数学思想方法在求解微分方程中的应用

（ ） ｄｙ＝ ｓｉｎ ｘ ｓｉｎ ｘ ＋ １
；
ｄｘ ｃｏｓ ｘ ｃｏｓ ｙ ｃｏｓ ｘｃｏｓ ｙ
ｃｏｓ ｘｃｏｓ ｙｄｙ＝ｓｉｎ ｘｓｉｎ ｙ＋ ｓｉｎ ｘ ．
ｄｘ
ｃｏｓ ｘ
又因 ｄｓｉｎ ｙ ＝ｃｏｓ ｙｄｙ，上式化为
ｄｘ
ｄｘ
ｃｏｓ
ｘ
ｄｓｉｎ ｄｘ
ｙ－
ｓｉｎ
ｘｓｉｎ
ｙ＝
ｓｉｎ ｃｏｓ
ｘ ｘ
．
此时看出，上面方程的左端是ｃｏｓ ｘｓｉｎ ｙ的导数，故引
（ｘ＋１）２＋（４ｙ＋ １）２＋ ８ｘｙ＋ １＝ ｘ２＋ ２ｘ＋ １＋ １６ｙ２＋ ８ｙ＋１＋８ｘｙ＋ １＝ （ｘ＋４ｙ＋２）２－ （２ ｘ＋４ｙ＋２）＋ ３， 发现方程右端可看作变元ｘ＋４ｙ＋２的函数，于是仍可用整体 换元求解，即 令ｕ＝ｘ＋４ｙ＋２，则原方程化为变量可分离方 程
ｄｕ ＝ ４ｕ２－ ８ｕ＋ １３， ｄｘ 从而可求出其通解（具体求解略）． 整体换元法不仅能将一些非典型方程化为典型方 程，而且还可简化一些典型方程的求解．例如，ｄｙ＝３ｙ＋ｘ－ ２
类，可分为典型方程和非典型方程，典型方程又可分为几
种不同的类型，即
（１）变 量 可 分 离 方 程 ｄｙ ＝ｈ（ｘ）ｇ（ｙ）；（２）齐次方程 ｄｙ ＝
ｄｘ
ｄｘ
ｇ（ ｙ ）；（３）一阶线性方程 ｄｙ ＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｑ（ｘ）；（４）伯努利方程
ｘ
ｄｘ
ｄｙ ＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｑ（ｘ）ｙｎ；（５）恰当 方 程 Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０， ｄｘ
版社，２００３． ［３］ 周义仓，靳祯，秦军林． 常微方程及应用［Ｍ］． 北京：科学出版
社，２００３． ［４］ 王高雄．常微分方程［Ｍ］． 北京：高等教育出版社，１９８３． ［５］ 庄万． 常微分方程习题解［Ｍ］． 济南：山东科学技术出版社，
２００３． ［责任编辑：潘志清］
解 此方程将ｙ看成未知函数，不是典型的方程，若将
ｘ看成未知函数
ｄｘ ｄｙ
＝
－
ｘ ｙｌｎ
ｙ＋
１ ｙ
，
就变成了关于ｘ的一阶线性方程．解之，得原方程的通解
ｘ＝ Ｃ ＋ ｌｎ ｙ ． ｌｎ ｙ ２
参考文献： ［１］ 伍卓群，李勇． 常微分方程［Ｍ］． 北京：高等教育出版社，２００４． ［２］ 张雄，李得虎． 数学方法论与解题研究［Ｍ］． 北京：高等教育出
要善于根据方程的特点，引进适宜的变换，将方程化为能
求解的新类型，从而求解．这种解题方法来源于化归思想．
所谓“化归方法”是指把待解决或未解决的问题，通过某种
转化过程，归结到一类已解决或者比较容易解决的问题中
去，最终获得原问题的解答的一种手段和方法［２］．化归思想
是求解微分方程时常用的一种数学思想．
例１
ｄｘ
１（Ｃｅ３ ｘ－ １），带回原变量，得原方程的通解 ３
ｙ＝（－ １ ｘ＋ ５ ）＋Ｃｅ３（ｘ． Ｃ＝ １ Ｃ）
３９
９
４ 对称思想
将非典型方程转化为典型方程的另一条途径是将方
程变形，而将方程变形的一种方法是交换ｘ与ｙ的位置，这
种方法产生于对称思想．所谓对称思想，是指借助图形的
对称，数学式的对称等关系解决数学中的某些特殊问题的
［摘 要］ 列举一些常用的数学思想方法，说明它们在一阶微分方程求解中的应用． ［关键词］ 数学思想；微分方程；归化思想 ［中图分类号］Ｇ６４２．４１；Ｏ２４１．８ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１００２－ ６９９（１ ２００６）０６－ ０００８－ ０２
数学思想是由数学思维产生的，而数学思想起到了关键性
．［１］
解 此方程若将ｙ看成未知函数，似乎无法着手求解，
但若把ｘ看成ｙ的函数，即可把原方程化为 ｄｘ＝ ｘ＋ｙ＋ｙ２ｅｙ 或 ｄｙ ｙ
ｄｘ＝ ｘ ＋１＋ｙｅｙ．这是以ｘ为未知函数的一阶线性方程．解之， ｄｙ ｙ
可得原方程的隐式通解
ｘ＝（ｙ Ｃ＋ｅｙ＋ｌｎ ｙ ）．
另外，原方程还有特解ｙ＝０．
例 ６ 解方程ｙｌｎ ｙｄｘ＋（ｘ－ ｌｎ ｙ）ｄｙ＝０ ．［５］
第６期
谭安如，谭持平：数学思想方法在求解微分方程中的应用
９
例 ３ 求解方程 ｄｙ＝（ｘ＋ｙ）２ ［４］． ｄｘ
解 这是非典型一阶方程，方程右端是ｘ＋ｙ的函数，若 把ｘ＋ｙ视为一个整体，即把ｘ＋ｙ看作一个新的变元ｕ，原方程 就变形为关于ｕ的变量可分离方程 ｄｕ ＝ ｕ２＋ １，从而可求出
ｄｘ 原方程的通解为
程的通解，再代回原变量，得原方程的通解为
（ｘ－ !ｘ２＋ｙ ）（２ ｘ＋ ２ !ｘ２＋ｙ ）＝ Ｃ． 例２ 求解方程 ｄｙ＝ ｔａｎ ｘ（ｔａｎ ｙ＋ ｓｅｃ ｘｓｅｃ ｙ）［３］．
ｄｘ 解 该方程是非典型方程，设法将其化归为典型方程
或较易求解的新方程．注意到此方程右端的函数是三角函 数，我们可用三角函数的性质和导数先对其进行变形．
（ !Ｍ ＝ !Ｎ ）［１］等等．不同类型的典型方程对应着不同的解 !ｙ !ｘ
法，如变量可分离方程可用“分离变量法”；一阶线性方程
可用“常数变易法”，因此，应用分类思想掌握好方程的类
型，是求解微分方程的重要环节．
２ 化归思想
非典型方程的解法较灵活，需要一定的技巧性，而掌
握技巧的基础除了熟悉典型方程的各种类型和解法外，还
再设原方程通解为ｙ＝Ｃ（ｘ）ｅ３ ｘ，代入原方程，得Ｃ（′ｘ）＝ （ｘ－ １）ｅ３ ｘ，两边积分，得Ｃ（ｘ）＝（－ １ ｘ＋ ５ ）ｅ－３ ｘ＋Ｃ，于是原方
３９ 程的通解为
ｙ＝（－ １ ｘ＋ ５ ）＋Ｃｅ－３ ｘ ． ３９
解法２ （整体换元法） 作变换ｕ＝３ｙ＋ｘ－ ２，代入方程得 到 ｄｕ ＝３ｕ＋１，这是变量分离方程，分离变量并积分，得ｕ＝
思想．在方程 ｄｙ＝（ｆ ｘ，ｙ）或Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０中，ｘ与ｙ ｄｘ
的位置是对称的，可以将ｙ看成ｘ的函数，同样也可以将ｘ看
成ｙ的函数．有些方程若将ｙ看作未知函数求解较困难时，
不妨对调ｘ与ｙ的位置，即把ｘ看成ｙ的函数，也可达到求解
目的．
例５
解方程 ｄｙ＝ ｄｘ
ｙ ｘ＋ｙ＋ｙ２ｅｙ
求解方程
ｄｙ ｄｘ
＋
ｘ＝
!ｘ２＋ｙ
．
［３］
解 该方程不属于典型方程，求解的困难应在于右端
的根号，希 望 用 变 换 ｚ２＝ ｘ２＋ ｙ 将其化归为典型方程．由于
２
ｚｄｚ＝ ２ｘｄｘ＋ ｄｙ，代入原方程后得２
ｚ
ｄ ｄ
ｚ ｘ
－
ｘ＝ ｚ，这是一个齐
次方程 ｄ ｚ ＝ ｘ＋ｚ ，利用齐次方程的求解方法可求出此方 ｄｘ ２ｚ
入新变量ｚ＝ｃｏｓ ｘｓｉｎ ｙ，将方程化为
ｄｚ ｄｘ
＝
ｓｉｎ ｃｏｓ
ｘ ｘ
．
这是变量可分离方程，从而易求出原方程的通解为
ｃｏｓ ｘｓｉｎ ｙ＋ｌｎ ｃｏｓ ｘ ＝Ｃ． ３ 整体思想
我们应用化归思想获得了求解非典型微分方程的思
想，即将非典型方程化为典型方程．然而，转化过程及到变 换的选取和方程的变形，怎样作出适宜的变量代换呢？这
ｙ＝ｔａ（ｎ ｘ＋ｃ）－ ｘ． 一般，形如 ｄｙ ＝ｆ（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）的方程，都可采用整体换元法，
ｄｘ 即将整个式子ａｘ＋ ｂｙ＋ ｃ看着一个新变元来求解．
例 ４ 求解方程 ｄｙ＝（ｘ＋１）２＋（４ｙ＋ １）２＋ ８ｘｙ＋ １． ｄｘ
解 此方程不是典型方程，初看起来，似乎无法入手， 但认真分析，从整体着眼，就能找到求解途径．方程右端的 形式初看好像不能作整体换元，若将方程右端整理
ｄｘ 是一阶线性方程，按常规方法求解，可能会带来较繁杂的 运算，如能根据方程的特点，巧用“整体思想”，作整体换元 ｕ＝３ｙ＋ｘ－ ２，可收到事半功倍的效果．
解法１ （常数变易法） 先求相应线性齐次方程 ｄｙ ＝３ｙ ｄｘ
的通解分离变量，得 ｄｙ＝ ３ｄｘ， （ｙ≠０）两边积分，得ｙ＝Ｃｅ３ ｘ， ｙ
的作用．现以一阶微分方程求解为例，谈谈数学思想在解
微分方程中的应用．
１ 分类思想
在求微分方程的解时，最基本的要求是正确而又敏
捷地判断所给方程属于何种类型，从而按照相应的方法进
行求解．这种解题思路实际上是应用了分类思想．分类是一
种基本的思维活动，能够恰当地分类，是逻辑思维能力的
一种具体体现． 一阶微分方程可依据方程的特点进行分
８
第 ２４ 卷 第 ６ 期 ２００６ 年 １２ 月
黔东南民族师范高等专科学校学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｔｅａｃｈｅｒ＇ｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｖｏｌ．２４ Ｎｏ．６ Ｄｅｃ．２００６
数学思想方法在求解微分方程中的应用
谭安如 １，谭持平 ２
（ １． 凯里学院数学与计算机科学系，贵州 凯里 ５５６０００ ；２． 凯里学院政治处，贵州 凯里 ５５６０００ ）
同样需要应用数学思想，整体思想就是我们在选取代换时
常用的一种数学思想．所谓整体思想，就是在考虑问题时 不是着眼于问题的局部，而是从问题的整体出发，利用对
整体结构的分析实现问题解决的思维方式．对一些非典型 方程，常可用整体换元思想，达到求解的目的．
［收稿日期］ ２００６－ ０９－ ０５ ［作者简介］ 谭安如，女，贵州黄平人，凯里学院数学与计算机科学系副教授．