思想篇 数学思想方法应用
数学思想数学方法总结
数学思想数学方法总结数学思想与数学方法是数学研究和解决问题的基础，它们相互影响、相互促进。
数学思想是指数学家对数学对象和数学问题的认识、思考和探索所形成的思维方式和观点，而数学方法则是指通过数学思想来解决数学问题的具体方式和步骤。
本文将总结一些常见的数学思想和方法，并阐述它们的重要性和应用。
一、抽象思维是数学的重要思想之一。
数学通过将具体的数学对象抽象成一般的数学结构，从而研究和解决更一般的问题。
抽象思维使得数学理论的适用范围更广，且能够通过类比和推广，从一个具体问题中得到一般结论。
例如，数学中的向量空间概念是从几何空间中的向量概念抽象而来的，它不仅可以应用于几何问题，还可以应用于代数、物理等领域。
二、归纳思维是数学证明的重要方法之一。
通过观察和推理，我们可以从特殊情况出发，逐步推广到一般情况，从而得到一个数学结论。
归纳思维使得数学证明更加简洁和具有普遍性。
例如，数学归纳法是一种常用的证明方法，通过证明当一个命题在某个特定条件下成立时，它在所有符合该条件的情况下也成立，从而得到一般情况的结论。
三、逻辑思维是数学推理的重要方法之一。
逻辑思维能够帮助我们分析问题的结构和关系，从而找到解决问题的合适方法和步骤。
逻辑思维使得数学推理更加准确和严谨。
例如，通过使用和运用各种逻辑规则和定理，我们可以推导出新的数学结论，并证明该结论的正确性。
四、建立模型是解决实际问题的重要数学方法之一。
数学可以将现实世界的问题抽象成数学模型，通过建立数学模型，分析问题的关键因素和规律，进而找到解决问题的有效方法。
模型建立和分析是数学方法的核心内容之一。
例如，经济学中的供求模型、物理学中的力学模型，都可以通过数学的方法进行建模分析，从而得到有关经济或物理问题的解决方案。
五、计算和推测是辅助数学问题解决的重要方法之一。
通过计算和推测，我们可以验证数学问题的正确性，也可以得到一些数学问题的近似解。
计算和推测是数学方法的实践和运用过程。
常见数学思想方法应用举例
常见数学思想方法应用举例1.归纳法：归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，通常应用于证明一些性质在所有情况下成立。
例如，我们可以使用归纳法来证明1+2+3+...+n的总和公式为n(n+1)/2、首先，当n=1时，左侧为1，右侧为1(1+1)/2，成立。
接下来，假设对于一些k成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2、那么当n=k+1时，左侧为1+2+3+...+k+(k+1)，右侧为(k+1)((k+1)+1)/2、我们可以将左侧拆分为k(k+1)/2+(k+1)，然后代入归纳假设得到右侧，因此可以推断1+2+3+...+n=n(n+1)/2对于所有自然数n成立。
2.递推法：递推法是一种逐步推进的思想方法，在每一步中根据前一步的结果得到下一步的结论。
递推法常常应用于数列和数列的性质推导。
例如，斐波那契数列就是一个典型的应用递推法得到的数列。
斐波那契数列的定义是：第一个和第二个数都是1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
即，F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3）。
通过递推法，我们可以计算任意给定项的斐波那契数列。
3.反证法：反证法是一种通过假设命题的否定形式为真，再通过推导推出与已知事实矛盾的结论，从而推断原命题为真的思想方法。
例如，我们想要证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p和q是互质的。
如果我们将这个假设代入p^2/q^2=2，可以得到p^2=2q^2、这意味着p的平方是一个偶数，因此p也是一个偶数（偶数的平方是偶数）。
我们可以将p表示为2k，其中k是一个整数，那么我们得到(2k)^2=2q^2，即4k^2=2q^2，化简为2k^2=q^2、这表明q的平方也是偶数，进一步可以推断q也是偶数。
但这与p和q是互质的假设相矛盾，因此根号2不可能是有理数，即它是无理数。
4.数学归纳法：数学归纳法是一种证明自然数性质的方法，适用于证明具有递推性质的命题。
1数学思想篇--整体思想
数学思想-- 整体思想知识梳理整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．典型例题一、在数与式的运算中的应用1. 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 2．先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0． 3．计算：11111111123420082342007⎛⎫⎛⎫+++++++++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (111111111234)20082342007⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…+?+ 二、在方程中的应用1.(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．2.(08苏州)解方程：()2221160x x x x +++-=． 三、在几何计算中的应用【例5】如图⊙A ，⊙B ，⊙C两两不相交，且半径都是0．5 cm ，则图中的阴影部分的面积是( )A ．12πcm 2B ．8πcm 2C ．4πcm 2D ．6πcm 2综合训练1．当代数式a +b 的值为3时，代数式2a +2b+1的值是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )A ．y 2+2y+1=0B ．y 2－2y+1=0C ．y 2+2y －1=0D ．y 2－2y －1=03．当x=1时，代数式a x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式a x 3+bx+7的值为A ．7B ．10C ．11D ．12 ( )4．若方程组36133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解x ，y 满足0<x+y<1，则k 的取值范围是 ( ) A ．－4<k<0 B ．－1<k<0 C ．0<k<8 D ．k>－45．(08芜湖)已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y----的值为_________． 6．已知x 2－2x －1=0，且x<0，则1x x -=__________． 7．如果(a 2+b 2) 2－2(a 2+b 2)－3=0，那么a 2+b 2=_________．8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2．10．如图，ABCD 是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是__________．11．如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是________．12．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元．13．(08烟台)已知x(x －1)－(x 2－y)=－3，求x 2+y 2－2xy 的值．14．(07泰州)先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根．15．解方程（1）(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0 （2）x 4－x 2－6=0 （3）228011x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭为了解方程(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0．我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1=y ，则原方程可化为y 2－5y+4=0①．解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2－1=1，∴x 2=2，∴x =y=4时，x 2－1=4，∴x 2=5，∴x =．∴1x2x =3x =4x =．解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6=0．参考答案1．C 2．C 3．B 4．A 5．4 6．2 7．3 8．2+2+ 9．4910．2π 11．2π12．513．原题化简得x －y=3，∴x 2+y 2－2xy=(x －y) 2=32=9．14．解：原式=()()()()()22222121222222a a a a a a a a a a a ⎡⎤+---+⎛⎫+⨯=+⨯⎢⎥ ⎪---⎝⎭-⎢⎥⎣⎦ ()()231322a a a a +==+a 是方程x 2+3x+1=0的根，∴a 2+3a +1=0，∴a 2+3a =－1，∴原式=－12．15．(1)换元 整体(2)设x 2=y 则原方程可化为y 2－y －6=0，解得y 1=3，y 2=－2<0(舍去)∴当y=3时，x 2=3，∴x =x =。
数学思想方法的应用
数学思想方法的应用摘要：数学思想方法是学生建立自身思维体系的基石，是学习的精髓。
要更加注重学生的数学思想方法的的学习，培养学生自学能力和良好的学习习惯，使掌握数学思想方法。
关键词：函数与方程转化与化归分类讨论数形结合数学思想方法在教学和学习过程中占有重要地位。
数学思想方法与数学基础知识比较它有较高的地位，数学思想方法是一种数学意识属于思维范畴。
1.主要的数学思想方法1.1函数与方程方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型的方法。
然后通过解方程（组）或不等式（组）来解题。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
1.2等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行数学思想领悟必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
1.3分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到矛盾，对矛盾分析，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
1.4数形结合中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。
数学思想方法的综合应用
► 探究点二 使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________． 【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA→＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233.变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5) B 【解析】 e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三 联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．设a >0，问是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；【解答】 假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3时，又a >0，故x 0－a <0，则存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a3即a >3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－a －124<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.► 探究点四 以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎨⎧－4x <－3，2x ＋2－3≤x <1，4x >1.画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，正确选项为A.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，7 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 【解析】 (1)g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.故所求的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. (2)由⎩⎨⎧Δ1＝4a2－43－4a <0，Δ2＝a －12－4a 2<0，Δ3＝2a2＋8a <0，解得－32<a <－1，再求它的补集，则a 的取值范围是：a ≤－32或a ≥－1.例4 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin(α－2π)sin(α－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________.(2)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的最小值是________．【分析】 (1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sin x ＋cos x 看做一个整体，用这个整体表示已知函数．(1)－35 (2)－54 【解析】 (1)已知条件即sin α＝2cos α，求解目标即cos 2α－sin 2α.已知条件转化为tan α＝2，求解目标转化为cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，把已知代入得求解结果是－35. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋sin2x ，且t ∈[]－2，2.此时函数化为y ＝t ＋t 2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，故所求函数的最小值为－54.。
数学思想方法与应用
数学思想方法与应用
数学思想方法
1. 抽象化：将一个问题抽象成数学符号和公式的形式，从而能够系统地研究。
2. 形式化：用严格的数学语言和符号来表示问题，将问题的解决转化为计算和推导。
3. 推理和证明：运用严密的推理和证明方法，从已知的定理和公理出发，推导出新的结论。
4. 递归和归纳：用重复的过程和规律推导出新的结论。
5. 分析和综合：将一个复杂的问题分解为小的结构单元，并分别进行分析和综合，最终得到整个问题的解决方案。
数学应用
1. 物理学：数学是物理学的基础，特别适用于物理学中的运动、波动、电磁等方面的问题的研究。
2. 工程学：数学方法在机械、建筑、电子等领域都有广泛应用，如结构力学、
电路理论、控制理论等。
3. 经济学：数学工具在经济学中应用非常广泛，如微观经济学的供求理论，宏观经济学的经济增长理论等。
4. 生物学：数学工具在生物学中的应用涵盖了许多方面，如计算生物学、生态学、流行病学等。
5. 计算机科学：数学是计算机科学的基础，算法和数据结构等都是数学方法在计算机领域中的应用。
小学数学教学中渗透数学思想方法8篇
小学数学教学中渗透数学思想方法8篇第1篇示例：小学数学教学中渗透数学思想方法我们要注重启发式教学。
启发式教学是指通过引导学生自己发现问题、解决问题的方法，培养学生的主动学习兴趣和能力。
在小学数学教学中，我们可以通过设置各种问题情境，让学生自己去探索、发现并解决问题。
通过教学实例让学生自己总结规律，而不是直接告诉学生规律；通过提供多种解题方法，让学生思考和选择最合适的方法等。
这样不仅可以让学生在实践中理解和掌握数学知识，也能够培养学生的发散思维和思维方式。
我们要注重引导学生运用数学知识解决实际问题。
数学是一种实用的学科，它不仅存在于教科书中，更贴近生活，与实际问题联系紧密。
在小学数学教学中，我们可以引导学生将所学的数学知识应用到日常生活中，比如用数学知识解决购物问题、旅行问题，甚至家庭生活中的一些问题。
通过这样的方式，可以让学生更加深入地理解数学知识，认识到数学在实际生活中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣和动力。
我们要注重培养学生的数学思维方式。
数学思维方式是指在解决问题时使用的逻辑思维方式和解决问题的方法。
在小学数学教学中，我们可以通过引导学生多进行逻辑推理、事物分类、抽象思维等活动，培养学生的数学思维方式。
可以通过故事、游戏等方式培养学生的逻辑思维能力；通过实践活动培养学生的分类认识能力；通过数学问题讨论培养学生的抽象思维能力等。
这样可以帮助学生建立起正确的数学思维方式，为学习更高级的数学知识打下良好的基础。
在小学数学教学中，渗透数学思想方法是非常重要的。
通过启发式教学、引导学生运用数学知识解决实际问题、培养学生的数学思维方式和解决问题能力等方法，可以让学生更好地掌握和运用数学知识，培养学生良好的数学思维方式，为学生今后更深入地学习数学打下良好的基础。
希望广大小学数学教师在教学中能够注重渗透数学思想方法，让学生在学习数学的过程中获得更多的乐趣和收获。
第2篇示例：小学数学教学中渗透数学思想方法小学数学教学中渗透数学思想方法的重要性体现在培养数学思想方面。
数学中的思想方法及应用
数学中的思想方法及应用数学在人类的发展进程中扮演着重要的角色，它不仅是一门学科，更是一种思想方法和一种工具。
数学思想方法包括抽象思维、逻辑思维、系统思维和创造思维等多个方面，它们在解决实际问题、推动科学技术进步、培养人的思维能力等方面起着重要作用。
首先，抽象思维是数学思想方法中的重要部分。
数学通过抽象的方式将实际问题或对象转化为符号或模型，以便进行研究和分析。
抽象使得数学问题的本质更加清晰和简明，使得数学可以研究和解决更加一般化、复杂化的问题。
例如，在几何学中，我们可以将具体的线段、三角形等几何对象抽象为点、线、面等基本几何元素进行研究。
通过抽象，我们可以更好地理解并解决几何学中的各种问题。
逻辑思维是数学思想方法的另一个重要方面。
数学思想符合严密的逻辑规律，通过推理和证明来达到对问题的深入理解。
逻辑思维让我们在分析和解决问题时能够清晰地进行论证和推断。
数学逻辑思维的一个典型例子是证明。
在证明过程中，我们使用逻辑推理的方法建立命题之间的联系和结论的正确性。
逻辑思维在数学中的应用使得数学成为一门严密的学科，并为其他科学领域提供了重要的理论基础。
系统思维也是数学思想方法的重要组成部分。
数学思维可以理解为一种系统性的思考和分析问题的方式。
数学问题很少是孤立存在的，通常存在于一个系统中。
系统思维帮助我们把握问题的全貌，并通过分析系统中的各个部分和相互关系，找到问题的规律和解决办法。
例如在微积分中，我们通过对函数的整体分析，从整个变化过程中找到了导数和积分的概念，从而建立了微积分的理论体系。
创造思维则是数学思想方法中最富有创造性和想象力的一部分。
数学创造思维是指通过运用已有的数学知识和方法，创造性地解决新问题或发现新规律。
数学创造思维需要充分发挥想象力和灵感，同时结合逻辑推理进行验证和证明。
创造思维广泛应用于数学研究和解决实际问题的过程中。
例如，在代数学中，通过创造性地引入新的概念和符号，人们扩展了数的概念并发展了复数和矩阵等数学工具，为解决实际问题提供了丰富的数学方法。