河南省濮阳市第六中学八级数学上册第一章分式复习(无答案)鲁教版五四制-精
鲁教版(五四制)数学八年级上册第一章--因式分解 期末复习题
鲁教版数学八年级上册第一章--因式分解期末复习题一、选择题1.下列因式分解中，正确的是()A. x2−4y2=(x−4y)(x+4y)B. ax+ay+a=a(x+y)C. a(x−y)+b(y−x)=(x−y)(a−b)D. 4x2+9=(2x+3)22.下面因式分解错误的是()A. x2−y2=(x+y)(x−y)B. x2−8x+16=(x−4)2C. 2x2−2xy=2x(x−y)D. x2+y2=(x+y)23.下列能用完全平方公式因式分解的是()A. x2+2xy−y2B. −xy+y2C. x2−2xy+y2D. x2−4xy+2y24.下列多项式能用平方差公式分解因式的是()A. x2+y2B. −x2−y2C. x2−y3D. −x2+y25.设a为正奇数，则a2−1必是()的倍数．A. 5B. 3C. 8D. 166.下列从左到右的变形，是分解因式的是()A. xy2(x−1)=x2y2−xy2B. 2a2+4a=2a(a+2)C. (a+3)(a−3)=a2−9D. x2+x−5=(x−2)(x+3)+17.因式分解(x+y)2−2(x2−y2)+(x−y)2的结果为()A. 4(x−y)2B. 4x2C. 4(x+y)2D. 4y28.计算248−26的结果更接近()A. 248B. 247C. 242D. 2409.不论x，y为任何实数，x2+y2−4x−2y+8的值总是()A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数10.已知a−2b=10，ab=5，则a2+4b2的值是()A. 100B. 110C. 120D. 12511.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x−1，a−b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，现将3a(x2−1)−3b(x2−1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是()A. 我爱学B. 爱广益C. 我爱广益D. 广益数学12.若(m+n)3−mn(m+n)=(m+n)·A，则A为()A. m2+n2B. m2−mn+n2C. m2−3mnx+n2D. m2+mn+n213.将多项式16m2+1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是()A. −2B. −15m2C. 8mD. −8m14.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+c2=2b(a+c−b)，则此三角形是()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 无法确定15.下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2−y2−1=(x+y)(x−y)−1②x3+x=x(x2+1)③(x−y)2=x2−2xy+y2④x2−9y2=(x+3y)(x−3y)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个．二、填空题16.因式分解：4x2−y2=______．17.把多项式因式分解：x2−6x+9=______．18.已知a+b=4，a−b=1，则(a+2)2−(b−2)2的值为______．19.a，b，c是△ABC的三边，若(a2+b2)(a−b)=c2(a−b)，则△ABC的形状是______三角形．20.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4−y4，因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x+y)=18，(x−y)=0，(x2+y2)=162=162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3−xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是______(写出一个即可)．三、计算题21.将下列各式分解因式：(1)a2(x−y)+9b2(y−x)；(2)(a2+1)2−4a2．22. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成3(x −1)(x −9)，另一位同学因看错了常数项而分解成3(x −2)(x −4)． (1)求原来的二次三项式；(2)将(1)中的二次三项式分解因式．23. (1)分解因式：x 3y +2x 2y +xy(2)解不等式组{x +2>2(x +1)x +1<1−3x 224. 阅读下列材料：若一个正整数x 能表示成a 2−b 2(a,b 是正整数，且a >b)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解．例如：因为5=32−22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M =x 2+2xy =x 2+2xy +y 2−y 2=(x +y)2−y 2(x,y 是正整数)，所以M 也是“明礼崇德数”，(x +y)与y 是M 的一个平方差分解．(1)判断：9______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；(2)已知N =x 2−y 2+4x −6y +k(x,y 是正整数，k 是常数，且x >y +1)，要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由．25. 先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：(x +y)2+2(x +y)+1． 解：将“x +y ”看成整体，令x +y =A ，则 原式=A 2+2A +1=(A +1)2再将“A ”还原，得：原式=(x +y +1)2．上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：1+2(x −y)+(x −y)2=______． (2)因式分解：(a +b)(a +b −4)+4(3)证明：若n 为正整数，则式子(n +1)(n +2)(n 2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】A10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】D13.【答案】B14.【答案】A15.【答案】B16.【答案】(2x+y)(2x−y)17.【答案】(x−3)218.【答案】2019.【答案】等腰或直角20.【答案】104020(答案不唯一)21.【答案】解：(1)原式=(x−y)(a2−9b2) =(x−y)(a+3b)(a−3b)；(2)(a2+1)2−4a2=(a2+2a+1)(a2−2a+1)=(a+1)2(a−1)2．22.【答案】解：(1)3(x−1)(x−9)=3x2−30x+27，3(x−2)(x−4)=3x2−18x+24，根据题意得：原来的多项式为3x2−18x+27；(2)原式=3(x2−6x+9)=3(x−3)2．23.【答案】解：(1)原式=xy(x2+2x+1)=xy(x+1)2；(2){x+2>2(x+1) ①x+1<1−3x2 ②，由①得：x<0，由②得：x<−15，则不等式组的解集为x<−15．24.【答案】是【解析】解：(1)∵9=52−42，∴9是“明礼崇德数”，故答案为：是；(2)∵N=x2−y2+4x−6y+k=(x2+4x+4)−(y2+6y+9)+k+5=(x+2)2−(y−3)2+k+5，∴当k+5=0时，N=(x+2)2−(y−3)2为“明礼崇德数”，此时k=−5，故当k=−5时，N为“明礼崇德数”．25.【答案】(x−y+1)2【解析】解：(1)1+2(x−y)+(x−y)2=(x−y+1)2；(2)令A=a+b，则原式变为A(A−4)+4=A2−4A+4=(A−2)2，故(a+b)(a+b−4)+4=(a+b−2)2；(3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．。
鲁教版(五四制)八年级上册第一章因式分解复习讲义(无答案) (1)
第一章因式分解1.1因式分解一、因式分解的概念1、概念：把一个多项式化成的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例1：考察因式分解的定义：下列式子中，（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2，是因式分解的有：练习：请同学们计算下列各式：(1)m(a+b+c)=___________________ (2)(y-2)2=______________________(3)(m+2)(m-2)=__________________根据上面的算式填空：(1)ma+mb+mc=( )( ) (2)y2-4y+4=( )2(3)m2-4=( )( )例2、考察判断因式分解的方法：请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式(1)x2－2=(x+1)(x－1)－1 (2)(x－3)(x+2)=x2－x+6(3)3m2n－6mn=3mn(m－2) (4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc(5)a2－4ab+4b2=(a－2b)2练习：下列由左边到右边的变形，哪些不是因式分解？为什么？(1)(2a+2)(2a-2)=4a2-4; (2)a2-b2-1=(a+b)(a-b)-1; (3)2x2-8x=2x(x2-4)二、因式分解与整式乘法的关系1、区别与联系：（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因式的结果要以积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止；例1、考察因式分解与整式乘法的区别：把3(x-1)2利用整式乘法得,把3x2-6x+3分解因式为；练习：判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2).(a-3)(a+3)=a2-9 (3).2x(x-3y)=2x2-6xy (4).m2-4=(m+2)(m-2) (5).(5a-1)2=25a2-10a+1 (6).2πR+ 2πr=2π(R+r)(7).x 2+4x+4=(x+2)2例2、考察因式分解的实际应用：若分解因式215(3)()x mx x x n +-=++，求m 的值。
2024八年级数学上册第一章因式分解1因式分解习题课件鲁教版五四制
2.2×(12.9＋18.5＋18.6)＝2.2×50＝110(V).
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11. [新考法·逆向思维法]甲、乙两名同学分解因式 x2＋ ax ＋
b 时，甲看错了 b ，得到的结果为( x ＋2)·( x ＋4)；乙看
是( D )
A. 都是因式分解
B. 都是乘法运算
C. ①是乘法运算，②是因式分解
D. ①是因式分解，②是乘法运算
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4. 下列多项式中，分解因式的结果为－( x ＋ y )·( x － y )的是
(
B
)
A. x2－ y2
B. － x2＋ y2
C. x2＋ y2
D. － x2－ y2
变形，因式分解正确的是(
C
)
A. ( a ＋3)2＝ a2＋6 a ＋9
B. a2－4 a ＋4＝ a ( a －4)＋4
C. 5 ax2－5 ay2＝5 a ( x ＋ y )( x － y )
D. a2－2 a －8＝( a －2)( a ＋4)
【点拨】
A，B不是因式分解，D. a2－2 a －8＝( a ＋2)( a －4).
④ x2－9＋6 x ＝( x ＋3)( x －3)＋6 x ；
⑤ a2－4 b2＝( a ＋2 b )( a －2 b ).
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鲁教版初二数学上册分式的加减法知识点：第一章
鲁教版初二数学上册分式的加减法知识点：第一章在学习新知识的同时，既要及时跟上老师步伐，也要及时复习巩固，知识点要及时总结，这是做其他练习必备的前提，下面为大伙儿总结了八年级数学上册分式的加减法知识点，认真阅读哦。
分数的加减法1.通分与约分虽差不多上针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分差不多上依据分式的差不多性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一样地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作预备.4.通分的依据：分式的差不多性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，如此的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原先的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这确实是把分式的运算转化为整式运算。
8.异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.9.同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号.10.关于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分.11.异分母分式的加减运算，第一观看每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，如此可使运算简化.要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。
+第一章+因式分解+课件2022-2023学年鲁教版(五四制)数学八年级上册期中复习串讲之课件精讲+
（二）因式分解的方法：
（1）、提取公因式法 （2）、运用公式法 （3）、分组分解法
（4）、求根法（十字相乘法）
（1）、提取公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提到括号外面，将多项式 写成乘积的形式。这种分解因式的方法 叫做提取公因式。
(2)8x3(x－3)＋12x2(3－x)，其中 x＝32； 解：8x3(x－3)＋12x2(3－x)＝8x3(x－3)－ 12x2(x－3)＝4x2(x－3)(2x－3)． 当 x＝32时，原式＝4x2(x－3)·(2x－3)＝4×322 ×32－3×2×32－3＝0.
(3)a2b＋2a2b2＋ab2，其中a＋b＝3，ab＝2.
鲁教版(五四制)数学 八年级 上册 期中复习串讲 第一章 因式分解
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对接课标 单元架构
目
录
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知识梳理 整合提升
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典题自测 迎战中考
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对接课标 单元架构
因式分解 第一章 因式分解 提公因式法
公式法期认Fra bibliotek分式中 第二章 分式与分式方程 分式的乘除
复
分式的加减
习
分式方程
第三章 数据的分析
平均数 从统计图分析数据的集中趋势
① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提 取公因式。
② 对于二次三项式，考虑应用平方差公式分解。 ③ 对于三次二项式，考虑应用立方和、立方差 公式分解。 ④ 对于四项以上的多项式，考虑用分组分解法。
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典题自测 迎战中考
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是(C ) A．(a＋5)(a－5)＝a2－25
鲁教版五四制 八年级上册 第一章 因式分解 复习习题 (含答案解析)
鲁教版五四制 八年级上册 第一章 因式分解 复习习题 （含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则a 、b 的值分别是（ ）A ． a=2，b=3B ． a=-2，b=-3C ． a=-2，b=3D ． a=2，b=-32．下列各式正确的是( )A ． a 2+a 3=a 6B ． x 2+2x +4=(x +2)2C ． −273=− 273D ． (−1)2018=−13．下列因式分解正确的是( )A ． m 2＋n 2＝(m ＋n)(m －n)B ． x 2＋2x －1＝(x －1)2C ． a 2－a ＝a(a －1)D ． a 2＋2a ＋1＝a(a ＋2)＋14．已知a ﹣b=1，则a 3﹣a 2b+b 2﹣2ab 的值为（ ）A ． ﹣2B ． ﹣1C ． 1D ． 25．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，且满足2a 4+2b 4+c 4=2a 2c 2+2b 2c 2，则△ABC 是（ ）A ． 等腰三角形B ． 等腰直角三角形C ． 直角三角形D ． 等腰三角形或直角三角形6．下列各式能用完全平方公式分解因式的是A ． a 2+b 2B ． a 2+2a −1C ． a 2−b 2D ． a 2−2a +17．把多项式x 3﹣4x 分解因式，结果正确的是（ ）A ． x （x 2﹣4）B ． x （x ﹣2）2C ． x （x+2）2D ． x （x+2）（x ﹣2）8．不论x,y 取何实数，代数式x 2－4x+y 2－6y+13总是（ ）A ． 非负数B ． 正数C ． 负数D ． 非正数9．计算：1252﹣50×125+252=( )A ． 100B ． 150C ． 10000D ． 2250010．多项式 x +2 2x −1 − x +2 可以因式分解成2 x +mx +n ，则m −n 的值是（ ）A ． 0B ． 4C ． 3D ． 111．下列四个多项式中，利用平方差公式分解因式的是( )A ． x 2−1=(x +1)(x −1)B ． x 2+2x +1=(x +1)2C ． x 2−6x +9=(x +3)(x −3)D ． x 2+8x =x (x +8)12．下列多项式中，可以提取公因式的是A ． ab +cdB ． mn +m 2C ． x 2-y 2D ． x 2+2xy +y 213．已知x 2-ax-12能分解成两个整数系的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）A ． 3个B ． 4个C ． 6个D ． 8个14．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ． x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2B ． （a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2C ． x 2+4x +4=（x +2）2D ． ax 2﹣a=a （x 2﹣1）15．把代数式3x 3−12x 2+12x 分解因式，结果正确的是（ ）A ． 3x (x 2−4x +4)B ． 3x (x −4)2C ． 3x (x +2)(x −2)D ． 3x (x −2)216．下列式子从左到右变形是因式分解的是( )A ． 12xy 2=3x y ⋅4yB ． (x +1)(x −3)=x 2−2x −3C ． x 2−4x +1=x (x −4)+1D ． x 3−x =x (x +1)(x −1)17．对于任何整数m ，多项式()2459m +-都能（ ）A ． 被8整除B ． 被m 整除C ． 被()1m -整除D ． 被()21m -整除18．已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x+的值是（ ） A ． 1或﹣2 B ． ﹣1或2 C ． 1 D ． ﹣219．(−8)2018+(−8)2017能被下列数整除的是（ ）A ． 3B ． 5C ． 7D ． 920．下列变形，是因式分解的是（ ）A ． x (x −1)=x 2−xB ． x 2−x +1=x (x −1)+1C ． x 2−x =x (x −1)D ． 2a (b +c )=2a b +2a c21．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=， 246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ． 等腰三角形B ． 等边三角形C ． 直角三角形D ． 无法确定二、填空题22．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．23．分解因式：ax 2+2ax ﹣3a=_____．24．因式分解：x 3﹣4x=_____．25．分解因式： 243x x -+=______．26．分解因式：2m 3﹣8m= ．27．若a +b =3，则a 2−b 2+6b 的值为__________.28．在实数范围内因式分解：x 2y −3y =__________.29．若m+n=3，则代数式2m 2+4mn+2n 2-6的值为____________；30．分解因式：x 2﹣5x=__．31．分解因式：x 2﹣1= ．32．分解因式：3ax 2+6a x y +3ay 2=__________．33．分解因式：a 2b−8ab +16b =_____．34．因式分解：81−18a +a 2=__________．35．因式分解：3x 2+6x+3=_____．36．分解因式： 256x x --=________.37．把多项式4ax 2−9ay 2分解因式的结果是___________.38．如果a ﹣b=﹣4，ab=7，那么ab 2﹣a 2b 的值是_____．39．分解因式(x y −1)2−(x +y −2x y )(2−x −y )=______．40．若a +b =2，a −b =−3，则a 2−b 2=_____．41．在实数范围内分解因式：x 5﹣9xy 4=___．42．分解因式（xy ﹣1）2﹣（x+y ﹣2xy ）（2﹣x ﹣y ）=_____．43．已知22610340m n m n +-++=，则m n +=______． 44．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4-y 4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x 2+y 2)，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：(x-y)=0，(x+y)=18，(x 2+y 2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x 3-xy 2，取x ＝27，y ＝3时，用上述方法产生的密码是：_________________________（写出一个即可）．三、解答题45．因式分解：(x 2−x )2−14(x 2−x )+24．46．因式分解：x 2−4−4x y +4y 2．47．因式分解： 4224109x x y y -+48．分解因式：（1）3x a −b −6y b −a ； （2）81x 4−72x 2y 2+16y 4；49．把下面各式分解因式：（1）4x 2﹣8x+4（2）x 2+2x （x ﹣3y ）+（x ﹣3y ）2 ．50．因式分解：（1）-2m+4m 2-2m 3 ； （2）a 2﹣b 2﹣2a+1；（3）(x-y)2-9(x+y)2 ；51．因式分解：（x 2﹣4x ）2﹣2（x 2﹣4x ）﹣15．52．因式分解：（1）x 2−6x +9；（2）m 2−n 2+ m −n .53．因式分解：4m 2n 2−2m 3n 3−2m n54．因式分解： 2221x y y -+-55．因式分解：x 3+x 2y ﹣xy 2﹣y 3．56．分解因式：（1）9ax 2﹣ay 2； （2）2x 3y +4x 2y 2+2xy 3．57．（1）计算：（12a 3﹣6a 2+3a ）÷3a ﹣1；（2）因式分解：﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2．58．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 4+b 2c 2=b 4+a 2c 2，试判断△ABC 的形状． 阅读下面解题过程：解：由a 4+b 2c 2=b 4+a 2c 2得：a 4﹣b 4=a 2c 2﹣b 2c 2①（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）=c 2（a 2﹣b 2） ②即 a 2+b 2=c 2③∴△ABC 为RT △．④试问：以上解题过程是否正确：_____．若不正确，请指出错在哪一步？_____（填代号）错误原因是_____．本题的结论应为_____．59．分解因式：（1）()222416a a +-；（2）()()223a a a +-+． 60．因式分解：(1)2x 3－4x 2＋2x ；(2)(m －n )(3m ＋n )2＋(m ＋3n )2(n －m )．61．把下列各式分解因式：(1) 3a x −y −5b y −x ；(2) −b 3+4ab 2−4a 2b ．62．2210212x xy y -+=63．设a 1=32﹣12，a 2=52﹣32，……，a n =（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2，（n 为正整数）（1）试说明a n 是8的倍数；（2）若△ABC 的三条边长分别为a k 、a k+1、a k+2（k 为正整数）①求k 的取值范围．②是否存在这样的k ，使得△ABC 的周长为一个完全平方数，若存在，试举出一例，若不存在，说明理由．64．2282215m mn n -+=65．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2﹣4x+m 有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为（x+n ），得x 2﹣4x+m=（x+3）（x+n ），则x 2﹣4x+m=x 2+（n+3）x+3n ∴ n +3=−4m =3n，解得：n=﹣7，m=﹣21 ∴ 另一个因式为（x ﹣7），m 的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x 2﹣5x+6可分解为（x ﹣2）（x+a ），则a= ；（2）若二次三项式2x 2+bx ﹣5可分解为（2x ﹣1）（x+5），则b= ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2+5x ﹣k 有一个因式是（2x ﹣3），求另一个因式以及k 的值．66．先阅读下面的村料，再分解因式．要把多项式a m +a n +b m +b n 分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得a m +a n +b m +b n =a (m +n )+b (m +n )．这时，由于a (m +n )+b (m +n )中又有公困式(m +n )，于是可提公因式(m +n )，从而得到(m +n )(a +b )，因此有a m +a n +b m +b n=(a m +an )+(b m +b n )=a (m +n )+b (m +n )=(m +n )(a +b )．这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解：(1)a b −a c +b c −b 2=a (b −c )−b (b −c )(请你完成分解因式下面的过程)=______(2)m 2−m n +m x −n x ；(3)x 2y 2−2x 2y −4y +8.67．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．如：8=32﹣12 ，16=52﹣32 ，24=72﹣52 ，…因此8，16，24这三个数都是奇特数．（1）56这个数是奇特数吗？为什么？（2）设两个连续奇数的2n ﹣1和2n+1（其中n 取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？68．24415n n +-=69．(1)分解因式：ax 2－2ax ＋a ＝__________；(2)计算：2x −1÷4+2x (x −1)(x +2)＝________．70．231110x x ++=71．（1）分解因式2m x 2−3m x +x −2m −2．（2）解方程：x 2−6x −1=0．72．42222459x y x y y --=73．2576x x +-= 74．分解因式：（1）5mx 2﹣10mxy +5my 2（2）4（a ﹣b ）2﹣（a +b ）2．75．22157x x ++=76．分解因式：3x 3−12xy 2．77．解答下列各题．（1）计算：（π﹣2017）0+（﹣3）2﹣（12）﹣1（2）分解因式：a 3﹣4ab 2．78．把下列多项式分解因式：（1）27xy 2−3x （2）12x 2＋xy ＋12y 2（3）a 2−b 2−1+2b （4）x 2+3x −479．22568x xy y +-=80．计算如图所示的十字形草坪的面积时，小明和小丽都运用了割补的方法，但小明使“做加法”，列式为“a a −2b +2b a −2b ”，小丽使“做减法”，列式为“a 2−4b 2”.（1）请你把上述两式都分解因式；（2）当a =63.5m 、b =18.25m 时，求这块草坪的面积.(小明） （小丽）81．2384a a -+=82．222256x y x y x --=83．2675x x --= 84．把下列各式因式分解：（1）4x 2−9 （2）x 3﹣2x 2y +xy 285．把下列各式因式分解：(1)2m(a －b)－3n(b －a)；(2)16x 2－64；(3)－4a 2＋24a －36.86．把下列多项式分解因式（1）12xy 2-3x 3；（2）(x-2)(x-4)+1.87．222231710a b abxy x y -+=88．2252310a b ab +-= 89．2635l l +-=90．分解因式：（1）－3x 2＋6xy －3y 2； （2）16(a +b )2−25(a −b )2． 91．2718m m +-=92．32412a a a --+=93．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式265x x ++的最小值．()22222652333534x x x x x ++=+⋅⋅+-+=+-， ∵()23x +≥0，∴当3x =-时， 265x x ++有最小值4-．请根据上述方法，解答下列问题：（1）()222224122221x x x x x a b +-=+⋅⋅+--=++，则ab 的值是______；（2）求证：无论x（3）若代数式227x kx ++的最小值为2，求k 的值．94．()2m x y x y --+95．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a 2﹣2ab+b 2=ac ﹣bc ，试判断△ABC 的形状，并说明理由．96．教科书中这样写道：“我们把多项式a 2+2ab +b 2及a 2-2ab +b 2叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．例如：分解因式x 2+2x -3=(x 2+2x +1)-4=(x +1)2-4=(x +1)2-4=(x +1+2)(x +1-2)=(x +3)(x -1)； 例如求代数式2x 2+4x -6的最小值，2x 2+4x -6=2(x 2+2x -3)=2(x +1)2-8，可知当x =−1时，2x 2+4x −6有最小值，最小值是−8．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m 2-4m -5= ．（2）当a ，b 为何值时，多项式a 2+b 2-4+6b +18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a ，b 为何值时，多项式a 2-2ab +2b 2-2a -4b +27有最小值，并求出这个最小值．97．已知a ，b ，c 是三角形的三边，且满足a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca=0.试判断三角形的形状.98．材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试证明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．99．发现与探索。
河南省濮阳市第六中学八年级数学上册第一章分式复习1(无答案)鲁教版五四制
分式【学习目标】熟记分式有关概念，分式的基本性质，分式的运算法则，熟练地进行有关 分式的化简、求值。
能熟练求解解分式方程及列分式方程解应用题。
【学习重点】分式、分式方程的计算和应用【学习过程】一、梳理知识：1、什么是分式?下列各代数式中，哪些是分式?x 1、21、212+x 、πxy3、y x +3、m a 1+2、分式的基本性质：_______________________________________________________________ ____________________________________________________________3、分式的乘除法则：________________________________________________________________________________________________________________________4、分式的加减法则：________________________________________________________________ ________________________________________________________________5、回顾约分、通分、最简公分母的概念.6、列分式方程解应用题的一般步骤是什么？如何检验？ 二、例题精练例1 当x 取什么值时，分式62||2---x x x 无意义？分式62||2---x x x 的值为零？例2 化简：b a aa b a b a a b a b a a -⋅-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-3232例3 已知11b a +=10c b +=15a c +，求c b a ac b ++-+的值.三、达标测评：1、当x 时，分式41-x 有意义2、1x-y当x=,y=1时，分式的值为2xy-13、xyz x y xy 61,4,13-的最简公分母是 。
鲁教版八年级数学上册分式的加减法知识点：第一章
鲁教版八年级数学上册分式的加减法知识点：第一章分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。
8.异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.9.同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号.10.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分.11.异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化.12.作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式.有了上文为大家总结的八年级数学上册分式的加减法知识点，大家及时提前复习，在考试中一定能取得好成绩。
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2013-2014学年鲁教版(五四学制)八年级数学(上册)《第一章-分式》章节检测题(含答案详解)
2013-2014学年鲁教版(五四学制)八年级数学(上册)《第一章-分式》章节检测题(含答案详解)第一章 分式检测题（本检测题满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共36分）1.已知21aa +=，则22211a a a ---的值为（ ）A.152-+B.152-±C.-1D.12.（2012·山东淄博中考）化简2221121a a a a a a +-÷--+的结果是（ ）A.1aB.aC.11a a +-D.11a a -+ 3.要使分式1(1)(2)x x x ++-有意义，则应满足（ ） A.≠-1 B.≠2 C.≠±1D.≠-1且≠2 4.若分式3621x x -+的值为0，则（ ）A.=-2B.=-12C.=12D.=2 5.使得1621n n -+的值是整数的所有正整数的个数是（ ）A.1B.2C.3D.46.（2013•山东淄博中考）如果分式2122x x -+的值为0，则的值是（ ）A.1B.0C.-1D.±17.下列各式运算正确的是（ ）A.()()22 1a b b a -=-B .221a b a b a b+=++C.111a b a b+=+ D.22x x÷= 8.下列约分正确的是（ ）A.133m mm =++ B.122x y yx +=-- C.936321b ba a =++ D.()()x a b xy b a y-=-9.把12x -，()()123x x -+，()223x +通分的过程中，不正确的是（ ） A.最简公分母是()()223x x -+B.()()()2231223x x x x +=--+C.()()()()2132323x x x x x +=-+-+ D.()()()22222323x x x x -=+-+10.计算 的结果是（ ） A ．-3 B ．3 C ．-12 D ．12 11.化简2422m m m ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭的结果是（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2(2)m +12.若分式方程11(1)(2)x mx x x -=--+有增根，则的值为（ ）A.0或3B.1C.1或-2D.3二、填空题（每小题3分，共18分）13. 当=2时，分式22x x m-无意义，则当=3时，分式mxx m+的值为 .14. 有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是≠±1；丙：当=-2时，分式的值为1，请你写出满足上述全部特点的一个分式 . 15. 若分式 2139x x +-的值为负数，则的取值范围是 .16. 已知22753y x x y -=+且y ≠0，则x y= .17.（2013•新疆中考）化简2212124x x x x x --+÷=--__________.18. 若分式方程244x a x x =+--的解为正数，则的取值范围是 .三、解答题（共66分）19.（8分）先将代数式()211xx x +⨯+化简，再从-1，1两数中选取一个适当的数作为的值代入求值.20.（8分）（2012•山东烟台中考）化简：2228441442a a a a a a⎛⎫+--÷ ⎪+++⎝⎭.21.（8分）（2012•山东淄博中考）解方程：2011x x x+=--. 22.（8分）先仔细看（1）题，再解答（2）题． （1）为何值时，方程233x a x x =+--会产生增根？解：方程两边同时乘，得.① 因为是原方程的增根，但却是方程①的根，所以将代入①得：，所以．（2）当为何值时，方程2211y m y y y y y--=--会产生增根？23.（12分）计算： （1）2211244a a a a --÷+-；（2）2222·()1xx y x yx y ⎛⎫--⎪-+⎝⎭.24.（10分）一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．25.（12分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1 200元购书若干本，并按定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1 500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？第一章 分式检测题参考答案1.D 解析：原式()()()()()()()21211111111a a a a a a a a a a a -+-==+--+-+. ∵ 21a a +=，∴ 原式()21111a a a a ===++．故选D ．2.A 解析：首先把分式的分子、分母分解因式，再把除法变成乘法，然后约分相乘即可．原式=()()()()2111111a a a a a a a-+⨯=--+，故选A. 3.D 解析：要使分式有意义，则（+1）（-2）≠0，∴ +1≠0且-2≠0， ∴ ≠-1且≠2．故选D ．4.D 解析：由题意可得3-6=0且2+1≠0，所以12x ≠-，解得=2．故选D ．5.C 解析：当时，分式的值是正数，要使1621n n -+为整数，则≥， 解得：≤，故这样的的值不存在； 当＜时，分式的值是负数，则≥，解得：≤，则的正整数值是1，2，3，4，5．在这五个数中，当时，分式1621n n -+是一个整数．当时，分式1621n n -+是一个整数.当时，分式1621n n -+的值为0，是一个整数．故使得1621n n -+的值是整数的的正整数值是1，5和16，共3个．故选C ．6.A 解析：由分式的值为零的条件得210x -=，220x +≠，由210x -=，得1x =±，由220x +≠，得1x ≠-.综上得1x =．故选A ．7.A 解析：A.()()22a b b a -=-()()22a b a b --=1，所以A 正确；B.分子、分母不含公因式，不能约分，所以B 错误；C.11a ba b ab ++=，所以C 错误； D.22212 ·x x x x x ÷==，所以D 错误．故选A ．8.C 解析：A.333113333m m mm m m +-==-≠++++，错误；B.222112222x y x y y yx x x +-+++==+≠----，错误； C.993633(21)21b b ba a a ==+++,正确；D.()() x a b x y b a y-=--，错误．故选C ．9.D 解析：A.最简公分母为()()223x x -+，正确；B.()()()2231223x x x x +=--+(分子、分母同乘),正确； C.()()()()2132323x x x x x +=-+-+(分子、分母同乘)，正确；D.通分不正确，分子应为2（-2）=2-4.故选D ．10.D 解析：原式=334x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ×22 x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=12. 11.B 解析：原式()()222412 1222m m m m m m m +--=÷⨯=-+-+（）=.故选B ．12.D 解析：∵ 分式方程11(1)(2)x mx x x -=--+有增根，∴ 或，∴ 或． 两边同时乘，原方程可化为，整理得，.当时，；当时，. 当时，分式方程变形为101x x -=-，此方程无解，故舍去，即的值是3，故选D ．13.34 解析：根据题意，当=2时，分式22xx m -无意义，∴ ，∴ ．把和=3代入分式mx x m +，则分式mx x m +的值是34．14.231x -（答案不唯一） 解析：由题意，可知所求分式可以是231x -，211x x +-，11x -等，答案不唯一.15.＜3 解析：∵ 21x +恒为正值，分式2139x x +-的值为负数，∴ 3-9＜0，解得＜3．16.417- 解析：由已知22753y x x y -=+，得：， 化简得：，则417x y =-． 17.21x x +- 解析：原式21(2)(2)22(1)1x x x x x x x -+-+=⋅=---. 18.＜8且≠4 解析：解分式方程244x ax x =+--，得，得. ∵ ＞0，∴ 且，∴且， ∴ ＜8且≠4．19.解：原式=1(1)1x x x x +⨯=+，当=-1时，分母为0，分式无意义，故不满足； 当=1时，代数式的值为1．20.分析：首先利用分式的加法法则计算括号内的式子，然后把除法转化成乘法，即可求解．解：原式=22222(44)(8)244(2)4444(2)442a a a a a a a a aa a a a a a ++-++-+⋅=⋅=++-+-+. 21.解：方程两边都乘（），得，解得. 经检验，是方程的解.22.分析：根据增根产生的条件，最简公分母为0时，未知数的值即为增根，再求得m 的值． 解：方程两边同乘(1)y y -，得2221y m y -=-（），22212ym y y-=+-，221y m -=.当0y =时，21m=-，此时m 无解；当1y =时，21m =，此时1m =±． 故当1m =±时，方程有增根． 23. 解：（1）原式(2)(21)2(1)(12)2()22a a a a a a a a -=⨯=+-++--+；（2）原式222·()()()()()()x x y x y x y x y x y x y x y x y x y -++=-=⋅-=-+-+-.24.解：设前一小时的速度为 千米/时，则一小时后的速度为1.5 千米/时，由题意得：18018021 1.53x x x -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 解这个方程得60x =.经检验，=60是所列方程的根，即前一小时的速度为60千米/时．25.解：设第一次购书的进价为x 元，则第二次购书的进价为元． 根据题意得：1 200 1 50010 1.2x x+=，解得：5x =. 经检验，5x =是原方程的解，所以第一次购书为1 2002405=（本）， 第二次购书为24010250+=（本）.第一次赚钱为240(75)480⨯-=（元）.第二次赚钱为200(75 1.2)50(70.45 1.2)40⨯-⨯+⨯⨯-⨯=（元）. 所以两次共赚钱48040520+=（元）.答：该老板这两次售书总体上赚钱了，共赚520元.。
鲁教版(五四制)八年级数学上第1章因式分解 1.1 因式分解 上课用课件(19张PPT)
A.3
B.-3
C.-21
D.21
练习反馈
2.若x2-mx-15=(x+3)(x+n),则nm的值为( )
A.-5
B.2
C.25
D.-25
应用举例-简便运算
例1. 计算: 7652×17－2352 ×17
应用举例-简便运算
例1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17
是因式分解．尤其要注意与整式乘法的区分， 避免混淆．
整式乘法与因式分解的关系
因式分解 X2-1
整式乘法
(X+1)(X-1)
整式乘法与因式分解互为逆运算.
例题解析-因式分解的定义
例1.下列式子变形是因式分解的是( ) • A.x2-5x+6=x(x-5)+6 • B.x2-5x+6=(x-2)(x-3) • C.(x-2)(x-3)= x2-5x+6 • D.x2-5x+6=(x+2)(x+3)
解：a3-a a a2 a 1 a a2 1 a a 1a 1.
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式 。
判断标准
1．判断一种变形是否为因式分解，关键是看： (1)结果是否为几个整式的积； (2)是否为恒等变形．若结果不是积的形式，则不
例题解析-因式分解的定义
例1.下列式子变形是因式分解的是( D )
• A.x2-5x+6=x(x-5)+6 方法：
• B.x2-5x+6=(x-2)(x-3) 1.先观察式子的右边是 • C.(x-2)(x-3)= x2-5x+6否为几个整式的积的形式；
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分式
【学习目标】
熟记分式有关概念，分式的基本性质，分式的运算法则，熟练地进行有关 分式的化简、求值。
能熟练求解解分式方程及列分式方程解应用题。
【学习重点】
分式、分式方程的计算和应用
【学习过程】
一、梳理知识：
1、什么是分式?下列各代数式中，哪些是分式?
x 1、21、21
2+x 、πxy
3、y x +3、m a 1
+
2、分式的基本性质：
_______________________________________________________________ ____________________________________________________________
3、分式的乘除法则：
________________________________________________________
________________________________________________________________
4、分式的加减法则：
________________________________________________________________ ________________________________________________________________
5、回顾约分、通分、最简公分母的概念.
6、列分式方程解应用题的一般步骤是什么？如何检验？ 二、例题精练
例1 当x 取什么值时，分式62||2---x x x 无意义？分式62
|
|2---x x x 的值为零？
例2 化简：b a a
a b a b a a b a b a a -⋅-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-3232
例3 已知11b a +=10c b +=15a c +，求c b a a
c b ++-+
的值.
三、达标测评：
1、当x 时，分式41
-x 有意义
2、1x-y
当x=,y=1时，分式的值为2xy-1
3、xyz x y xy 61
,4,13-的最简公分母是 。
在解分式方程： 41
2--x x ＋2＝x x 21
2+的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公
分母是________________.
4、、一项工程，甲单独做x 小时完成，乙单独做y 小时完成，则两人一起完成这
项工程需要__________小时。
5、若1
5a a +=，则231510a a -+=
6、化简： （1）a b 2.a a 42
- （2）11
12+-+a a a
（3）2214
4422a a a a a --⨯-+- （4）21
44122++÷++-a a a a a
(5) x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+ (6)222
24421y xy x y x y x y x ++-÷+--
7、解分式方程：
（1）325
+x ＝13
-x （2）416
22
2--+-x x x ＝1
（3）x x x --=+-21321
（4）551
1+=--x x
x
四、拓展延伸：
1、先化简，再求值：111222---++x x
x x x ，其中x =1
2-
2、已知111b a -=，试求2322a ab b
a a
b b +---的值
3、有这样一道题：“计算：22221
1
1x x x x x x x -+-÷--+的值，其中2007x =”，某
同学把2007x =错抄成2008x =，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么 回事？
4、某工人现在平均每天比原计划多做20个零件，现在做4000个零件和原来做 3000个零件的时间相同，问现在平均每天做多少个零件？
5、22．观察下列各式：1
1
1122⨯=-；1
1
1
2323=-⨯；1
1
1
3434=-⨯； ， ，
（1）猜想它的规律，把1
(1)n n +表示出来；
（2）用你得到的规律，计算：1
1
1
1
2612(1)n n +++++ ，并求出当24n =时
代数式的值；【课后反思】。