n nn a a a λμ+=++； （1）若0λ=，1μ=，13a =，求{}n a 的通项公式；（2）若0λ=，2μ=，11a =，求{}n a 的前n 项和为n S ；（3）若1λ=，11a =-，{}n a 满足10n n a a ++>恒成立，求μ的取值范围．【解答】解：（1）0λ=，1μ=，13a =，可得11n n a a +=+，即有312n a n n =+-=+；（2）若0λ=，2μ=，11a =，可得121n n a a +=+，即有112(1)n n a a ++=+，可得12n n a +=，即21n n a =-，前n 项和为(242)n n S n =++⋯+-12(12)2212n n n n +-=-=---； （3）若1λ=，11a =-，{}n a 满足10n n a a ++>恒成立，可得211n nn a a a μ+=++，即有2(1)10nn a a μ+++>恒成立， 即221(1)()1024n a μμ++++->恒成立， 由11a =-，可得1(1)10μ-++>，即有1μ<； 又2221(1)(1)()11244n a μμμ+++++--…， 可得2(1)104μ+->，可得31μ-<<，综上可得μ的范围是(3,1)-．。