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《分母有理化》 讲义
《分母有理化》讲义一、什么是分母有理化在数学中，分母有理化是一种重要的运算技巧。
当我们面对一个分式，其中分母是含有根式的表达式时，通过一定的方法将分母中的根式去掉，把分母化为有理数，这个过程就叫做分母有理化。
比如说，对于分式\（＼frac{1}｛＼sqrt{2}｝＼），它的分母\（＼sqrt{2}＼）是一个无理数。
经过分母有理化后，我们可以将其化为\（＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），此时分母\（2\）就是一个有理数。
分母有理化的目的主要是为了简化计算和表达式，使得数学运算更加方便和清晰。
二、为什么要进行分母有理化分母有理化在数学中具有重要的意义和作用，主要体现在以下几个方面：1、简化运算当分式的分母中含有根式时，进行计算往往比较复杂。
通过分母有理化，可以将分母化为有理数，从而简化运算过程，提高计算的准确性和效率。
2、统一形式在数学问题中，为了便于比较和分析不同的表达式，常常需要将它们化为相同的形式。
分母有理化可以帮助我们将分式化为具有统一分母的形式，便于进行后续的运算和处理。
3、便于理解和分析有理化后的分母更容易被理解和直观地把握，有助于我们更深入地研究和分析数学问题。
三、分母有理化的基本方法分母有理化的方法主要有以下几种：1、乘法有理化对于形如\（＼frac{A}｛＼sqrt{B}｝＼）的分式，我们可以将分子分母同时乘以\（＼sqrt{B}＼），得到\（＼frac{A\sqrt{B}｝｛B}＼）。
例如，对于\（＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（＼sqrt{3}＼），得到\（＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼）。
2、平方差公式有理化当分母是形如\（a ＋＼sqrt{b}＼）或\（a ＼sqrt{b}＼）的式子时，我们可以利用平方差公式\（（a ＋ b)（a b) ＝ a^2 b^2\）来进行有理化。
例如，对于\（＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（2 ＼sqrt{3}＼），得到：＼＼begin{align}＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛（2 ＋＼sqrt{3}）（2 ＼sqrt{3}）｝＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛2^2 （＼sqrt{3}）＾2}＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛4 3}＼＼＆＝2 ＼sqrt{3}＼end{align}＼四、分母有理化的实例下面通过一些具体的例子来进一步理解分母有理化的过程和方法。
分母有理化(根式)
1
49 47 47 49
解：观察： 1 3
3
3
6
3
1 2
3 3
3
1 2
1
3 3
,
5
1 33
5 5
3 3 30
5
15 2
3 3 15
5
1 23 35 5 (2) 1 1
1
3 3 5 3 3 5 7 5 5 7
......
1
49 47 47 49
解：考察一般情况：
1
(2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1
3、一些特殊的方法供参考！
2x (4)
2x
3y 3y
(2 x 3 y )(2 x (2 x 3 y )(2 x (2 x 3 y )2 (2 x )2 (3 y )2
3 y) 3 y)
4x 9 y 12 xy 4x 9y
(1)观察下列计算找出规律： 1 2 1， 2 1
1 3 2， 1 4 3，............
（a （a
b）的有理化因式是（ a b）的有理化因式是（ a
b） b）
分母有理化的过程即是分子分母同时乘 以分母的有理化因式
m 的有理化因式是 m
1
ac
ac
ac
ac ac ac
a b 的有理化因式是 a b
知 识
1
23
23
2 3 (2 3)(2 3)
拓 展
x a y b 的有理化因式是 x a y b
2 ab
平方差公式
a b 乘以什么式子才能不含有根号呢？
（a
b）（ a
b）
2
a
2
b
最新分母有理化(八年级数学)幻灯片
10 6 2
计算 15 35 215
32 5 7
解 ： 原 式 ( 3 5)( 5 7) ( 3 5)( 5 7)
原 式 的 倒 数 1 1 73 57 35 2
原式 7 3 2
1 、分母有理化 2、有理化因式
（1）各种典型的有理化因式； （2）二次根式的除法运算 （3）化简分母较复杂的二次根式
胃轻瘫
胃轻瘫定义
是指无流出道机械性梗阻的胃排空延迟 ，伴有恶心、呕吐、腹胀、腹痛、早饱 等症状。
胃排空生理
• 胃排空是指胃内容物顺利排入十二指肠的过程，其依 赖于胃-十二指肠平滑肌的协调运动。
• 胃运动分为消化期运动和消化间期运动。食团进入胃 腔时产生的运动称为消化期运动；在胃排空后至下一 次进食间，胃会发生特征性的时相运动，称为消化间 期运动。正常情况下消化期运动持续约2h，将胃内食 团研磨成食糜，排入至十二指肠，此运动包含受纳、 混和、研磨、排空4个过程。
• 正常情况下，胃排空过程受自主神经（主要是迷走神 经）、胃肠激素等调节。
胃轻瘫的发病机制
胃排空过程任何环节出现障碍均可发生胃 轻瘫，如支配胃平滑肌的自主神经和肠神 经系统病变（多数是全身性病变的局部表 现）、胃平滑肌本身病变以及诸多累及这 两方面的系统或局部性因素等。
胃轻瘫的病因学
大部分胃轻瘫可明确病因，即继发性胃轻瘫， 而约1/3胃轻瘫的病因迄今未能阐明，称为原发 性或特发性胃轻瘫。在儿童胃轻瘫中，特发性 、药源性、手术后、病毒感染后和糖尿病性胃 轻瘫分别占70%、18%、12.5%、5.0%和4.0% ；在成人胃轻瘫中，特发性、糖尿病和手术后 胃轻瘫分别为36%、29%和13%。
• 9.病毒感染：18%的儿童胃轻瘫可能由病 毒感染所致。亦有报道HIV感染后可能会 发生胃轻瘫。
分母有理化ppt
2 3
前两个分母满足平方差,可通分相加.
2 1 3 2 1 3
1 3 1 3
1 4
3 1 3
2 2.
计算： [例8 ]
1 2 1 1 2
1 3 22 3 .
1 4 3 3 4
（1988年新 加坡中学数 学竞赛试题）
100 99 99 100
.
分母中被开方数较大， 7 7 11 6 11 7 可设原式为A， 能分解吗？ 11 5 7 4 6 1 11 7 7 6 先求出 ， A 11 7 4 7 6 盯住分子将分母分解。 再求A.
如果把原式的 分子、分母互 换，该如何化 简？
1 2 3
2 1 3
1 2 3 1 2 盯住分母将分子分组分解。
1 2.
（1995年四川省初中数学联赛试题）
[例5 ] 化简
解
6 4 3 3 2 ( 6 3 )( 3 2 )
.
6 3 3 3 2 能否看作 原式 能盯住分母将分子分组吗。 6 3 3 2 两分式之
k 1
解 原式 个分数之和 式子中有 99 , 2 1( 2 1) 3 2( 3 2) 4 3( 4 3) 1 一般要通过裂抵消方可化简 . 1 1 ( 100 99) 100 99
1
1
1
k k k 1
2 1
k 1 k 2 1 3 2 4 3 100 99 请看通式 1 1 1 1 k 1k 1 1 1 1 13 4 1 2 2 3 99 100 k k 1 1 1 . 10
分母有理化
分母有理化
目录
数学术语
什么是分母有理化
分母有理化的分类
拓展
有理化因式
有理化因式举例
数学术语
什么是分母有理化
分母有理化的分类
拓展
有理化因式
有理化因式举例
展开
编辑本段数学术语
什么是分母有理化
分母有理化(fēn mǔ yǒu lǐ huà)
又称"有理化分母".通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算.在根式运算及把一个根式化成最简分式时,都要将分母有理化.最快最常见的是分母带根号的.
分母有理化的分类
如果是一个单项式,如,2/√2
则将分子分母同时乘以√2,分母变为2，分子变为2√2，分数值为√2.
如果是一个多项式,如,2/（√2-1）
则分子分母同时乘以√2+1
使用平方差公式,分母变为1，分子变为2√2+2，分数值为2√2+2.
此方法可应用到根式大小比较中去
编辑本段拓展
有理化因式
例如：
将分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
有理化因式举例
如√a的有理化因式是正负√a，√a+√b的有理化因式是
√a-√b或√b-√a.。
第10课时 分母有理化
（1）先将分子、分母化成最简二次根式 （2）将分子、分母都乘以分母有理化因式，使分母中不含根式 （3）最后结果中须化成最简二次根式或有理式
3.在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次根式化 简，再考虑如何化去分母中的根号.
星级达标
**2.将下列各式分母有理化
10 4 (1) 5 5 1
(2)
1 x 1 x2
1 x 1 x2
星级达标
*1.把下列各式分母有理化
(1) 2 6
(2)
3 8 40
(6)
2 (3) 3 1
3 2 2 2 1
(4)
3 5 7
3 2 (5) 3 2
a (7) a b
星级达标
***3.计算
1 1 1 1 2 2 3 3 4
视频2002
例3 把下列各式中的分母有理化
1 1 1 a b 2 (1) (2) (3) (5) (4) 2 1 3 2 1 2 1 ( 2 1) ( 2 1)
利用平方差公式， 进行分母有理化
即时练习1：把下列各式中的分母有理化
第10课时
分母有理化
问题探究
6 2 ?
情景引入
某小组的同学在完成 方法1： 方法2：
6 2 时有如下做法：
6 2.4495 6 2 1.732 2 1.4142
6 2 6 6 2 2 3 3 2 2 2 2
分母有理化的依据 是分数的基本性质 和公式 ( a )2 a(a 0)
如：
a
与
b
a b
与
a b
例2：把下列各式中的分母有理化
分母有理化
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
3 (1)－ 6
0.5
2
3 (2) 40 5 3 (5) 4 12
1 (8) a2
5a (3) 10a
2 (6) 3 40
思考： 如何将下列各式进行分母有理化？
2 a- b
a-
b
乘以什么式子才能不含有根号呢？
（ a-
b ） （ ? a
作业：P64基础8,9,10 P65提升4,5
分母有理化
例3 化简
1
3 5
3 2 2 27
3
8 2a
0.1 (4) 0.2
2 原式 3 原式 3
15 15 15 3 5 3 2 解法1 : 原式 0. 1 10 1 1 2 3 2 2 2 3 解：原式＝ ＝ 25 5 2 ＝252 ＝ 45 25 a 6 52
5 5 5 注意：要进行根式化 简，关键是要搞清楚 分式的分子和分母都 乘什么，有时还要先 对分母进行化简。
a 0.2 10 2 2 2 2 3 3 3 a 3 a 3 a 3 a5 a 15 2 思考：你能用哪些方法去掉分母中的根号？ 解法2 : 原式
（ a-
b ）的有理化因式是（ a + b ） b ）
（ a+ b ）的有理化因式是（ a -
分母有理化的过程即是分子分母同时乘以 分母的有理化因式
m
的有理化因式是
1 a- c a- c = = a- c ? a c a- c a- c
a ± b 的有理化因式是
1 2- 3 = 2 + 3 (2 + 3)(2 -
平方差公式
b ） =（ a ）- （ b ）= a- b
7.分母有理化
a 2 - b2 = 2a + 2b
a- b = 2
(a + b)(a - b) = 2? a b
2a - 2b (a>b>0) 2
例
在面积为2a的正方形ABCD中，截得直角三角
3 形ABE的面积是 a ，求BE的长 3
解：∵正方形的面积是2a ∴正方形的边长是 2a 设BE=x 1 3a x ? 2a 2 3
思考：
2a 6ab 比较代数式 和 3b 3b
前一个分母是根式，后一个分母是整式
它们之间有什么关系？你会把第一个代数式的分母
3b 变成3b吗？该如何操作？
2a = 3b 2a × 3b = 3b × 3b 6ab 3b
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
将下列各式分母有理化
2 (1) 5
(2)
5 3 3
2 2 2 2´ 3 1 6 6 解(1)原式＝ = = = 解 (1)原式＝ == 12 12 12 12 ´ 3 6 6 6
a (2)原式＝ = a+ b
a a+ b a a+ b = a+ b a+ b? a b
(3)由a>b>0得a＋b>0,a-b>0 原式＝
=
注意条件的交代
a+ b? a b 2? a b
1、练习册
2、一课一练
x= 3a 3 1 2a 2
A
D
2a
B E C
x
2 3a x= 3 2a
x=
6a 3
∴BE=
6a 3
例
解下列方程或不等式
3 (2)3 5 x + 6 3 > 5 x 解： 5 x > - 6 3 2
16.3.3分母有理化
原式的倒数 1 1 7 3
5 7 3 5
2
原式 7 3 2
最强大脑：
( ) ( ) 1.计算
- 2002
3 +2
- 2003
3- 2 .
2.已知a - b = 3 + 2,b - c = 3 - 2,
求a2 +b2 +c2 - ab - bc - ac的值.
3.已知a2 +b2 - 4a - 2b +5 = 0,
5.将下列代数式分母有理化
2 3 5 2 3 5
解：原式 ( 2 3 5)( 2 3 5) ( 2 3 5)( 2 3 5)
2 15 6 26
10 6 2
6.计算 15 35 21 5
32 5 7
解：原式 ( 3 5)( 5 7) ( 3 5) ( 5 7)
分母有理化
把分母中的根号化去,使分母变成有理数, 这个过程叫做分母有理化。
我们已经学过二次根式的乘除法法则？ 1、二次根式的乘法
a b = ab
（a≥0，b≥0）
2、二次根式的除法
a a bb
（a≥0，b＞0）
例1 化去下列各式中根号中的分母
(1) 7 5
(2) 3x (x > 0, y > 0) 4y
例3.
解：(1)原式= 2 • ( 2 +1) ( 2 1) • ( 2 +1)
= 2+ 2 2- 1
=2+ 2
(2)原式 = ( 5 + 3)( 5 + 3)
( 5 - 3)( 5 + 3) ( 5 + 3)2
1.2分母有理化与分子有理化
1.2分母有理化与分⼦有理化
当⽆理根式出现在分式中时，根据解题的要求或实际变形的需要，常对分式进⾏有理化处理．分式的有理化有分母有理化和分⼦有理化两种，前者是初中⽣所熟知的，具体操作如下：分母和分⼦都乘以分母的有理化因式，从⽽化去分母中的根号（但分⼦中含根号）．这⾥提及分母有理化完全是复习与过渡，到必修1“指数与指数幂的运算”⼀节，我们还会遇到⼀些分母有理化的题⽬．
⽽初中⽣对分⼦有理化却⼗分陌⽣，初中数学⾥似乎从未碰到过．其实，它的操作与分母有理化类似：分母和分⼦都乘以分⼦的有理化因式，从⽽化去分⼦中的根号（但分母中含根号）．分⼦有理化在⾼中数学教材中多次出现并有重要应⽤，⼤致有以下⼏处：
（1）证明某些函数的单调性；
（2）求某些函数的值域；
（3）证明某些函数的奇偶性；
（4）判断某些数列的单调性；
（5）⽐较⼤⼩与不等式证明；
（6）椭圆和双曲线标准⽅程的推导；
（7）⽤定义法求某些函数的导数．。
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巧妙地利用公式（平方差）找分母的有理化因式
例：把下列各式分母有理化
（1） a a+1
（2） 1
（3） 15
1+a2 - a
5 3- 3 5
练习：把下列各式分母有理化
(1) 2 x - 3 y 2 x- 3 y
2 x - 3 y 分母有理化因式是 2 x + 3 y
(1) 2 x + 3 y = (2 x + 3 y )(2 x + 3 y ) 2 x - 3 y (2 x - 3 y )(2 x + 3 y )
分母有理化
化去下列各式中根号中的分母
(1) 7 5
(2) 3x (x > 0, y > 0) 4y
解：（1） 7 = 7´ 5 = 35 5 5´ 5 5
（2） 3x = 3x´ y = 3xy 4y 4y´ y 2y
系数４已是完 全平方数，所 以只需乘以y
(1) 2 5
解：(1) 2 = 2× 5 = 2 5 5 5× 5 5
a - b ( a - b)( a + b)
a- b
（ a - b）（? a b）=（ a）2 - （ b）2 = a - b
设P是一个含有根式的代数式，Q是一个 不等于0的代数式，如果PQ的乘积不再含 有根式，则称Q是P的 有理化因式，P 也 是Q 的有理化因式
（ a - b）的有理化因式是（ a + b）
注意：要进行分母有理化，一般是把分子分 母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根 号
思考： 如何将下列各式进行分母有理化？
2 a- b
a - b 乘以什么式子才能不含有根号呢？ （ a - b）（? a b）=（ a）2 - （ b）2 = a - b
平方差公式
2=
2( a + b) = 2( a + b)
(2 x + 3 y )2 4x + 9y + 6 xy
=
=
(2 x )2 - (3 y )2
4x- 9y
分母有理化的方法 １、分子分母同时乘以一个数（式） 将分母中根号下的被开方数写成完全平方数（式）
2、利用公式（平方差公式）找分母的有理化因式
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝ －4 14 ；
37
3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
（3） 2 3 40
（3） 3
2＝
2 ＝
40 3 • 2 10 6
2 • 10 ＝
10 • 10
20 ＝ 2 5 ＝ 5 60 60 30
（ a + b）的有理化因式是（ a - b）
分母有理化的过程即是分子分母同时乘 以分母的有理化因式
m 的有理化因式是 m1=来自a- c = a- c
a- c a- c? a c a- c
a ± b 的有理化因式是 a m b
1=
2- 3
2 + 3 (2 + 3)(2-
= 23)
3
x a ± y b 的有理化因式是 x a my b
化去分母中的根号 (2) 5 33
(2) 5 = 5× 3 = 5 3 3 3 3 3× 3 9
(1) 2 = 2× 5 = 2 5 5 5× 5 5
(2) 5 = 5× 3 = 5 3 3 3 3 3× 3 9
把分母中的根号化去,使分母变成有理数, 这个过程叫做分母有理化。
例：把下列各式分母有理化