人教版八年级数学讲义_第14讲：等腰三角形综合1(三线归一专训练)【巩固】

1/6第14讲：等腰三角形综合1(三线合一专题训练)
“三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：
如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 上的一点.
C D
B
图1
（1）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的高线；
（2）若AD 是等腰△ABC 顶角∠BAC 的平分线，那么AD 是底边BC 上的中线，AD 是底边BC 上的高线；
（3）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的高线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的中线.
显然，“三线合一”性质提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们。

要点：等腰三角顶角的角平线、底边上的高线、底边上的中线互相重合，简称“三线合一”。

一、用三线合一证线段相等：
例1．已知D 是△ABC 的角平分线，∠A ＝40°，∠ACB ＝70°，DF ⊥BC 于F ，E 是BC 延长线上一点，CE ＝CD ，求证：BF ＝FE 。

E B
2/6练习：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，角平分线AF 与高CD 相交于E ，∠DCB 的平分线交EF 于G ，交DB 于H ，求证：EG ＝GF 。

H D A B
C
二、用三线合一证角相等：
例2．已知：如图，AD ∥BC ，AE 平分∠DAB ，E 为在DC 的中点，。

求证：BE 平分∠ABC 。

B
练习：已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B ＝∠EAC ，EF ⊥AD ，垂足为F ，求证：∠AEF ＝∠BEF 。

E
A
3/6三、用三线合一证垂直：
例3．已知：以Rt △ABC 的两直角边AB 、BC 分别作等边△ABD 和等边△BCE ，连结CD 、DE ，求证：BD ⊥CE 。

D
C E
练习：已知：AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CF ⊥AB 于F ，BD 交CE 于点O ，连结AO 并延长交BC 于F ,求证：AF ⊥BC
F
B C
A
4/6
5/6第14讲：等腰三角形综合1(三线合一专题训练) 考号：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿＿ 分数：＿＿＿＿＿＿
1. 如图，在凸五边形ABCDE 中，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠D ，BC ＝DE ，F 为CD 的中点，求证：AF ⊥CD ．
E
F
B
A
2. 已知：如图2，在△ABC 中，AC AB =，AD BD ⊥于D ．求证：DBC BAC ∠=∠2．
B C
A
3. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且BD ＝CF ，BE ＝CD ，G 是EF 的中点，求证：DG ⊥EF ．
A
B
C D
4. 已知：如图2，△ABC 中，AB =AC ，CD ⊥AD 于D ，12
CD BC =
，D 在△ABC 外，求证：∠ACD =∠B 。

6/6D
B
5. 如图△ABC 中，AB =AC ，D 为AC 上任意一点，延长BA 到E ，使得AE =AD ，连接
DE ，求证DE ⊥BC
E
B C
6. 已知，如图1，AD 是∆ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是∆ABD 和∆ACD 的高。

求证：AD 垂直平分EF
7. 如图，△ABC 中，AC ＝2AB ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，E 是AD 上一点，且EA
＝EC ，求证：EB ⊥AB ．
A C
B A。