不等式-2016至2018新课标二高考理科数学汇编+Word版含解析

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不等式(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题14不等式1．【2022年全国乙卷】若x ，y 满足约束条件+O2,+2N4,O0,则=2−的最大值是（）A ．−2B ．4C ．8D ．122．【2021年乙卷文科】若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．18B ．10C ．6D ．43．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x xy -=+D ．4ln ln y x x=+4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称5．【2019年新课标2卷理科】若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6．【2022年新高考2卷】若x ，y 满足2+2−B =1，则（）A ．+≤1B ．+≥−2C ．2+2≤2D ．2+2≥17．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D≤8．【2020年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.9．【2020年新课标2卷文科】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．10．【2020年新课标3卷理科】若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．12．【2019年新课标2卷文科】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.13．【2018年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．14．【2018年新课标2卷理科】若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为__________．15．【2018年新课标3卷文科】若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．。

2018年高考真题理科数学(北京卷) Word版含解析

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.6. 设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），则根据几何意义得d的最大值为OA+1.详解：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．8. 设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2，1）C. 当且仅当a<0时，（2，1）D. 当且仅当时，（2，1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京市高考数学试卷(理科) word版含参考答案及解析

2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。

2016年高考理科数学(上海卷) Word版含解析

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =, 123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC xC x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y BP BA ⋅的取值范围是____________【答案】[0,1【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =；若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

专题21 不等式选讲-2018年高考理数二轮复习精品资料(学生版)

1．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |.(1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1，2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围．3．已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围．4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．5．设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<－1；(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2，2]上恒成立，求实数a 的取值范围．6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.7．已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．8．已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，证明：(1)(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.9．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1，1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)证明：|1＋b |≤M ；(2)证明：M ≥12.10．已知a ，b ，c 为非零实数，且a 2＋b 2＋c 2＋1－m ＝0，1a 2＋4b 2＋9c 2＋1－2m ＝0. (1)求证：1a 2＋4b 2＋9c 2≥36a 2＋b 2＋c 2； (2)求实数m 的取值范围．11．已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋1)≥0的解集为[0，1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，且x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ，求证：ax ＋by ＋cz ≤1.12．已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1，1]．(导学号 55460156)(1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1. 求证：a ＋2b ＋3c ≥9.13．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．14．已知正实数a ，b 满足：a 2＋b 2＝2ab . (1)求1a ＋1b的最小值m ； (2)设函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t (t ≠0)，对于(1)中求得的实数m 是否存在实数x ，使得f (x )＝m 2成立，说明理由．15．已知函数f (x )＝|x |＋|x －1|.(1)若f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的最大值M ；(2)在(1)成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ，证明：a ＋b ≥2ab .16．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )．。

高考数学总复习第七章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教案文(含解析)

第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c ＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a b －ma －m(b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b.2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.(4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P72思考交流改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d 解析因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－bc ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc. 答案 B 3.(必修5P113A1改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C4.(2018·抚州联考)若a ，b ，c 为实数，且a a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 项不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，选项B 错；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，选项C 错. 由a ab >b 2.D 正确. 答案 D5.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.解析由2x 2－x －3>0，得(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >32或x <－1.∴不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－1.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－16.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.解析若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 答案 [－4，0]考点一不等式的性质多维探究角度1 比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二由1a ＜1b＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C角度2 利用不等式变形求范围【例1－2】 (一题多解)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________.解析法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5，10]规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则ab 的取值范围是________.解析 (1)a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件.(2)依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab<24.答案 (1)A (2)(4，24)考点二一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.解析 (1)设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ). 又f (0)＝0. 于是不等式f (x )>x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.答案 (1)(－3，0)∪(3，＋∞) (2){x |x ≥3或x ≤2} 【例2－2】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3](2)(2019·铜川一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3) C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 (1)不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0，解得－12≤x <1或1<x ≤3.(2)关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3). 答案 (1)D (2)C考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]解析当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.解析要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立. 法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3解析 (1)当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36k 2－4k （k ＋8）≤0，解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[0，1]. (2)由于x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数.∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 (1)A (2)C [思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x>2yB.lg x >lg yC.1x >1yD.x 2>y 2解析因为2x>2y⇔x >y ，所以“2x>2y ”是“x >y ”的充要条件，A 正确；lg x >lg y ⇔x >y >0，则“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件，B 错误；“1x >1y”和“x 2>y 2”都是“x >y ”的既不充分也不必要条件.答案 A3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12.答案 A4.(2018·延安质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m<－1nB.m －n <m －nC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn解析取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A ，C ，D 不成立.只有B 项成立(事实上2－1<2－1). 答案 B5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1). 答案 D 二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________. 解析由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. 答案 (－1，1)8.(2019·宜春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值. 解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a 0B.2a －b<12C.log 2a ＋log 2b <－2D.2a b ＋b a <12解析由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，02a b ·b a ＝2，所以2a b ＋b a>22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确.答案 C12.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.解析设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232 14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.解因为函数f (x )是偶函数，故函数图像关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.。

不等式-差生完美逆袭的密钥之狠抓基础题(理科数学) Word版含解析

1．不等关系(1)用数学符号“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． (2)不等式的性质①实数的大小顺序与运算性质的关系a >b ⇔0a b ->；0a b a b =⇔-=；a ⇔<；(双向性) 传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性) 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性)a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性)可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性)a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性) a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)乘方法则：()0,1nna b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性) 开方法则：a >b >0⇒nn a b >(n ∈N ，n ≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递. （2）可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号. 2．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有三种形式：一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；顶点式：224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠；两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠. (2)三个“二次”之间的关系判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<2(0)y ax bx c a =++>的图象一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根1212,()x x x x <有两相等实根122bx x a==-没有实数根一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集12(,)(,)x x -∞+∞{|}2b x x a ≠-R一元二次不等式20(0)ax bx c a ++<>的解集12(,)x x ∅∅(3)一元二次不等式的解法：一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．二判：计算对应方程的判别式．三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． (4) 一元二次不等式恒成立问题①20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -<∈R ．②20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -≤∈R ．③20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ．④20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -≤∈R ．⑤20ax bx c ++>恒成立的充要条件是：0a b ==且0c >或0a >且240()b ac x -<∈R ． ⑥20ax bx c ++<恒成立的充要条件是：0a b ==且0c <或0a <且240()b ac x -<∈R ． 3．二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式0Ax By C ++≥表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．能够通过取特殊点，由不等式的符号来确定不等式表示的平面区域.通常情况下取(0,0)，若不等式相应的直线过(0,0)，则可在坐标轴上取(0,1)或(1,0). (2)简单的线性规划①解不含参数的线性规划问题的一般步骤：根据给定的约束条件画出相应的可行域，考察目标函数的特征，并根据其几何意义确定使其取得最值时的点的坐标，代入目标函数求最值.通常情况下，给定的约束条件多为二元一次不等式组，常见的目标函数有：z ax by c =++型的线性目标函数；ay bz cx d-=-型的斜率型目标函数；22()()z x a y b =-+-型的两点间距离型目标函数等.②使目标函数取得最值的点一般是可行域边界的交点，求出交点坐标，并代入目标函数，可以快捷、准确地计算最值，但要注意可行域的边界是否是实线. ③解含参数的线性规划问题通常有以下两种类型：i)条件不等式组中含有参数，此时不能明确可行域的形状，因此增加阶梯式画图分析的难度.求解这类问题时，要有全局观，要能够结合目标函数取得最值的情况进行逆向分析，利用目标函数取得最值时所得的直线与约束条件所对应的直线形成交点，求解参数.ii)目标函数中设置参数，旨在增加探索问题的动态性和开放性.要能够从目标函数的结论入手，多图形的动态分析，对变化过程中的相关数据准确定位，以此解决问题. 4．利用基本不等式求最值问题 (1)基本不等式：2a bab +≤，成立的条件： ①0,0a b >>.②当且仅当a b =时取等号． (2)利用基本不等式求最值问题①如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是2P .(简记：积定和最小)②如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大)(3)常用的不等式模型：①基本不等式链：若0,0a b >>，则2221122a b a b ab a b++≤≤≤+，当且仅当a b =时等号成立. ②若0ab >，则2b aa b+≥，当且仅当a b =时等号成立.一、不等式的性质与一元二次不等式【例1】设2()f x ax bx =+，若1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，则(2)f -的取值范围是________．【答案】[5,10]【名师点睛】（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．【例2】已知全集U =]4,5(-，集合{}{}2|ln(3),|230A x U y x B x x x =∈=-=--≤，则()U AB =ðA ．(5,3)-B ．(5,3)(3,4]-C ．(5,1)(3,4]-- D ．)1,5(--【答案】D【解析】由题知，)3,5(-=A ，]3,1[-=B ，∴U B ð=(5,1)(3,4]--，∴()U AB =ð)1,5(--，故选D ．【名师点睛】一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．求解时注意对二次项系数进行讨论. 【例3】不等式3112x x-≥-的解集是 A ．3{|2}4x x ≤≤ B ．3{|2}4x x ≤< C ．3{|2}4或x x x >≤D ．3{|}4x x ≥【答案】B【名师点睛】对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解. 二、线性规划【例4】已知点x ,y 满足约束条件2024020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,则z =3x +y 的最大值与最小值之差为A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【解析】作出约束条件2024020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作直线3y x =-并平移知，当直线经过点A 时,z 取得最大值；当直线经过点B 时,z 取得最小值.由2240x x y =⎧⎨-+=⎩,得23x y =⎧⎨=⎩,即A (2,3),故z max =9.由24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,得02x y =⎧⎨=⎩,即B (0,2),故z min =2,故z 的最大值与最小值之差为7,选C. 【名师点睛】求解时需要注意以下几点：（1）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（2）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（3）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解. （4）形如z =Ax ＋By (B ≠0)，即A z y x B B =-+，zB为该直线在y 轴上的截距，z 的几何意义就是该直线在y 轴上截距的B 倍，至于z 与截距能否同时取到最值，还要看B 的符号．【例5】已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x 表示的平面区域为D ,若直线l ：1--=k kx y 与区域D 有公共点，则实数k 的取值范围是 A ．1[2,]2-- B ．1[,2]2-C ．[2,1]-D ．[2,1]--【答案】A【解析】作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x 表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，因为1)1(1--=--=x k k kx y ，所以直线l 过定点（1，1-），且斜率为k ，如图所示，当直线l 过点11(,)33A 时，k 取得最小值2-；当直线l 过点11(,)33B --时，k 取得最大值21-，所以k 的取值范围是1[2,]2--，故选A.【名师点睛】求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数.【例6】已知实数,x y 满足约束条件2,1,10,x y y x x +≥⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则32x y x y ++的取值范围为 .【答案】4[,2]3【解析】依题意，136353532222y yx y x x y y y x y x x x+⋅+⋅-+===-++++. 作出约束条件所表示的平面区域如下图阴影部分所示（含边界）.yx表示平面区域内的点(,)x y 与定点(0,0)连线的斜率，观察可知，13y x ≤≤，则325y x ≤+≤，所以55132y x ≤≤+，所以453232y x≤-≤+，故32x y x y++的取值范围为4[,2]3.【名师点睛】斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的.因此有必要总结常见模型或其变形形式. 三、基本不等式【例7】若x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则11x y+的最小值为_______________．【答案】322+【名师点睛】利用基本不等式求最值的注意点：（1）要能够通过恒等变形及配凑，使其“和”或“积”为定值；（2）要注意在正数范围内应用基本不等式，同时等号成立的条件要验证.【例8】若实数,,0a b c >，且()()625a c a b +⋅+=-，则2a b c ++的最小值为 A ．51-B ．51+C ．252+D ．252-【答案】D【解析】由基本不等式得22()()2()()26252(51)a b c a b a c a b a c ++=+++≥++=-=-()251=-，当且仅当51a b a c +=+=-时，等号成立，故选择D ．【名师点睛】基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(4)a ＋1a≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．1．若a >b >0，c <d <0，则一定有 A ． B ． C ．D ．【答案】C2．已知函数223y x x =--的定义域为集合A ，集合{21,,3}B x x n n n ==+∈<Z ，则A B 为A ．{}5,3,1,3,5,7---B ．{}3,1,3,5--C ．{}3,1,3,5,7--D ．{}5,3,1,3,5---【答案】B【解析】由题可知()(){}2230}={310{|13}A x x x x x x x x x =--≥-+≥=≤-≥或，{}{|21,,3}3,1,1,3,5,B x x n n n ==+∈<=--Z 所以{}3,1,3,5.A B =--故选B ．3．不等式261x x x +--≤0的解集为A ．(-∞,-3]B ．(1,2]C ．(-∞,-3]∪[1,2]D ．(-∞,-3]∪(1,2]【答案】D【解析】由261x x x +--≤0得()()()132010x x x x ⎧-+-≤⎨-≠⎩,解得3x ≤-或12x <≤,故选D.4．若关于的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数的取值范围是 A ．[2，＋∞) B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)【答案】D5．已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前9项和992S =，则2814a a +的最小值为 A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】B【解析】因为数列{}n a 是等差数列，所以192899()9()9222a a a a S ++===，即281a a +=，所以88222828282828441414()()5529a a a a a a a a a a a a a a +=++=++≥+⋅=，当且仅当82284a a a a =，即213a =，823a =时取等号，故选B ． 6．已知动点(,)x y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则52z x y =+的最大值是A ．50B ．60C ．70D ．100【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如下图中阴影部分所示，由52z x y =+得522z y x =-+，平移直线522z y x =-+，易知当直线522z y x =-+经过点C 时，直线522zy x =-+的纵截距最大，此时z 最大．易得(20,0)C ，所以max 520100z =⨯=．故目标函数52z x y =+的最大值为100．故选D ． 7．已知函数2y x x =+，1(,)3x ∈+∞，则y 的最小值是______________．【答案】228．已知实数,x y 满足0,4,20.x y x y x y k -≤⎧⎪≤-⎨⎪--≥⎩记点(,)x y 围成的封闭区域为Ω，若2z x y =+的最大值为8，则Ω的面积为___________．【答案】12【解析】依题意，区域Ω是以点(2,2)A ，(,)B k k ，48(,)(2)33k kC k +-<为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得，当目标函数2z x y =+过点48(,)33k k C +-时，z 有最大值8，即482833k k+-+⨯=，解得4k =-，故点(4,4)B --到直线4x y +=的距离为62，而||22AC =，故Ω的面积为12262=122⨯⨯．9．已知实数,x y 满足约束条件2236x y y x x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥-⎩，记该不等式组所表示的平面区域为Ω，且12z x y =-，214y z x +=-，223(1)z x y =-+，现有如下说法： ①1(,),1x y z Ω∀∈≤-；②21(,),3x y z Ω∃∈≤-；③3(,),2x y z Ω∃∈≤.则上述说法正确的有__________.（横线上填写所有正确命题的序号）【答案】①②1．（2017新课标全国Ⅰ理科）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =， ∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 2．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥【答案】B3．（2017新课标全国Ⅱ理科）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 表示斜率为2k =-的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点(6,3)B --处取得最小值，min 2()3)56(1z --=⨯+=-，故选A ．4．（2018新课标全国Ⅰ理科）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得3122y x z =-+，画出直线，将其上下移动，结合2z的几何意义，可知当直线过点A 时，z 取得最大值，由220x yy--==⎧⎨⎩，解得，此时，故答案为6.5．（2018新课标全国Ⅱ理科）若,x y满足约束条件25023050x yx yx+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z x y=+的最大值为__________．【答案】9【解析】画出不等式组25023050x yx yx+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，表示的可行域，如图中阴影部分所示，则目标函数可化为，由图可知，当直线过点A 时，取得最大值，由5230xx y=⎧⎨-+=⎩得A（5,4），则max 549z=+=.。

2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案

2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案1.已知复数 $\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{-43}{55}$，求其值。

2.已知集合 $A=\{(x,y)|x+y^2\leq 3,x\in Z,y\in Z\}$，求$A$ 中元素的个数。

3.函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为什么样子？4.已知向量 $a,b$ 满足 $|a|=1$，$a\cdot b=-1$，求 $a\cdot (2a-b)$ 的值。

5.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $3$，求其渐近线方程。

6.在$\triangle ABC$ 中，$\cos A=\frac{4}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，求 $AB$ 的值。

7.设计一个程序框图来计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{100}$。

8.XXX猜想是“每个大于 $2$ 的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过 $30$ 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 $30$ 的概率是多少？9.在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=BC=1$，$AA_1=3$，求异面直线$AD_1$ 和$DB_1$ 所成角的余弦值。

10.若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a,a]$ 上是减函数，求$a$ 的最大值。

11.已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f(1+x)$，且 $f(1)=2$，求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)$ 的值。

12.已知 $F_1,F_2$ 是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是椭圆的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $3$ 的直线上，$\triangle PF_1F_2$ 是等腰三角形，且 $\angleF_1PF_2=120^\circ$，求椭圆的离心率。

2018高考数学(理科)习题第七章不等式71和答案

1．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是( )A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析由[t]＝1，得1≤t<2.由[t2]＝2，得2≤t2<3.由[t4]＝4，得4≤t4<5，所以2≤t2< 5.由[t3]＝3，得3≤t3<4，所以6≤t5<4 5.由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<45矛盾，故正整数n的最大值是4.2．若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A.ac>bdB.ac<bdC.ad>bcD.ad<bc答案 D解析∵c<d<0，∴－c>－d>0，∴0<1－c<1－d.则1－d>1－c>0.又∵a>b>0，∴a－d>b－c，∴ad<bc.3．若对任意的x∈[0,1]，不等式1－kx≤11＋x≤1－lx恒成立，则一定有( )A．k≤0，l≥13B．k≤0，l≤12＋2C．k≥14，l≤13D．k≥12，l≤12＋2答案 D解析当k ＝－1且x ∈[0,1]时，1－kx ＝1＋x ∈[1,2]，11＋x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，不等式1－kx ≤11＋x 不恒成立，可排除A 、B ；当k ＝13且x ∈[0,1]时，1－kx ＝1－13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，11＋x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，不等式1－kx ≤11＋x 不恒成立，排除C ，故选D.4.已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A ，B ，C 的大小关系为( )点击观看解答视频A ．A 0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－aa 2＋a ＋1＋a＝－a⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，所以B <A <C .解法二(特殊值法)：令a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，因此得B <A <C ，故选B.5．若1a <1b <0，则下列不等式中：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号)答案①③解析由1a<1b<0，得b<a<0.①∵a＋b<0，ab>0，∴1a＋b<0，1ab>0，∴1a＋b<1ab成立，即①正确；②∵b<a<0，∴－b>－a>0，则－b>|a|，即|a|＋b<0，∴②错误；③∵b<a<0，且1a<1b<0，∴a－1a>b－1b，故③正确；④∵b<a<0，∴b2>a2，∴ln b2>ln a2成立．∴④错误，故正确的是①③.。

专题1-4 数列与不等式测-2018年高考数学理二轮复习讲

2018高三二轮复习之讲练测之测案【新课标版理科数学】专题四数列与不等式总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）一、单选题1．【2018届四川省成都外国语学校高三11月月考】已知全集为R ,集合2{|0.51},{|680}x A x B x x x =≤=-+≤,则C A B ⋂=RA. (],0∞-B. []2,4C. [)()0,24,∞⋃+D. ][()0,24,∞⋃+ 【答案】C2．在等比数列{}n a 中, 151,4a a =-=-,则3a = A. 2±B. C. 2 D. 2- 【答案】D【解析】由等比数列的性质可得23154a a a ==,因为151,4a a =-=-,所以3 2.a =-选D.3．【2018届天津市滨海新区大港油田第一中学高三上期中】若a 、b 、c∈R，则下列命题中正确的是（） A. 若ac>bc ，则a>b B. 若a 2>b 2，则a>b C. 若11a b<，则a>b D.>a>b 【答案】D【解析】若ac>bc ，则c>0时 a>b ；若2a >2b ，则|a|>|b|；若11a b<，则a>b 或a<0<b;>a>b ，所以选D.4．【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知错误！未找到引用源。

均为正实数，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最小值为（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C5．【2018届北京丰台二中高三上期中】若n S 是数列{}2n 的前n 项和，则83S S -=（）．A. 504B. 500C. 498D. 496 【答案】D 【解析】83S S -45678a a a a a =++++458222=+++163264128256=++++ 496=．故选D ．6．关于x y 、的不等式组360,{20, 40,x y x y x y +-≥--≤+-≤则2z x y =+的最大值是（）A. 3B. 5C. 7D. 9 【答案】C【解析】作可行域，如图，则直线2z x y =+过点A （1,3）取最大值7,选C.7．【2018届广西壮族自治区贺州市桂梧高中高三上第五次联考】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若5114a a =， 6128a a =，则89a a =（）A. 12B. 32C.D. 【答案】D8．已知等比数列{}n a 满足： 23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.则q =（） A. 2-或12 B. 12- C. 2或12D. 2- 【答案】C【解析】由题意得()23432428{ 22a a a a a a ++=+=+，即()231112311128{ 22a q a q a q a q a q a q++=+=+，消去1a 整理得22520q q -+=，解得2q =或12q =．选C ．9．在等比数列{}n a 中， 166n a a +=， 2132256n n a a a a --+=，且前n 项和126n S =，则n =（）A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【解析】∵2132112256n n n a a a a a a --++==， ∴1128n a a =，由11128{66n n a a a a =+=，解得12{ 64n a a ==或164{ 2n a a ==①当12{ 64n a a ==时， ()111264126111n n n a q a a q q S q q q ---====---，解得2q =，∴6n =． ②当164{ 2n a a ==时， ()111642126111n n n a q a a q q S q q q ---====---，解得12q =，∴6n =．综上6n =．选C ．10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51050,200S S ==，则1011a a +的值为（） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】D11．【2018届安徽省六安市第一中学高三上第五次月考】己知121,,,4a a 成等差数列， 1231,,,,4b b b 成等比数列，122a ab +则的值是（） A.52或52- B. 52- C. 52 D. 12【答案】C【解析】由题意得21225,4a a b +==，又2b 与第一项的符号相同，故22b =．所以12252a ab +=．选C ． 12．【2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三10月月考】已知数列{}n a 为等差数列,若11101a a <-,且其前n 项和n S 有最大值,则使得0n S >的最大值n 为 A. 11 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B二、填空题（4*5=20分）13.【2018届上海市十二校高三联考】若等差数列{}n a 的前5项和为25，则3a =________ 【答案】5【解析】由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：153533255525,522a a aS a a +=⨯=⨯==∴=. 14．【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试】若241ab+=，则2a b +的最大值为__________．【答案】-2【解析】24ab+=22122124aba b++=≥=≤ 1422log 2a b ∴+≤=- 当11,2a b =-=- 时取等号故答案为-2.15．【2018届江苏省兴化市三校高三12月联考】已知实数,x y 满足220{40 10x y x y y --≥+-≤-≥，则yx的最小值为__________．【答案】13【解析】联立220{40x y x y --=+-= 得交点A ()2,2 ，联立220{10x y y --=-=得交点B 3,12⎛⎫⎪⎝⎭，联立40{10x y y +-=-= 得交点C ()3,1 即可行域是由ABC 三点围成的三角形及其内部，令z yx =表示点(),x y 与()0,0 连线的斜率，故最小值为13OC k = 故答案为1316．在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点53,22⎛⎫⎪⎝⎭有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差11,63d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，那么n 的取值集合为________.【答案】{}4,5,6 【解析】由已知52x ⎛⎫-⎪⎝⎭2＋y 2＝254，圆心为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，半径为52，得a 14，a n ＝2×52＝5，由a n ＝a 1＋(n －1)d ⇔n ＝1d＋1，又16<d≤13，所以4≤n<7，则n 的取值集合为{4,5,6}．三、解答题（共6道小题，共70分）17.【2018届全国名校高三第三次联考】某市垃圾处理站每月的垃圾处理成本y （元）与月垃圾处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，求该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低？最低平均处理成本是多少？【答案】该站垃圾处理量为400吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为200元18．已知正项等比数列{}n b （*n N ∈）中，公比1q >，且3540b b +=， 35·256b b =， 2log 2n n a b =+.（1）求证：数列{}n a 是等差数列. （2）若11·n n n c a a -=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析；（2）39nn +. 【解析】试题分析：（1）由3540b b +=， 35·256b b =可知3b ， 5b 是方程2402560x x -+=的两根，再根据公比1q >，求出3b ,5b ，即可求出数列{}n b 的通项公式，结合2log 2n n a b =+，以及等差数列的定义即可证明数列{}n a 是等差数列；（2）由（1）可求出数列{}n c 的通项公式，结合数列特点，根据裂项法求和，即可求出数列{}n c 的前n 项和n S . 试题解析：（1）由353540{·256b b b b +==，，知3b ,5b 是方程2402560x x -+=的两根，注意到1n n b b +>，得38b =，532b =，因为2534b q b ==，所以2q =或2q =-（不可题意，舍去）.所以312824b b q ===，所以212n n n b b q -==， 22log 2log 222n n n a b n =+=+=+. 因为()][11221n n a a n n -⎡⎤-=++-+=⎣⎦，所以数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列. （2）因为()3112n a n n =+-⨯=+，所以()()123n c n n =++，所以()()111344523n S n n =+++⨯⨯++111111344523n n =-+-++-++ 39n n =+. 19．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 【答案】(1) 13,1{3,1n n n a x -==>；(2) 13631243n nn T +=-⨯. 【解析】试题分析：(1)由递推关系可得a 1＝3，利用通项公式与前n 项和的关系可知：当n>1时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n－1，则a n ＝3n －1，综上可得： 13,1{3,1n n n a x -==>；(2)结合(1)中求得的通项公式错位相减可得{b n }的前n 项和13631243n nn T +=-⨯. 试题解析：(1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n>1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，显然a 1不满足a n ＝3n －1，所以a n ＝(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝，当n>1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n ，所以T 1＝b 1＝.当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n －1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n ＝＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝＋－(n －1)×31－n＝－，所以T n ＝－.经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝－.20．数列{}n a 的前n 项和记为n S ， 11a =，点()1,n n S a +在直线31y x =+上， *N n ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设41log n n b a +=， n n n c a b =+， n T 是数列{}n c 的前n 项和，求n T ．【答案】（1）14n n a -=；（2）2111143223nn n ⋅++-. 【解析】试题分析：（1）由()1,n n S a +在直线31y x =+上可得， 131n n a S +=+，所以()1312n n a S n -=+≥，两式相减得{}n a 为等比数列，从而得出{}n a 的通项公式；（2）求出4log 4n n b n ==，利用分组求和法以及等差数列的求和公式与等比数列的求和公式可得出n T .试题解析：（1）由题知131n n a S +=+，所以()1312n n a S n -=+≥，两式相减得()132n n n a a a n +-=≥，又21314a a =+=，所以{}n a 是以1为首项，4为公比的等比数列．14n n a -=（2）4log 4n n b n ==， 14n n c n -=+，所以()1141142n n n n T +-=⋅+=- 2111143223n n n ⋅++-. 21．【2018届上海市十二校高三联考】设{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）已知22a =，且3a 是13,S S 的等差中项，求数列{}n a 的通项公式；（2）当11,2a q ==时，令()4log 1n n b S =+，求证：数列{}n b 是等差数列. 【答案】（1）12n n a -=或()21nn a =⋅-（2）见解析.试题解析：（1）由题意23132{ 2a a S S ==+，122111112{2a q a q a a a q a q =⇒=+++ 12{ 1q a =⇒=或11{ 2q a =-=- 所以12n n a -=或()21nn a =⋅- （2）由题意得21n n S =-()412n n nb log S ⇒=+=2n ≥时，因为111222n n n n b b ---=-=所以数列{}n b 是公差为12的等差数列. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，满足2n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使53n T <? 若存在，求出符合条件的所有n 的值构成的集合A ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2) {}1,2A =.【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系可得项之间递推关系，再根据等比数列定义可得数列{}n a 的通项公式；（2）由错位相减法可得n T ，再化简不等式得1434n n -<+，根据指数函数与一次函数图像可得n 的值（2）由（1）知， 214n n n n b na -==，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则22123114444n n n n n T ---=+++++，① 3231442444n n n n n T ---=+++++，② ②-①得321111354444n n n n n T ---=++++-，11634334n n -+=-⨯，所以，数列{}n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯. 要使53n T <，即1163459943n n -+-<⨯，所以11134,434994n n n n --+<<+⨯. 当1n =时， 17<，当2n =时， 410<，当3n =时， 1613>，结合函数14x y -=与34y x =+的图象可知，当3n >时都有1434n n ->+，所以 {}1,2A =.。

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十二、不等式
1.（2017高考新课标2理数5）．设x ，y 满足约束条件2330233030
x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y
=+的最小值是
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
【答案】A
2. （2018高考新课标2理数14）．若满足约束条件
则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】分析：先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法. 详解：作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值
9.
3.（2016高考新课标2理数24），选修4—5：不等式选讲
已知函数()1
1
22f x x x =-++，M 为不等式f (x ) ＜2的解集.
（I ）求M ；
（II ）证明：当a ,b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣
【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x <-，1122x -≤≤和12
x >三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．
试题解析：（I ）12,,211()1,,2
212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
当12
x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；当1122
x -<<时， ()2f x <；当12x ≥
时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.
（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而
22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，
因此|||1|.a b ab +<+
考点：绝对值不等式，不等式的证明.
4．（2017高考新课标2理数23）[选修4—5：不等式选讲]
已知33
0,0,2a b a b >>+=．证明：
（1）55()()4a b a b ++≥；
（2）2a b +≤．
【答案】（1）证明略；（2）证明略．
【考点】基本不等式、配方法
5. [选修4－5：不等式选讲]
（2018高考新课标2理数23）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）,(2)
【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后
求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．
详解：（1）当时，
可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
（2016年没考查线性规划）。