2013东大真题解答

图 1 题二电路图
= 解：Ru0/r/(ss)C10
−uc(s) R1+sC11
T(s) = − (R0C0s+1)(R1C1s+1)
R0C1s
三、（共 20 分）已知控制系统结构图如图 2 所示，其中������������(������)的单位脉冲响应为������������ − ������������������−������。 试分析内反馈������������的存在对系统稳定性以及系统稳态误差的影响。
继电器特性描述函数：������(������) = ������������ √������ − (������)������ ，������ ≥ ������。
������������
������
图 4 题七系统结构图
解：W (s)
3
， W ( j)
j3
s(0.8s 1)(s 1)
(s + 2)[(s + 2)(s + 5) − (s − 1)(2s + 10 + s + 2)] = 0 ������1 = −2，为两个开环极点 ������2 + ������ − 11 = 0
������ = −1±√1+44 = −1±6.7，
2
2
������2 = 2.85(舍去)，������3 = −3.85——分离点
−1]Βιβλιοθήκη Kz−1(0.368 + 0.264Zz−1) = (1 − 0.368z−1)[1 + (K − 1)z−1]
所以，Wk(Z)
=
Z
[1]
s
∙
Wk1(Z)
=
Kz−1(0.368+0.264z−1) (1−z−1)(1−0.368z−1)[1+(K−1)z−1]
则WB(Z)
=
Wk(Z) 1+Wk(Z)
令Q(ω)
=
0得ω2
=
1 τ2
，即ω
=
1 τ
将其代入P（ω）可得P(ω) = −2Kτ3
所以，−2Kτ3
<
−1，即
K
>
1 2τ3
时，系统稳定
六、
（共
20
分，2
小题）已知控制系统的开环传递函数为:������������(������)
=
������������
。
������(������.������������+������)(������.������������+������)
N (A) dA
0 ，得 Am
2h
将其代入 1 ，可得 1 h
N ( A)
N ( Am ) 2M
为使系统不产生自振，须有 h 4 , 2M 3
所以
h8 M 3
八、 （共 20 分）已知系统结构图如图 5 所示，采样周期������ = ������������。试求闭环系统脉冲传递 函数，并判断闭环系统的稳定性。
图 5 题八系统结构图
解：Wk1(Z)
=
Ζ[1−es−Ts∙s(sK+1)] 1+Z[1−es−Ts∙s(sK+1)∙(s+1)]
=
(1−z−1)∙Z[s2(Ks+1)] 1+(1−z−1)∙Z[SK2]
=
������(1
−
������
−1)������[���1���2
−
1 ������
+
������
误差。
1
s2
E(s) 1WK1(s) R(s) s2 10 R(s)
阶跃输入：
R(s)

1 s
，
E(s)

s2
s 10
，
e(t) cos 10t ， ess cos 10t
斜坡输入： R(s) 1 ， E(s) 1 ，
s2
s2 10
e(t)
1 sin 10
10t ， ess
1、 （10 分）绘制系统伯德图，并求相位裕度；
2、
（10
分）如采用传递函数为������������(������)
=
������.������������������+������ 的串联超前校正装置，试绘制校正后系统
������.������������������������+������
=
10(s+1) s2(s+10τ+1)
其闭环特征方程：s3 + (10τ+1)s2 + 10s + 10 = 0 劳斯表：
S3 1
10
S2 10τ + 1 10
S1
100������ 10������+1
S0 10
当τ > 0时，系统稳定。
加速度输入稳态误差ess
=
lim s
1
s→0 1+s2(1s0+(s1+0τ1+) 1) ������3
(1 j0.8)(1 j)
P()
5.4 (1 0.642 )(1 2 )
,
Q()=
(1
3 2.42 0.642 )(1

2
)
令 Q(ω)=0,得 5 2
将ω代入 P(ω)得: P() 4 3
d( 1 )
又 1 取得最大值时，有 N ( A)
0.632
2.84
1 sin 10
10t
加速度输入
： R(s)
1 s3
， E(s)
1 s(s2 10)
1 10s

10(
s
s 2
10)
，
e(t) 1 1 cos 10 10
10t ，
ess 0.1 0.1cos
10t
当τs存在时，其开环传递函数为：Wk2(s)
=
s+1 s
∙
10 s2+(10τ+1)s
由图可知s = 0j时，闭环系统临界稳定，将其代入闭环特征方程 (s + 2)2(s + 5) + 5K(s − 1) = 0,得 K=4。 所以，0 < ������ < 4时，系统稳定。
2、将 s=-1 代入闭环特征方程得 4-10K=0，所以 K=0.4
0.4(s−1)
所以闭环传递函数WB(s)
双线性变换：
令： z 1 w 1 w
(2 − 2.84K)������3 + (6 + 0.84������)������2 + (3.472 + 1.368������)������ + 0.632������ − 3.472 = 0
系统稳定的必要条件：3.472 < K < 2 ，不能满足，所以系统不稳定。
=
10τ+1，可知随着τ的增加，稳态误差会变大。
10
四、 （共 20 分，2 小题）已知控制系统结构图如图 3 所示。
1、 （10 分）试绘制系统的根轨迹，并确定使闭环系统稳定的 K 取值范围。
2、 （10 分）若已知闭环系统的一个极点为-1，试确定该系统的闭环传递函数。
图 3 题四系统结构图
解：1、Wk(s)
一、简述题（共 10 分，2 小题） 1、 （5 分）影响系统稳态误差的因素有哪些？如何减小系统的稳态误差。 答：影响系统稳态误差的因素有系统的类型、开环增益和输入信号。 (1)增大开环增益可以减小稳态误差 (2)提高系统的型别可以减小稳态误差 (3)采用前馈补偿 2、（5 分）按照校正装置和系统不可变部分的连接方式，通常可分为哪三种基本校正方式， 其中哪种校正方式可以抑制系统的参数波动及非线性因素对系统性能的影响。 答：分为串联、反馈、前馈。其中反馈校正可以抑制系统的参数波动及非线性因素对系统的 影响。 二、 （共 20 分）求图 1 所示电路以������������为输入、为������������输出的传递函数。
=
Kz−1(0.368+0.264z−1) (1−z−1)(1−0.368z−1)[1+(K−1)z−1]+Kz−1(0.368+0.264z−1)
闭环特征方程为(1 − z−1)(1 − 0.368z−1)[1 + (K − 1)z−1] + Kz−1(0.368 + 0.264z−1) = 0
z3 + (1.368K − 2.368)z2 − (1.104K + 1.736)z + 0.368(K − 1) = 0
的伯德图，并求此时的相位裕度，同时讨论校正后系统的性能有何改进。
解：1、Wk1(s)
=
10 s(2s+1)(1s0+1)
，截止频率ωc
≈
√20
=
4.47
φ(ω) = −90° − arc tan 0.5ω − arc tan 0.1ω ∴ r1(ωc) = 180° + φ(ωc) = 180° − 180° = 0°
=
K(s−1) (s+2)2
∙
5 s+5
=
5K(s−1) (s+2)2(s+5)
系统极点：-2，-2，-5；零点：1；n-m=2
渐近线交点：σk
=
−
2+2+5+1 2
=
−5，夹角φ
=
∓180(1+2n) 2
=
±90°