沪科版八年级数学下册课件：16.1 二次根式
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意： 不要忽略a≥0这一限制条件. 这是使二次根式有意义的前提条件.
例题讲解 例3 计算：
(1) ( 1.5)2; (2) (2 5)2；
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
积的乘方： （ab）2=a2b2
二次根式的 双重非负性
根据算术平方根及平方的意义填空，你发现了什么？
a(a≥0) 算术平 4 方根
5
0
7 5
...
a 4 2
5
平方 运算
0 0
7
5
...
( a)2
22 = 4
2 5 5
02 = 0
7 5
2
7 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
...
观察两者有什么关系？
归纳总结 ( a )2 (a 0) 的性质：
一般地，( a )2＝a (a ≥0).
3. 下列等式正确的是( A )
2
A. 3 3 C. 33 3
B. 32 3
2
D. 3 3
4.当x=__-1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值为__0__．
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 a 2 (a 1)2 的结果是 1 .
-1 0 1 a 2
6. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
(1) x 3
(2) x2
解：(1)要使 x 3 有意义，必须x+3 ≥0.解这个不等 式，得 x ≥ -3. 即当x ≥ -3时， x 3 在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2 ≥0，所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义
求二次根式有意义时字母的取值范围的方法： 第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式， 只需满足被开方数为非负数； 对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数 同时为非负数； 对于零指数幂，则必须满足底数不能为零
解:甲的解答是错误的. 错误原因:∵当a=9时,1-a<0,
1 a2 1 a 1 a a 1
课堂小结 定义
带有二次根号 被开方数为非负数
二次根式
在有意义条件 下求字母的取 值范围
二次根式性质
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集.
( a )2 a (a 0)
a2 a（a为全体实数）
获取新知
知识点三：二次根式的性质2
根据算术平方根意义填空，你发现了什么？
a(a≥0) 平方 3 运算 0.5
7
a2
算术平
a2
9 方根
3
0.25
0.5
49
7
5
25
5
0 -0.5 ...
0 0.25
0
0.5
观察两者有什么关系？
归纳总结
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
-a (a＜0)
即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c．
8.先化简,再求值:当a=9时,求 a 1 2a a2 的值,甲、乙 两人的解答如下:
甲的解答:原式= a 1 2a a2 a 1 a 1
乙的解答:原式= a 1 2a a2 a 1 a 当a=9时,|1-a|=a-1,所以原式=a+a-1=2a-1=17. 两人的解答中谁的解答是错误的?请你说明错误的原因.
计算 a2 一般有两个步骤：①去掉根号及被开方数
的指数，写成绝对值的形式，即 a2 ＝|a|；②去掉绝对
值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|＝
a a 0,
a
a＜0.
随堂演练 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C）
a C D
2. 如果式子 2x 6 有意义，那么x的取值范围在 数轴上表示正确的是( C )
第16章 二次根式
16.1 二次根式
知识回顾
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为3的正方形的边长为 3 ，面积为S的正方形的边长为 ___S__. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则它的宽 为___6_5__m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s) 与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h=5t2.如果用 含有h的式子表示t，那么t为___h5___.
(5) xy x, y异号; (6) a2 1; (7) 3 5.
分析：是否含二次根号
是
被开方数是 不是非负数
否否
不是二次根式
是 二次根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于 “非负数+正数”的形式一定大于零.
(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
例2 当x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
例题讲解
例4 计算: (1) 52 ; (2) 1 2 2 .
解： (1) 52 = 52 =5 或 52 = 5 =5.
(2)
1
2
2 = 1
2 = 1
2
2 1.
例5 先化简再求值: x2 2 x 2 ，其中x=4.
解： x2 2 x 2 x 2 x .
当x=4时， x 4 4 . ∴当x=4时， x2 2 x 2 4 .
获取新知 知识点二：二次根式的性质1 问题 二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0； 当a=0时， a 表示0的算术平方根，因此 a =0.
这就是说，当a≥0时， a ≥0.
二次根式的被开 方数非负
二次根式的值 非负
请你化简: a2 b2 a b2 .
a
b
•
•
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a－b＜0， ∴原式=|a|－|b|+|a－b| =－a－b－(a－b) =－2a.
7. 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
a b c2 b c a2 c b a2 .
解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c， ∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
获取新知 知识点一：二次根式的定义 形如 a（a ≥0）的式子叫做二次根式.
被开方数
a
二次根号 读作“根号a ”
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
例题讲解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0；
注意： 不要忽略a≥0这一限制条件. 这是使二次根式有意义的前提条件.
例题讲解 例3 计算：
(1) ( 1.5)2; (2) (2 5)2；
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
积的乘方： （ab）2=a2b2
二次根式的 双重非负性
根据算术平方根及平方的意义填空，你发现了什么？
a(a≥0) 算术平 4 方根
5
0
7 5
...
a 4 2
5
平方 运算
0 0
7
5
...
( a)2
22 = 4
2 5 5
02 = 0
7 5
2
7 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
...
观察两者有什么关系？
归纳总结 ( a )2 (a 0) 的性质：
一般地，( a )2＝a (a ≥0).
3. 下列等式正确的是( A )
2
A. 3 3 C. 33 3
B. 32 3
2
D. 3 3
4.当x=__-1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值为__0__．
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 a 2 (a 1)2 的结果是 1 .
-1 0 1 a 2
6. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
(1) x 3
(2) x2
解：(1)要使 x 3 有意义，必须x+3 ≥0.解这个不等 式，得 x ≥ -3. 即当x ≥ -3时， x 3 在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2 ≥0，所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义
求二次根式有意义时字母的取值范围的方法： 第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式， 只需满足被开方数为非负数； 对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数 同时为非负数； 对于零指数幂，则必须满足底数不能为零
解:甲的解答是错误的. 错误原因:∵当a=9时,1-a<0,
1 a2 1 a 1 a a 1
课堂小结 定义
带有二次根号 被开方数为非负数
二次根式
在有意义条件 下求字母的取 值范围
二次根式性质
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集.
( a )2 a (a 0)
a2 a（a为全体实数）
获取新知
知识点三：二次根式的性质2
根据算术平方根意义填空，你发现了什么？
a(a≥0) 平方 3 运算 0.5
7
a2
算术平
a2
9 方根
3
0.25
0.5
49
7
5
25
5
0 -0.5 ...
0 0.25
0
0.5
观察两者有什么关系？
归纳总结
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
-a (a＜0)
即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c．
8.先化简,再求值:当a=9时,求 a 1 2a a2 的值,甲、乙 两人的解答如下:
甲的解答:原式= a 1 2a a2 a 1 a 1
乙的解答:原式= a 1 2a a2 a 1 a 当a=9时,|1-a|=a-1,所以原式=a+a-1=2a-1=17. 两人的解答中谁的解答是错误的?请你说明错误的原因.
计算 a2 一般有两个步骤：①去掉根号及被开方数
的指数，写成绝对值的形式，即 a2 ＝|a|；②去掉绝对
值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|＝
a a 0,
a
a＜0.
随堂演练 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C）
a C D
2. 如果式子 2x 6 有意义，那么x的取值范围在 数轴上表示正确的是( C )
第16章 二次根式
16.1 二次根式
知识回顾
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为3的正方形的边长为 3 ，面积为S的正方形的边长为 ___S__. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则它的宽 为___6_5__m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s) 与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h=5t2.如果用 含有h的式子表示t，那么t为___h5___.
(5) xy x, y异号; (6) a2 1; (7) 3 5.
分析：是否含二次根号
是
被开方数是 不是非负数
否否
不是二次根式
是 二次根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于 “非负数+正数”的形式一定大于零.
(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
例2 当x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
例题讲解
例4 计算: (1) 52 ; (2) 1 2 2 .
解： (1) 52 = 52 =5 或 52 = 5 =5.
(2)
1
2
2 = 1
2 = 1
2
2 1.
例5 先化简再求值: x2 2 x 2 ，其中x=4.
解： x2 2 x 2 x 2 x .
当x=4时， x 4 4 . ∴当x=4时， x2 2 x 2 4 .
获取新知 知识点二：二次根式的性质1 问题 二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0； 当a=0时， a 表示0的算术平方根，因此 a =0.
这就是说，当a≥0时， a ≥0.
二次根式的被开 方数非负
二次根式的值 非负
请你化简: a2 b2 a b2 .
a
b
•
•
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a－b＜0， ∴原式=|a|－|b|+|a－b| =－a－b－(a－b) =－2a.
7. 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
a b c2 b c a2 c b a2 .
解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c， ∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
获取新知 知识点一：二次根式的定义 形如 a（a ≥0）的式子叫做二次根式.
被开方数
a
二次根号 读作“根号a ”
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
例题讲解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0；
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八年级下册数学课件(沪科版)二次根式的性质
二 a2 的性质
填一填：
a2 ＝a (a≥0).
a(a≥0) 平方 2 运算
a2
算术平 a2
4 方根
2
0.1
0.01
0.1
2
4
2
3
9
3
0
0
0
...
...
...
观察两者有什么关系？
思考：当a＜0时， a2 =-？a
a(a＜0) 平方 -2 运算
-0.1
2
...3
a2
算术平 a2
4 方根
2
0.01
(4) 22 2 （ √ ）
议一议：如何区别( a )2 与 a2 ？
( a)2
a2
从运算 顺序看 从取值 范围看 从运算 结果看
意义
先开方,后平方 先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
表示一个非负 数a的算术平 方根的平方
|a|
表示一个实数 a的平方的算 术平方根
例4 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，
第16章 二次根式
16.1 二次根式
（第2课时 二次根式的性质）
学习目标
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法.（重点）
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
导入新课
情景引入 问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
0
-4
1
1
-1
4
1
1
2
4
算术平方根之门
解：由题意得 ∴a=-2，
a20 4 2a 0
∴ a 2 4 2a a2 22 2 .
沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》优课件
16.1 二次根式
1是、—±—--—66的—;平方是36 —=——3——6——6，36的平方根
2、16的算术平方根是—4—-， 5的算术
平方根是———5 —。
3、非负数a的算术平方根是——a——
4、 7 表示什么？
5、 a 表示什么？a 需要满足 什么条件？
• 我们知道：当a≥0时， a 是有意义的，
• 例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有 意义？
（1） x 3； （2） x2 .
x+3≥0，解得x≥-3. x为一切实数。
• 例2 计算：
（ 1） （ 5 ）2 ； (-5)2=52=5或 (-5)2=-5=5
（ 2） （ 1 2 ）2 .
(1- 2)2=1- 2= 2-1
例 3 已 知 a b 1 2 a b 0 ， 求 a 和 b 的 值 .
5、设a、b、c为△ABC的三边，试化简：
( a b c ) 2 ( a b c ) 2 ( b a c ) 2 ( c a b ) 2
6 、 若3x2 3x2成立， x应 则满足什么 3x 3－x
学而不思则罔，思而不学则 殆。
——孔子
再见！ 课后要好好总结哦！
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
1是、—±—--—66的—;平方是36 —=——3——6——6，36的平方根
2、16的算术平方根是—4—-， 5的算术
平方根是———5 —。
3、非负数a的算术平方根是——a——
4、 7 表示什么？
5、 a 表示什么？a 需要满足 什么条件？
• 我们知道：当a≥0时， a 是有意义的，
• 例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有 意义？
（1） x 3； （2） x2 .
x+3≥0，解得x≥-3. x为一切实数。
• 例2 计算：
（ 1） （ 5 ）2 ； (-5)2=52=5或 (-5)2=-5=5
（ 2） （ 1 2 ）2 .
(1- 2)2=1- 2= 2-1
例 3 已 知 a b 1 2 a b 0 ， 求 a 和 b 的 值 .
5、设a、b、c为△ABC的三边，试化简：
( a b c ) 2 ( a b c ) 2 ( b a c ) 2 ( c a b ) 2
6 、 若3x2 3x2成立， x应 则满足什么 3x 3－x
学而不思则罔，思而不学则 殆。
——孔子
再见！ 课后要好好总结哦！
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
二次根式课件沪科版数学八年级下册
但必须保证 a 有意义. 若a表示一个数，则a为非负数； 若a表示一个式子，则这个式子必须大于或等于0
【当堂检测】
1.（1）若使二次根式 2x 4 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
2
（2）当a ＜ 3
时，
3a
2 无意义， 2 x
2x
有意义的条件
是 x≤2且x≠-2 ．
【当堂检测】
2.要使式子
a(a a(a
0) »
0)
四、典型例题
例1.当x是怎样的实数时， 5 x 2x 在实数范围内有意义？
分析：要使式子有意义，则每个二次根式都需满足被开 方数大于等于0
解：5-x≥0，得x≤5 又2x≥0，得x≥0
综上所述：当0≤x≤5时， 5 x 2x 在实数范围内有意义
四、典型例题
方法总结： 二次根式中被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个式子，
总结： 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断
字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质.
【当堂检测】
3.实数a在数轴上的位置如图所示，则 a 42 a 112化简后为（ A ）
A．7
B．﹣7
C．2a﹣15
D．无法确定
【当堂检测】
4.若x＜2，化简 (x 2)2 3 x 的正确结果是 5-2x ．
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
一、学习目标
1.理解二次根式的概念 2.会用简单的一元一次不等式求被开方数中字母的取值范围 3.掌握二次根式的性质1、2,并能利用性质进行计算或化简
二、新课导入
你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为5的正方形的边长为___5__，面积为S 的正方形的边长为___S__．
【当堂检测】
1.（1）若使二次根式 2x 4 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
2
（2）当a ＜ 3
时，
3a
2 无意义， 2 x
2x
有意义的条件
是 x≤2且x≠-2 ．
【当堂检测】
2.要使式子
a(a a(a
0) »
0)
四、典型例题
例1.当x是怎样的实数时， 5 x 2x 在实数范围内有意义？
分析：要使式子有意义，则每个二次根式都需满足被开 方数大于等于0
解：5-x≥0，得x≤5 又2x≥0，得x≥0
综上所述：当0≤x≤5时， 5 x 2x 在实数范围内有意义
四、典型例题
方法总结： 二次根式中被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个式子，
总结： 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断
字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质.
【当堂检测】
3.实数a在数轴上的位置如图所示，则 a 42 a 112化简后为（ A ）
A．7
B．﹣7
C．2a﹣15
D．无法确定
【当堂检测】
4.若x＜2，化简 (x 2)2 3 x 的正确结果是 5-2x ．
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
一、学习目标
1.理解二次根式的概念 2.会用简单的一元一次不等式求被开方数中字母的取值范围 3.掌握二次根式的性质1、2,并能利用性质进行计算或化简
二、新课导入
你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为5的正方形的边长为___5__，面积为S 的正方形的边长为___S__．
沪科版八年级数学 下册 16.1《二次根式》课件(共22张PPT)
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
16.1.1二次根式%28第1课时%29-课件-沪科版八年级数学下册
合作探究 形成知识
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义． 把形如 3 ， S ，65 ，h 用来表示一个非负数的 5
算术平方根的式子，叫做二次根式．
合作探究 形成知识
二次根式： 一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次 根式，“ ”称为二次根号．
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2．
初步应用 巩固知识
例1 当x 是怎样的实数时， x+2 在实数范围内有 意义？
解：要使 x+2 在实数范围有意义， 必须 x+2≥0， ∴ x≥-2．
∴ 当x≥-2时， x+2 在实数范围内有意义．
初步应用 巩固知识
例2 当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意 义？ x3 呢？
初步应用 巩固知识
例3 a 取何值时，下列根式有意义？
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算
术平方根是二次根式．
回顾总结 反思提升
我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算， 你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
作业设置：
1、课下作业：同步练习。
2、预习新课完成导学案。
（1）
a+1；（2）
1 1-2a
；（3） （a-1）2 ．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得
a＜
1 2
；
（3）由（a-1）2≥0，得 a为任何实数．
初步应用 巩固知识
变式 a 取何值时，下列根式有意义？ （1） a2 -2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
沪科版八下数学1二次根式教学课件
(2)( 2 )2; ＝2
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
八年级数学下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式教学课件
第十四页，共二十二页。
例1 计算(jìsuàn)：
(1)( 1 ) 2 2
(2)( 2 5 )2 3
解：(1)( 1 )2 1 22
例1（2）用到了 （ab）2=a2b2这个(zhège) 结论.
(2 )(25)2(2)2 (5)24 52 0
33
99
第十五页，共二十二页。
例2.（1）若
则a-b+c=___ .
第十三页，共二十二页。
归纳(guīnà)
一般(yībān)地， 有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
(1) 32, (2)6, (3) 12, (4)-m (m≤0）, (5) xy (x,y 异，号)
(6) a2 1 , (7) 3 5.
解： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属a 2于
“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5）中xy<0,（7）
根指数不是2，是3.（3）不是，因为(yīn wèi)在实数范围内，
负数没有平方根.
第八页，共二十二页。
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义?
解：由x-1≥0，得 x≥1.
当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义.
试求当x=9时，二次根式 x 1的值.
当x=9时， x 19 182 . 2
思考：当x是怎样(zěnyàng)的实数时，x 2
x 3 呢？
(4) 7 2 .
例1 计算(jìsuàn)：
(1)( 1 ) 2 2
(2)( 2 5 )2 3
解：(1)( 1 )2 1 22
例1（2）用到了 （ab）2=a2b2这个(zhège) 结论.
(2 )(25)2(2)2 (5)24 52 0
33
99
第十五页，共二十二页。
例2.（1）若
则a-b+c=___ .
第十三页，共二十二页。
归纳(guīnà)
一般(yībān)地， 有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
(1) 32, (2)6, (3) 12, (4)-m (m≤0）, (5) xy (x,y 异，号)
(6) a2 1 , (7) 3 5.
解： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属a 2于
“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5）中xy<0,（7）
根指数不是2，是3.（3）不是，因为(yīn wèi)在实数范围内，
负数没有平方根.
第八页，共二十二页。
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义?
解：由x-1≥0，得 x≥1.
当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义.
试求当x=9时，二次根式 x 1的值.
当x=9时， x 19 182 . 2
思考：当x是怎样(zěnyàng)的实数时，x 2
x 3 呢？
(4) 7 2 .
沪科版数学八年级下册教学课件PPT16.1 二次根式
课程讲授
3 二次根式的性质
问题3：二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a ＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0时， a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就 是说，当a ≥0时， a ≥0.我们把这个性质叫做二次根 式的双重非负性.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为___3___，面积为S 的正方 形的边长为___S__. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 ㎡,则
130
它的宽为___2__m.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
即当x ≥-3时， x 3 在实数范围内有意义. （2）因为x为任何实数时都有x2≥0, 所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义.
课程讲授
2 二次根式有意义的条件
练一练：若二次根式 2x 4 有意义 ,则实数 x的取
值范围是 （ D ）
A.x≥-2 B.x>-2 C.x<2 D.x≤2
课程讲授
3 二次根式的性质
练一练：若 ( C) A．1 B．－1 C．7 D．－7
x y 1 （y 3）2 0 ，则x-y的值为
课程讲授
3 二次根式的性质
问题4：根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中
的规律．
2
4
4
2
2
2
1 3
2
2
0
0
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m) 满足关系h =5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为
数学(沪科)八年级下册《16.1二次根式》课件3
第十六章二次根式
16.1 二次根式
形如： 1000 、800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数有 两个平方根；0的平方根是为0； 在实数范围内，负数没有平方根，：根号a，
“ ”称为二次根号
你如何理解“二次根式”？
•它们都带有
根号里的被开方数都是非负数
• a 本身是一个非负数
除了它还是哪些形式的数 是非负数？
会区分a与 a
a 表示a的平方根，有两个结果，
一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
指出下列哪些是二次根式？
1 5 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
8 x2 1
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
要使 x 2 满足二次根式的定义要求，
x 应对 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是 一个必考重点.
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
16.1 二次根式
形如： 1000 、800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数有 两个平方根；0的平方根是为0； 在实数范围内，负数没有平方根，：根号a，
“ ”称为二次根号
你如何理解“二次根式”？
•它们都带有
根号里的被开方数都是非负数
• a 本身是一个非负数
除了它还是哪些形式的数 是非负数？
会区分a与 a
a 表示a的平方根，有两个结果，
一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
指出下列哪些是二次根式？
1 5 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
8 x2 1
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
要使 x 2 满足二次根式的定义要求，
x 应对 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是 一个必考重点.
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
沪科版数学八年级下册沪科版八年级数学下册课件：16.1二次根式1
（2）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
（4）
（5）
灿若寒星
答案： （1）（2）
（3）（4）
（5）
灿若寒星
2.化简并求值：
(1)
其中
.
(2)
其中
灿若寒星
3.已知求 的值. 答案：
3.
灿若寒星
4.延伸拓展 （1）已知－1＜x＜2，求的值；
（2）已知a为实数，求的值.
答案： 5、（1）（2）
灿若寒星
例2、计算： （1） 解：原式
灿若寒星
解：原式
灿若寒星
（3） 解：原式
灿若寒星
例3、计算： （1） 解:原式
灿若寒星
解：由二次根式的意义可知：即
灿若寒星
例4、设的整数部分是a，小数部 分是b，试求的值. 解：
的整数部分为1. ∴的整数部分为3，小数部分是
即：
灿若寒星
灿若寒星
练习： 1.计算： （1）
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
灿若寒星
二次根式的概念 二次根式 二次根式的性质
二次根式的运算与化简
灿若寒星
例1、x取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
解:（1）由
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子有意义.
灿若寒星
解：（2）由 得－5≤x＜3.
∴当－5≤x＜3时，有意义.
灿若寒星