数学思想方法的应用
常见数学思想方法应用举例
常见数学思想方法应用举例1.归纳法：归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，通常应用于证明一些性质在所有情况下成立。
例如，我们可以使用归纳法来证明1+2+3+...+n的总和公式为n(n+1)/2、首先，当n=1时，左侧为1，右侧为1(1+1)/2，成立。
接下来，假设对于一些k成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2、那么当n=k+1时，左侧为1+2+3+...+k+(k+1)，右侧为(k+1)((k+1)+1)/2、我们可以将左侧拆分为k(k+1)/2+(k+1)，然后代入归纳假设得到右侧，因此可以推断1+2+3+...+n=n(n+1)/2对于所有自然数n成立。
2.递推法：递推法是一种逐步推进的思想方法，在每一步中根据前一步的结果得到下一步的结论。
递推法常常应用于数列和数列的性质推导。
例如，斐波那契数列就是一个典型的应用递推法得到的数列。
斐波那契数列的定义是：第一个和第二个数都是1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
即，F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3）。
通过递推法，我们可以计算任意给定项的斐波那契数列。
3.反证法：反证法是一种通过假设命题的否定形式为真，再通过推导推出与已知事实矛盾的结论，从而推断原命题为真的思想方法。
例如，我们想要证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p和q是互质的。
如果我们将这个假设代入p^2/q^2=2，可以得到p^2=2q^2、这意味着p的平方是一个偶数，因此p也是一个偶数（偶数的平方是偶数）。
我们可以将p表示为2k，其中k是一个整数，那么我们得到(2k)^2=2q^2，即4k^2=2q^2，化简为2k^2=q^2、这表明q的平方也是偶数，进一步可以推断q也是偶数。
但这与p和q是互质的假设相矛盾，因此根号2不可能是有理数，即它是无理数。
4.数学归纳法：数学归纳法是一种证明自然数性质的方法，适用于证明具有递推性质的命题。
数学思想方法的综合应用
► 探究点二 使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________． 【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA→＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233.变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5) B 【解析】 e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三 联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．设a >0，问是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；【解答】 假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3时，又a >0，故x 0－a <0，则存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a3即a >3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－a －124<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.► 探究点四 以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎨⎧－4x <－3，2x ＋2－3≤x <1，4x >1.画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，正确选项为A.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，7 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 【解析】 (1)g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.故所求的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. (2)由⎩⎨⎧Δ1＝4a2－43－4a <0，Δ2＝a －12－4a 2<0，Δ3＝2a2＋8a <0，解得－32<a <－1，再求它的补集，则a 的取值范围是：a ≤－32或a ≥－1.例4 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin(α－2π)sin(α－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________.(2)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的最小值是________．【分析】 (1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sin x ＋cos x 看做一个整体，用这个整体表示已知函数．(1)－35 (2)－54 【解析】 (1)已知条件即sin α＝2cos α，求解目标即cos 2α－sin 2α.已知条件转化为tan α＝2，求解目标转化为cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，把已知代入得求解结果是－35. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋sin2x ，且t ∈[]－2，2.此时函数化为y ＝t ＋t 2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，故所求函数的最小值为－54.。
数学思想方法与应用
数学思想方法与应用
数学思想方法
1. 抽象化：将一个问题抽象成数学符号和公式的形式，从而能够系统地研究。
2. 形式化：用严格的数学语言和符号来表示问题，将问题的解决转化为计算和推导。
3. 推理和证明：运用严密的推理和证明方法，从已知的定理和公理出发，推导出新的结论。
4. 递归和归纳：用重复的过程和规律推导出新的结论。
5. 分析和综合：将一个复杂的问题分解为小的结构单元，并分别进行分析和综合，最终得到整个问题的解决方案。
数学应用
1. 物理学：数学是物理学的基础，特别适用于物理学中的运动、波动、电磁等方面的问题的研究。
2. 工程学：数学方法在机械、建筑、电子等领域都有广泛应用，如结构力学、
电路理论、控制理论等。
3. 经济学：数学工具在经济学中应用非常广泛，如微观经济学的供求理论，宏观经济学的经济增长理论等。
4. 生物学：数学工具在生物学中的应用涵盖了许多方面，如计算生物学、生态学、流行病学等。
5. 计算机科学：数学是计算机科学的基础，算法和数据结构等都是数学方法在计算机领域中的应用。
(完整版)数学思想方法在中学教学中的应用
数学思想方法在中学教学中的应用数学与统计学院张春月全日制普通高级中学数学教学大纲中规定:“高中数学的基础知识主要是高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。
”义务教育数学新大纲指出:“初中数学的基础知识主要是代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。
”把数学知识中的数学思想和方法纳入基础知识范畴,这充分体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。
这不仅是加强数学素养培养的一项举措,也是数学基础教育现代化进程的必然要求。
一、中学数学思想方法的主要内容中学数学中的基本数学思想如下。
两大“基石”思想:符号化与变元表示思想(换元思想、方程思想、参数思想) 与集合思想(分类思想、交集思想、补集思想) 。
两大“支柱”思想:对应思想(函数思想、变换思想、递归思想、数形结合思想) 与公理化与结构思想(公理化思想、结构思想、极限思想) 。
两大“主梁”思想:系统与统计思想(整体思想、分解组合思想、运动变化思想、最优化思想;随机思想、统计调查思想、假设检验思想、量化思想) 与化归与辩证思想(纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想, 对立统一、互变、一分为二思想) 。
中学数学中的基本数学方法如下。
五种科学认识方法:观察与实验,比较与分类,归纳与类比,想象、直觉与顿悟。
四种推理方法:综合法与分析法,完全归纳法与数学归纳法,演绎法,反证法与同一法。
三种求解方法:数学模型法,关系映射反演方法,构造法。
二、提高数学思想方法教学的意识性对数学思想方法教学缺乏意识性是一个较普遍的问题。
主要表现在:制定教学目的时,对具体知识、技能训练的教学要求比较明确,而忽视数学思想方法的教学要求;教学时,往往注重知识的结论,而削弱知识形成过程中思想方法的训练;知识应用时,又偏重于就题论题,忽视数学思想方法的揭示与提炼;小结复习时,只注意知识的系统整理,忽视思想方法的归纳提高等等,致使数学教学停留在较低的层次上。
数学中的思想方法及应用
数学中的思想方法及应用数学在人类的发展进程中扮演着重要的角色，它不仅是一门学科，更是一种思想方法和一种工具。
数学思想方法包括抽象思维、逻辑思维、系统思维和创造思维等多个方面，它们在解决实际问题、推动科学技术进步、培养人的思维能力等方面起着重要作用。
首先，抽象思维是数学思想方法中的重要部分。
数学通过抽象的方式将实际问题或对象转化为符号或模型，以便进行研究和分析。
抽象使得数学问题的本质更加清晰和简明，使得数学可以研究和解决更加一般化、复杂化的问题。
例如，在几何学中，我们可以将具体的线段、三角形等几何对象抽象为点、线、面等基本几何元素进行研究。
通过抽象，我们可以更好地理解并解决几何学中的各种问题。
逻辑思维是数学思想方法的另一个重要方面。
数学思想符合严密的逻辑规律，通过推理和证明来达到对问题的深入理解。
逻辑思维让我们在分析和解决问题时能够清晰地进行论证和推断。
数学逻辑思维的一个典型例子是证明。
在证明过程中，我们使用逻辑推理的方法建立命题之间的联系和结论的正确性。
逻辑思维在数学中的应用使得数学成为一门严密的学科，并为其他科学领域提供了重要的理论基础。
系统思维也是数学思想方法的重要组成部分。
数学思维可以理解为一种系统性的思考和分析问题的方式。
数学问题很少是孤立存在的，通常存在于一个系统中。
系统思维帮助我们把握问题的全貌，并通过分析系统中的各个部分和相互关系，找到问题的规律和解决办法。
例如在微积分中，我们通过对函数的整体分析，从整个变化过程中找到了导数和积分的概念，从而建立了微积分的理论体系。
创造思维则是数学思想方法中最富有创造性和想象力的一部分。
数学创造思维是指通过运用已有的数学知识和方法，创造性地解决新问题或发现新规律。
数学创造思维需要充分发挥想象力和灵感，同时结合逻辑推理进行验证和证明。
创造思维广泛应用于数学研究和解决实际问题的过程中。
例如，在代数学中，通过创造性地引入新的概念和符号，人们扩展了数的概念并发展了复数和矩阵等数学工具，为解决实际问题提供了丰富的数学方法。
数学思想方法在生活中的应用
数学思想方法在生活中的应用
1、运用数学概率统计原理加快购物速度
现在的购物大多是在网上完成，买家要提出购买的条件，比如“要什么
产品，多少价格”，这时运用概率统计，令购物者根据一定的概率抽取
最适合他们的产品或者最优惠的价格，使购物者可以根据自己的需要
以更快速度和更方便的方式购买到他们想要的东西。
2、数学规律用于家居美化
许多家里装修师傅都运用数学美学原则和规律进行装修，比如运用金
砖铺面以及长宽比例等来进行美化装修。
一般而言，数学美学会探究
一种物品的运动情况，通过把一定的数学方程式分析运用于空间装饰，使家居美化变得更加合理、整齐、恰当。
3、数学思维改变餐饮消费
近年来，越来越多的餐饮企业依靠数学思维的改变为消费者提供更多
的服务和更多的选择，比如听说在一些餐饮厅里，顾客可以根据自己
的需求自由组合食物。
客户根据自己的口味，随着自己的喜好，按照
自己的实时把组合菜单拼成一份，实现快捷又有设计感的点餐方式。
数学思想方法在生活中的应用研究
数学思想方法在生活中的应用研究
数学思想方法在生活中具有广泛的应用。
无论是在日常生活中还是在各个领域的研究中，数学的思维方式都能够帮助我们更好地解决问题、推理与判断。
下面将介绍一些关于数学思想方法在生活中应用的例子。
在日常生活中，我们可以利用数学思想方法来解决一些日常问题。
在购物时我们可以使用比例来计算折扣价格，以此判断是否物品是否划算。
在烹饪时，我们可以使用比例来调整食材的数量，以保证菜品的口感和味道。
在理财时，我们可以使用数学的利息计算方法，来计算投资和借贷的利息。
这些例子都展示了数学思想方法在个人生活中的应用。
在科学研究中，数学的思维方式也起到了重要的作用。
在物理学中，我们可以使用数学的模型来描述自然界中的现象，并通过求解方程来预测和解释实验结果。
在生物学中，我们可以使用数学统计方法来分析和解释现实生活中的数据。
在经济学中，我们可以使用数学的模型来研究市场供求关系和经济发展趋势。
这些例子都展示了数学思想方法在科学研究中的应用。
在技术领域中，数学的思维方式也是不可或缺的。
在计算机科学中，数学的思维方式可以帮助我们理解和设计算法，从而实现复杂的计算任务。
在工程学中，数学的思维方式可以帮助我们设计和分析各种工程结构，以保证其安全性和稳定性。
在通信工程中，数学的概率和统计方法可以帮助我们优化信号传输和编码方式，以提高通信质量。
这些例子都展示了数学思想方法在技术领域中的应用。
数学思想和数学方法
数学思想和数学方法数学思想和数学方法在人类文明发展中起到了重要的推动作用。
数学思想是指人们对于数学概念、原理和定理的理解和认知，而数学方法则是人们在解决数学问题时采用的一种系统的思维方式和操作手段。
本文将就数学思想和数学方法的重要性以及其在实践中的应用进行探讨。
一、数学思想的重要性数学思想作为一种高度抽象的思维方式，不局限于实际应用，而是探求各个学科中的基本规律和普适性原则。
数学思想的重要性主要体现在以下几个方面：首先，数学思想具有普遍性。
数学思想在不同学科领域中都能得到应用，不仅能够解决数学问题，更能够帮助人们理清科学问题的逻辑关系和内在联系，从而推动各个学科的发展。
其次，数学思想具有严密性。
数学思想倡导严谨的逻辑推理和严密的证明过程，这种严谨性使得数学思想具有高度的准确性和可靠性，保证了数学结论的正确性。
最后，数学思想具有创造性。
数学思想的发展是源于人们对数学问题的思考和探索，每一次的突破都代表了一种创造力的体现。
数学思想的创造性不仅推动了数学学科的不断发展，更有助于人类创造力的培养和提升。
二、数学方法的应用数学方法是人们在解决数学问题时采用的一种系统的思维方式和操作手段。
它不仅可以用于数学学科本身，还可以应用于自然科学、工程技术、社会科学等各个领域。
以下将介绍数学方法在不同领域中的应用。
1. 自然科学领域在自然科学领域，数学方法被广泛运用于物理学、化学、生物学、地理学等各个学科中。
比如在物理学中，数学方法用于建立实验数据的数学模型，推导物理定律和方程式。
在化学中，数学方法用于计算化学反应的速率和平衡常数，优化化学合成的工艺。
在生物学中，数学方法可以分析生物群体的变化规律，模拟基因的传递和变异。
2. 工程技术领域在工程技术领域，数学方法被广泛应用于机械、电子、通信、材料等领域。
比如在机械工程中，数学方法用于机械结构的优化设计，运动学和动力学分析。
在电子工程中，数学方法用于电路模拟和信号处理。
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数学思想方法的应用
徐英
数学思想是解决数学问题的灵魂，在初中数学中蕴含着丰富的数学思想方法.需要我们去挖掘并实施于解题过程.
数形结合思想指把数量和图形结合起来进行综合分析解决问题的一种数学思想方法.在解决数学问题时，我们可以把代数知识应用到解决几何问题中，也可以用图形来解决代数问题，
例1如图1（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合.设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y 2
m .
（1）写出y 与x 的函数关系式；
（2）当x ＝2，3.5时，y 分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
图1 图2
分析：解决问题需要根据图形进行分析，找出y 与x 之间的关系式.如图2，设移动x 秒后点C 移动点C ，三角形与正方形重叠部分为△DCC ′，由图形数据可知△DCC ′为等腰直角三角形，且CC ′=CD=2x ，根据三角形的面积可以写出y 与x 之间的关系式. 解：（1）因为CC ′=2x ，CD=2x ，所以S △CDC ′=
21×2x ×2x=2x 2,所以y ＝2x 2 （2）当x=2,时y=8；当x=3.5时,y=24.5
（3）由2x 2=2
1×10×10=50,解得x 1=5,x 2=-5(舍去). 所以当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5秒.
评注：本题通过图形分析找到y 与x 之间的数量关系，是对数形结合思想方法掌握情况的考查.
所谓建模思想，就是从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题解决的一种数学思想.根据实际问题建立方程模型立方程模型、建立函数模型等等都是建模思想的重要体现.
例2甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x >300）．
(1) 请用含x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
(2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
分析：本题是一道与购物有关的实际问题，要判断顾客到哪家 图3 超市购物更优惠，我们可以从实际问题构构建函数模型，通过函数的图象比较如何选择，才使购物更实惠。
解：(1)设在甲超市购物的所付的费用为y 甲，在乙超市所付的购物费用为y 乙，
则y甲=300+(x-300)×80%=0.8x+60,y乙=200+(x-200)×90%=0.9x+20.(x>300)
(2)在同一坐标系内画出两个函数的图象(如图3),从图象可以看出当x=400时,y甲=y乙;当x<400时, y甲>y乙;当x>400时, y甲<y乙.所以当购买大于300而小于400元的商品时,应选择乙超市;当购买400元的商品时,两个超市都可以;当购买商品大于400元时,应选择甲超市.。