2004专起本成考数学二真题及详细答案解释
2004考研数学二试题详细解析-4
(A) (1 , 0).
(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3).
[A]
【分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限 lim f (x) 与 lim f (x) 存在，则函数 f (x)
xa
xb
在(a , b)内有界.
【详解】当 x 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 lim f (x) sin 3 ， lim f (x) sin 2 ，
【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. 完全类似的例题见《数学复习指南》P130 例 5.8，《数学题型集粹与练习题集》P70 例 5.4.
(12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必须
(A) 当| A | a(a 0) 时, | B | a . (B) 当| A | a(a 0) 时, | B | a .
2
(6) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{X
DX }
1
.
e
【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】
由于 DX
1 λ2
,
X 的分布函数为
1 eλx , x 0, F(x)
0, x 0.
故
P{X DX } 1 P{X DX } 1 P{X 1} 1 F (1 ) 1 .
至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f (x0 ) 0 ；
另外，
f (a) lim
xa
f (x) f (a) xa
0 ，由极限的保号性，至少存在一点 x0 (a,b)
使得
f (x0) f (a) x0 a
0 ，即
2004考研数二真题及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x =.(2) 设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为.(3)1+∞=⎰.(4) 设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂.(5) 微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为.(6) 设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E是单位矩阵, 则B =.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰,2x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( )(A),,.αβγ (B),,.αγβ(C),,.βαγ (D),,.βγα (8) 设()(1)f x x x =-, 则 ( )(A) 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B) 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C) 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(D) 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.(9) 22lim ln(1)n n→∞+ ( )(A)221ln xdx ⎰. (B)212ln xdx ⎰.(C)212ln(1)x dx +⎰. (D)221ln(1)x dx +⎰(10) 设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 ( )(A)()f x 在(0,)δ内单调增加. (B)()f x 在(,0)δ-内单调减小. (C)对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. (D)对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.(11) 微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 ( )(A)2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. (B)2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. (C)2sin y ax bx c A x *=+++. (D)2cos y ax bx c A x *=+++(12) 设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()D f xy dxdy ⎰⎰等于 ( )(A)11()dx f xy dy -⎰⎰. (B)22()dy f xy dx ⎰⎰.(C)2sin 2(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. (D)2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰(13) 设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为 ( )(A)010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B)010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (C)010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (D)011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(14) 设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有 ( )(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(16)(本题满分10分)设函数()f x 在(,-∞+∞)上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(I)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (II)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.(17)(本题满分11分)设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(I)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (II)求()f x 的值域.(18)(本题满分12分)曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(I)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.(19)(本题满分12分)设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-.(20)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注：kg 表示千克,/km h 表示千米/小时)(21)(本题满分10分)设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂.(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解(23)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】0.【详解】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点. 对不同的x , 先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.由2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+，显然当0x =时,()0f x =；当0x ≠时, 2(1)()lim 1n n x f x nx →∞-=+22211(1)lim(1)lim 11lim n n n x xx n n x x x n n →∞→∞→∞--===⎛⎫++ ⎪⎝⎭1x =, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠，故 0x =为()f x 的间断点.(2)【详解】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的参数方程求出二阶导数22d y dx , 再由220d ydx <确定x 的取值范围. ()323133dy t t t dt '=-+=-，()323133dxt t t dt'=++=+ 所以 2222331331dy dy dt t t dx dx dt t t --===++221111t t +--=+2211t =-+ 222221113(1)d y d dy dt dx dt dx dx t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()222413(1)1t t t =⋅++2343(1)t t =+, 令220d y dx <(或220d y dx≤)，即23403(1)t t <+(或23403(1)tt ≤+) ⇒0t <()0t ≤或 又331x t t =++， 2330x t '=+>，所以()x t 单调增, 当0t =时，1x =，所以当0t <时()()01x t x <=(或当0t ≤时，()()01x t x ≤=)，即(,1)x ∈-∞(或(,1]x ∈-∞)时，曲线凸(3)【答案】2π. 【详解】利用变量代换法可得所求的广义积分值. 方法1：作积分变量变换，令sec x t =，则2221sec 1tan x t t -=-=，sec sec tan dx d t t tdt ==，:02t π→，代入原式：22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰.方法2：令1x t =，则211dx d dt t t ==-，:10t →，代入原式：1120111)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰.(4)【答案】2.【详解】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 方法1：复合函数求偏导，在 232x zz ey -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z ze x x-∂∂=-∂∂, 23(3)2x z z z e y y -∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x z x z z e x e--∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 所以 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+ 方法2：令23(,,)20x zF x y z ey z -=+-=，则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 所以2323232322(13)13x z x z x z x zz e e FFx z x e e ----∂⋅∂∂=-=-=∂∂∂-++, 232322(13)13x z x z z FFy z y e e--∂∂∂=-=-=∂∂∂-++, 从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+ 方法3：利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x z x z e dx dy e dz --=+-即2323(13)22x zx zedz edx dy --+=+，得232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---=+++所以 2323213x z x z z e x e --∂=∂+, 23213x zz y e -∂=∂+从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+(5)【答案】315y x =+【详解】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解. 方法1：原方程变形为21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程 102dy y dx x-= 的通解:分离变量：12dy dx y x=两边积分得： 1ln ln ln 2y x c =+ y ⇒=用常数变易法，设(y c x =则((y c x c x ''=，代入21122dy y x dx x -=，得211(((22c x c x c x x x'-=，即321()2c x x '=, 积分得352211()25c x x dx x C ==+⎰,于是非齐次方程的通解为：53211()55y x C x =+=又由于165x y==代入通解，得316155= 1C ⇒=,故所求特解为 315y x =.方法2：原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式：()()()()()P x dx P x dx P x dx f x Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰这里()()211,22P x Q x x x =- =，代入上式得：1122212dx dx x x y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 由于方程0x =处方程无定义，所以解的存在区间内不能含有点0x =.因此解的存在区间要么为0x >的某区间，要么为0x <的某区间. 现在初值给在1x =处，所以0x >，于是11ln ln22212x x y ex e dx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎥⎦⎦⎰再6(1)15y C =⇒=, 从而特解为315y x =.(6) 【答案】91 【详解】方法1：已知等式两边同时右乘A ，得**2ABA A BA A A =+，由伴随矩阵的运算规律：**A A AA A E ==，有2AB A B A A =+，而210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=，于是有 A B AB +=63，移项、合并有 A B E A =-)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(36)363A E B A E B A -=-==，而 36A E -21010031206010001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦630600030360060300003006003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 3303(1)(3)(3)3330+=--=-⨯⨯27=，故所求行列式为B 33627A A E ==-19= 方法2：由题设条件**2ABA BA E =+，得 **2ABA BA -=*(2)A E BA E -=由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有 **(2)21A E BA A E B A E -=-==其中210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=；由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则 1n A A-*=.所以，312A AA -*===9 ； 又 0102100001A E -=1210(1)01+=-=1. 故1192B A E A*==-.二、选择题 (7)【答案】 (B) 【详解】方法1：202200tan 2lim limlim 0cos cos x xx x x x xxt dtβα+++→→→⋅= =⎰⎰洛必达，则β是α的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又233000lim lim lim x x x x x t dtγβ+++→→→= ⎰⎰洛必达201lim 4x x x +→=∞等价无穷小替换， 可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 方法2：用kx (当0x →时)去比较.221000cos cos limlimlim ,xkkk x x x t dt x xxkxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，有2200lim cos cos lim lim 1lim x x x x t txx x α++++→→→→===，所以(当+→0x 时)α与x 同阶.211300000tan tan 222lim limlim lim lim x k k k k k x x x x x x x x x x x kx kx kx β+++++---→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =, 有3320002tan 2tan 2lim lim lim 333x x x x x x x x β+++-→→→===， 所以(当+→0x 时)β与3x 同阶.3131322221110000sin lim limlim lim lim ,222kkk k k x x x x x t dt x x x x xx x kx kx kxγ+++++-----→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取2k =, 有22101lim lim 224x x x x x γ++-→→==⋅， 所以(当+→0x 时)γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选(B).(8)【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.方法2：写出()y f x =的分段表达式： ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,从而()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩, ()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,()00lim ()lim 1210x x f x x ++→→'=-=>，所以01x <<时，()f x 单调增， ()0lim ()lim 1210x x f x x --→→'=-+=-<，所以10x -<≤时，()f x 单调减， 所以0x =为极小值点.当10x -<<时,()20f x ''=>，()f x 为凹函数； 当10x >>时,()20f x ''=-<，()f x 为凸函数, 于是(0,0)为拐点.(9)【答案】 By【详解】由对数性质，lim ln (1)n n →∞+212lim ln (1)(1)nn nn n n →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1)ln(1)ln(1n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1nn i i n n →∞==+∑102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰(10)【答案】 (C)【详解】函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f .即当)0,(δ-∈x 时，0x <，有()(0)f x f <；而当),0(δ∈x 时，0x >有()(0)f x f >.(11)【答案】A【详解】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 则特征根为 i λ=±,对2021(1)y y x e x ''+=+=+为()()x m f x e P x λ=型，其中()20,1m P x x λ= =+，因0不是特征根, 从而其特解形式可设为2021()y ax bx c e ax bx c *=++=++对 sin y y x ''+=, 为()()()cos sin x l n f x e P x x P x x λωω=+⎡⎤⎣⎦型，其中0λ=，()()0,1l n P x P x ω=1,= =，因0i i i λω+=+=为特征根, 从而其特解形式可设为2(sin cos )y x A x B x *=+由叠加原理，故方程 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++(12)【答案】D【详解】由{}22(,)2D x y x y y =+≤，则积分区域是以()0,1 为圆心，1为半径的圆及其内部， 积分区域见右图.在直角坐标系下, 先x 后y ，x ≤≤02y ≤≤则应是20()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰先y 后x ，由()2211x y +-≤1111y x ⇒≤≤+≤≤，则应是1111()()Df xy dxdy dx f xy dy -=⎰⎰⎰⎰故应排除[],[]A B .在极坐标系下, cos ,sin x r y r θθ== ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰, 故应选D.或直接根据极坐标下，其面积元素为rdrd θ，则可排除C(13)【答案】(D)【详解】由题设，将A 的第1列与第2列交换，即12010100001AE A B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将B 的第2列加到第3列，即100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D).(14)【答案】(A)【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为n m ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，由0AB =知，()()r A r B n +≤，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数因A 为非零矩阵，故()1r A ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r B n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.因B 为非零矩阵，故()1r B ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r A n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.故应选(A).方法2：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，将B 按列分块，由0AB =得，[]12,,,0,0,1,2,,.s i AB A A i s ββββ====因B 是非零矩阵，故存在0i β≠，使得0i A β=. 即齐次线性方程组0Ax =有非零解. 由齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件()r A n <, 知()r A n <. 所以A 的列向量组线性相关.又()0T T TAB B A ==，将TA 按列分块，得12[,,,]0,0,1,2,,.T T T T TTT T m i B A B B i m αααα====因A 是非零矩阵，故存在0T i α≠，使得0T Ti B α=，即齐次线性方程组0Bx =有非零解. 由齐次线性方程组0Bx =有非零解的充要条件，知TB 的列向量组线性相关，由TB 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 方法3：设 (),i j m n A a ⨯=()i j n s B b ⨯=, 将A 按列分块，记 ()12n A A A A =由0AB =⇒()11121212221212s s n n n ns b b b b b b A A A b b b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎝⎭()111111,,0n n s ns n b A b A b A b A =++++= (1)由于0B ≠, 所以至少有一个 0i j b ≠(1,1i n j s ≤≤≤≤), 又由(1)知,11220j j i j i nj n b A b A b A b A +++++=, 所以12,,,m A A A 线性相关. 即A 的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量12,,,n m R ααα∈，有m 个不全为零的数12,,,m k k k R ∈，使11220m m k k k ααα++=成立，则称12,,,m ααα线性相关.)又将B 按行分块，记 12n B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 同样，0AB =⇒11121121222212n n m m mn n a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭111122121122221122n n n n m m mn n a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭0= 由于0A ≠,则至少存在一个0i j a ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 使11220i i i j j in n a B a B a B a B ++++=,由向量组线性相关的定义知，12,,,m B B B 线性相关, 即B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法4：用排除法.取满足题设条件的,A B .取001000,10010001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有00100100,10001AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 的行向量组，列向量组均线性相关，但B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.又取110100,00000100A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有1101000000100AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).三、解答题.(15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【答案】16-【详解】此极限属于型未定式.可利用洛必达法则,并结合无穷小代换求解.方法1： 2cos 2cos ln ln 332cos 3xxx x x x ee++⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫== ⎪⎝⎭原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=1x e x -302cos ln 3limx x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3limx x x →+-=（）20(ln 2cos ln 3)lim()x x x →'+-'（）洛01sin 2cos lim2x x x x →⋅-+（）=011sin lim 22cos x x x x →=-⋅+ 0011sin 11lim lim 122cos 23x x x x x →→=-⋅=-⋅⋅+16=-方法2：原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=1x e x -202cos ln 3limx x x →+⎛⎫⎪⎝⎭20cos 1ln 3limx x x→-+=（1）()ln 1x x +2200cos 11cos limlim 33x x x xx x→→--=- 222021cos lim 23x x x xx → - -16=-.(16)【详解】(I)当20x -≤<,则022x ≤+<,由题设：区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-知,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4]k x x =++-2(2)(4)k x x x =++(2)(4)kx x x =++.(II) 由(I)知：[][)2(4),0,2()(2)(4),2,0x x x f x kx x x x ⎧- ∈⎪=⎨++ ∈-⎪⎩，所以2(0)0(04)0f =⋅-=，按函数在某点可导的充要条件：在这点的左右导数存在且相等. 所以根据导数的定义求()f x 在0x =的左右导数，使其相等，求出参数k .200()(0)(4)0(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→---'===--00()(0)(2)(4)0(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++-'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.(17)【详解】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.(I) 要证()f x 是以π为周期的周期函数，即证：()()f x f x π=+因为2()sin x xf x t dt π+=⎰，所以()f x π+()()2sin x x t dt πππ+++=⎰32sin x x t dt ππ++=⎰利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性，设t u π=+, 因为3:2t x x ππ+→+，所以:2u x x π→+，则有()f x π+=2sin()()x xu d u πππ+++⎰()sin sin u uπ+=-2sin x xu du π+⎰()f x =,故()f x 是以π为周期的周期函数.(II) 因为()f x 是以π为周期的周期函数, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 又因()f x 为积分函数，则一定连续，根据有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值，所以()f x 的值域就是区间[min (),max ()]f x f x .令 ()sin()sin cos sin 02f x x x x x π'=+-=-=, 在区间[0,]π内求得驻点，14x π=, 234x π=, 且334444()sin sin 0sin 4f t dt t t dt πππππ= > =⎰⎰554433443()sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=-⎰⎰⎰又 2200(0)sin sin 1f t dt t dt ππ===⎰⎰, 3322()sin (sin )1f t dt t dt πππππ==-=⎰⎰,比较极值点与两个端点处的值，知()f x的最小值是2, 故()f x 的值域是[2.(18)【详解】(I) 旋转体体积：2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰旋转体的侧面积：0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰022x x t e eπ-⎛+= ⎝⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰022x x t e e π-⎛+= ⎝⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰2022x x t e e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 所以 ()()S t V t 2020222x x tx x t e e dx e e dx ππ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰2=. (Ⅱ) 在x t =处旋转体的底面积为2()x tF t y π==22x x x te e π-=⎛⎫+= ⎪⎝⎭22t t e e π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以20222()lim lim ()2xxt t t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰20222=lim 2x x t t t t e e dx e e -→+∞-'⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰222lim 222t t t t t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lim t t t t t e e e e --→+∞+=-221=lim 1t t t e e --→+∞+-1=(19) 【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数()2ln f x x =在()2[,],a b e e⊂上连续，且在(),a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数()2ln f x x =在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()()()22222ln ln ln ln ,b a b a b a e a b e ξξξξ'-=-=- <<<<下证：22ln 4eξξ>. 设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(tt t -='ϕ，当t e >时，1ln 1ln 0t e -<-= ，即,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，又因为2e ξ<，所以)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，得22ln 4e ξξ> 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 方法2：利用单调性， 设x ex x 224ln )(-=ϕ，证()x ϕ在区间()2,e e 内严格单调增即可. 24ln 2)(e x x x -='ϕ，(222222ln 444()20e e e e e e ϕ'=-=-=，)2ln 12)(xx x -=''ϕ, 当x e >时，1ln 1ln 0x e -<-=，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，2()()0x e ϕϕ''>=，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即a e a b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 方法3：设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-，21ln ()2x x x ϕ-''=, ⇒x e >时, 1ln 1ln 0x e -<-=，得()0x ϕ''<，⇒()x ϕ'在2(,)e e 上单调减少, 从而当2e x e <<时, 22244()()0x e e eϕϕ''>=-=，⇒()x ϕ在2(,)e e 上单调增加. 从而当2e a x b e <<≤<时, ()()0x a ϕϕ>=. ⇒()0b ϕ>，即2224ln ln ()b a b a e ->-.(20) 【详解】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 方法1：由题设，飞机质量9000m kg =，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ，速度为()v t ，则 0)0(,)0(0==x v v .根据牛顿第二定律，得kv dt dv m-=. 又dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=.由以上两式得dv k m dx -=，积分得.)(C v kmt x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，所以0(0)0.m x v C k =-+= 故得0v kmC =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时，).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 方法2：根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm-=, 分离变量：dv k dt v m =-，两端积分得：1ln kv t C m=-+， 通解：t mk Cev -=，代入初始条件00v vt ==，解得0v C =，故.)(0t mk ev t v -=飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v →，对应地t →+∞. 于是由dx vdt =，有0000() 1.05().k k t t mmmv mv x v t dt v edt ekm kk+∞--+∞+∞===-==⎰⎰ 或由()0kt mdx v t v e dt-==，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→方法3：由kv dtdv m -= ，dxv dt =，化为x 对t 的求导，得dt dx k dt x d m -=22, 变形为 022=+dt dxm k dtx d ，0(0)(0),(0)0v x v x '=== 其特征方程为 02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ，故.21t m ke C C x -+=由 2000000,kt m t t t t kC dxx v e v dt m -=======-=，得,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0t m ke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→ 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .(21)【详解】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.令 22,xyu x y v e =-=，则22(,)(,)xyz f x y e f u v =-=， 所以2,2u u x y x y ∂∂==-∂∂，,xy xy v v ye xe x y∂∂= =∂∂ 所以z x ∂=∂f u f vu x v x∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy x f ye f ''=+，z y ∂=∂f u f v u y v y ∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy y f xe f ''=-+ 2zx y ∂=∂∂()122xy z y f xe f x y x⎛⎫∂∂∂''=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭11122221222xy xy xy u v u v y f f e f xye f xe f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()1112222122222xy xy xy xy xy y xf ye f e f xye f xe xf ye f ''''''''''=-+++++ 2221112222=42()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''-+-++++(22) 【详解】方法1：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1()(2,)i i i n ⨯-+=行行11112000a a a B naa +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对||B 是否为零进行讨论：当0a =时，()1r A n =<，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是()r A n <. 故此方程组有非零解，把0a =代入原方程组，得其同解方程组为,021=+++n x x x ()*此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量. 选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式，得基础解系,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有1111210001a B n+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)12,3i i n ⨯-+=行()(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程组也有非零解，把2)1(+-=n n a 代入原方程组，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.方法2：计算方程组的系数行列式：11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦000111100022220aa a nnnn ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵加法 aE =+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111aE Q ∆ +， 下面求矩阵Q 的特征值：11112222E Q nnn n λλλλ---------=----1111201(-)(2,3,,)00i i i n n λλλλλ-----⨯+=-行行(1)1112()1000(2,3,,)n n i i i n λλλ+----⨯+=列列1(1)2n n n λλ-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则Q 的特征值2)1(,0,,0+n n ，由性质：若Ax x λ=，则()(),m mkA x k x A x x λλ==，因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故，A 的特征值为(1),,,2n n a a a ++, 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得 A 行列式.)2)1((1-++=n a n n a A 由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是n 阶矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是0=A . 可知，当0=A ，即0a =或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11112222A nnnn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1)(2,)i i i n ⨯-+=行（行1111000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，. 故方程组的同解方程组为,021=+++n x x x此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式， 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时， 1111210001aB n+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)1(2,3)i i n ⨯-+=行(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即 0000210001n⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量. 选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.(23) 【详解】A 的特征多项式为12314315E A aλλλλ---=----2(2)021114315aλλλλ---⨯-+----行（）行111(2)14315a λλλ------提出行公因数111(1)2(2)03315a λλλ-⨯-+-----行行 11012(2)033015a λλλ-+-----行行33(2)15a λλλ-=----(2)[(3)(5)3(1)]a λλλ=---++2(2)(8183).a λλλ=--++已知A 有一个二重特征值，有两种情况，(1)2=λ就是二重特征值，(2)若2=λ不是二重根，则28183a λλ-++是一个完全平方(1) 若2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得2a =-. 由E A λ-2(2)(8183(2))λλλ=--++⨯-2(2)(812)λλλ=--+2(2)(6)0λλ=--=求得A 的特征值为2,2,6, 由1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1231(-1)2,000113000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行倍加到行行的倍加到行，知()21E A -=秩，故2=λ对应的线性无关的特征向量的个数为312n r -=-=，等于2=λ的重数. 由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 从而A 可相似对角化.(2) 若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得 .32-=a 当32-=a 时，由E A λ-=22(2)(8183())3λλλ=--++⨯-2(2)(816)λλλ=--+2(2)(4)0λλ=--=知A 的特征值为2，4，4，由32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1133⨯+行行323103000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知()42E A -=秩，故4=λ对应的线性无关的特征向量有321n r -=-=, 不等于4=λ的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 知A 不可相似对角化.。
2004—数二真题、标准答案及解析
2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n x f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z z xy∂∂+=∂∂______.（5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 2tan xβ=⎰, 3t d t γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）lim lnn →∞（A ）221ln x dx ⎰. （B ）212ln x dx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >. []（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）202()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 20(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 2(sin cos )d f r r d r πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. []（14）设A ,B 为满足0A B =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13xx x x →⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. （17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分） 曲线2xxe ey -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,zzzx y x y∂∂∂∂∂∂∂.（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分） 设矩阵12314315a-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2004年考硕数学（二）真题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n x f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()limlim11n n x n x x nf x nx xxx n →∞→∞--====++,所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 01lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）. 【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的223()()()()(())d y y t x t x t y t dxx t ''''''-=' 求出二阶导数,再由220d y dx< 确定x 的取值范围.【详解】 22222331213311dydyt t dt dx dx t t t dt--====-+++, 222223214113(1)3(1)dyd d y d tt d t d x d xd xt t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令220d y dx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞.( 0t =时，1x =⇒x ∈(,1]-∞时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）1+∞=⎰2π.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】221sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰.【详解2】112111)arcsin 2dt ttπ+∞-===⎰⎰.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法. （4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z z x y∂∂+=∂∂2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 232x z z e y -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x zz z exx-∂∂=-∂∂,23(3)2x zz z ey y-∂∂=-+∂∂,从而 2323213x z x zz ex e--∂=∂+,23213x zz ye-∂=∂+所以 2323132213x z x zz z exye--∂∂++=⋅=∂∂+【详解2】令 23(,,)20x zF x y z e y z -=+-=则232x zF ex-∂=⋅∂,2F y∂=∂,23(3)1x zF e z-∂=--∂2323232322(13)13x zx z x zx zFz eexF xe ez----∂∂⋅∂∴=-=-=∂∂-++∂,232322(13)13x zx zFz yF yeez--∂∂∂=-=-=∂∂-++∂,从而 232323313221313x z x z x z zze x y e e ---⎛⎫∂∂+=+= ⎪∂∂++⎝⎭【详解3】利用全微分公式,得23(23)2x zdz edx dz dy -=-+2323223x z x z e dx dy e dz --=+- 2323(13)22x z x z e dz e dx dy --+=+232323221313x z x zx zedz dx dy e e---∴=+++即2323213x z x zz exe --∂=∂+,23213x zz ye-∂=∂+从而 32z z xy∂∂+=∂∂【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.（5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y==的特解为315y x =+.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 21122dy y x dx x-=,先求齐次方程102dy y dx x-= 的通解:12dy dx yx=积分得 1ln ln ln 2y x c =+y ⇒=设(y c x=,代入方程得2111(((22c x c x c x xx'-=从而321()2c x x'=,积分得352211()25c x x dx C x C=+=+⎰,于是非齐次方程的通解为53211)55y x C C x=+=1615xy C==⇒=,故所求通解为315y x=+.【详解2】原方程变形为21122dyy xdx x-=,由一阶线性方程通解公式得1122212dx dxx xy e x e dx C-⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰11ln ln22212x xe x e dx C-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C⎤⎤=+=+⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎰6(1)15y C=⇒=,从而所求的解为315y x=.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.（6）设矩阵210120001A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭, 矩阵B满足2ABA BA E**=+, 其中A*为A的伴随矩阵, E是单位矩阵, 则B=19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值. 【详解1】 2ABA BA E **=+ 2A B A B A E**⇔-=, (2)A E B A E*⇔-=, 21A E B A E *∴-==, 221111010(1)(1)392100001B A EAA*====-⋅---. 【详解2】由1A A A *-=,得 11122ABA BA E AB A AB A AAA**---=+⇒=+2A A B A B A⇒=+ (2)A A E B A ⇒-= 32AA EB A ⇒-=21192B AA E∴==-【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 2tan xβ=⎰, 3t d t γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα[]B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】302limlim cos x x x t dtt dtγα++→→=⎰⎰3lim cos x x+→=320limlim 02x x x ++→→===,即 o ()γα=.又2tanlim lim x x x βγ++→→=232tan 22lim lim 011sin 2x x x xx xx ++→→⋅===,即 o ()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、, 故选（B ）.【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题. （8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]C【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论0x =两方()f x ', ()f x ''的符号.【详解】 ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,从而10x -<<时, ()f x 凹, 10x >>时, ()f x 凸, 于是(0,0)为拐点. 又(0)0f =, 01x ≠、时, ()0f x >, 从而0x =为极小值点.所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线()y f x =的拐点, 故选（C ）.【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目 （9）lim lnn →∞（A ）221ln x dx ⎰. （B ）212ln x dx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】lim lnn →∞212lim ln (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212l i m l n (1)l n (1)(1)n n n nnn →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11l i m 2l n (1)nn i i n n→∞==+∑12l n (1)x d x=+⎰ 2112l n x t t d t+=⎰ 212l n x d x=⎰ 故选（B ）.【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一.（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数()f x 在0x =附近的局部性质. 【详解】由导数的定义知 0()(0)(0)lim00x f x f f x →-'=>-,由极限的性质, 0δ∃>, 使x δ<时, 有()(0)0f x f x->即0x δ>>时, ()(0)f x f >， 0x δ-<<时, ()(0)f x f <, 故选（C ）.【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质. （11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++ []A【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式. 【详解】对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 特征根为 i λ=±,对 2021(1)y y x e x ''+=+=+ 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为21y a x b x c*=++ 对 sin ()ixm y y x I e ''+==, 因i 为特征根, 从而其特解形式可设为2(s i n c o s )y x A x B x *=+从而 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为xy12(s i n c o s )y a x b x c x A x B x*=++++ 【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题，此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式.（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）202()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 20(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 2(sin cos )d f r r d r πθθθθ⎰⎰[]D【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,20()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰1111()dx f xy dy -=⎰⎰故应排除（A ）、（B ）. 在极坐标系下, cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ ,2sin 2()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰,故应选（D ）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. []D【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 010100001B A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100011001C B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 01010010001100101C A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭011100001A AQ ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 从而 011100001Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,故选（D ）. 【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系,抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应的初等矩阵来实现.（14）设A ,B 为满足0A B =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]A【分析】将A 写成行矩阵, 可讨论A 列向量组的线性相关性.将B 写成列矩阵, 可讨论B 行向量组的线性相关性.【详解】设 (),i j l m A a ⨯=()i j m n B b ⨯=, 记 ()12m A A A A =0A B = ⇒()11121212221212n n m m m m n b b bb b b A A A b b b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()1111110mmn m n mb A b A b A b A =++++=（1） 由于0B ≠, 所以至少有一 0i j b ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 从而由（1）知, 112210j j i j i m m b A b A b A b A +++++= , 于是 12,,,m A A A 线性相关. 又记 12mB B B B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则0A B = ⇒11121121222212m m l l l m ma a aB a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111221211222211220m m m ml l l m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B+++⎛⎫⎪+++ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭由于0A ≠,则至少存在一 0i j a ≠(1,1i l j m ≤≤≤≤),使 11220i i i j j im m a B a B a B a B ++++= , 从而 12,,,m B B B 线性相关, 故应选（A ）.【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性，此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解. 三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13xx x x →⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【分析】此极限属于00型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.【详解1】 原式2cos ln 331limx x x e x+⎛⎫⎪⎝⎭→-=202c o s ln 3lim x xx→+⎛⎫ ⎪⎝⎭= 2l n 2c o s l n 3l i mx x x→+-=（）01s i n 2c o s l i m 2x x x x →⋅-+=（）011s i n1l i m 22c o s 6x x x x→=-⋅=-+【详解2】 原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202c o s ln 3lim x xx→+⎛⎫ ⎪⎝⎭= 20c o s 1ln 3limx x x→-+=（1） 2c o s 11l i m36x x x →-==- 【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合,以简化运算.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x k x x x =++-=++.(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.2()(0)(4)(0)limlim 40x x f x f x x f x x+++→→--'===--()(0)(2)(4)(0)limlim 80x x f x f k x x x f k x x---→→-++'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-.即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性. （17）（本题满分11分）设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (Ⅱ)求()f x 的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.【详解】 (Ⅰ) 32()sin x x f x t dt πππ+++=⎰,设t u π=+, 则有22()sin()sin ()x x xxf x u du u du f x ππππ+++=+==⎰⎰,故()f x 是以π为周期的周期函数.(Ⅱ)因为sin x 在(,)-∞+∞上连续且周期为π, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 因为()s i n ()s i n c o s s i n2f x x x x x π'=+-=-, 令()0f x '=, 得14x π=, 234x π=, 且344()s i n 24f t d t πππ==⎰554433443()sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=-⎰⎰⎰,又 20(0)sin 1f t dt π==⎰,32()(sin )1f t d t πππ=-=⎰,∴()f x的最小值是2-故()f x的值域是[2-.【评注】此题的讨论分两部分:(1)证明定积分等式,常用的方法是变量代换.(2)求变上限积分的最值, 其方法与一般函数的最值相同.（18）（本题满分12分） 曲线2xxe ey -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t 的函数,然后计算它们之间的关系. 【详解】 (Ⅰ)0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ 2022x x te e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 220()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰, ()2()S t V t ∴=.(Ⅱ)22()2t t x te e F t yππ-=⎛⎫+== ⎪⎝⎭,20222()limlim()2x xtt t t te e dx S t F t e eππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰222l i m222t t t t t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l i m1tt ttt e e e e--→+∞+==- 【评注】在 t 固定时,此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型,考点是定积分几何应用的公式和罗必塔求与变限积分有关的极限问题.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-.【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设224()ln x x x eϕ=-, 则 2ln 4()2xx x e ϕ'=-21l n ()2xx xϕ-''=,所以当x e >时, ()0x ϕ''<, 故()x ϕ'单调减小, 从而当2e x e <<时, 22244()()0x e eeϕϕ''>=-=,即当2e x e <<时, ()x ϕ单调增加.因此, 当2e a b e <<<时, ()()b a ϕϕ>, 即 222244ln ln b b a a ee->-故 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证2】设2224()ln ln ()x x a x a e ϕ=---, 则2ln 4()2x x x eϕ'=-21l n ()2xx x ϕ-''=,∴x e >时, ()0x ϕ''<x ϕ'⇒ , 从而当2e x e <<时,22244()()0x e eeϕϕ''>=-=,2e x e ⇒<<时, ()x ϕ单调增加.2e a b e ⇒<<<时, ()()0x a ϕϕ>=.令x b =有()0b ϕ>即 2224ln ln ()b a b a e->-.【详证3】证 对函数2ln x 在[,]a b 上应用拉格朗日定理, 得 222ln ln ln ()b a b a ξξ->-, a b ξ<<.设ln ()t t tϕ=, 则21ln ()t t tϕ-'=,当t e >时, ()0t ϕ'<, 所以()t ϕ单调减小, 从而2()()e ϕξϕ>, 即222ln ln 2e eeξξ>=,故 2224ln ln ()b a b a e->-【评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定理证明,所以常用的方法是将文字不等式化为函数不等式,然后借助函数不等式的证明方法加以证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量9000m kg =,着陆时的水平速度0700/v km h =.从飞机接触跑道开始记时,设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ,速度为()v t .根据牛顿第二定律,得 dv m kv dt =-. 又dv dv dx dvvdtdx dt dx =⋅=, m dx dv k ∴=-, 积分得 ()m x t v C k =-+,由于0(0)v v =,(0)0x =, 故得0m C v k=, 从而0()(())m x t v v t k=-. 当()0v t →时, 069000700() 1.05()6.010m v x t km k⨯→==⨯.所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【详解2】根据牛顿第二定律,得 dv m kv dt=-. 所以dv k dt vm=-,两边积分得 k tm v C e -=, 代入初始条件 00t vv ==, 得0C v =,0()k tm v t v e -∴=,故飞机滑行的最长距离为 000() 1.05()k tmmv mv x v t dt ekm kk+∞-+∞==-==⎰.【详解3】根据牛顿第二定律,得 22d x dx mkdtdt=-,220d x k dx dtm dt+=,其特征方程为 20k r r m+=,解得10r =, 2k r m=-，故 12k tm x C C e -=+，由(0)0x =, 200(0)k tm t t kC dx v ev dtm-====-=，得012m v C C k=-=，0()(1)k tmmv x t ek-∴=-.当t →+∞时,069000700() 1.05()6.010m v x t km k⨯→==⨯.所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程,并进一步求解. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. 【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算. 【详解】122xyz x f ye f x∂''=+∂,122xyz y f xe f y∂''=-+∂,21112222[(2)]x y x yx yz x f y f x e e fx y e f x y∂''''''=⋅-+⋅++∂∂2122[(2)]x y x y y e f y f x e ''''+⋅-+⋅ 222111222242()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''=-+-++++. 【评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222220033333004444400a a a a a B a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭当0a =时, ()14r A =<, 故方程组有非零解, 其同解方程组为 12340x x x x +++=. 由此得基础解系为1(1,1,0,0)T η=-,2(1,0,1,0)Tη=-, 3(1,0,0,1)Tη=-,于是所求方程组的通解为 11223x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时,1111100002100210030103010401401aa B ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 当10a =-时, ()34r A =<, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为 12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为(1,2,3,4)Tη=,所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式311112222(10)33334444a a A a a a a +⎛⎫ ⎪+⎪==+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 当0A =, 即0a =或10a =-时, 方程组有非零解. 当0a =时, 对系数矩阵A 作初等行变换, 有1111111122220000333300004444000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为12340x x x x +++=. 其基础解系为1(1,1,0,0)T η=-,2(1,0,1,0)Tη=-, 3(1,0,0,1)Tη=-,于是所求方程组的通解为 11223x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时, 对A 作初等行变换, 有 91119111282220100033733001004446400010A --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭911100021002100301030104014001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 故方程组的同解方程组为 2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为(1,2,3,4)Tη=,所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数【评注】解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应的方程组求解.（23）（本题满分9分） 设矩阵12314315a-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化. 【分析】由矩阵特征根的定义确定a 的值，由线性无关特征向量的个数与E A λ-秩之间的关系确定A 是否可对角化.【详解】A 的特征多项式为1232201431431515aaλλλλλλλ-----=-------1101(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++. 若2λ=是特征方程的二重根, 则有22161830a -++=, 解得2a =-. 当2a =-时, A 的特征值为2, 2, 6, 矩阵1232123123E A -⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为1, 故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个, 从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根, 则28183a λλ-++为完全平方,从而18316a +=, 解得23a =-.当23a =-时, A 的特征值为2, 4, 4, 矩阵32321032113E A ⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭的秩为2, 故4λ=对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而A 不可相似对角化.【评注】此题的考点是由特征根及重数的定义确定a 的值, 对a 的取值讨论对应矩阵的特征根及对应E A λ-的秩, 进而由E A λ-的秩与线性无关特征向量的个数关系确定A 是否可相似对角化.。
2004年数二真题及解析
2004年数学（二）真题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围.【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dxt t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭,令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞.(0t =时，1x =⇒x ∈(,1]-∞时，曲线凸.) 【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）1+∞=⎰2π.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰.【详解2】11201101)arcsin 2dt dt tt π+∞-===⎰⎰⎰.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法.（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 232x zz e y -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z z e x x-∂∂=-∂∂,23(3)2x z z ze y y-∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x zx z z e x e--∂=∂+,23213x z z y e-∂=∂+所以 2323132213x zx zz z e x y e--∂∂++=⋅=∂∂+ 【详解2】令 23(,,)20x zF x y z e y z -=+-=则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 2323232322(13)13x z x zx z x z Fz e e x F x e ez----∂∂⋅∂∴=-=-=∂∂-++∂, 232322(13)13x z x z F z y F y e ez--∂∂∂=-=-=∂∂-++∂, 从而 232323313221313x z x zx z z z e x y ee ---⎛⎫∂∂+=+= ⎪∂∂++⎝⎭【详解3】利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x zx z e dx dy e dz --=+-2323(13)22x zx z edz e dx dy --+=+232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---∴=+++ 即 2323213x z x z z e x e--∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 从而 32z zx y∂∂+=∂∂ 【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.（5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为315y x =.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程102dy y dx x-= 的通解:12dy dx y x=积分得 1ln ln ln 2y x c =+ y ⇒=设(y c x =为非齐次方程的通解,代入方程得211(((22c x c x c x x x '-= 从而 321()2c x x '=,积分得 352211()25c x x dx C x C =+=+⎰,于是非齐次方程的通解为53211()55y x C x =+=1615x yC ==⇒=,故所求通解为 315y x =.【详解2】原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性方程通解公式得1122212dx x xy e x edx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 11ln ln 22212x x ex e dx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎢⎥⎦⎦⎰6(1)15y C =⇒=,从而所求的解为315y x =.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值. 【详解1】 2ABA BA E **=+ 2ABA BA E **⇔-=,(2)A E BA E *⇔-=,21A E B A E *∴-==, 221111010(1)(1)392100001B A E AA *====-⋅---. 【详解2】由1A A A *-=,得 11122ABA BA E AB A A B A A AA **---=+⇒=+2A AB A B A ⇒=+ (2)A A E B A ⇒-= 32A A E B A ⇒-=21192B A A E∴==- 【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 2x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】302lim lim cos x x x t dtt dt γα++→→=⎰⎰32lim x +→= 320lim lim 02x x x x++→→===, 即o ()γα=.又 2000lim lim xx x βγ++→→=23002tan 22lim lim 01sin 2x x x x x x x ++→→⋅===, 即 o ()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、, 故选（B ）. 【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题. （8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点. []C【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论0x =两方()f x ', ()f x ''的符号.【详解】 ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,从而10x -<<时, ()f x 凹, 10x >>时, ()f x 凸, 于是(0,0)为拐点. 又(0)0f =, 01x ≠、时, ()0f x >, 从而0x =为极小值点. 所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线()y f x =的拐点, 故选（C ）.【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目 （9）lim (1)n n→∞+等于（A ）221lnxdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】 lim ln (1)n n→∞+ 212lim ln (1)(1(1)nn nn nn →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1ln(1(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1nn i i n n →∞==+∑ 102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰故选（B ）.【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一.（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. （D）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数()f x 在0x =附近的局部性质.【详解】由导数的定义知 0()(0)(0)lim00x f x f f x →-'=>-,由极限的性质, 0δ∃>, 使x δ<时, 有()(0)0f x f x->即0x δ>>时, ()(0)f x f >， 0x δ-<<时, ()(0)f x f <, 故选（C ）.【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.y（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]A【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式. 【详解】对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=,特征根为 i λ=±,对 2021(1)y y x e x ''+=+=+ 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为21y ax bx c *=++对 sin ()ix m y y x I e ''+==, 因i 为特征根, 从而其特解形式可设为2(sin cos )y x A x B x *=+从而 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题，此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式.（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰. （B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]D在直角坐标系下,20()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰1111()dx f xy dy -=⎰⎰故应排除（A ）、（B ）. 在极坐标系下, cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰,故应选（D ）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]D【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 010100001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100011001C B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,010100100011001001C A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪∴= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭011100001A AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,从而 011100001Q ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,故选（D ）.【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系,抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应的初等矩阵来实现.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. []A【分析】将A 写成行矩阵, 可讨论A 列向量组的线性相关性.将B 写成列矩阵, 可讨论B 行向量组的线性相关性.【详解】设 (),i j l m A a ⨯=()i j m n B b ⨯=, 记 ()12m A A A A = 0AB = ⇒()11121212221212n n m m m mn b b b b b b A A A bb b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()1111110m m n mn m b A b A b A b A =++++= （1）由于0B ≠, 所以至少有一 0i j b ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 从而由（1）知, 112210j j i j i m m b A b A b A b A +++++=,于是 12,,,m A A A 线性相关.又记 12m B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则0AB = ⇒11121121222212m m l l l m m a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111221211222211220m m m m l l l m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪== ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭由于0A ≠,则至少存在一 0i j a ≠(1,1i l j m ≤≤≤≤),使 11220i i i j j im m a B a B a B a B ++++=,从而 12,,,m B B B 线性相关,故应选（A ）.【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性，此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解. 【详解1】 原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3lim x x x→+-=（） 01sin 2cos lim 2x x x x →⋅-+=（）011sin 1lim22cos 6x x x x →=-⋅=-+ 【详解2】 原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20cos 1ln 3lim x x x→-+=（1） 20cos 11lim 36x x x →-==- 【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合,以简化运算.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++.(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.200()(0)(4)(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→--'===-- 00()(0)(2)(4)(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++'===-. 令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导. 【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性. （17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (Ⅱ)求()f x 的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.【详解】 (Ⅰ) 32()sin x x f x t dt πππ+++=⎰,设t u π=+, 则有22()sin()sin ()x x xxf x u du u du f x ππππ+++=+==⎰⎰,故()f x 是以π为周期的周期函数.(Ⅱ)因为sin x 在(,)-∞+∞上连续且周期为π, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 因为()sin()sin cos sin 2f x x x x x π'=+-=-,令()0f x '=, 得14x π=, 234x π=, 且344()sin 4f t dt πππ==⎰,554433443(sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=⎰⎰⎰, 又 20(0)sin 1f t dt π==⎰, 32()(sin )1f t dt πππ=-=⎰,∴()f x的最小值是2, 故()f x的值域是[2.【评注】此题的讨论分两部分:(1)证明定积分等式,常用的方法是变量代换.(2)求变上限积分的最值, 其方法与一般函数的最值相同.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t 的函数,然后计算它们之间的关系.【详解】 (Ⅰ)0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰ 2022x x te e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰, ()2()S t V t ∴=. (Ⅱ)22()2t t x te e F t yππ-=⎛⎫+== ⎪⎝⎭,20222()lim lim ()2x x tt t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰222lim 222t t tt t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭lim 1t tttt e e e e --→+∞+==- 【评注】在 t 固定时,此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型,考点是定积分几何应用的公式和罗必塔求与变限积分有关的极限问题.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. 【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设224()ln x x x e ϕ=-, 则 2ln 4()2x x x e ϕ'=-21ln ()2xx x ϕ-''=,所以当x e >时, ()0x ϕ''<, 故()x ϕ'单调减小, 从而当2e x e <<时, 22244()()0x e e eϕϕ''>=-=, 即当2e x e <<时, ()x ϕ单调增加.因此, 当2e a b e <<<时, ()()b a ϕϕ>, 即 222244ln ln b b a a e e->- 故 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证2】设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-21ln ()2xx xϕ-''=, ∴x e >时, ()0x ϕ''<()x ϕ'⇒, 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e e ϕϕ''>=-=, 2e x e ⇒<<时, ()x ϕ单调增加.2e a b e ⇒<<<时, ()()0x a ϕϕ>=.令x b =有()0b ϕ>即 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证3】证 对函数2ln x 在[,]a b 上应用拉格朗日定理, 得 222ln ln ln ()b a b a ξξ->-, a b ξ<<.设ln ()t t t ϕ=, 则21ln ()t t tϕ-'=,当t e >时, ()0t ϕ'<, 所以()t ϕ单调减小, 从而2()()e ϕξϕ>, 即222ln ln 2e e eξξ>=, 故 2224ln ln ()b a b a e ->- 【评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定理证明,所以常用的方法是将文字不等式化为函数不等式,然后借助函数不等式的证明方法加以证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量9000m kg =,着陆时的水平速度0700/v km h =.从飞机接触跑道开始记时,设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ,速度为()v t .根据牛顿第二定律,得dvm kv dt=-. 又 dv dv dx dvv dt dx dt dx=⋅=,mdx dv k ∴=-,积分得 ()mx t v C k=-+,由于0(0)v v =,(0)0x =, 故得0mC v k=, 从而0()(())mx t v v t k=-.当()0v t →时,069000700() 1.05()6.010mv x t km k ⨯→==⨯. 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【详解2】根据牛顿第二定律,得dvm kv dt =-. 所以 dv kdt v m=-,两边积分得 kt mv Ce -=,代入初始条件 00t vv ==, 得0C v =,0()k mv t v e -∴=,故飞机滑行的最长距离为 00() 1.05()k t mmv mv x v t dt ekm kk+∞-+∞==-==⎰.【详解3】根据牛顿第二定律,得22d x dxm k dt dt=-,220d x k dx dt m dt+=, 其特征方程为 20kr r m+=, 解得10r =, 2k r m=-， 故 12k mx C C e-=+，由(0)0x =, 200(0)k mt t kC dxv ev dtm-====-=，得012mv C C k=-=， 0()(1)k t m mv x t e k-∴=-.当t →+∞时,069000700() 1.05()6.010mv x t km k ⨯→==⨯. 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程,并进一步求解. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. 【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算. 【详解】122xy zx f ye f x∂''=+∂, 122xy zy f xe f y∂''=-+∂,21112222[(2)]xy xy xy zx f y f xe e f xye f x y∂''''''=⋅-+⋅++∂∂2122[(2)]xy xy ye f y f xe ''''+⋅-+⋅ 222111222242()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''=-+-++++. 【评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222220033333004444400a aa a a B a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+- ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭当0a =时, ()14r A =<, 故方程组有非零解, 其同解方程组为 12340x x x x +++=. 由此得基础解系为1(1,1,0,0)T η=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)Tη=-,于是所求方程组的通解为112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时,111110000210021003010301040014001a a B ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当10a =-时, ()34r A =<, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为(1,2,3,4)Tη=, 所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式311112222(10)33334444aa A a a a a +⎛⎫ ⎪+ ⎪==+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 当0A =, 即0a =或10a =-时, 方程组有非零解. 当0a =时, 对系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222200003333000044440000A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为12340x x x x +++=. 其基础解系为1(1,1,0,0)T η=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)Tη=-,于是所求方程组的通解为112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时, 对A 作初等行变换, 有91119111282220100033733001004446400010A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为(1,2,3,4)Tη=,所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数【评注】解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应的方程组求解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.【分析】由矩阵特征根的定义确定a 的值，由线性无关特征向量的个数与E A λ-秩之间的关系确定A 是否可对角化.【详解】A 的特征多项式为1232201431431515aaλλλλλλλ-----=-------110100(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根, 则有22161830a -++=, 解得2a =-.当2a =-时, A 的特征值为2, 2, 6, 矩阵1232123123E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为1,故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个, 从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根, 则28183a λλ-++为完全平方, 从而18316a +=, 解得23a =-. 当23a =-时, A 的特征值为2, 4, 4, 矩阵32321032113E A ⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭的秩为2,故4λ=对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而A 不可相似对角化.【评注】此题的考点是由特征根及重数的定义确定a 的值, 对a 的取值讨论对应矩阵的特征根及对应E A λ-的秩, 进而由E A λ-的秩与线性无关特征向量的个数关系确定A 是否可相似对角化.。
2004-2021年专升本高数(二)考试真题及答案
2004年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
第1题参考答案：A第2题参考答案：D第3题参考答案：D第4题第5题参考答案：C二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第6题参考答案：1第7题参考答案：0第8题参考答案：1第9题参考答案：2/x3第10题参考答案：-1第11题参考答案：0第12题参考答案：e-1第13题参考答案：1第14题参考答案：-sinx 第15题三、解答题：本大题共13个小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤.第16题第17题第18题第19题第20题第21题第22题第23题第24第25题第26题第27题第28题2005年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题参考答案：D第2题第3题参考答案：C 第4题参考答案：B 第5题参考答案：D 第6题参考答案：B 第7题第8题参考答案：A第9题参考答案：D第10题参考答案：B二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第11题参考答案：2第12题参考答案：e-3第13题参考答案：0第14题参考答案：4第15题参考答案：2第16题第17题参考答案：0第18题参考答案：1/2第19题参考答案：6第20题三、解答题：共70分。
解答应写出推理、演算步骤。
第21题第22题第23题第24题第25题第26题第27题第28题2006年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题参考答案：D 第2题参考答案：B 第3题参考答案：D 第4题参考答案：A 第5题参考答案：C第6题参考答案：C 第7题参考答案：C 第8题参考答案：A 第9题参考答案：B 第10二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
2004考研数二真题及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x =.(2) 设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为.(3)121dx x x +∞=-⎰.(4) 设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂.(5) 微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为.(6) 设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E是单位矩阵, 则B =.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 2tan x t dt β=⎰, 30sin x t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( )(A),,.αβγ (B),,.αγβ(C),,.βαγ (D),,.βγα (8) 设()(1)f x x x =-, 则 ( )(A) 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B) 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(C) 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (D) 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.(9) 22212lim ln(1)(1)(1)nn nn n n→∞+++等于 ( )(A)221ln xdx ⎰. (B)212ln xdx ⎰.(C)212ln(1)x dx +⎰. (D)221ln(1)x dx +⎰(10) 设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 ( )(A)()f x 在(0,)δ内单调增加. (B)()f x 在(,0)δ-内单调减小. (C)对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. (D)对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.(11) 微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 ( )(A)2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. (B)2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. (C)2sin y ax bx c A x *=+++. (D)2cos y ax bx c A x *=+++(12) 设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()D f xy dxdy ⎰⎰等于 ( )(A)221111()x xdx f xy dy ----⎰⎰. (B)22202()y y dy f xy dx -⎰⎰.(C)2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. (D)2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰(13) 设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为 ( )(A)010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B)010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (C)010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (D)011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(14) 设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有 ( )(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(16)(本题满分10分)设函数()f x 在(,-∞+∞)上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(I)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (II)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.(17)(本题满分11分)设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(I)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (II)求()f x 的值域.(18)(本题满分12分)曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(I)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.(19)(本题满分12分)设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-.(20)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注：kg 表示千克,/km h 表示千米/小时)(21)(本题满分10分)设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂.(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解(23)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】0.【详解】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点. 对不同的x , 先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.由2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+，显然当0x =时,()0f x =；当0x ≠时, 2(1)()lim 1n n x f x nx →∞-=+22211(1)lim(1)lim 11lim n n n x xx n n x x x n n →∞→∞→∞--===⎛⎫++ ⎪⎝⎭1x =, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠，故 0x =为()f x 的间断点.(2)【详解】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ 定义的参数方程求出二阶导数22d y dx , 再由 220d ydx<确定x 的取值范围. ()323133dy t t t dt '=-+=-，()323133dxt t t dt'=++=+ 所以 2222331331dy dy dt t t dx dx dt t t --===++221111t t +--=+2211t =-+ 222221113(1)d y d dy dt dx dt dx dx t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()222413(1)1t t t =⋅++2343(1)t t =+, 令220d y dx <(或220d y dx ≤)，即23403(1)t t <+(或23403(1)tt ≤+) ⇒0t <()0t ≤或 又331x t t =++， 2330x t '=+>，所以()x t 单调增, 当0t =时，1x =，所以当0t <时()()01x t x <=(或当0t ≤时，()()01x t x ≤=)，即(,1)x ∈-∞(或(,1]x ∈-∞)时，曲线凸(3)【答案】2π. 【详解】利用变量代换法可得所求的广义积分值. 方法1：作积分变量变换，令sec x t =，则2221sec 1tan x t t -=-=，sec sec tan dx d t t tdt ==，:02t π→，代入原式：221002sec tan sec sec tan 21dxt t x t dt dt t t x x πππ+∞⋅===⋅-⎰⎰⎰.方法2：令1x t =，则211dx d dt t t ==-，:10t →，代入原式：1120110222111()arcsin 21111dx t x dt dt ttt x x t tπ+∞=-===---⎰⎰⎰.(4)【答案】2.【详解】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 方法1：复合函数求偏导，在 232x zz ey -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z ze x x-∂∂=-∂∂, 23(3)2x z z z e y y -∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x z x z z e x e --∂=∂+, 23213x zz y e -∂=∂+ 所以 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+ 方法2：令23(,,)20x zF x y z ey z -=+-=，则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 所以2323232322(13)13x z x z x z x z z e e FFx z x e e----∂⋅∂∂=-=-=∂∂∂-++,232322(13)13x z x zz F Fy z ye e --∂∂∂=-=-=∂∂∂-++, 从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e --+=⋅=+ 方法3：利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x z x z e dx dy e dz --=+-即2323(13)22x zx zedz edx dy --+=+，得232323221313x z x z x ze dz dx dy e e---=+++ 所以 2323213x z x z z e x e --∂=∂+, 23213x z z y e-∂=∂+ 从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+(5)【答案】315y x x =+. 【详解】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解. 方法1：原方程变形为21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程 102dy y dx x-= 的通解:分离变量：12dy dx y x= 两边积分得： 1ln ln ln 2y x c =+ y c x ⇒=用常数变易法，设()y c x x =为非齐次方程的通解，则1()()2y c x x c x x''=+，代入21122dy y x dx x -=，得2111()()()222c x x c x c x x x x x '+-=，即321()2c x x '=,积分得352211()25c x x dx x C ==+⎰,于是非齐次方程的通解为：53211()55y x x C C x x =+=+又由于165x y==代入通解，得3161155C += 1C ⇒=, 故所求特解为 315y x x =+.方法2：原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式：()()()()()P x dx P x dx P x dx f x Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰这里()()211,22P x Q x x x =- =，代入上式得：1122212dx dx x x y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰由于方程0x =处方程无定义，所以解的存在区间内不能含有点0x =.因此解的存在区间要么为0x >的某区间，要么为0x <的某区间. 现在初值给在1x =处，所以0x >，于是11ln ln 22212x x y ex e dx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x x dx C x x C ⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ 再6(1)15y C =⇒=, 从而特解为 315y x x =+.(6) 【答案】91 【详解】方法1：已知等式两边同时右乘A ，得**2ABA A BA A A =+，由伴随矩阵的运算规律：**A A AA A E ==，有2AB A B A A =+，而210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=，于是有 A B AB +=63，移项、合并有 A B E A =-)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(36)363A E B A E B A -=-==，而 36A E -21010031206010001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦63060003036006030003006003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 3303(1)(3)(3)3330+=--=-⨯⨯27=，故所求行列式为B 33627A A E ==-19= 方法2：由题设条件**2ABA BA E =+，得 **2ABA BA -=*(2)A E BA E -=由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有 **(2)21A E BA A E B A E -=-==其中210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=；由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则 1n A A-*=.所以，312A AA -*===9 ； 又 0102100001A E -=1210(1)01+=-=1.故1192B A E A*==-.二、选择题 (7)【答案】 (B) 【详解】方法1：202200tan tan 2lim limlim 0cos cos x xx x x tdt x xxt dtβα+++→→→⋅= =⎰⎰洛必达，则β是α的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又23230001sin sin 2lim lim lim 2tan tan xx x x x x t dtx x xtdtγβ+++→→→⋅= ⎰⎰洛必达 201lim 4x x x+→=∞等价无穷小替换，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B).方法2：用kx (当0x →时)去比较.221000cos cos limlimlim ,xkkk x x x t dt x xxkxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，有2200lim cos cos lim lim 1lim x x x x t txx x α++++→→→→===，所以(当+→0x 时)α与x 同阶.211300000tan tan 222lim limlim lim lim x k k k k k x x x x x tdtx x x x x x kx kx kxβ+++++---→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =, 有3320002tan 2tan 2lim lim lim 333x x x x x x x x β+++-→→→===， 所以(当+→0x 时)β与3x 同阶.31313222211100000sin sin lim limlim lim lim ,222xk k k k k x x x x x t dtx x x x xx x kx kx kxγ+++++-----→→→→→⋅⋅===⎰洛 欲使上式极限存在但不为0，应取2k =, 有221001lim lim 224x x x x x γ++-→→==⋅， 所以(当+→0x 时)γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选(B).(8)【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.方法2：写出()y f x =的分段表达式： ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,从而()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩, ()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,()00lim ()lim 1210x x f x x ++→→'=-=>，所以01x <<时，()f x 单调增， ()0lim ()lim 1210x x f x x --→→'=-+=-<，所以10x -<≤时，()f x 单调减， 所以0x =为极小值点.当10x -<<时,()20f x ''=>，()f x 为凹函数； 当10x >>时,()20f x ''=-<，()f x 为凸函数, 于是(0,0)为拐点.(9)【答案】 B【详解】由对数性质，22212lim ln (1)(1)(1)n n n n nn →∞+++ 212lim ln (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1)ln(1)ln(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1)nn i i n n →∞==+∑102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰(10)【答案】 (C)【详解】函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f xxyo⋅121-1根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f .即当)0,(δ-∈x 时，0x <，有()(0)f x f <；而当),0(δ∈x 时，0x >有()(0)f x f >.(11)【答案】A【详解】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 则特征根为 i λ=±,对2021(1)y y x e x ''+=+=+为()()x m f x e P x λ=型，其中()20,1m P x x λ= =+，因0不是特征根, 从而其特解形式可设为2021()y ax bx c e ax bx c *=++=++对 sin y y x ''+=, 为()()()cos sin x l n f x e P x x P x x λωω=+⎡⎤⎣⎦型，其中0λ=，()()0,1l n P x P x ω=1,= =，因0i i i λω+=+=为特征根, 从而其特解形式可设为2(sin cos )y x A x B x *=+由叠加原理，故方程 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++(12)【答案】D【详解】由{}22(,)2D x y x y y =+≤，则积分 区域是以()0,1 为圆心，1为半径的圆及其内部， 积分区域见右图.在直角坐标系下, 先x 后y ，2222y y x y y --≤≤-，02y ≤≤则应是222202()()y y y y Df xy dxdy dy f xy dx ---=⎰⎰⎰⎰先y 后x ，由()2211x y +-≤221111,11x y x x ⇒--≤≤+- -≤≤，则应是22111111()()x xDf xy dxdy dx f xy dy +----=⎰⎰⎰⎰故应排除[],[]A B .在极坐标系下, cos ,sin x r y r θθ== ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰, 故应选D.或直接根据极坐标下，其面积元素为rdrd θ，则可排除C(13)【答案】(D)【详解】由题设，将A 的第1列与第2列交换，即12010100001AE A B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将B 的第2列加到第3列，即100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D).(14)【答案】(A)【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为n m ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，由0AB =知，()()r A r B n +≤，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数因A 为非零矩阵，故()1r A ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r B n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.因B 为非零矩阵，故()1r B ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r A n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.故应选(A).方法2：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，将B 按列分块，由0AB =得，[]12,,,0,0,1,2,,.s i AB A A i s ββββ====因B 是非零矩阵，故存在0i β≠，使得0i A β=. 即齐次线性方程组0Ax =有非零解. 由齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件()r A n <, 知()r A n <. 所以A 的列向量组线性相关.又()0T T TAB B A ==，将T A 按列分块，得12[,,,]0,0,1,2,,.T T T T TTT T m i B A B B i m αααα====因A 是非零矩阵，故存在0T i α≠，使得0T Ti B α=，即齐次线性方程组0Bx =有非零解. 由齐次线性方程组0Bx =有非零解的充要条件，知TB 的列向量组线性相关，由TB 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 方法3：设 (),i j m n A a ⨯=()i j n s B b ⨯=, 将A 按列分块，记 ()12n A A A A =由0AB =⇒()11121212221212s s n n n ns b b b b b b A A A b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎝⎭()111111,,0n n s ns n b A b A b A b A =++++= (1)由于0B ≠, 所以至少有一个 0i j b ≠(1,1i n j s ≤≤≤≤), 又由(1)知,11220j j i j i nj n b A b A b A b A +++++=, 所以12,,,m A A A 线性相关. 即A 的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量12,,,n m R ααα∈，有m 个不全为零的数12,,,m k k k R ∈，使11220m m k k k ααα++=成立，则称12,,,m ααα线性相关.)又将B 按行分块，记 12n B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 同样，0AB =⇒11121121222212n n m m mn n a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭111122121122221122n n n n m m mn n a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭0=由于0A ≠,则至少存在一个0i j a ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 使11220i i i j j in n a B a B a B a B ++++=,由向量组线性相关的定义知，12,,,m B B B 线性相关, 即B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法4：用排除法.取满足题设条件的,A B .取001000,10010001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有00100100,10001AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 的行向量组，列向量组均线性相关，但B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.又取110100,00000100A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有1101000000100AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).三、解答题.(15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【答案】16-【详解】此极限属于型未定式.可利用洛必达法则,并结合无穷小代换求解. 方法1： 2cos 2cos ln ln 332cos 3xxx x x x ee++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫== ⎪⎝⎭原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=1x e x -302cos ln 3limx x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3limx x x →+-=（）20(ln 2cos ln 3)lim()x x x →'+-'（）洛01sin 2cos lim2x x x x→⋅-+（）=011sin lim 22cos x x x x →=-⋅+0011sin 11lim lim 122cos 23x x x x x →→=-⋅=-⋅⋅+16=-方法2：原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=1x e x -202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫⎪⎝⎭2cos 1ln 3limx x x →-+=（1）()ln 1x x +2200cos 11cos limlim33x x x xx x →→--=- 222021cos lim 23x x x xx → - -16=-.(16)【详解】(I)当20x -≤<,则022x ≤+<,由题设：区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-知,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4]k x x =++-2(2)(4)k x x x =++(2)(4)kx x x =++.(II) 由(I)知：[][)2(4),0,2()(2)(4),2,0x x x f x kx x x x ⎧- ∈⎪=⎨++ ∈-⎪⎩，所以2(0)0(04)0f =⋅-=，按函数在某点可导的充要条件：在这点的左右导数存在且相等. 所以根据导数的定义求()f x 在0x =的左右导数，使其相等，求出参数k .200()(0)(4)0(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→---'===--00()(0)(2)(4)0(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++-'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.(17)【详解】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.(I) 要证()f x 是以π为周期的周期函数，即证：()()f x f x π=+因为2()sin x xf x t dt π+=⎰，所以()f x π+()()2sin x x t dt πππ+++=⎰32sin x x t dt ππ++=⎰利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性，设t u π=+, 因为3:2t x x ππ+→+，所以:2u x x π→+，则有()f x π+=2sin()()x xu d u πππ+++⎰()sin sin u uπ+=-2sin x xu du π+⎰()f x =,故()f x 是以π为周期的周期函数.(II) 因为()f x 是以π为周期的周期函数, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 又因()f x 为积分函数，则一定连续，根据有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值，所以()f x 的值域就是区间[min (),max ()]f x f x .令 ()s i n()s i n c o s s i n 02f x x x x x π'=+-=-=, 在区间[0,]π内求得驻点，14x π=, 234x π=, 且 334444()sin sin 0sin 24f t dt t t dt πππππ= > =⎰⎰, 554433443()sin sin sin 224f t dt t dt t dt πππππππ==-=-⎰⎰⎰, 又 2200(0)sin sin 1f t dt t dt ππ===⎰⎰, 3322()sin (sin )1f t dt t dt πππππ==-=⎰⎰,比较极值点与两个端点处的值，知()f x 的最小值是22-, 最大值是2, 故()f x 的值域是[22,2]-.(18)【详解】(I) 旋转体体积：2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰ 旋转体的侧面积：20()21tS t y y dx π'=+⎰202122x x x x te e e e dx π--'⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰202122x x x x t e ee e dx π--⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 22022124x x x x te e e e dx π--⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭⎰2202224x x x x t e e e e dx π--⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎰20222xxx xt e e e edx π--⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰2022x x te e dx π-⎛⎫+=⎪⎝⎭⎰, 所以 ()()S t V t 2020222x x tx x t e e dx e e dx ππ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰2=. (Ⅱ) 在x t =处旋转体的底面积为2()x tF t y π==22x x x te e π-=⎛⎫+= ⎪⎝⎭22t t e e π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以20222()lim lim ()2xxt t t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰20222=lim 2x x t t t t e e dx e e -→+∞-'⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰222lim 222t t t t t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lim t t t t t e e e e --→+∞+=-221=lim 1t t t e e --→+∞+-1=(19) 【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数()2ln f x x =在()2[,],a b e e ⊂上连续，且在(),a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数()2ln f x x =在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()()()22222ln ln ln ln ,b a b a b a e a b e ξξξξ'-=-=- <<<<下证：22ln 4eξξ>. 设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(ttt -='ϕ，当t e >时，1ln 1ln 0t e -<-= ，即,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，又因为2e ξ<，所以)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，得22ln 4e ξξ> 故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 方法2：利用单调性， 设x ex x 224ln )(-=ϕ，证()x ϕ在区间()2,e e 内严格单调增即可. 24ln 2)(e x x x -='ϕ，(222222ln 444()20e e e e e e ϕ'=-=-=，)2ln 12)(xx x -=''ϕ, 当x e >时，1ln 1ln 0x e -<-=，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，2()()0x e ϕϕ''>=，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即a ea b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 方法3：设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-，21ln ()2x x x ϕ-''=, ⇒x e >时, 1ln 1ln 0x e -<-=，得()0x ϕ''<，⇒()x ϕ'在2(,)e e 上单调减少, 从而当2e x e <<时, 22244()()0x e e e ϕϕ''>=-=，⇒()x ϕ在2(,)e e 上单调增加. 从而当2e a x b e <<≤<时, ()()0x a ϕϕ>=. ⇒()0b ϕ>，即2224ln ln ()b a b a e->-.(20) 【详解】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 方法1：由题设，飞机质量9000m kg =，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ，速度为()v t ，则 0)0(,)0(0==x v v .根据牛顿第二定律，得kv dt dv m-=. 又dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=. 由以上两式得dv k m dx -=，积分得.)(C v kmt x +-=由于0)0(,)0(0==x v v ，所以0(0)0.m x v C k =-+= 故得0v kmC =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时，).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 方法2：根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm-=, 分离变量：dv k dt v m =-，两端积分得：1ln kv t C m=-+， 通解：t mk Cev -=，代入初始条件00v vt ==，解得0v C =，故.)(0t mk ev t v -=飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v →，对应地t →+∞. 于是由dx vdt=，有 0000() 1.05().kk t t mmmv mv x v t dt v edt ekm kk+∞--+∞+∞===-==⎰⎰ 或由()0kt m dxv t v e dt-==，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→方法3：由kv dt dv m -= ，dxv dt =，化为x 对t 的求导，得dt dx k dtx d m -=22, 变形为 022=+dt dxm k dtx d ，0(0)(0),(0)0v x v x '=== 其特征方程为 02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ，故.21t m ke C C x -+=由 2000000,kt m t t t t kC dxx v e v dt m -=======-=，得,021kmv C C =-= 于是).1()(0t mke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→ 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .(21)【详解】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.令 22,xyu x y v e =-=，则22(,)(,)xyz f x y e f u v =-=，所以2,2u u x y x y ∂∂==-∂∂，,xy xy v v ye xe x y∂∂= =∂∂ 所以z x ∂=∂f u f vu x v x∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy x f ye f ''=+，z y ∂=∂f u f v u y v y ∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy y f xe f ''=-+ 2zx y ∂=∂∂()122xy z y f xe f x y x⎛⎫∂∂∂''=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭11122221222xy xy xy u v u v y f f e f xye f xe f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()1112222122222xy xy xy xy xy y xf ye f e f xye f xe xf ye f ''''''''''=-+++++ 2221112222=42()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''-+-++++(22) 【详解】方法1：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1()(2,)i i i n ⨯-+=行行11112000a a a B naa +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对||B 是否为零进行讨论：当0a =时，()1r A n =<，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是()r A n <. 故此方程组有非零解，把0a =代入原方程组，得其同解方程组为,021=+++n x x x ()*此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量. 选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式，得基础解系,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有1111210001a B n+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)12,3i i n ⨯-+=行()(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程组也有非零解，把2)1(+-=n n a 代入原方程组，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.方法2：计算方程组的系数行列式：11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦000111100022220aa a nnnn ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵加法 aE =+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111aE Q ∆ +， 下面求矩阵Q 的特征值：11112222E Q nnn n λλλλ---------=----1111201(-)(2,3,,)00i i i n n λλλλλ-----⨯+=-行行(1)1112()1000(2,3,,)n n i i i n λλλ+----⨯+=列列1(1)2n n n λλ-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭则Q 的特征值2)1(,0,,0+n n ，由性质：若Ax x λ=，则()(),m m kA x k x A x x λλ==，因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故，A 的特征值为(1),,,2n n a a a ++, 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得 A 行列式.)2)1((1-++=n a n n a A 由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是n 阶矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是0=A . 可知，当0=A ，即0a =或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11112222A nnnn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1)(2,)i i i n ⨯-+=行（行1111000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，. 故方程组的同解方程组为,021=+++n x x x此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式， 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，1111210001a B n +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)1(2,3)i i n ⨯-+=行(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 即 0000210001n⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量. 选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.(23) 【详解】A 的特征多项式为12314315E A aλλλλ---=----2(2)021114315aλλλλ---⨯-+----行（）行111(2)14315a λλλ------提出行公因数111(1)2(2)03315a λλλ-⨯-+-----行行 11012(2)033015a λλλ-+-----行行33(2)15a λλλ-=----(2)[(3)(5)3(1)]a λλλ=---++2(2)(8183).a λλλ=--++已知A 有一个二重特征值，有两种情况，(1)2=λ就是二重特征值，(2)若2=λ不是二重根，则28183a λλ-++是一个完全平方(1) 若2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得2a =-. 由E A λ-2(2)(8183(2))λλλ=--++⨯-2(2)(812)λλλ=--+2(2)(6)0λλ=--=求得A 的特征值为2,2,6, 由1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1231(-1)2,000113000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行倍加到行行的倍加到行，知()21E A -=秩，故2=λ对应的线性无关的特征向量的个数为312n r -=-=，等于2=λ的重数. 由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 从而A 可相似对角化.(2) 若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得 .32-=a 当32-=a 时，由E A λ-=22(2)(8183())3λλλ=--++⨯-2(2)(816)λλλ=--+2(2)(4)0λλ=--=知A 的特征值为2，4，4，由32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1133⨯+行行323103000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知()42E A -=秩，故4=λ对应的线性无关的特征向量有321n r -=-=, 不等于4=λ的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 知A 不可相似对角化.。
2004年成人高考专升本高等数学二考试真题附参考答案
2004年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案
一、选择题：本大题共5个小题，每题4分，共20分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
第1题
参考答案：A
第2题
参考答案：D
第3题
参考答案：D
第4题
参考答案：B
第5题
参考答案：C
二、填空题：本大题共10个小题，每题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第6题
参考答案：1
第7题
参考答案：0
第8题
参考答案：1
第9题
参考答案：2/x3
第10题
参考答案：-1
第11题
参考答案：0
第12题
参考答案：e-1 第13题
参考答案：1
第14题
参考答案：-sinx 第15题
三、解答题：本大题共13个小题，共90分，解容许写出推理、演算步骤. 第16题
第17题
第18题
第19题
第20题
第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题
第27题
第28题。
2004年考研数学(二)试题及解析
2004年考研数学（二）试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)(1)__________)(,1)1(lim)(2=+-=∞→x x f nx xn x f n 的间断点为则设.______________)(,1313)()2(33取值范围为向上凸的则曲线确定由参数方程函数设x x y y t t y t t x x y =⎩⎨⎧+-=++=._____1d )3(12=-⎰∞+x x x.______3,2e ),()4(32=∂∂+∂∂+==-yz x z y z y x z z z x 则确定由方程设函数 .________560d 2d )()5(13的特解为满足微分方程==-+=x y y x x x y_____||,*,*2*,100021012)6(=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B E A A E BA ABA B A 矩阵，则是单位的伴随矩阵为其中满足矩阵设矩阵二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,把所有选项前的字母填在题后的括号内.)αγβγαββγαγβαγβα,,)D (,,)C (,,)B (,,)A (,,d sin ,d tan ,d cos 0)7(03022则正确的排列次序是的高阶无穷小使排在后面的是前一个排列起来时的无穷小量把⎰⎰⎰===→+x xx t t t t t t x 的拐点也不是曲线的极值点不是的拐点是曲线且的极值点是的拐点是曲线但的极值点不是的拐点不是曲线但的极值点是则设)()0,0(,)(0)D ()()0,0(,)(0)C ()()0,0(,)(0)B ()()0,0(,)(0)A (|,)1(|)()8(x f y x f x x f y x f x x f y x f x x f y x f x x x x f ========-=⎰⎰⎰⎰+++++∞→2122121212222d )1(ln )D (d )1ln(2)C (d ln 2)B (d ln )A ()1()21()11(ln lim )9(xx xx xx xx n nn n n n 等于)0()()0,()D ()0()(),0()C ()0,()()B (),0()()A (,0,0)(',)()10(f x f x f x f x x f x f x f x f >-∈>∈->>有对任意的有对任意的内单调减少在内单调增加在使得且存在且连续设函数δδδδδxA c bx ax y x A c bx ax y xB x A x c bx ax y x B x A x c bx ax y x x y y cos *)D (sin *)C ()cos sin (*)B ()cos sin (*)A (sin 1'')11(22222+++=+++=++++=++++=++=+的特解形式可设为微分方程{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----≤+=θπθπθθθθθθsin 2020sin 202202111122d )cos sin (d )D (d )cos sin (d )C (d )(d 2)B (.d )(d )A (.d d )(,2|),(,)()12(222rr r f rr f xxy f y y xy f x y x xy f y y x y x D u f y y x x D等于则区域连续设函数⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001110)D (110001010)C (100101010)B (101001010)A (,32,21,3)13(为的可逆矩阵则满足列得列加到第的第再把列交换得列与第的第将阶方阵是设Q C AQ C B B A A 的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关则必有的任意两个非零矩阵为满足设B A B A B A B A AB B A ,)D (,)C (,)B (,)A (,0,)14(=.1)3cos 2(1lim)10()15(.),,94,9(3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→x x x x 求极限分本题满分证明过程或演算布骤解答应写出文字说明分满分小题本题共三、解答题[][].0)(,)II (;0,2)()I (.),2()(),4()(2,0,),()()10)(16(2处可导在为何值时问上的表达式在区间写出为常数其中都满足若对任意的上，在区间上有定义在设函数分本题满分=-+=-=+∞-∞x x f k x f k x kf x f x x x x f x f .)()2(.)()1(,d |sin |)()11)(17(2的值域求为周期的周期函数是以证明设分本题满分x f x f t t x f x xππ⎰+=.)()(lim )2(.)()()1().(),(),(,,0)0(,02e e )12)(18(-t F t S t V t S t F t x t S t V x y t t x x y t xx +∞→==>==+=计算极限的值求处的底面积为在侧面积为其体积为轴旋转一周得一旋转体绕该曲边梯形围成一曲边梯形及与直线曲线分本题满分).(e 4ln ln ,e e )12()19(2222a b a b b a ->-<<<证明设分本题满分 .//,).100.6(,./700,9000.,,,,,)11)(20(6小时表示千米表示千克注离是多少起，飞机滑行的最长距问从着陆点算比例系数为飞机的速度成正比后飞机所受的总阻力与减速伞打开经测试着陆的水平速度为的飞机现有一质量为使飞机迅速减速并停下以增大阻力伞飞机尾部张开减速在触地的瞬间为了减少滑行距离某种飞机在机场降落时分本题满分h km kg k h km kg ⨯=.,,),e ,()10)(21(222yx z y z x z f y x f z xy∂∂∂∂∂∂∂-=求具有连续二阶偏导数，其中设分本题满分.)4(44403)3(33022)2(20)1()9)(22(4321432143214321非零解，并求出其通解取何值时，该方程组有试问设有齐次线性方程分本题满分a x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++ .,,51341321)9()23(可相似对角化是否并讨论的值求根的特征方程有一个二重设矩阵分本题满分A a a A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2004年考研数学（二）试题解析一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。
2004年数二试题解析
2004年数学（二）试题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n→∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d y dx < 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++, 222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。
2004年河北省专接本数学二(财经管理类)真题试卷(题后含答案及解析)
2004年河北省专接本数学二（财经管理类）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列函数中，奇函数的是( )．A．B．f(x)=x3+1C．D．f(x)=cosx+1正确答案：C2．下列结论正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：同理工卷．3．设．则=( )．A．1B．一1C．0D．不存在正确答案：D解析：因为所以不存在．4．下列结论正确的是( )．A．无穷小量很小的正数B．无穷大最是很大的数C．无穷大量的倒数是无穷小最D．一个很小的正数的倒数是无穷大量正确答案：C5．下列结论不正确的是( )．A．B．dcosx=sinxdxC．D．dx3=3x22dx正确答案：B6．设在(a,b)内，f’(x)>0，f’’(x)0知f(x)严格单调增加，由f’’(x)B．C．dy+ydx=e-xdxD．y’=x+y正确答案：B9．下列级数条件收敛的是( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：A不对．因为C，D都不对，它们均为绝对收敛的．10．设η1，η2是非齐次线性方程组Ax=b的解，下列结论正确的是( )．A．η1一η2是Ax=b的解B．η1+η2是Ax=b的解C．η1—η2是Ax=0的解D．η1+η2是Ax=0的解正确答案：C填空题11．函数的反函数为_________．正确答案：12．正确答案：解析：13．正确答案：解析：14．正确答案：e15．设y=arctanx，则dy=________．正确答案：16．正确答案：tanx+C解析：17．．正确答案：1解析：18．设函数z=xy，则dz=___________．正确答案：yxy-1dx+xylnxdy19．微分方程的通解为__________．正确答案：y=sin(sinx+C)解析：分离变量得得解arcsiny=sinx+C，或y=sin(sinx+C)．20．设矩阵则秩r(A)=_______．正确答案：2解析：因为所以r(A)=2．解答题解答时应写出推理、演算步骤。