六年级奥数第一讲数地整除
六年级奥数(数的整除)
六年级奥数(数的整除)整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a 也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.例1：四位数7a4b能被18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.这笔帐是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+ 2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4 四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？解：为了使这个数最大，先让前五位是987 65，设这个七位数是98765ab，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14 +a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是987 6504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，3 3，….例9 ○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝ 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104，8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝ 24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51= 5.720与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30， 60， 90， 120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14 将8个数6，24，45，65，77，78，10 5，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3， 24＝23×3，45＝32×5， 65＝5×13，77＝7×11， 78＝2×3×13，105＝3×5×7， 110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42， 100＝22×52，…例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16 小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝1 2（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，1 2这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元.三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95÷3，48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21…… 2，38÷5＝7…… 3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例175397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382，而 5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18 求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除 96 7，1000，2001的两两之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差1000-967与2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5，152被13除余9，那么5 7+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.例20有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝8×249＋ 6，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0， 1， 2， 3， 4， 5， 6 的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4，27被11除余5，37×2 7＝999被 11除的余数是4×5＝20被 11除后的余数 9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例 21 191997被7除余几？解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2，2×2＝4，2×2×2＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝3× 665 ＋ 2.就知道21997被7除的余数，与21997被 7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3 -1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以0×3加6再来减 1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被1 2除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被1 2除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26，…，再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28，….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数2， 9， 16， 23， 30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.为了满足“在100至200之间”将54，55，5 6分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是159， 160， 161.注意，本题实际上是：求一个数（100～20 0之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？。
第一讲数的整除
第一讲数的整除一、基础知识：1、能被4（25）、8（125）、3（9）、7（11）（13）整除的数的特征；4（25）：；8（125）：；3（9）：；7（11）（13）：。
2、分解质因数：。
二、例题：例1、一个六位数568abc分别能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？例2、六年级有72名学生捐款（处辨认不清），每人捐款例3、六位数能被66整除，找出所有这样的六位数；例4、一个2004位数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，求c是多少？例5、要使932×975×995×（）的积的最后五个数字都是0，那么在括号内最小应该填几？例6、四个班分一批图书，他们所得的本数一个班比一个班多3本，四个班分得图书本数之积是68040。
每个班各分得图书多少本？例7、24有多少个约数？这些约数的和是多少?24=23×3 约数个数=（3+1）×（1+1）=-1 31+1–1×=3-1三、练习：a)四位数8A1B能被2、3、5整除，问这些四位数是多少？b)能同时被2、9整除，填出c)已知六位数19 能被35整除，那么这个六位数是多少？d)84×300×365×（），要使这个连乘积的最后五个数字都是0，在括号里最小应填什么数？e)五个连续奇数的积是135135，这五个奇数的和是多少？四、作业：1、数学考试结果，某班学生中有1/3得优，3/7得良，其余得中或差，已知全班人数在40与60之间，得中或差的学生有多少人？2、一个六位数能被11和13整除，这个六位数所有的质因数的和是多少？3、四个连续自然数的积是3024，这四个自然数分别是多少？4、求4500的约数个数及所有约数的和是多少？五、思考题：在3×3的方格图中填入几个互不相同的自然数，如果每行、每列三个数相乘所得的六个乘积都等于n，那么（1）n可以是1996、1997、1998、1999、2000、2001、2002、2003这八个数中的哪些数？（2）在下面方格中填出一n=第二讲余数问题一、基础知识：1、被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商2、余数要比除数小。
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春季六年级奥数培训教材word⽂档⽬录第⼀章数与代数第⼀讲⽐较⼤⼩第⼆章实践与应⽤（⼀）第⼀讲⾏程问题（⼀）第⼆讲⾏程问题（⼆）第三讲⾏程问题（三）第四讲流⽔⾏船问题第三章空间与图形第⼀讲表⾯积、体积（⼀）第⼆讲表⾯积、体积（⼆）第四章数论与整除第⼀讲应⽤同余解题第五章应⽤（⼆）第⼀讲“⽜吃草”问题第⼆讲不定⽅程第三讲⽐例（补充）第六章组合与推理第⼀讲最⼤、最⼩问题第⼆讲乘法和加法原理第三讲抽屉原理（⼀）第四讲抽屉原理（⼆）第五讲逻辑推理（⼀）第六讲逻辑推理（⼆）第其讲对策问题第⼀讲⽐较⼤⼩【专题导引】我们已经掌握了基本的⽐较整数、⼩数、分数⼤⼩的⽅法。
本周将进⼀步研究如何⽐较⼀些较复杂的数或式⼦的值的⼤⼩。
解答这种类型的题⽬，需要将原题进⾏各种形式的转化，再利⽤⼀些不等式的性质进⾏推理判断。
如:a>b>0，那么a 2>b 2；如果a>b>0，那么bab a ；如果11 >1，b>0，那么a>b 等等。
⽐较⼤⼩时，如果要⽐较的分数都接近1时，可先⽤1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），减数越⼩，差越⼤的道理判断原分数的⼤⼩。
如果两个数的倒数接近，可以先⽤1分别除以这两个数。
再根据被除数相等，商越⼩，除数越⼤的道理判断原数的⼤⼩。
除了将⽐较⼤⼩转化为⽐差、⽐商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进⾏判断。
【典型例题】【例1】⽐较888889888884777778777773和的⼤⼩。
【试⼀试】1、⽐较666663666661777777777775和的⼤⼩。
2、将9998988987987798769876698765，，，按从⼩到⼤的顺序排列出来。
【例2】⽐较1111111111111111和哪个分数⼤？【试⼀试】 1、⽐较166331666333==B A 和的⼤⼩。
2、⽐较888888887444444443222222221111111110和的⼤⼩。
小学奥数模块教程1 数的认识
第一讲数的认识第一部分知识点梳理1.自然数、整数、负数。
（1）自然数：用来表示物体个数的0，1，2，，3……叫自然数。
任何非“0”的自然数都是若干个“1”组成，所以“1”是自然数的基本单位。
1也是最小的一位数。
“0”是最小的自然数。
（2）正数、负数：数的定义：像—1，—2，—3，…这样的数叫做负数。
“—”叫做负号，读作：负。
正数的定义：学过的1,2,3，…这样的数叫做正数。
正数的前面可以加“+”，一般情况下省略不写。
（3）负数、0、正数间的关系：正数>0>负数，0既不是正数也不是负数。
（3）整数：整数包括自然数和负整数，或者说整数由正整数、零、负整数组成。
（4）整数的读写：先分级（从右到左每四位数为一级），再从高位到低位一级一级地读写读法：从高位到地位，一级一级地读，每级末尾的0都不读出来，其它数位连续几个0的都只读一个零。
写法：从高位到地位，一级一级地写，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
（5）整数的大小比较：数位不同时，数位多的数就大。
数位相同时，左起第一位上的数大那个数就大，如果左起第一位数相同就比较左起第二位上的数，以此类推比较出数的大小。
（6）数位顺序表：把按照数位的顺序从右到左排列的表，叫数位顺序表。
（注意区别：数级、数位、计数单位）（7）多位数的改写：如果改写的是整万或整亿的数，就把原数末尾划去4个0或8个0，同时加上“万”或“亿”字。
如果改写的多位数不是整万或整亿的数，就在万位或亿位的右下角点上小数点，去掉小数点末尾的0，再在小数的后面加上“万”或“亿”字。
（8）准确数和近似数、省略：数据与实际完全符合的，叫准确数。
数据只是与实际大体符合或者说接近实际的数，叫近似数。
先用四舍五入法省略万位或亿位后面的数，再在这个数的后面加写“万”或“亿”字。
因为得出的数是近似数，所以要用“≈”连接。
2.数的整除（1）整除的意义：整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数，就说a能被b整除。
小学奥数数论导引
数论（导引五、六年级共计45页）数论问题第1讲整除一、内容概述：掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征，通过分析整除特征解决数的填补问题，以及多位数的构成问题等。
二、典型例题（一）兴趣篇1.★下面有9个自然数:14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125.在这些自然数中，请问：(1)有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？(2)有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？2.★有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837.这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？3.★★有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205.这些数中哪些能被11整除？哪些能被7整除？哪些能被13整除？4.★★一个三位数的十位数字未知，请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值：(1) 如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？(2) 如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？(3) 这个三位数有没有可能同时被3和4整除？如果有可能，“□”可能等于多少？5.★★四位数能被11整除，求出所有满足要求的四位数.6.★★新学年开学了，同学们要改穿新的校服，萱萱收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师.老师给了萱萱一张纸条，上面写着“交来校服费元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了.墨莫看了看，很快就算出了方格处的数字.聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？7.★★四位数能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数.8.★★★四位偶数能被11整除，求出所有满足要求的四位数.9.★★★一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话.服务人员告诉他，目前只有形如“1234□6□8”的号码可以申请.也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动.王经理打算申请一个同时能被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？10.★★★一个各位数字各不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除.这个四位数最大是多少?（二）拓展篇1.★判断下面11个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407.（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？2.★★是一个四位数.数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除.”问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？3.★★多位数能被11整除，满足条件的n最小是多少？4.★★★五位数能同时被11和25整除，这个五位数是多少？5.★★★牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上.但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“678”，其中方框表示被烧出的洞.牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？6.★★★六位数能同时被9和11整除，这个六位数是多少？7.★★★★请从1，2，3，4，5，6，7 这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数.这个五位数最大是多少？8.★★★卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59和89之间拼成一个五位数，使得这个五位数能被7整除.请问：小高写的数是多少？9.★★★已知51位数能被13整除，中间方格内的数字是多少?10.★★★（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0.如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最少是多少？11.★★★用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.12.★★★墨莫和小高玩一个数字游戏.墨莫先将一个三位数的百位和个位填好，然后小高来填写这个三位数的十位.如果最后这个三位数能被11整除，那么小高获胜，否则墨莫获胜.墨莫想了一会，想到了一个必胜的办法.请问：墨莫想到的办法是什么？13.★★★★对于一个自然数N，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何N 整除.请问：一共有多少个不大于10的一个自然数的右端，形成的新数都不能被1破坏数？14.★★★一个五位数，它的末三位为999.如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？（三）超越篇1.★★★在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？2.★★★将自然数1，2，3，…，依次写下去形成一个多位数“123 456 789 101 112 …”.当写到某个数N时，所形成的多位数恰好第一次能被90整除.请问：N是多少？3.★★★萱萱的爸爸买回来两箱杯子，两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价117.□△元”、“总价127.○◇元”（□，△，○，◇四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）.爸爸告诉萱萱，其中一箱装了99只A型杯子，另一箱装了75只B型杯子，每只杯子的价格都是整数分.但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也记不得哪个箱子装的是A型杯子，哪个箱子装的是B型杯子了.爸爸知道萱萱的数学水平很厉害，于是他想考考萱萱.萱萱看了看，说：“这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整数性质，这下可以派上用场了.”同学们，你能像萱萱一样把价签上的数分辨出来吗？4.★★★★小高在一张纸条上依次写上了2，3，4，5，6，7 这六个数字，形成了一个六位数.卡莉娅把这张纸条撕成了三节，这三张纸条上的数加起来得到的和（如图，三节++=）能被55整除.请问：卡莉娅可能是在什么位置撕断纸条上的和为234567486的这张纸？5.★★★★将一个自然数N接在任一自然数右面（例如将2接在13的右面的到132），如果所得的新数都能被N整除，那么称N为“神奇数”.请求出所有的两位“神奇数”.6.★★★★在六位数中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除.方框中的两位数是多少？7.★★★★多位数A由数字1，3，5，7，9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中的任意一个数字整除.求这样的A的最小值.8.★★★★★有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”.比如2332，181，77都是回文数.如果一个六位回文数除以95的商也是回文数，那么这个六位数是多少？数论问题第2讲质数与合数一、内容概述：掌握质数与合数的概念;熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方法解决相关的整数问题;学会计算乘积末尾零的个数.二、典型问题:（一）兴趣篇1.★写出50以内所有的质数.2.★（1）如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？（2）如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？（3）如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？3.★有人说：“任何7个连续整数中一定有质数.”请你举一个例子，说明这句话是错的.4.★★★请写出5个质数，使得它们正好构成一个公差为12的等差数列.5.★请把下面的数分解质因数：（1）160；（2）598；（3）211.6.★★三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数.请求出这三个数.7.★★用一个两位数除330，结果正好能整除.请写出所有可能的两位数.8.★★两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少?9.★★请将2,5,14,24,27,55,56,99这8个数分成两组，使得这两组数的乘积相等.10.★★请问：算式的计算结果的末尾有几个连续的0？（二）拓展篇1.★★一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数.2.★★★9个连续的自然数中，最多有多少个质数？3.★★（1）两个质数的和是39，这两个质数的差多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？4.★★请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660.5.★★有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于140，把所有的这样的分数从小到大排列，其中第三个分数是多少？6.★★★小高在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字5看成了8，由此得乘积为1104，正确的乘积是多少？7.★★★三个连续自然数的乘积等于39270.这三个连续自然数的和等于多少？8.★★★甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪.三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10的自然数.把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙.请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？⨯⨯972⨯，要使这个连乘积的最后4个数字都是0.方框内最小应填9.★★★975935什么数？⨯⨯3⨯⋯⨯29⨯30的计算结果的末尾有几个连续的0？10.★★★（1）算式12（2）算式31⨯32⨯33⨯⋯⨯150的计算结果的末尾有几个连续的0?11.★★★请问：两个连续两位数乘积的末尾最多有几个连续的0？12.★★★把从1开始的若干连续的自然数1，2，3，…乘到一起.已知这个乘积的末尾13位恰好都是0.请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？13.★★★168乘以一个大于0的整数后正好是一个平方数.乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多少的平方？14.★★★（1）60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数.这个三位数至少是多少？（2）72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这样的三位数一共有多少个？（三）超越篇1.★★如图，三张卡片上各印有一个数字.从这三张卡片中选取一张或多张（每张最多选1次）拼成质数，一共可以拼成多少个不同的质数？2.★★★★用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成若干质数，要求每个数字恰好使用一次.请问：最多能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法.3.★★★三个质数的乘积恰好等于它们和的5倍，这三个质数分别是多少?4.★★★★在射箭运动中，每射一箭得到的环数都是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙各自的总环数.5. ★★★★两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制.每局先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜.结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过20分，把每人每局得分乘在一起恰为480480.请问：各局比分分别是多少？（按大比小的方式写出）6. 如图，把13，12，15，25，20这5个数依次排列.它们每相邻的两个数相乘得4个数，这4个数每相邻的两个数相乘得3个数，这3个数每相邻的两个数相乘得2个数，这2个数每相邻的两个数相乘得1个数.请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个0？7. ★★★★★从1!，2!，3!，…，100! 这100个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数.请问：被去掉的那个数是什么？8. 8.★★★★★已知对任意正整数n ，都有公式：222126n n n n ⨯(+1)⨯(2+1)++⋯+=,求分数2222222221(12)(123)(12100)100!⨯+⨯++⨯⋯⨯++⋯+化成最简分数后的分母.数论问题第3讲 约数与倍数一、内容概述：掌握约数与倍数的概念;学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法;能够利用最大公约数与最小公倍数的性质解决相关的整数问题.二、典型问题:（一）兴趣篇1.★（1）请写出4个24的约数；（2）请写出4个24的倍数；（3）请写出24的所有约数.2.★（1）请写出105的所有约数；（2）请写出72的所有约数.3.★★（1）20000的约数有多少个？（2）720的约数有多少个？4.★★计算：（1）（28，72），[28，72]；（2）（28，44，260），[28，44，260].5.★★两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少?6.★★（1）求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；（2）求3553,3910和1411的最大公约数.7.★★教师节到了，校工会买了320个苹果、240个橘子、200个香蕉来慰问退休老职工.请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、香蕉各有多少个？8.★★★一块长方形草地，长120米，宽90米.现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都种树，且相邻两棵树之间的距离都相等.请问：最少要种多少棵树？9.★★甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？10.★★墨莫和小高在黑板上各写了一个自然数，它们的最大公约数是42，最小公倍数是168.那么这两个数的和是多少？（二）拓展篇1.★★72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？2.★★★5400共有多少个约数?求出所有约数乘积的质因数分解形式.3.★★★有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍.已知甲数是2，4，6，8，10，12，14，16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数.乙数是多少？4.★★★两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1.这两个数分别是多少？5.★★计算：（1）（391，357），[391，357]；（2）（18，24，36），[18，24，36].6.★★1547，1573，1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？7.★★张阿姨把225个苹果、350个梨和150个橘子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个橘子没分出去.请问：每个小朋友分了多少个苹果？8.★★一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？9.★★★两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别是多少？10.★★★两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？11.★★★卡莉娅、小高、萱萱在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？12.★★★有4个不同的正整数，它们的和是1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少?13.★★★★甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126.请问：甲数是多少？14.★★★★甲、乙是两个不同的自然数.它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数.它们的最大公约数是12.请问：甲、乙两数之和是多少？（三）超越篇1.★★★360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？2.★★★求出所有恰好含10个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和.3.★★★★已知a与b的最大公约数是4，a与c，b与c的最小公倍数都是100，而且a≤b.满足条件的自然数a、b、c共有多少组？4.★★★★所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？5.★★★★自然数n是1，2，3，…，10的公倍数，而且它恰有72个约数.n的最小值是多少？6.★★★★三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处.里圈跑道长15千米，中圈跑道长14千米，外圈跑道长38千米.甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑.开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑132千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.他们同时出发，请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？7.★★★★★如图，在一个600600的方格表ABCD中，将A与线段CD上除端点外的所有格点，，，…,分别相连，得到599条线段.请问，在这些线段中：（1）不会与其他格点相交的线段共有多少条？（2）经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）？（3）除去端点，还恰好经过29个格点的线段有多少条？8.★★★★★有些自然数等于自身约数个数的平方，例如1和9都具有此性质.请问：是否还有其他自然数具有此性质？如果有，请举例；如果没有，请说明理由.数论问题第4讲余数一、内容概述：掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法.学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数;学会运用周期性处理各类余数的计算问题；学会求解“物不知数”问题.二、典型问题:（一）兴趣篇1.★72除以一个数，余数是7.商可能是多少？2.★★97与79除以一个数的余数都是7，那么这个数可能是多少？3. ★★100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0.这个除数可能是多少？4. ★20 080 808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？5. ★★（1）135137139⨯+除以5的余数是多少？（2）3579135713579⨯+除以9的余数是多少？6. ★★★4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101，126，173，193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数.请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？7. ★★某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件.月底将这些零件按17个一包的规格打包，最后发现一包不够17个.请问：最后一包有多少个零件？8. ★★★（1）202除以7的余数是多少？（2）1414除以11的余数是多少？（3）12128除以13的余数是多少？9. ★★★一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？10. ★★有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1.请问：这个数除以12余数是几？（二）拓展篇1. ★1111除以一个两位数，余数是66.求这个两位数.2. ★（1）21421421421421⋯个除以4和125的余数分别是多少？（2）21808808808808⋯个除以9和11的余数分别是多少？3. ★★一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个.年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个.请问：最后一包有多少个零件？4. ★★自然数67221⨯2⨯2⨯⋯⨯2-个的个位数字是多少？5. ★★★算式20072007200720071232006+++⋯+计算结果的个位数字是多少？6. ★★★1088888+⨯+⋯+⨯8⨯⋯⨯8个除以5的余数是多少？7. ★★★一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？8. ★★★一个自然数除以19余9，除以23余7.这个自然数最小是多少？9. ★★★刘叔叔养了400多只兔子.如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只; 如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只; 如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只.请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？10. ★★★100多名小朋友站成一列.从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？11. ★★★123123123123123⋯个除以99的余数是多少？12. ★★★把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去.请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？13. ★★★有一个大于1的整数，用它除300，262，205得到相同的余数，求这个数.14. ★★★★用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍.如果这个数大于1，那么这个数是多少？（三）超越篇1. ★★★从1依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899.这个多位数除以11的余数是多少？2. ★★★算式20087777777+⨯+⋯+⨯⨯⋯⨯个计算结果的末两位数字是多少?3. ★★★算式12007⨯3⨯5⨯7⨯⋯⨯计算结果的末两位数字是多少？4. ★★★有多根牙签，按以下种规格分成小包：如果根一包，最后还剩根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8，7，6，5根为一包，最后分别剩7，6，5，4根.原来一共有牙签多少根？5. ★★★有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5，7，9的倍数.这三个连续自然数最小是多少？6. ★★★★请找出所有的三位数，使它除以7，11，13的余数之和尽可能大.7. ★★★已知21!0909421717094000AB CD =，那么四位数ABCD 是多少？8. ★★★★有一些自然数n ，满足：2n n -是3的倍数，3n n -是5的倍数，5nn -是2的倍数.请问;这样的n 中最小的是多少?（以下内容为六年级导引）数论问题第5讲数论综合一一、内容概述：运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题;学会利用简单代数式处理数论问题.二、典型问题:（一）兴趣篇1.★★如果某整数同时具备如下三条性质：（1）这个数与1的差是质数；（2）这个数除以2所得的商也是质数；（3）这个数除以9所得的余数是5.那么我们称这个整数为“幸运数”.求出所有的两位幸运数.2.★★一个五位数825，方格中的数未知.请问：（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？3.★★在小于5000的自然数中，能被11整除，并且所有数字之和为13的数共有多少个？4.★★★一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47，27，24）.已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数.请问：原来的三位数是多少？5.★★26 460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？N 恰有8个约数.满足条件的自然数中，最6.★★★一个自然数N共有9个约数，而1小的和第二小的分别是多少？7.★★★一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？8. ★★★有一个算式61⨯5⨯4⨯3⨯2⨯，小明在上式中把一些“⨯”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？9. ★★★一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20.问：这个两位数是多少？10. ★★★信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送.对方能获得密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用.有一天我军截获了敌军的一串密文：378421A B C ，字母表示还没有被破译出来的数字.如果知道密码满足如下条件：（1）密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；（2）三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；（3）三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数；你能破解此密文吗?（二）拓展篇1. ★★★已知370a b c ⨯是495的倍数，其中a 、b 、c 分别代表不同的数字.请问：三位数是多少？2. ★★11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？3. ★★★有一个算式9⨯8⨯7⨯6⨯5⨯4⨯3⨯2⨯1.小明在上式中把一些“⨯”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？4. ★★★由1、2、3、4各一个组成四位数abcd ，使得a 、ab 、abc 、abcd 这四个自然数都不是3的倍数，那么最大是多少，最小是多少？5. ★★★在小于100的正整数中，能被2或3整除，且不能被6整除的数共有多少个?6. ★★★★有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号.1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除,3号接着说：“这个数能被3”……依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号整除.1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说的不对，其余同学都对.问：（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？7.★★★有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关.现在有编号为1至2008的2008个人来按动这些开关.已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依次下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数.如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？8.★★★狐狸与黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次.在比赛道路上，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱.请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?9.★★★一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数.请问：这个偶数是多少？10.★★★一个合数，其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数.11.★★★★已知a与b 是两个正整数，且a> b.请问：（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？12.★★★★已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350.满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？13.★★★已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1.求这两个两位数.14.★★★如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）.小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔.他又试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6个孔跳一步，正好回到A孔.问：这个圆圈上共有多少个空？。
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六年级奥数知识点大汇总1、六年级奥数知识点讲解：不定方程2、六年级奥数知识点：约数与倍数3、六年级奥数知识点：数的整除4、六年级奥数知识点：余数及其应用5、六年级奥数知识点：余数问题6、六年级奥数知识点：分数与百分数的应用7、六年奥级数知识点：分数大小的比较8、六年级奥数知识点：完全平方数9、六年级奥数知识点讲解：称球问题10、六年级奥数知识点讲解：质数与合数11、六年级奥数知识点讲解：二进制及其应用12、六年级奥数知识点讲解：定义新运算13、六年级奥数知识点讲解：周期循环数14、六年级奥数知识点讲解：牛吃草问题15、六年级奥数知识点讲解：鸡兔同笼问题16、六年级奥数知识点讲解：归一问题17、六年级奥数知识点讲解：逻辑推理问题18、六年级奥数知识点讲解：几何面积19、六年级奥数知识点讲解：时钟问题20、六年级奥数知识点讲解：浓度与配比21、六年级奥数知识点讲解：经济问题22、六年级奥数知识点讲解：简单方程23、六年级奥数知识点讲解：循环小数24、六年级奥数知识点：综合行程问题25、六年级奥数知识点讲解：工程问题26、六年级奥数知识点讲解：比和比例27、六年级奥数知识点讲解：加法原理28、六年级奥数知识讲解：数列求和29、六年级奥数知识讲解：抽屉原理30、六年级奥数知识点讲解：平均数问题31、六年级奥数知识点讲解：盈亏问题32、六年级奥数知识点讲解：植树问题33、六年级奥数知识点讲解：年龄问题的三大特征34、小学奥数知识点总结之：和差倍问题35、小学奥数知识点总结之：分数拆分1、六年级奥数知识点讲解：不定方程不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；2、六年级奥数知识点：约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。
六年级奥数全教程
第一章 数与计算第一单元 同余问题1．知识前提。
（1） 整除：如果整数a 除以自然数b ,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a 能被b 整除或b 能整除a 。
（2） 乘方的意义：求n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
n 个相同因数a 相乘，即n aa a a •L 14243个，记做n a 。
其中a 叫做底，n 叫做指数，na 读做a 的n 次方。
（3） 幂的运算法则：① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
即m n m n a a a +•=。
② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即 ()mn nm a a =。
③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
即 ()nn n ab a b =•。
2．同余如果两个整数的a 、b 除以同一个自然数m 所得的余数相同，那么就说a 、b 对于m 是同余的，记为a =?h （mod m ）。
我们把m 称为模。
如果a 、b 对于m 是同余的，那么a 与b 的差能被m 整除；反之，如果a 与b 的差能被M 整除，那么a 、b 对于m 是同余的。
3．规律、方法应用。
（1） 反身性规律：a 和a 对于m 同余。
（2） 对称性规律：a 和b 对于m 同余，那么b 和a 对于m 同余。
（3） 传递性规律：如果a 和b 对于m 同余，b 和c 对于m 同余，那么a 和c 对于m 同余。
（4） 同余的加减法、乘法规律：如果a 和b 对于m 同余，c 和d 对于m 同余，那么a ＋c ，和b ＋d ，a －c 和b －d ，a c 和bd 对于m 同余。
（5） 同余的乘方规律：如果a 和b 对于m 同余，那么n a 和n b 也对于m 同余。
（6） 同余的连加规律：1a 和1b 对于m 同余，2a 和2b 对于m 同余，3a 和3b 对于m 同余……na 和nb 对于m 同余，那么123n a a a a +++L 和123n b b b b +++L 也对于m 同余。
六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.教师版
第一讲分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学6年奥数
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第六讲：最大和最小问题
1． 当两数和一定时，两数的差愈小，两数的积愈大；当两数相等时，这两数乘积最大。 2． 若几个数的和一定，当几个数相等时，它们的积最大。 3． 周长一定的长方形中，正方形的面积最大。周长一定边数相等的多边形中，正多边形的 面积最大。周长一定的正多边形中，边数愈大面积愈大。 4． 若两数的乘积一定，那么当两数相等时它们的和最小。 5． 将数 n 分成若干个数的和，当 n=3k 时，分拆成 n=3+3+„+3（k 个 3） ，此时这些数的 乘积最大为 3k；当 n=3k+1 时，分拆成 n=3+3+„3+4(k-1 个 3)，此时这些数的乘积最大为 4 ×3k-1；当 n=3k+2 时，分拆成 n=3+3+„+3+2（k 个 3） ，此时这些数的乘积最大为 2×3k。 例一、1．下面等式中，B 应是什么数时，才能使 A 最大？ A÷126=14„„B 2．用一根长为 16 分米的铁丝弯成一个长方形，当长与宽各是多少时，长方形的面积最大， 最大面积是多少？ 3．比较下面两个乘积的大小：a=57128463×87596512 b=57128460×87596515
第三讲分数比较大小
方法：1、相减法 2、相除法 3、交叉相乘法 4、倒数法 5、转化小数法、6、中间 数比较法 一、1．比较 15/19、4/9、12/25、20/37 这四个分数的大小。 2． 比较 A 与 B 的大小： A=1/ （19982-1998+1） ， B=1/ （19982-1997×1998+19972） 。 3．比较：10/7、14/9、7/5、35/23 二、1．比较 4443/5554，5557/6668，6668/7779 三个分数的大小。 2．比较 7777775/7777777 和 6666661/6666663 的大小 三、1．A= 4 6 8 1000000 × × ×„× ,试比较 A 与 0.003 谁大谁小。 5 7 9 1000001
六年级奥数-数论专题
数论（一）奇数与偶数【知识点概述】1.奇数和偶数的定义：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶性质8：奇数的平方可以写作4k+1 ，偶数的平方可以写作4k【习题精讲】【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？(1) 29＋30＋31＋……＋87＋88(2) （200＋201＋202＋......＋288）－（151＋152＋153＋ (233)(3) 35＋37＋39＋41＋……＋97＋99【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
(1) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10(2) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22 【例4】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?【例5】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【例6】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数?【例7】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？【例8】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【例9】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【例10】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中有几个奇数？【例11】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【例12】在ll张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．【例13】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k为偶数．【作业】1、是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10＝36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
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第一讲数的整除精准诊查【课首沟通】了解学生对2、5、3的倍数的特征的掌握情况；适当的向学生提出问题4、8、9、11的倍数的特征; 引起学生的好奇心，激发学生学习探讨的兴趣。
【知识导图】【课首小测】1. 人们口上经常所说的单数、双数是什么意思？ （口述回答）2.从下面四张数字卡中取出三张，按要求组成三位数。
（有几个写几个）E LE E奇数：（ ） 偶数：（） 2的倍数：（ ） 3的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 5的倍数：（） 既是2又是3的倍数：（）数的整除2. 5的倍数的特征X 9的倍数的特征4 $的倍数的特征n 的倍数的特征个位上是人2、人乩$做是丄的借数个位上是0、玉桶是乏的倍数各也上的数的和是3、©的信數末4旳倍数末屋三位数是S 的倍数-■wm 数位上的如之和与朋 位±佛字之和的差（大珈小数）m 能薇11鷗，那么寇个對就能被仲瞬。
【知识梳理】能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8。
能被5整除的数：个位数是0或5。
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数导学一2、5的倍数的特征1.判断题。
（1）两个奇数的和不一定是偶数。
（）（2）个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
（）2.填一填。
（1）2的倍数中最小的三位数是（）；最大的三位数是（）（2）5的倍数中最小的两位数是（）；最大的两位数是（）（3）既是2的倍数又是5的倍数的最大的两位数是（）。
奇数+奇数=_ 偶数+偶数二—奇数-奇数=_ 奇数+偶数二—奇数X奇数二___ 奇数X偶数3.选择题（1）能被5整除的数，个位上是（A、2 4 6B、135C、0 5（2）既是2的倍数又是5的倍数的数中，最小的两位数是（）.A、10B、20C、25（3）一个奇数如果（），结果就是偶数。
A、乘1B、减2C、力卩1（4）如果用n表示自然数，那么偶数可以表示为（）。
A、2nB、n + 2C、n —14.解决问题。
食品店运来85个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个面包装一袋，能正好装完吗？为什么？答：_______________________________________________________________________________________做完这些题你有什么收获？【知识梳理】各位上的数的和能被3整除导学二3的倍数的特征1.判断题（1）1既不是质数也不是合数。
（）（2）个位上是3的数一定是3的倍数。
（）2.填空题（1）在□里填一个数字，使每个数都是3的倍数□5，□里可以填（）；3口，□里可以填（）；□78，□里可以填（）；14 H，□里可以填（）；60 □, □里可以填（）。
（2）在15、18、25、30、19中，2的倍数有（），5的倍数有（）,3的倍数有（），既是2、5又是3的倍数有（）。
（3）一个两位数，它既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是（）。
（4）能被2、3、5整除的最小两位数是（）。
3.解决问题（1）我是一个两位数，同时是2和5的倍数，十位与个位上的数字之和是6，我是多少？答：________________________________________________________________________________________ 。
（2）有1包糖果，无论是平均分给2个人，还是5个人，都正好剩1块；如果平均分给3 个人，那么正好分完。
这包糖果至少有多少块？答:做完这些题你有什么收获?【知识梳理】能被4整除的数：末两位数能被4整除。
能被8整除的数：末三位数能被8整除。
能被9整除的数：各数位上的数之和能被9整除。
难点：导学三4、8、9的倍数的特征例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除?234，789，7756，8865，3728，8064。
能被4整除_________________________________能被8整除_________________________________能被9整除_________________________________解：能被4整除的数有7756，3728，8064 ；能被8整除的数有3728，8064 ；能被9整除的数有234，8865，8064 。
例2在四位数56耳中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？答:解：如果56 C2能被9整除，那么5 +6 + 口+2 = 13 + □应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56耳能被8整除，那么6耳应能被8整除，所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56 □?能被4整除，那么□ 2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
做完这些题你有什么收获？【知识梳理】一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说,个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419 中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
难点：导学四11的倍数的特征例1.判断42559，7295871能否被11整除？分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
解：42559奇数位的数字和为4+5+9=18 ，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11 的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25 ，偶数位的数字和为2+5+7=14 ，25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。
例2.有一个六位数7150匸能被11整除，这个六位数是_____________例3.求下列数除以11的余数。
(1)65636 ( 2)19683578分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
求余数的时候也一样，用他们的差除以11，所得的余数就是该数除以11的余数。
但有时候奇数位数字之和远大于偶数位数字之和时，可以用偶数位数字之和减奇数位数字之和的差除以11。
做完这些题你有什么收获?【知识梳理】数的整除具有如下性质:性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48 —定能被8整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21 + 15及21-15都能被3整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9 X7 = 63 整除。
导学五数的整除的综合应用例1从0， 2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
例2五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字?A代表_____B代表_____分析与解: 例1.因为组成的三位数能同时被2 , 5整除，所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征，数字和2 + 7 + 0与5 + 7 + 0都能被3整除，因此所求的这些数为270,570,720, 750。
例2.已知亦西日能被72整除。
因为72 = 8 X9, 8和9是互质数，所以尿而既能被8整除，又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征，要求刊日能被8整除，由此可确定B = 6。
再根据能被9整除的数的特征，賞MR的各位数字之和为A + 3 + 2 + 9 +B =A + 3 —f —2 + 9+ 6 = A + 20，因为I<A<9，所以21 WA + 20 <29。
在这个范围内只有27能被9整除，所以A = 7。
解答的关键是把72分解成8 X9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A 所代表的数字。
在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。
例3六位数umru是6的倍数，这样的六位数有多少个？分析与解：因为6二2 X3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。
由六位数能被2整除，推知A可取0 ,2，4，6，8这五个值。
再由六位数能被3整除，推知3 + A + B+ A + B + A = 3 + 3A + 2B能被3整除，故2B能被3整除。
B可取0, 3 , 6, 9这4个值。
由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A闿，所以符合条件的六位数共有5X4 = 20 （个）。
例4要使六位数1SABC6能被36整除，而且所得的商最小，问A , B, C各代表什么数字?分析与解：因为36二4 X9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。
六位数両阪能被4整除，就要丽能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使|両甌这个六位数尽可能小。
因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。
先试取A=0。
六位数面丽i的各位数字之和为12 + B + C。
它应能被9整除，因此B+ C = 6或B+ C= 15。
因为B，C应尽量小，所以B + C = 6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使硕丽尽可能小，应取B= 1，C= 5。
当A=0，B=1，C= 5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156 -36 = 4171。
能力展示2限时模拟（10分钟）1.一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。
在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？答：_______________________________________________________________________________________2 •学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是口67.9 □元, 你知道每只小足球多少钱吗？答：_______________________________________________________________________________________3.五位数• 能被12整除，求这个五位数。
答：_______________________________________________________________________________________【课后练习】1. 6539724能被4 , 8 , 9, 24 , 36 , 72中的哪几个数整除?2 .个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个?3•有一个能被24整除的四位数□ 23 □，这个四位数最大是几？最小是几?4 •从0 , 2, 3 , 6 , 7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？5 •在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除_____________ £跟踪指导1、学完这节课的内容后，完成本堂课的课后作业。