第二章 杆件的内力截面法

轴力图
材料力学电子课堂 解: 1) AB段： 由平衡方程 得
50kN
Fy 0, FN1 F 0 FN1 F 50 kN
2) BC段： 由平衡方程
Fy 0, FN 2 3F 0 得 FN 2 3F 150 kN
轴力图
4m 4m
3m 3m
150kN
在BC段内，假想以截面1-1将轴分成 两部分，取左半部分为研究对象
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
446N .m
由M x 0, T1 M B 0 T1 M B 350N . m
同理，CA段：
350N .m 700N .m
T2 M B M C 700N . m
AD段： T M 446N . m 3 D
扭矩图
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§5-3 弯曲的概念.剪力与弯矩
一、弯曲的概念
受力特点：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反 的力偶或在垂直于杆件轴线方向作用横向力。 变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。 梁
以 弯曲变形 为主要变形的杆件。
对称弯曲：
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工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个 包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲（或 平面弯曲）。
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三、弯曲内力
y
1、由梁的静力平衡方程求两端的支座反力FA、FB
2、用假想截面m-m将梁分为两部分，并以左段为 研究对象 ；
由平衡方程 Fy 0 ，得
M FS FS M
FA F1 FS 0 FS FA F1
FS称为横截面 m-m上的剪力，它是与横截面相切的 分布内力系的合力。
弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点
材料力学电子课堂 例4 受均布载荷作用的简支梁，如下图所示，作梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求支反力 FAy M FAy FS FBy
FAy FBy ql 2
2.列剪力、弯矩方程 ql FS ( x) FAy qx qx, 0 x l 2 x ql qx 2 M ( x) FAy x qx x , 0 x l 2 2 2 3.求控制截面处的剪力和弯矩
FS
FS 0 ql 2 , FS l ql 2 M 0 0, M l 2 ql 2 8 , M l 0
4.作剪力图和弯矩图 ql ql 2 M x 0 or l , FS max ；x l / 2, M max 2 8 在梁段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩M 可见 最大值发生于F =0处。 S
FSx
注：对悬臂梁，可取截面到自由端部分为研究对象，可省略求支反力
§5-4
一、剪力、弯矩方程
剪力图和弯矩图
若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩,可以 表示为x的函数，称为剪力和弯矩方程，即 FS FS x 二、剪力图及弯矩图 M M ( x) 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将剪力和弯矩 沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分别称为剪力图和弯矩图
注意
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2、扭矩图
例：已知：传动轴，n=300r/min，PA=36kW，PB=PC=11kW，PD=14kW。 试画出轴的扭矩图。 解：各轮上的外力偶矩：
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
PA 1146(N . m) n P M B M c 9549 B 350(N . m) n P M D 9549 D 446(N . m) n M A 9549
由平衡方程 得
FN1 6 kN
Fx 0, FN1 6 0
FN1
2) BC段： 由平衡方程
FN 2 FN
FN 3
Fx 0, FN 2 6 18 0
得
FN 2 12 kN
3) CD段 由平衡方程
得
Fx 0, FN 3 4 0 FN 3 4 kN
m ax m ax
例3 试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
解：1.求支反力，由
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0, mA 0 Fb Fa 得 FA , FB l l 2.列剪力、弯矩方程
x
F
在某一段上若无载荷作用，剪力图 为一水平线，弯矩图为一斜直线。
在AC段内， Fb FS1 ( x) FA , 0 x a l Fb M 1 ( x) FA x x, 0 x a l 在BC段内 Fa FS 2 ( x) FB , a x l l Fa l x , a x l M 2 ( x) FB l x l 集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集 中力的大小
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例5 如图示的简支梁，试作梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求支反力，由
m
A
0, mB 0
m0 l
FAy FAy
M FS1 1
M
2
FBy
2.求内力 在AC段内
得
FAy FBy
在BC段内
FS
2
FBy
m0 , 0 x a l m M 1 ( x) FAy x 0 x, 0 x a l m FS 2 ( x) FBy 0 , a x l l m M 2 ( x) FBy l x 0 l x , a x l l FS1 ( x) FAy
材料力学电子课堂 注意
1、用截面法求轴力时，取留下的一部分作受力图时，在切开的截
面上建议假设正的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力 为正（拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。 2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖面线形式； 并注上 符号 或 。
50kN
FN
4m 4m
3m 3m
Me
Me
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二、外力偶矩的计算
已知：P—传递的功率,（kw） n—转速,（r/min） 求：外力偶矩Me ( N· m) 解： P M e
Me
Me
n 30 n P 1000 M e 30
Me
由此求得外力偶矩：
P 1000 30 P 9549 (N . m) n n
纵向对称面
轴线
变形后的轴线
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，但外力并不
作用在纵向对称面内这种弯 曲称为非对称弯曲。
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二、梁的计算简图
简支梁：一端为固定铰支座，而另一端为 可动铰支座，如右图a所示。
悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端 的梁，如右图b所示。
外伸梁：一端伸出支座之外的梁，如右图c所示。 静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。 跨：梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。
Ⅰ Ⅱ
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Fx 0, FN F 0
求得内力
FN F
FN——分布内力系的合力—轴力
符号规定：拉为正(+)，压为负(-)
外力不能沿作用线移动。因为材料力学中研究的对 象是变形体，不是刚体，力的可传性不成立。对变 形体而言，力是定位矢量。
注意
2、轴力图
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用 平行于杆轴线的坐标 表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表 示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线， 称为 轴力图 。将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。 解: 1) AB段：
FSC
3.求距A为x处截面的内力 Mx
l FSx FAy q( x )＝F q(l x) 2 1 l M x M A FAx x q ( x ) 2 2 2 1 2 ql 2 qx ( F ql ) x Fl 2 2
MA
FAx
FAy
建议 求截面FS和M时，均按规定正向假设， 这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正 的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正 负号也作同样判断。
材料力学电子课堂 例2 如图所示的悬臂梁，求截面C及距A端为x处截面的内力。 解：1.求支反力
MA
F
FAy F Ay
x
0, FAx 0
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于1PS=735.5N· m/s
M e 7024
P (N . mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n
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三、扭矩与扭矩图
1、扭矩
由 M x 0, T m 0 得T＝m
T称为截面n-n上的扭矩。 扭矩的正负号规定：按右手螺旋法 则，T矢量背离截面为正，指向截面 为负（或矢量与截面外法线方向一 致为正，反之为负） 用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，如果 由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如果为负， 则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩画在x轴上方， 负的扭矩画在x轴下方。
FSC左 FA
FSC左 FSC右 , M C左＝M C右
在集中力作用处，左右截面上剪 力发生突变，突变值为该集中力 的大小；而弯矩保持不变。
对于C右截面：
2 2 l 2 F , M C左＝ F Fl 3 3 3 9
平衡方程求解内力的正负号表示假 设方向与实际方向关系。
F FSC右 FA F l 2 3 M C右 FA Fl 3 9
F 0, F F M ( F ) 0, F
y A A
FA
MD FSD MC右
2 1 F , FB F 3 3
F 0 l 得 l F 0 B 3
B
FSC右
2.求截面1－1上的内力 2 FS D FA F 3 2 M D FA a Fa 3 同理,对于C左截面：
反之为负
剪力对所取梁段内任意一点的 矩为顺时针，为正剪力，反之 为负（顺为正，逆为负）。
固定截面，若外力或外力偶使梁产 生上挑的变形，则该力或力偶在截 面上产生正的弯矩，反之为负的弯 矩（上挑为正，下压为负）。
材料力学电子课堂 例1 如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上的内力。 解：1.求支座反力
三、根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图的步骤
第一，求支座反力。 第二，根据截荷情况分段列出FS(x）和M(x)方程。 在集中力（包括支座反力） 、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯 矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点，对应的截面称 为控制截面。 第三，求控制截面内力，作FS、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在 有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控 制截面的内力值标在坐标的相应位置处 。分段点之间的图形可根据剪力方程和 弯矩方程绘出。并注明 FS 和 M 的数值。
由 M O 0, M F1 x a FA x 0
M FA x F1 x a
M 称为横截面 m-m 上的 弯矩 。它是与横截面垂直 的分布内力系的合力偶矩。
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剪力与弯矩的符号规定：
剪力： “左上右下”为正，
弯矩：下凸为正， 反之为负
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§5-1 杆件的拉伸或压缩时的内力
一、轴向拉伸或压缩的概念
受力特点：力或合外力沿轴线方向 变形特点：沿轴向伸长或缩短 ——直杆的轴向拉伸或压缩 计算简图
活塞杆
拉杆
压杆
二、轴力与轴力图
1、轴力 a）假想地将构件沿截面m-m处 一 分为二； b)取其中任一部分为研究对象; c)由平衡条件
150kN
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§5-2 扭转的概念.扭矩与扭矩图
一、扭转的概念
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面 内作用一对大小相等，方向相反 的外力偶。 2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴 线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
从动轮B 轴
主动轮A
轴
计算简图
Me
Me
主轴 主轴
ql 2
FAx
Fy 0, FAy F
3ql 2 m A ( F ) 0, M A Fl 8
2.求截面C的内力
MA
FSC左 FSC右＝FAy＝F＋
MC
FAx
FAy
M C左 M C右
l Fl ql 2 M A FAy 2 2 8
ql 2