北师大数学七年级上册第四章角(基础)
角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1． 角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O ，边是射线OA 、OB ．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1 图2要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念及表示1.下列语句正确的是 ( )A．两条直线相交，组成的图形叫做角．B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．举一反三：【变式】（2015春•泰山区期中）下图中，能用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）A． B．C． D．【答案】D．解：A、顶点B处有四个角，不能用∠B表示，错误；B、顶点B处有二个角，不能用∠B表示，错误；C、顶点B处有三个角，不能用∠B表示，错误；D、顶点B处有一个角，能同时用∠ABC，∠B，∠1表示，正确．2. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).【答案与解析】解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．(3)图中共有7个角．【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示； (2)一般数角时不包括平角和大于平角的角．类型二、角度制的换算3. (1)把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案与解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″． (2)130300.560'⎛⎫'''=⨯= ⎪⎝⎭，112.512.50.2160⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭°≈° 所以45°12′30″≈45.21°．【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．举一反三：【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．【答案】 (1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°+24′+36×160'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝33°+24′+0.6′ ＝33°+24.6′＝33°+24.6×160⎛⎫⎪⎝⎭°＝33.41° 类型三、角的比较与运算4.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．【答案与解析】解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．举一反三：【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．【答案】作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．5.（2016春•阳谷县期中）如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AO B=114°．求∠COD的度数．【思路点拨】根据OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°，可以求得∠AOC、∠AOD的度数，从而可以求得∠COD的度数．【答案与解析】解：∵OD平分∠AOB，∠AOB=114°，∴∠AOD=∠BOD==57°．∵∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°，∴∠AOC=．∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=57°﹣38°=19°．【总结升华】本题考查角的计算，解题的关键是找出所求问题需要的条件．举一反三：【变式】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80 ，求：∠MON.【答案】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOC.(角平分线的定义)∴∠MON=∠MOB+∠BON=12∠AOB+12∠BOC=12(∠AOB+∠BOC)=12∠AOC=12×80︒=40︒ .即∠MON=40︒.类型四、方位角6.（2016•邯山区一模）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向【思路点拨】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．【答案】A【解析】解：如图所示：可得∠1=30°，∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．故选：A．【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A看B与从B看A正好是一对对立的观察过程，其方向是一种“相反”的对应关系．方位角的确定首先以什么点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来．举一反三：【变式】小王从家出发向南偏东30°的方向走了1000米到达小军家，此时小王家在小军家的________方向．【答案】北偏西30°类型五、钟表上有关夹角问题7.计算： 4时15分时针与分针的夹角.【答案与解析】解法一：如图（1），设4时15分时针与分针的夹角为∠α(注：夹角指小于180°的角)，时针转过的角度为：30°×4+0.5°×15，分针转过的角度为：6°×15，所以∠α＝30°×4+0.5°×15-6°×15＝37.5°．解法二：如图（1），∠AOC＝30°×1＝30°，∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．所以∠AOB＝37.5°．即4时15分时针与分针的夹角为37.5°【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．举一反三：【变式】2时48分时针与分针的夹角．【答案】解法1：如图(2)，设2时48分时针与分针的夹角为∠α，所以∠α＝360°-(48×6°-2×30°-48×0.5°)＝360°-204°＝156°解法2：如图(2)∠BOD＝30°×4＝120°，∠COD＝2×6°＝12°，∠AOB＝48×0.5°＝24°，所以∠AOC＝∠BOD+∠COD+∠AOB＝156°．即2时48分时针与分针的夹角为156°．【巩固练习】一、选择题1．下面四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是( ) ．2．（2014秋•上杭县校级月考）下列说法中，错误的是 ( ) ．A．借助三角尺，我们可以画135°的角．B．把一个角的两边都延长后，所得到的角比原来的角要大．C．有公共顶点的两条边组成的图形叫做角．D．两个锐角之和是锐角、直角或钝角．3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ) ．图3D C BAO4．如图，点A 位于点O 的（ ）方向上．A ．南偏东35°B . 北偏西65°C ．南偏东65° D. 南偏西65°5．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是 ( ) .A ． 77.5 °B ． 77 °5′C ． 75°D ．以上答案都不对6．如图，∠AOB 是直角，∠COD 也是直角，若∠AOC ＝α，则∠BOD 等于 （ ）．A ．90°＋αB ．90°－αC ．180°＋αD ．180°－αDABCO7. 如图，点A 、O 、E 在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46′，OD 平分∠COE ，则∠COB 的度数为（ ）．A. 68°46′B.82°32′C. 82°28′D.82°46′二、填空题8． 如图3，∠AOD=80°,∠AOB=30°,OB 是∠AOC 的平分线，则∠AOC 的度数为_________，∠COD 的度数为___________．9．钟表8时30分时，时针与分针所成的角为 度． O A D B E C10．南偏东80°的射线与西南方向的射线组成的角(小于平角)的度数是．11．（2015春•万州区期末）如图，∠AOC=∠BOD=110°，若∠AOB=150°，∠COD=m°，则m= ．12．（2016春•潍坊校级月考）（1）131°28′﹣51°32′15″=；（2）58°38′27″+47°42′40″=．13．如图所示，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B1，C1在同一条直线上，则∠AEF＝________．三、解答题14.（2015春•黄冈校级期中）如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的西北方向，求∠ABC及∠BCA的度数．15. 如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC．OF为OE的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF是否为∠AOD的平分线．16．如图所示，五条射线OA、OB、OC、OD、OE组成的图形中共有几个角?如果从O点引出n 条射线，能有多少个角?你能找出规律吗?17.（2016春•启东市月考）如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】A选项不能用∠O表示，C选项不能用∠O表示，D选项不能用∠AOB表示．2．【答案】B；【解析】借助三角尺能画出15n(n为正整数)的角，角的大小与边的长短无关，两个锐角的和可能是锐角、直角、钝角．3．【答案】D；【解析】A中∠1＝∠2，B中∠1＜∠2，C中∠1＜∠2．4. 【答案】B；5. 【答案】A；【解析】所求夹角为： 6°×25－1()2×25－30°×2=77.5°．6. 【答案】D；【解析】如图，∠BOD=90°+90°－α=180°－α．7. 【答案】C；【解析】如图，∠BOC=180°－40°－2×28º46′=82º28′．二、填空题8.【答案】60°，20°；【解析】∠AOC=2×∠AOB=60°，∠DOC=∠AOD－∠AOC=20°．9.【答案】75°；【解析】1()2×30+30°×2=75°．10.【答案】125°；【解析】45°+80°=125°．11.【答案】70．【解析】∵∠AOC=∠BOD=110°，∠AOB=150°，∴∠BOC=150°﹣110°=40°，∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=110°﹣40°=70°，∴m=70．12.【答案】79°55′45″，106°21′7″；【解析】解：（1）131°28′﹣51°32′15″=79°55′45″．（2）58°38′27″+47°42′40″=106°21′7″；故答案为：79°55′45″，106°21′7″．13.【答案】90°；【解析】由折叠知∠A′BC＝∠ABC，∠EBD＝∠DBE′．三、解答题14.【解析】解：∵∠DBA=40°，∠DBC=85°，DB∥CE，∴∠ECB=180°﹣85°=95°，∠ABC=85°﹣40°=45°，∵∠ECA=45°，∴∠BCA=95°﹣45°=50°．15.【解析】解：因为∠BOC＝80°，OE平分∠BOC所以∠1＝∠BOC＝12×80°＝40°又因为CD是直线，所以∠2+∠BOC＝180°，所以∠2＝180°-80°＝100°同理∠2+∠AOD＝180°，∠1+∠2+∠3＝180°所以∠AOD＝80°，∠3＝40°所以∠3＝12∠AOD，所以OF是∠AOD的平分线16.【解析】++3+2+1=17.【解析】解：如图，∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠AOB=90°，∴∠COD=∠BOC=（∠AOB+∠AOC）=45°+∠AOC，∠COE=∠AOE=∠AOC，∴∠DOE=∠COD﹣∠AOE=45°+∠AOC﹣∠AOC=45°即：∠DOE=45°．。
4.2 第1课时 角(课件)北师大版(2024)数学七年级上册
例4 小红早晨8：30出发，中午12：30到家，则小红出发时时针
和分针的夹角为
，到家时时针和分针的75夹°角为
.
165°
解析：与12点整相比，8：30时，时针转过了（8＋ ）×30° ＝255°，3分0 针转过了30×6°＝180°，所以夹角为255°－180°
60
＝75°.
同理12：30时，时针和分针的夹角为165°.
(2)1800''=(1800÷60)'=30'，
1800''=30'=(30÷60)°=0.5°.
方法归纳：
按1°＝60′，1′＝60″先把度化成分，再把分化成秒(小数 化整数)
按1″＝( 化小数)
)1′，1′＝( 60
)°先1把秒化成分，再把分化成度(整数 60
例3 计算下列各题：
(1)153°39′＋25°40′38″； (2)90°－37°24′38″；
讲授新课探究新知
一 角的概念及表示方法
A
E
O
B
D
C
(1)你能指出所画角的边和顶点吗？
(2)角的两边是前描述一下怎样的几何图形叫做角吗？
概念归纳
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 两条射线的公共端点是这个角的顶点 两条射线是这个角的两条边.
说一说
[解析] (1)当顶点只有一个角时，可以用顶点的一个大写字母表示角．观察图形
可知这样的顶点有两个，分别是B，C.
(2)数出以A为顶点的角，可先按逆时针的方向数出以AB为一边的角，再数出以 AD为一边的角，最后数出以AE为一边的角．
做一做 如图，下面的表示方法对不对，如果错了，应该怎样改正？ (1)图中的∠1表示成∠A； (2)图中的∠2表示成∠D； (3)图中的∠3表示成∠C.
2024年北师大七年级数学上册4.2 第3课时 用尺规作角(课件)
使∠A’O’B’ = 2∠AOB.
作法一: B’
CB
独立思考、合作交流； 口述作法、保留作图痕迹.
作法二:
DB
B’
E O
C A
O
A’ A
O’
C’ A’
∠A’OB’即为所求作的角. ∠A’O’B’即为所求作的角.
作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”： 先画一条射线，再作三次弧，其中前两次弧半径 相同，而第三次以原角的两边与弧的交点之间的 距离为半径.
B
O
A
作法：(1)作射线 O′A′； (2)以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，
交 OB 于点 D； (3)以点 O′ 为圆心，OC长为半径作弧，交 O′A′ 于点 C′；
(4)以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于点 D′；
(5)过点 D′ 作射线 O′B′. 则∠A′O′B′ 就是所求作的角
难点：通过尺规作图，规范学生的作图步骤，培养学生 的规范性。
我们已经知道可以通过移动其中一个角的方法比 较两个角的大小。如何移动一个角呢? 比如，如何将图 (1) 中的∠AOB 移动到图 (2) 的位置， 使 OA 与 O'A' 重合?
B
O (1) A
O’
A'
1 用尺规作角
利用尺规，作一个角等于已知角． 已知：∠AOB（如图）． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′ =∠AOB．
.
B
D
D' B'
O
CA
O'
C' A'
思考：用尺规作一个角等于已知角是尺规作图中的 基本作图，你能利用它作出其他图形吗？ 提示：可以作角的和、差、倍角及与角有关的图.
北师大版(2024)七年级数学上册 第四章 基本平面图形 习题课件 第6课 尺规作角
5．在“三角尺拼角”实验中，小聪同学把一副三角尺按如 图所示的方式放置，则∠α＝__1_5__°.
6．如图，将一副三角板(∠E＝45°，∠B＝30°)按图中
的方式摆放，A，C，D三点在同一条直线上，则
∠BCE＝
( A)
A．75°
B．60°
C．105°
D．90°
7．将一副含有30°，45°，60°的直角三角板的一条边 放在同一条直线AB上，并且使它们的顶点重合(如图 所示). (1)求图中的∠MON的度数；
C．90°，120°，150°
D．75°，90°，150°
3．已知：∠1和∠2如图所示． 求作：∠AOB，使∠AOB＝∠1＋∠2.(保留作图痕迹 ，不写作法)
解：如图所示，∠AOB为所求．
4．已知：∠1如图所示． 求作：∠AOB，使∠AOB＝2∠1，并用三角板比较 与60°的大小．(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图所示，∠AOB为所求．∠AOB＞60°.
第四章 基本平面图形 第6课 尺规作角
1．利用三角板画出以下度数的角：
(1)75°;
Байду номын сангаас
(1)15°.
解∠AOB即为所求.
解∠A'O'B'即为所求.
2．在18°，75°，90°，120°，150°这些角中，不能
用一副三角板拼画出来的是 A．75°，90°，120°
( B)
B．18°，90°，150°
8 ． 小亮用一副三角板拼成了图1，然后将△AOB绕着点 O顺时针方向旋转成图2. (1)若旋转角∠BOB′＝30°，求∠AOA′的度数；
解：(1)因为∠BOB′＋∠AOB′＝90°， ∠AOB′＋∠AOA′＝90°， 所以∠BOB′＝∠AOA′＝30°.
北师大版七年级数学上册第四章基本平面图形4.3角(教案)
最后，通过今天的课程，我深感教学过程中要关注每一个学生，尽量让每个学生都能跟上教学进度。在今后的教学中，我会更加注重因材施教，针对不同学生的特点，给予个性化的指导。同时，我也会不断反思自己的教学方法，力求让学生在轻松愉快的氛围中学习数学，真正爱上这门学科。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角的基本概念。角是由两条射线的公共端点（顶点）所形成的图形。它是平面几何中的基本元素，对于研究形状和结构至关重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量三角板上的角度，我们能够了解直角、锐角和钝角的特点，并学会如何使用量角器。
5.培养学生数学应用意识，将角的有关知识应用于生活实际，解决现实问题，体会数学与生活的紧密联系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-角的概念及其表示方法，强调角的定义及表示符号；
-角的分类，特别是锐角、直角、钝角、周角的区分；
-角的度量与比较，掌握度分秒的换算；
-角的加减运算及其几何意义，理解运算规律；
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念，能够通过观察、操作、推理等方式认识和理解角的概念及其特性；
2.培养学生运用数学语言进行表达和交流的能力，会用准确的数学语言描述角的分类、度量及运算；
3.培养学生逻辑推理能力，能够运用角的性质进行问题分析和解决；
4.培养学生数学抽象素养，从实际情境中抽象出角的模型，理解角在几何图形中的作用；
北师大版数学七年级上册第四章 基本平面图形 角
巩固练习
变式训练
14时的钟表的时针与分针所形成的角的度数是( C )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
连接中考 1. 如图，A，O，E 在一条直线上，图中小于平角的角有( C )
2. 下列说法不正确的是 ( B )
A. ∠AOB 的顶点是O B. 射线BO，AO分别是∠AOB的两条边
C. ∠AOB的边是两条射线 D. ∠AOB与∠BOA表示同一个角
课堂检测
基础巩固题
3.甲、乙、丙、丁，四名学生在判断钟表的分针和时针互相 垂直的时刻时，每人说了两个时刻，说法都对的是（ D ） A．甲：“3时整和3时30分” B．乙说“6时15分和6时45分” C．丙说“9时整和12时15分” D．丁说：“3时整和9时整”
A
答案：5050个，(1＋2＋3＋…＋n)个.
O
B
课堂小结
角的定义
角的表示 方法
角的度量
有公共端点的两条射线组成的图形 一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
用三个大写字母或一个大写字母表示 用一个数字加弧线表示 用一个小写希腊字母加弧线表示
度、分、秒 1°＝60′，1′＝60″
课后作业
作业 内容
A．4个 B．8个 C．9个 D．10个
2. 如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ B ） A．30° B．60° C．90° D．120°
课堂检测
基础巩固题
1. 下列语句正确的是 ( D ) A. 两条直线相交，组成的图形叫做角 B. 两条有公共端点的线段组成的图形叫做角 C. 两条有公共点的射线组成的图形叫做角 D. 从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角
4.2角+第2课时+角的比较+课件++++2024-2025学年北师大版七年级数学上册
（2）量一量，验证你的估计。 F
E
D
用量角器量得∠AOB≈61°, ∠DEF≈106°
【对应训练】
【教材 P123随堂练习第1题】
1.如图，在点阵中有三个角。 （1）先估计每个角的大小，再用量角器量一量； （2）找出三个角之间的等量关系。
解:(1)估计这三个角的度数分别为 135°，45°，135°。再用量角器量 出这三个角的度数，验证估计准确。
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和 记作 ∠AOC=∠AOB+∠BOC
C B
O
A
∠AOB是∠AOC与∠BOC的差 记作 ∠AOB=∠AOC－∠BOC
O ∠BOC是∠AOC与∠AOB的差 记作 ∠BOC=∠AOC－∠AOB
共顶点的几个角，可进行加减 O
C B
A C
B
A
【对应训练】 如图，用“>”“<”或“=”填空： （1）∠AOC__=__∠AOB+∠BOC； （2）∠AOC__＞__∠AOB； （3）∠BOD-∠BOC__=__∠COD； （4）∠AOD_＜___∠AOC+∠BOD； （5）若∠AOB=∠COD， 则∠AOC__=__∠BOD。
作法： ①作射线O′A′ ②以点O为圆心，以任意长为
半径作弧，交OA于点C ，交
OB 于点D
O
CA
O′
A′
③以点O′为圆心，以OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′
④以点C′为圆心，以CD的长为半径作弧，交前面的弧
于点D′
⑤过点D′作射线O′B′ ∠A′O′B′ 就是所要作的角
作一个角等于已知角
D
3.如图，已知∠1和∠2，用尺规作出∠AOB=∠1＋ ∠2(不写作法，保留作图痕迹)。
北师大版(2024)数学七年级上册 4.2.1 角的认识 课件(共23张PPT)
情境引入
在小学我们学习过角，请说说你对角的认识。你能在图4-16中找到角吗？
图4-16
获取新知
探究点1：角、平角、周角的概念
角由两条具有公共端点的射线组成(如图4-17)。 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的(如图4-18)。
A
边
顶点
O
边
B
图4-17
图4-18
角的大小与边 的长短无关。
文化馆 幼儿园
图书馆
游乐园 超市
课堂小结
这节课，你有什么收获？
课堂小结
角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形 一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
平角、周角的 定义
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角。
角
用三个大写字母或一个大写字母表示
B C
A
图4-21
D
解：（1）∠BAC,∠BAD和∠CAD
(2)∵以点A为顶点的角有3个 ∴∠BAC，∠BAD和∠CAD不能用∠A来表示
例题讲解
例2 下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠0三种方 法表示同一个角的是( D )
[解析]A、图中的∠AOB 不能用∠0 表示，故本选项错误; B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误; C、图中的∠1 和∠AOB 不是表示同一个角，故本选项错误; D、图中∠1、∠AOB、∠O 表示同一个角，故本选项正确;
角的表示方法 用一个数字加弧线表示
用一个小写希腊字母加弧线表示
角的度量 方位角
度、分、秒 1°=60′，1′=60″
课堂小结
这节课，你有什么困惑？
北师大版2024新版七年级数学上册基础练：4.2 课时1 角
《角》基础练易错诊断（打√或×）1.平角是一条直线.（）2.从同一点引出的两条射线所组成的图形叫做角.（）3.角的大小与角两边的长度有关，边越长角越大.（）4.两个锐角的度数和一定大于90°.（）对点达标知识点1 角的概念及表示方法1.下列各角中，________是钝角.（）A.14周角B.23平角C.平角D.14平角2.如图所示，下列表示角的方法错误的是（）A.∠1与∠PON表示同一个角B.∠ 表示的是∠MOPC.∠MON也可用∠O表示D.图中共有三个角∠MON，∠POM，∠PON3.写出图中符合下列条件的角.（图中所有的角均指小于平角的角）.（1）能用一个大写字母表示的角；（2）以点A为顶点的角.知识点2 角的度量与换算4.如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A.30B.60°C.120°D.150°5.如图，点O在直线DB上，已知∠1=20°，∠AOC=90°，则∠2的度数为（）A.150°B.120°C.110°D.100°6.用度、分、秒表示21.24°为（）︒'''A.211424︒'''B.212024︒'C.2134D.21︒︒'，则∠COB=________.7.如图，O是直线AB上的一点，∠AOC=2617知识点3 方位角和钟面角8.如图，射线OA表示的方向是（）A.北偏东65°B.北偏西35°C.南偏东65°D.南偏西35°9.当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，此时是（）A.9点钟B.10点钟C.4点钟或8点钟D.2点钟或10点钟10.如图，李强和同事驾驶快艇执行巡逻任务，他们从岛屿A处向正南方向航行到B处时，转60°航行到C处，再转80°继续航行，此时快艇的航行方向为（）A.南偏东20°B.南偏东80°C.南偏西20°D.南偏西80°11.如图OA为北偏东30°方向，∠AOB=90°，则OB的方向为（）A.南偏东60°B.南偏东30°C.南偏西60°D.东偏北60°12.若此时时钟表上的时间是8：20分，则时针与分针的夹角为________度.13.如图，点A在点O的北偏西60°的方向上，点B在点O的南偏东20°的方向上，那么∠AOB的大小为________°.参考答案易错诊断1.×2.√3.×4.×对点达标1.B2.C3.【解析】（1）能用一个大写字母表示的角有∠C，∠B.（2）以点A为顶点的角有∠CAB，∠CAD和∠DAB.4.C5.C6.A︒'7.153438.C9.D10.A11.A12.13013.140。
2024年北师大七年级数学上册 4.2 角(课件)
感悟新知
知3－讲
特别解读 经常用各种角之间的关系来比较角的大小
和计算角的度数 .
感悟新知
知3－练
例3 如图 4.2-3 所示，把两个三角尺拼在一起，指出其中 的锐角、直角、钝角 .
感悟新知
知3－练
解题秘方：本题考查按照度数的大小对角进行分 类， 掌握分类标准和三角尺各角的度 数是关键 .
解：由三角尺的特征可知， ∠ A， ∠ D， ∠ DEC， ∠ ACB是锐角， ∠ B， ∠ DCE 是直 角， ∠ BCD 和∠ AED 是钝角 .
知2－讲
2.角的四种表示方法
名称
图例
记法
表示方法
用三个大写 字母表示
∠ AOB 或∠ BOA
字母 O 表示顶点，A， B 分别 表示角的两边上的点，用该表 示法可以表示任何一个角
用一个大写 字母表示
∠O
当以某一点为顶点的角只有一 个时，可用顶点字母来表示角
感悟新知
名称 用一个阿 拉伯数字 表示 用希腊字 母表示
周角 . 具体如下表：
角的范围 0°<α <90°
α =90°
角的名称 锐角 直角
90°<α <180°
钝角
α =180° α =360°
平角 周角
各种角之间的大小关系
(1) 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 .
(2) 1 周 角 =2 平角 =4 直 角 =360°；1 平角 =2 直角 =180°；1 直角 =90°
感悟新知
知3－练
3-1.如图所示，用适当的方法表示图中的角： 锐 角有 _∠__B__A_D_，__∠___A_D_C__，__∠__B_，__∠__C__ ，直角有 _∠__D__A_C__，钝角有_∠__B_D__A_,_∠__B_A__C__ .
2023-2024学年北师大版七年级数学上册《第四章基本平面图形4.3角》教案
2023-2024学年北师大版七年级数学上册《第四章基本平面图形4.3角》教案一. 教材分析《第四章基本平面图形4.3角》这一节主要让学生了解角的定义、分类和性质。
通过本节课的学习，学生能够理解角的概念，掌握角的分类，了解角的性质，并能运用角的性质解决一些实际问题。
本节课的内容是学生学习几何的基础，对于学生来说非常重要。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了初步的图形知识，对于图形的认知有一定的基础。
但是，对于角的概念和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际操作，让学生理解和掌握角的概念和性质。
三. 教学目标1.让学生了解角的定义，掌握角的分类，了解角的性质。
2.培养学生观察、思考、动手操作的能力，提高学生解决问题的能力。
3.培养学生合作学习的精神，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.角的定义和分类2.角的性质五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物和图形，让学生直观地理解角的概念和性质。
2.采用自主探究法，让学生通过观察、思考、操作，自己发现角的性质。
3.采用合作学习法，让学生通过小组讨论，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备一些角模型，如三角板、四边形等。
2.准备一些图片，如角的示意图、角的分类图等。
3.准备一些练习题，如判断题、填空题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些角模型和图片，让学生观察并说出它们的名称。
引导学生思考：角是由哪两个点确定的？角有哪些分类？2.呈现（10分钟）介绍角的定义和分类。
给出角的定义：由一个点引出的两条射线所围成的图形，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
介绍角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
3.操练（10分钟）让学生自己动手操作，用量角器测量一些角的度数，并判断它们的类型。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生完成一些判断题和填空题，巩固所学的内容。
教师及时批改，给予反馈。
5.拓展（10分钟）介绍一些角的性质，如：角的度数与边的长短无关；角的度数与两边叉开的大小有关等。