河北省衡水中学高三数学上学期一调考试试题 文(扫描版,无答案)
河北省衡水市衡水中学2019届高三(上)一调数学试题(解析版)
2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，或，那么集合等于A. B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义求出，再利用两个集合的交集的定义，求出．【详解】全集，集合，或，，，故选：D．【点睛】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出是解题的关键．2.设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )A. B.C. D. 2【答案】C【解析】【详解】∵(1＋i)z＝2i，∴z＝＝=1＋i.∴|z|＝＝.故答案：C【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵点在幂函数的图象上，∴,解得,∴,且在上单调递增,又,∴,故选A.4.已知函数的最小值为8，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得时的最小值不为8；，由复合函数的单调性可得取得最小值，再由函数零点存在定理，即可得到所求值．【详解】函数的最小值为8，可得，显然时的最小值不为8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，由题意可得，设，在递增，，，可得，故选：B．【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．A. B. C. D.5.设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设：的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2},设：的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1},由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有综合得m∈，故选D.6.已知等比数列的前n项和为，且，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则，解得，.故选D．考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前项和公式．7.已知函数，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增．∵，∴，即或，解得或．∴实数的取值范围为．选D．8.运行如图所示的程序框图，若输出的s值为，则判断框内的条件应该是A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】C【解析】当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应不满足继续循环的条件，故判断框内的条件应该是，故选C．【名师点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.若函数存在唯一的极值，且此极值不小于1，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对函数求导得到因为函数存在唯一极值，导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故得到x=1是唯一的极值，此时故答案为：B.10.空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱（其中圆柱的底面半径为2，高为4）中挖去一个四棱锥（其中四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为2），故该几何体的体积为，故选D. 11.已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：当时，在上是增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立，故选A．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、函数与不等式．12.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设，则，故：，即，由函数的解析式可得函数的最小值为.若时，恒成立，则，整理可得：，求解关于实数的不等式可得：.本题选择D选项.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题，恒成立，命题，使得，若命题为真命题，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当P为真命题时，恒成立，所以，，当Q为假命题时，为真命题，即，所以，又命题为真命题，所以命题都为真命题，则，即。
河北省衡水市衡水中学2019届高三(上)一调数学试题(解析版)
2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，或，那么集合等于A. B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义求出，再利用两个集合的交集的定义，求出．【详解】全集，集合，或，，，故选：D．【点睛】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出是解题的关键．2.设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )A. B.C. D. 2【答案】C【解析】【详解】∵(1＋i)z＝2i，∴z＝＝=1＋i.∴|z|＝＝.故答案：C【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵点在幂函数的图象上，∴,解得,∴,且在上单调递增,又,∴,故选A.4.已知函数的最小值为8，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得时的最小值不为8；，由复合函数的单调性可得取得最小值，再由函数零点存在定理，即可得到所求值．【详解】函数的最小值为8，可得，显然时的最小值不为8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，由题意可得，设，在递增，，，可得，故选：B．【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．A. B. C. D.5.设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设：的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2},设：的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1},由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有综合得m∈，故选D.6.已知等比数列的前n项和为，且，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则，解得，.故选D．考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前项和公式．7.已知函数，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增．∵，∴，即或，解得或．∴实数的取值范围为．选D．8.运行如图所示的程序框图，若输出的s值为，则判断框内的条件应该是A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】C【解析】当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应不满足继续循环的条件，故判断框内的条件应该是，故选C．【名师点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.若函数存在唯一的极值，且此极值不小于1，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对函数求导得到因为函数存在唯一极值，导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故得到x=1是唯一的极值，此时故答案为：B.10.空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱（其中圆柱的底面半径为2，高为4）中挖去一个四棱锥（其中四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为2），故该几何体的体积为，故选D. 11.已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：当时，在上是增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立，故选A．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、函数与不等式．12.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设，则，故：，即，由函数的解析式可得函数的最小值为.若时，恒成立，则，整理可得：，求解关于实数的不等式可得：.本题选择D选项.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题，恒成立，命题，使得，若命题为真命题，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当P为真命题时，恒成立，所以，，当Q为假命题时，为真命题，即，所以，又命题为真命题，所以命题都为真命题，则，即。
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。
河北省衡水中学高三数学上学期一调考试试题文(扫描版,无答案)(2021学年)
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2019年河北省衡水中学上学期高三数学(文)第一次调研考试试卷参考答案
高考数学精品复习资料2019.5高三年级数学试卷(文科)答案一、选择：DABAC BDDBC AC 二、填空：32x y =21；]12,5[+ ①② －8046 三、解答： 17．解：A ＝{1,4},()1,1012-==⇒=-+-a x x a ax x ，由A ∪B ＝A ⇒B ⊆A∅≠B ,∴B ＝{1}，或B ＝{1,4}，从而a －1＝1,或a －1＝4,故a ＝2，或a ＝5．又A ∩C ＝C ⇒C ⊆A ．考虑042=+-mx x ．当440162＜＜＜m m -⇒-=∆时， C ＝∅⊆A ；当440162≥-≤⇒≥-=∆m m m 或时,∅≠C ，此时由C ⊆A 只能有C ＝{1,4}．此时m ＝5．综上可得：a ＝2，或a ＝5．－4＜m ＜4，或m ＝5． 18．解：(1)因为函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，所以当0=x 时，()f x ＝0； 当－1＜x ＜0时，0＜－x ＜1，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ；所以()⎪⎩⎪⎨⎧=--=-1020001,2＜＜，，＜＜x x x x f x x(2)当0＜x ＜1时，1＜f (x )＜2；当－1＜x ＜0时，－2＜f (x )＜－1；当x ＝0时，f (x )＝0；所以f (x )＜2；因为f (x )≤2a 恒成立，所以2a ≥2即a ≥119．解：函数定义域为(0，＋∞)，……1分()xax x a x f 1222'++-= ………………3分因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0 解得121=-=a a 或经检验，121=-=a a 或时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 又因为a ＞0所以a ＝1……6分20．解：设AN 的长为x 米(82≤<x )∵||||||||DN DC AN AM =，∴|AM |＝32xx -所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；……8分 若a ≠0，令()()()0112=---='xax ax x f ，解得ax a x1,2121=-=……9分 当a ＞0时，()()x f x f ,'的变化情况如下表∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛a 10，，单调递减区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a ……11分 ∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x - 4分(1)由S AMPN ＞32得32232＞-x x ， ∴3x 2－32x ＋64＞0，即(3x －8)(x －8)＞0 ∴382＜＜x 或x ＞8 又2＜x ≤8，∴382＜＜x 即AN 长的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛382，……8分(2)令232-=x x y ，则()()()()2222432326--=---='x x x x x x x y ……10分∵当[)43，∈x ，y '＜0，∴函数232-=x x y 在[)43，上为单调递减函数， ∴当x ＝3时，232-=x x y 取得最大值，即(S AMPN )max ＝27(平方米)此时|AN |＝3米，|AM |＝92333=-⨯米……13分 21．(1)2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．……………………………3分 (2)∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，Δ＝b 2－4a (b －1)＝b 2－4ab ＋4a ＞0对b ∈R 恒成立，∴(4a )2－16a ＜0，得a 的取值范围为(0，1)．……7分 (3)由ax 2＋bx ＋(b －1)＝0得a bx x 2221-=+，由题知12112++-=-=a x y k ，， 设A ，B 中点为E ，则E 的横坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-121222a a ba b ，，∴121222++=-a a b a b∴42121122-≥+-=+-=aa a ab ，当且仅当()1012＜＜a aa =， 即22=a 时等号成立，∴b 的最小值为42-．……12分 22．解：(Ⅰ)当1,0a b ==时，32()3f x x x =- 所以(1)2f =- 即切点为(1,2)P -因为2()36f x x x '=-所以(1)363f '=-=-． 所以切线方程为23(1)y x +=-- 即31y x =-+ (Ⅱ)22()363,f x x ax b '=-+由于0＜a ＜b ，所以()()036363622＜b a b a b a -+=-=∆所以函数f (x )在R 上递增 所以不等式()k x x x x k x x x k f x x f ＞＞＞1ln 11ln 11ln 1-+⇔-+⇔⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-+ 对()+∞∈,1x 恒成立 构造()()()()()()()()2212ln 1ln 1ln 21ln 1---=-+--+='-+=x x x x x x x x x x h x x x x h构造()2ln --=x x x g ()xx x x g 111-=-=' 对()+∞∈,1x ，()01'＞xx x g -=所以()2ln --=x x x g 在()+∞∈,1x 递增 ()()()()04ln 2403ln 13,2ln 2,11＞，＜-=-=-=-=g g g g所以0(3,4)x ∃∈，000()ln 20g x x x =--= 所以0(1,),()0,()0x x g x h x ∈<<，所以(1ln )()1x xh x x +=-在0(1,)x 递减0(,),()0,()0x x g x h x '∈+∞>>，所以(1ln )()1x xh x x +=-在0(,)x +∞递增所以，00min 00(1ln )()()1x x h x h x x +==-结合000()ln 20g x x x =--=得到()()()()4,31ln 100000min ∈=-+==x x x x x h x h所以()1ln 1-+x x x k ＜对()+∞∈,1x 恒成立()min x h k ＜⇔，所以3≤k ，整数k 的最大值为3。
衡水中学2019届高三上学期一调(数学文)
4 衡水中学 2018～2019 学年度高三年级上学期一调考试数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。
考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）注意事项： 1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ前，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合 A = {1, 2, 4} , B = {x x 2- 4x + m = 0}，若 A ⋂ B = {1} ,则 B =A.{1, -3}B. {1, 0}C.{1, 3}D.{1, 5}2. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A. y = 2- xB. y = x-3C.y =sin xxD. y = lg (2 - x ) - lg (2 + x )3.命题 p : ∃x 0 ∈ R , f (x 0 ) ≥ 2, 则⌝p 为A. ∀x ∈ R , f (x ) ≥ 2 C. ∃x 0 ∈ R , f (x 0 ) ≤ 2B. ∀x ∈ R , f (x ) < 2 D. ∃x 0 ∈ R , f (x 0 ) < 24. 下列函数中，其图象与函数 y = ln x 的图象关于直线 x = 1 对称的是A. y = ln (1- x )B. y = ln (2 - x )C. y = ln (1+ x )D. y = ln (2 + x )5. 函数 y = 2xsin 2x 的图象可能是右边的6. 已知实数 a > 1, 若函数 f( x ) = log a x + x - m 的零点所在区间为(0,1) ，则 m 的取值范围是 A. (-∞,1)B. (-∞, 2)C. (0,1)D. (1, 2)7. 已知 a = log 1 7 ,b = ⎛ 1 ⎫3, c = log1 ，则 a , b , c 的大小关系为32A. a > b > c⎪ ⎝ ⎭ B. b > a > c1 3C. c > b > aD. c > a > b8. 已知函数 f( x ) = ( x -1)(ax + b ) 为偶函数，且在(0, +∞) 上单调递减，则 f (3 - x ) < 0 的解集为A. (2, 4)B. (-∞, 2) ⋃ (4, +∞)C. (-1,1)D. (-∞, -1) ⋃ (1, +∞ )50 0 0 0 0 0 09. 已 知 f (x ) 是 定 义 域 为 (-∞, +∞)的 奇 函 数 ， 满 足 f (1- x ) = f (1+ x ) . 若 f (1) = 2 ， 则f (1) + f (2) + f (3) + + f (2018 ) =A. -2018B. 0C. 2D. 5010. 如右图， 可导函数 y = f ( x ) 在点 P (x 0 , f ( x 0 ))处的切线为l : y = g ( x ) ，设 h ( x ) = f (x ) - g (x ) ，则下列说法正确的是A. h '( x ) = 0, x = x 是 h ( x ) 的 极 大 值 点 B. h '( x ) = 0, x = x 是 h( x )的 极 小 值 点C. h ' ( x ) ≠ 0, x = x 不是h ( x ) 的极值点 D. h '( x ) ≠ 0, x = x 是h ( x ) 的极值点 11. 已知函数 f( x ) = ax 2 - 4ax - ln x , 则 f ( x ) 在(1, 3) 上不单调的一个充分不必要条件是A. a ∈⎛ -∞,1 ⎫B. a ∈⎛ - 1 , +∞ ⎫C. a ∈⎛ 1 , +∞ ⎫D. a ∈⎛ - 1 ,1 ⎫6 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 6 ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ ⎭⎝ ⎭12. 已 知f '( x )是 函 数f ( x ) 的 导 函 数 ， 且 对 任 意 的 实 数 x 都 有f ' ( x ) = e x (2x - 2) + f (x )(e 是自然对数的底数) ， f (0) = 1，则A. f ( x ) = ex(x +1)C. f ( x ) = e x (x +1)2B. f ( x ) = ex(x -1)D. f ( x ) = e x (x -1)2第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（每题 5 分，共 20 分。
2023届河北省衡水中学高三上学期一调考试数学试题及答案
河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}230A x x x =-<，{|3x B x =≥，则A B = （）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.( D.()1,32.若0.15a =，21log 32b =，3log 0.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b3.设,a b R ∈，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（）A.33a b > B.2log ()0a b -> C.22a b > D.11a b>4.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（）A.－1.519B.－1.726C.－1.609D.－1.3165.已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（）A.311log 0x y--= B.321xx y-=C.120x y --= D.ln 1x y =-6.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数．若对任意x ∈R ，都有[()2]3x f f x -=，则(4)f =（）A.9B.15C.17D.337.函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A.3B.4C.6D.与m 值有关8.已知正实数x ，y 满足()21x y +-=，则2x y +的最小值为（）A.1B.2C.4D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合U 为全集，集合,,A B C 均为U 的子集．若A B ⋂=∅，A C ⋂≠∅，B C ≠∅ ，则（）A.U ()A B C ⊆ ðB.U ()C A B ⊆ ðC.UA B C = D.A B C =∅10.已知定义域为I 的偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且x I ∃∈，使()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A.2()3f x x =- B.()22x x f x -=+C.()2log f x x= D.1()f x x x=-11.在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（）A.222<+a b abB.++>ab a bC.224++≥a b c D.++≤a b c12.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C .甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分.13.若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______．15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x -为偶函数，且当01x <≤时，2()log (2)f x x =，则(21)f =_______.16.已知函数()()24,,e 1,x x x af x a x a-⎧-≥=∈⎨-<⎩R ，若函数g (x )＝f (f (x )＋1)有三个零点，则实数a 的取值范围是_______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()||f x x x =-.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若对任意0x ≥，不等式()20f x x m -+>恒成立，求实数m 的取值范围．18.已知函数22()log (2)log (2)f x x x =+--.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若关于x 的方程2()log ()f x a x =+有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.19.设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.证明：（1）11192a b b c c a ++≥+++；（2）33332ab bc ca abc a b c ++-++≥.20.已知函数1()()21x f x x R =∈+.（1）已知()f x 的图象存在对称中心(,)a b 的充要条件是()()g x f x a b =+-的图象关于原点中心对称，证明：()f x 的图象存在对称中心，并求出该对称中心的坐标；（2）若对任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，求实数n 的最大值．21.经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量()m t （百件）与时间第t 天的关系如下表所示：第t 天1310L30日销售量()m t （百件）23 6.5L16.5未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润()1f t （元）与时间第t 天的函数关系式为()1388(115f t t t =-+，且t 为整数)，而后15天此商品每天每件的利润()2(f t 元)与时间第t 天的函数关系式为()26002f t t=+（1630t ，且t 为整数）.（1）现给出以下两类函数模型：①()m t kt b =+（k b ､为常数）；②()(tm t b a a b =⋅､为常数，0a >且1a ≠.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.22.已知函数()()211,011,1x x f x x x ⎧-<<⎪=⎨⎪-≥⎩.（1）当0a b <<，且()()f a f b =时，求()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围；（2）是否存在正实数a ，()b a b <，使得函数()y f x =在[],a b 上的取值范围是[]1,1a b --.若存在，则求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}230A x x x =-<，{|3x B x =≥，则A B = （）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.( D.()1,3【答案】B 【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{132xB x x x ⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭，则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.2.若0.15a =，21log 32b =，3log 0.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.【详解】0.1551a =>= ，1222log 3log 0b ==且22log log 1b =<=，33log 0.8log 10c =<=，c b a ∴<<，故选：A3.设,a b R ∈，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（）A.33a b >B.2log ()0a b -> C.22a b > D.11a b>【答案】B【解析】【分析】结合充分不必要条件的定义，对A ，33a b a b >⇔>⇔>；对B ，2log ()01a b a b ->⇔->；对C ，22a b a b >⇔>；对D ，11a b>，需要讨论a 、b 的符号，即可进一步判断【详解】对A ，33a b a b >⇔>⇔>，故A 不成立；对B ，2log ()011a b a b a b b ->⇔->⇒>+>，故B 成立；对C ，22a b a b >⇔>，不一定推出a b >，故C 不成立；对D ，11a b >，若1100a b b a<<⇒<<，故D 不成立.故选：B4.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（）A.－1.519B.－1.726C.－1.609D.－1.316【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算性质进行简单的对数近似值的运算.【详解】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为5ln 0.2234≈，所以55ln 5ln 4ln ln 4 1.3860.223 1.60944⎛⎫=⨯=+≈+=⎪⎝⎭，所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.故选：C5.已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（）A.311log 0x y--= B.321xx y-=C.120x y --= D.ln 1x y =-【答案】A 【解析】【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】由311log 0x y --=，得31log 1x y=-，所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--，化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的，即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取=1x -，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误；由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称，显然与题中图象不符，所以选项D 错误，故选：A.6.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数．若对任意x ∈R ，都有[()2]3x f f x -=，则(4)f =（）A.9B.15C.17D.33【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性可得()2x t f x =-，进而根据()2x g x x =+的单调性即可求解1t =，进而可得()21x f x =+，代入即可求解.【详解】因为()f x 是R 上的单调函数，所以存在唯一的R t ∈，使() 3.f t =由方程[()2]3x f f x -=，得()2x t f x =-，则()2x f x t =+，所以()2 3.tf t t =+=设()2xg x x =+，由于2,x y y x ==均为定义域内的单调递增函数，所以()g x 在R 上是增函数，且(1)g =3，所以1t =，所以()21x f x =+，故()442117.f =+=故选：C 7.函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A.3B.4C.6D.与m 值有关【答案】C 【解析】【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++，设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--，所以()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=,故选：C.8.已知正实数x ，y 满足()21x y +-=，则2x y +的最小值为（）A.1B.2C.4D.32【答案】B 【解析】【分析】将已知的式子12x y +===+，然后判断函数()f t t =，0t >，的单调性，从而可得12x y=，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果【详解】因为()21x y -=，所以12x y +===+．设()f t t =+0t >，易知()f t t =在()0,∞+上单调递增，故12x y=，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=，当且仅当2x y =时取等号，所以2x y +的最小值为2．故选：B ．【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合U 为全集，集合,,A B C 均为U 的子集．若A B ⋂=∅，A C ⋂≠∅，B C ≠∅ ，则（）A.U ()A B C ⊆ ðB.U ()C A B ⊆ ðC.UA B C = D.A B C =∅【答案】AD 【解析】【分析】根据题意列出韦恩图，根据集合间的关系逐个判断即可.【详解】如图所示：由图可得U ()A B C ⊆ ð，故A 正确；集合C 不是U ()A B ⋃ð的子集，故B 错误；U A B C = ，故C 错误；A B C ⋂⋂=C ∅⋂=∅，故D 正确．故选：AD.10.已知定义域为I 的偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且x I ∃∈，使()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A.2()3f x x =-B.()22x x f x -=+C.()2log f x x =D.1()f x x x=-【答案】AC 【解析】【分析】通过初等函数的奇偶性以及单调性等逐个判断即可.【详解】对于A ，2()3f x x =-的定义域为R ，22()()33()f x x x f x -=--=-=，所以()f x 为偶函数．又()()120,f f x =-<在区间()0,∞+上单调递增，故A 符合；对于B ，()220x x f x -=+>恒成立，故B 不符合；对于C ，()2log f x x =的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，()22log log ()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数．又1102f ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故C 符合；对于D ，因为1()f x x x=-的定义域为()(),00,,∞∞-⋃+1()()f x x f x x -=-+=-，所以()f x 为奇函数，故D 不符合.故选：AC.11.在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（）A.222<+a b ab B.++>ab a bC.224++≥a b c D.++≤a b c【答案】ABC【解析】【分析】根据题意得()2ab a b abc -<=，结合边的关系即可判断A ；根据边的关系及基本不等式即可判断BC ；用边长为D【详解】对于A ，222<+a b ab ，即222-<a b ab ，也就是()2ab a b abc -<=，另一方面，在ABC 中，0,>-<ab a b c ，则()-<ab a b abc 成立，故A 正确；对于B ，++>+≥=ab a b ab c ，故B 正确；对于C ，2224++≥+≥=a b c a bc ，当且仅当222a b c ===时取等号，故C 正确；对于D ，边长为2abc =，但1++=+>a b c D 错误．故选：ABC ．12.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强【答案】AC【解析】【分析】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，利用作差法和指数函数的性质比较大小即可判断选项AB ；利用作商法和幂函数指数函数的性质比较大小即可判断选项CD .【详解】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，对于A ，0.141212122,,,15,01b b r r T T b b -=><<<<<∴210.140.421121,0r r b b T T -->>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()1200.1.1424211100r r T b T b --=⋅-⋅>，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故A 正确；对于B ，121212,,T T r r b b =>>，∴2210.0.140.140.141402.14121110,r r r b b b b b ----->>>>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()210.141210.14100r r T b b --=->，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故B 错误：对于C ，112221,,b b E E r r =><，∴()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r r T b T b --⋅>⋅∴()()11220.140.142110.14121r r r r T b b T b ---->=>，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故C 正确；对于D ，12121221,,,01r r E E b b b b =><<<，∴()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r r T b T b --⋅>⋅∴()()11220.140.142110.14121r r r r T b b T b ---->==，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故D 错误．故选：AC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分.13.若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．【答案】103-【解析】【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题知命题的否定“2[1,3],x x ∀∈+10ax +≤”是真命题．令2()1([1,f x x ax x =++∈3])，则()()120,33100,f a f a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩解得103a ≤-，故实数a 的最大值为10.3-故答案为：10.3-14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313x f x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______．【答案】{}1,0-【解析】【分析】根据指数函数的性质分析()f x 的值域，进而得到()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即可【详解】∵()11313x f x =-+，()30,x ∈+∞，∴令30x t =>，则()()1112,1333f x g t t ⎛⎫==-∈- ⎪+⎝⎭故函数()()y f x g t ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故答案为：{}1,0-15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x -为偶函数，且当01x <≤时，2()log (2)f x x =，则(21)f =_______.【答案】1【解析】【分析】根据()f x 和()1f x -的奇偶性可得()f x 是以4为周期的函数，进而得解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--．又(1)f x -为偶函数，所以(f x -()()1)11f x f x =--=-+，则()(2)f x f x =-+=()()44f x f x ⎡⎤--+=+⎣⎦，故()f x 是以4为周期的函数，故()()2211log 21f f ===.故答案为：1.16.已知函数()()24,,e 1,x x x a f x a x a-⎧-≥=∈⎨-<⎩R ，若函数g (x )＝f (f (x )＋1)有三个零点，则实数a 的取值范围是_______．【答案】((2⎤-⋃⎦【解析】【分析】数形结合，分成a ≤－2，－2＜a ≤0，0＜a ≤2，a ＞2四种情况讨论即可.【详解】令()1f x t +=，则()()g x f t =，()()1g x f f x ⎡⎤=+⎣⎦ 有三个零点，∴f (t )＝0有两个根12,t t ，且需满足()11t f x =+有两解时，()21t f x =+有且仅有一解.①a ≤－2时，f (x )如图：g (x )＝f (t )＝0⇒1222t t -＝，＝，()()1123t f x f x =+=-⇒=-，由图可见此时y ＝－3与f (x )有两个交点，()()2121t f x f x =+=⇒=，此时要使y ＝1与f (x )有且仅有一个交点，则2e 11ln241a a a a -⎧-⇒-⎪⎨-<⇒<<⎪⎩2a <-；②－2＜a ≤0时，f (t )＝0只有一个解t ＝2，t ＝f (x )＋1＝0没有三个解；③0＜a ≤2时，f (x )如图：()()102g x f t t ==⇒=，20t =，()()1121t f x f x =+=⇒=，y ＝1和f (x )必有两个交点；()()2101t f x f x =+=⇒=-，此时要使y ＝－1和f (x )有且仅有一个交点，则22413a a a -≤-⇒≤⇒≤≤∴0a <≤；④a ＞2时，()()0g x f t ==只有一个根t ＝0，t ＝f (x )＋1＝0没有三个解.综上所述，((2a ⎤∈-⋃⎦.故答案为：((2⎤-⋃⎦.【点睛】本题关键是令()1f x t +=，将()()1g x f f x ⎡⎤=+⎣⎦有三个零点的问题转化为：f (t )＝0有两个根12,t t ，且需满足()11t f x =+有两解时，()21t f x =+有且仅有一解，数学结合即可求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()||f x x x =-.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若对任意0x ≥，不等式()20f x x m -+>恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(1,2)-（2）9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义将不等式转化为222x x -<-<，根据一元二次不等式即可求解.（2）将恒成立问题转化为最值问题，根据二次函数的性质求解最值即可.【小问1详解】由()2f x <，得22x x -<，所以222x x -<-<，即2220,20,x x x x ⎧-+>⎨--<⎩解得12x -<<，所以不等式()2f x <的解集为()1,2.-【小问2详解】由题知对任意0x ≥，2|2x x x m ---恒成立.令()()220g x x x x x =--≥，当01x ≤≤时，()[]22,0g x x x =--∈-；当1x >时，()293,4g x x x ∞⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭，所以()g x 的最小值为94-，所以94m -<-，即94m >，所以实数m 的取值范围为9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭18.已知函数22()log (2)log (2)f x x x =+--.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若关于x 的方程2()log ()f x a x =+有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，理由见解析（2）()1,2【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）将问题等价转化为4(2)32a x x=+---在区间()2,2-上有两个不同的实数根，构造函数()43,0,4y t t t =+-∈，数形结合即可求解.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：由题意得20,20,x x +>⎧⎨->⎩解得22x -<<，即函数()f x 的定义域为()2,2-，故定义域关于原点对称又()()()()22log 2log 2f x x x f x -=--+=-，故()f x 为奇函数．【小问2详解】由()()2log f x a x =+，得()()()222log 2log 2log x x a x +--=+，所以22x a x x+=+-，所以()()422423222x x a x x x x x x --+=-=-=+-----，故方程()()2log f x a x =+有两个不同的实数根可转化为方程4(2)32a x x =+---在区间()2,2-上有两个不同的实数根，即函数y a =与4(2)32y x x =+---在区间()2,2-上的图象有两个交点．设()2,2,2,t x x =-∈-则()43,0,4.y t t t =+-∈作出函数()43,0,4y t t t =+-∈的图象如图所示．当12a <<时，函数y a =与()43,0,4y t t t=+-∈的图象有两个交点，即关于x 的方程()()2log f x a x =+有两个不同的实数根，故实数a 的取值范围是()1,2．19.设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.证明：（1）11192a b b c c a ++≥+++；（2）33332ab bc ca abc a b c ++-++≥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用1a b c ++=进行代换，再利用基本不等式即可证明；（2）利用立方和公式将333a b c ++进行变式，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】证明：1111111(222)2a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭1111[()()()]2a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭119(3)(36)222a b b c c a b c c a a b b c a b b c c a a b c a ++++++=++++++≥+=++++++，（当且仅当13a b c ===时，等号成立）【小问2详解】证明：()3322()(1)a b a b a b ab c ab +=++-≥-()3322()(1)b c b c b c bc a bc+=++-≥-()3322()(1)c a c a c a ca b ca+=++-≥-三式相加得()33323a b cab bc ca abc ++≥++-即33332ab bc ca abca b c ++-++≥（当且仅当13a b c ===时，等号成立）20.已知函数1()()21x f x x R =∈+.（1）已知()f x 的图象存在对称中心(,)a b 的充要条件是()()g x f x a b =+-的图象关于原点中心对称，证明：()f x 的图象存在对称中心，并求出该对称中心的坐标；（2）若对任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，求实数n 的最大值．【答案】（1）证明见解析，对称中心的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2【解析】【分析】(1)根据()()g x f x a b =+-为奇函数化简成一个有x 的等式，要求x 式子的系数等于零，其余常数也为零.(2)112(1)()1f mx f x x -+=整理成12,,x x m 的表达式，用1,x m 来表示2x ，根据1x 的范围求出2x 的范围用n 表示，任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则满足1x 的范围是2x 范围的子集.【小问1详解】假设()f x 的图象存在对称中心(,)a b ，则()(21)1x a g x f x a b b +=+--+=的图象关于原点中心对称．因为()g x 的定义域为R ，所以()()g x g x -+=1102121x a x a b b -++-+-=++恒成立，即2(12)(22)22220x a x a a b b b +-+-++--⋅=恒成立，所以2120,22220,a b b b -=⎧⎨--⋅=⎩解得0,1,2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以()f x 的图象存在对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为对任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，所以12111112121m x x x -+=++，即112121,mx x x -+=所以11210mx x x -+=，即121111.mx x m x x -==-因为1[1,]x n ∈，所以1111,.m m m x n ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦因为231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以131,1,2m m n ⎡⎤⎡⎤--⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以11,13,2m m n -≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩即2,13,2m m n≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩所以min 13122m n ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，所以 2.n ≤故实数n 的最大值为2．21.经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量()m t （百件）与时间第t 天的关系如下表所示：第t 天1310L 30日销售量()m t （百件）23 6.5L 16.5未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润()1f t （元）与时间第t 天的函数关系式为()1388(115f t t t =-+，且t 为整数)，而后15天此商品每天每件的利润()2(f t 元)与时间第t 天的函数关系式为()26002f t t=+（1630t ，且t 为整数）.（1）现给出以下两类函数模型：①()m t kt b =+（k b ､为常数）；②()(t m t b a a b =⋅､为常数，0a >且1a ≠.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.【答案】（1）选择函数模型①，其解析式为()322t m t =+（130t ≤≤且t 为整数）（2）这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析【解析】【分析】（1）将将()1,2以及()3,3分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算()10m 判断是否满足即可；（2）记日销售利润为y ，根据一次函数与二次函数的单调性分析y 的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可【小问1详解】若选择模型（1），将()1,2以及()3,3代入可得233k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()322t m t =+，经验证，符合题意；若选择模型（2），将()1,2以及()3,3代入可得323b a b a ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(),32t m t ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，当10t =时，()1012.4m ≈，故此函数模型不符题意，因此选择函数模型（1），其解析式为()322t m t =+（130t ≤≤且t 为整数）【小问2详解】记日销售利润为y ，当115t 且t 为整数时，()()()2133793881322222t y m t f t t t t ⎛⎫=⋅=+⋅-+=-++⎪⎝⎭，对称轴796t =，故当13t =时，利润y 取得最大值，且最大值为392（百元）当1630t 且t 为整数时，()()23600900230322t y m t f t t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1630t 时，利润y 单调递减，故当16t =时取得最大值，且最大值为375.25（百元）所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.22.已知函数()()211,011,1x x f x x x ⎧-<<⎪=⎨⎪-≥⎩.（1）当0a b <<，且()()f a f b =时，求()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围；（2）是否存在正实数a ，()b a b <，使得函数()y f x =在[],a b 上的取值范围是[]1,1a b --.若存在，则求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1,+∞（2）存在，1a =，2b =【解析】【分析】（1）根据条件得到,a b 的关系，代入()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭消去b 得到关于a 的函数，求其最值即可；（2）假设存在满足条件的实数a ，b ，且0a b <<，分a ，()0,1b ∈，a ，[)1,b ∈+∞，()0,1a ∈，[)1,b ∈+∞讨论，列方程组求解.【小问1详解】因为()()211,011,1x x f x x x ⎧-<<⎪=⎨⎪-≥⎩，所以()f x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，由0a b <<且()()f a f b =，可得01a b <<<且()2111b a-=-，故()22211111b a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令1u a=，则1u >，函数21y u u =+-在()1,u ∈+∞上单调递增，所以1y >，即()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围是()1,+∞.【小问2详解】存在满足条件的实数a ，b ，理由如下：假设存在满足条件的实数a ，b ，且0a b <<.①当a ，()0,1b ∈时，()11f x x=-在()0,1上单调递减，则由()()11f a b f b a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，即111111b a a b⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得ab =1，因为a ，()0,1b ∈，故此时不存在符合条件的实数a ，b .②当a ，[)1,b ∈+∞时，()()21f x x =-在[)1,+∞上单调递增.则由()()11f a a f b b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，即()()221111a ab b ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，所以a ，b 是方程2320x x -+=得1x =或2x =，所以，此时存在符合条件的实数1a =，2b =.③当()0,1a ∈，[)1,b ∈+∞时，由于10a -<，而()01f x a ≥>-，故此时不存在符合条件的实数a ，b .综上所述，存在符合条件的实数1a =，2b =.。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．244．（5分）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．66．（5分）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）9．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．810．（5分）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f （x2），则x1?f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）11．（5分）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）12．（5分）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．14．（5分）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．18．（12分）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?a∈（﹣1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．20．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O 于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴+2=0．的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2019秋?龙泉驿区校级期中）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．【分析】利用绝对值表达式的解法求出集合Q，对数不等式的解法求出P，然后求解交集．【解答】解：log2x＜﹣1，即log2x＜log2，解得0＜x＜，即P=（0，），Q={x||x|＜1}=（﹣1，1）则P∩Q=（0，），故选：A．2．（5分）（2019?衡阳校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）2z=1﹣i3，∴z=，∴|z|===．故选：C．3．（5分）（2019秋?衡水校级月考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．24【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱柱，切去看一半．求出底面面积，代入棱柱体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱，切去看一半，底面为矩形长为4，宽为3，斜四棱柱的高是2，棱柱体积公式：V=Sh可得：V=×4×3×2=12故选B．4．（5分）（2019秋?新华区校级月考）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，?a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．5．（5分）（2011?新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．6．（5分）（2019秋?湖南月考）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】分析函数奇偶性和x∈（0，）时函数图象的位置，排除错误答案，可得结论．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）cosx，∴f（﹣x）=（﹣1）cos（﹣x）=（﹣1）cosx=﹣（﹣1）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故函数图象关于原点对称，可排除A，C，又由当x∈（0，），f（x）＜0，函数图象位于第四象限，可排除D，故选：B7．（5分）（2013?济南一模）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：8．（5分）（2019?兴安盟一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．9．（5分）（2014?淄博三模）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】由题设b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx﹣x2；c﹣d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．10．（5分）（2014?济南二模）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2），则x1?f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1?f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，1≤f（x）＜2，②当x＞1时，f（x）≥1.5，当x=时，f（x）=2，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2＜，则1.5≤f（x2）≤2，∴≤x1?f（x2）＜1×2，即≤x1?f（x2）＜2，故x1?f（x2）的取值范围为[，2），故选：A．11．（5分）（2019?衡阳校级模拟）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f （x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性和极值，利用换元法设|f （x）|=m，转化为一元二次函数根的分布进行求解即可．【解答】解：，得x=﹣3，x=1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，设h（m）=m2+tm+1，则，所以取值的范围．故选：C12．（5分）（2019秋?衡水校级月考）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=3ax+2cosx，得g′（x）=3a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴3a﹣2sinx∈[﹣2+3a，2+3a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣≤a≤．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015?南昌校级二模）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．14．（5分）（2019秋?袁州区校级期中）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是e＜m≤．【分析】由y=e x﹣mx=0得m=，构造函数f（x）=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出m的取值范围．【解答】解：由y=e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f'（x）=，由f'（x）＞0，解得1＜x≤3，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（1）=e，∵当x→０时，f（x）→+∞，当x=3时，f（3）=，∴要使函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则e＜m≤，故答案为：e＜m≤．15．（5分）（2015春?保定校级期末）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=11．【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：1116．（5分）（2014?唐山一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为（﹣∞，] ．【分析】可先对f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x取导数，根据x＜0时，f′（x）＜x，推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．构造函数F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，求导并推出F′（x）＜0，且F（）=0，运用函数的单调性即可解出不等式．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x求导，得﹣f′（﹣x）+f′（x）=2x，∴f′（x）=f′（﹣x）+2x，令x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f′（x）＜x，∴f′（﹣x）＜﹣x，∴f′（x）＜2x﹣x，即f′（x）＜x，又f（0）=0，直线y=x过原点，∴f′（0）≤0，∴x∈R，都有f′（x）≤x，令F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，则F′（x）=f′（x）+f′（1﹣x）﹣1＜x+1﹣x﹣1=0，即F（x）是R上的单调减函数，且F（）=0，∴不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x，即F（x）≥0，即F（x）≥F（），∴x．∴原不等式的解集为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2019秋?新华区校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴==，即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanA=﹣，整理求得tan2A=1，tanA=±1，当tanA=﹣1时，tanB=﹣2，则A，B均为钝角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，∴tanA=1，A=．（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∴tanB=2，tanC=3，∴sinB=，sinC=，∴cosB=，cosC=sinA=sin（π﹣（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=∵=，∴b==a，∵S△ABC=absinC=a??a×==3，∴a2=5，a=．18．（12分）（2019春?桂林校级期中）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?a∈（﹣1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得f（x）的单调递减区间；（2）将原不等式转化成b＞f（x）的最小值，由函数性质可知h（a）=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，可知b≥x2﹣2x+lnx，构造辅助函数g（x）=x2﹣2x+lnx，求导，根据函数的单调性，求得g（x）的最小值，即可求得实数b的取值范围．（x）=﹣【解答】解：（Ⅰ）由当a=3时，f（x）=lnx﹣x2﹣2x．求导f′（x＞0），令f′（x）=0，解得：x=，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递增区间（0，），单调递减区间为（，+∞）；..…（6分）（Ⅱ）由?a∈（﹣1，+∞），lnx﹣ax2﹣2x＜b恒成立，则b＞f（x）的最小值，…（7分）由函数h（a）=lnx﹣ax2﹣2x=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，∴h（a）＜h（﹣1）=x2﹣2x+lnx，∴b≥x2﹣2x+lnx，..…（8分）由?x∈（1，e），使不等式b≥x2﹣2x+lnx成立，∴．…（10分）令g（x）=x2﹣2x+lnx，求导g′（x）=x﹣2﹣≥0，∴函数g（x）在（1，e）上是增函数，于是，故，即b的取值范围是…（12分）19．（12分）（2014?新余二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值即可；（Ⅱ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA﹣cosC=x，②，①2+②2，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA﹣cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由4bsinA=a，根据正弦定理得4sinBsinA=sinA，∵sinA≠0，∴sinB=；（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，①设cosA﹣cosC=x，②①2+②2，得2﹣2cos（A+C）=+x2，③又a＜b＜c，A＜B＜C，∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，∴cos（A+C）=﹣cosB=﹣，代入③式得x2=，则cosA﹣cosC=．20．（12分）（2014?东昌区校级二模）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）【分析】（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得的取值范围；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），根据x1x2=1可把m﹣n表示为关于x1，a的表达式，且表达式为1，借助x1范围可得a的范围；【解答】解：（I）f′（x）=2ax﹣4b+=，其中x＞0，由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax2﹣4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x1，x2，显然a≠0，所以，解得；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以0＜x1＜1＜x2，而且=∈（，），由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，又由于，所以，所以m﹣n=f（x1）﹣f（x2）=﹣+4bx2﹣2alnx2=+2a（lnx1﹣lnx2）=﹣a（）+2aln，令t=，则m﹣n=﹣a（t﹣）+2alnt，令h（t）=﹣（t﹣）+2lnt（），所以h′（t）=﹣1﹣+=﹣≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e﹣e﹣1﹣2＜h（t）＜e2﹣e﹣2﹣4，由m﹣n=ah（t）=1，知a=，所以．21．（12分）（2019?高安市校级模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．【分析】（Ⅰ）对F（x）求导，利用x∈（1，2）判定导函数的符号，进而得到函数的单调性，在利用零点存在定理进行证明．（Ⅱ）先由x的范围讨论f（x），g（x）的大小，确定之间的关系式m（x），在判断x1+x2与2x0的大小，可以利用分析法对其进行证明．【解答】解：由题意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣．定义域为（0，+∞）F′（x）=1+lnx+，由题设x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在区间（1，2）上是增函数．（1，2）是单调增区间．那么：F（1）=ln1﹣=＜0，F（2）=2ln2﹣＞0，并且F（x）在（1，2）上连续的，故根据零点定理，有F（x）在区间（1，2）有且仅有唯一实根，即一个零点．（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，由f（x）=xlnx，当0＜x ≤1时，f（x）≤0，而g（x）=＞0，故f（x）＜g（x）；由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+，当x＞1时，F′（x）＞0，存在零点x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0时，f（x）＜g（x）；当x ＞x0时，f（x）＞g（x）；而此得到m（x）=，显然：当1＜x＜x0时，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是单增函数．当x＞x0时，m′（x）=恒小于0，m（x）是单减函数．m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），则x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），显然：当x2→+∞时，x1+x2＞2x0．要证明x1+x2＞2x0，即可证明x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在x＞x0时是单减函数．故证m（x2）＜m（2x0﹣x1）．又由m（x1）=m（x2），即可证：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜，（构造思想）令h（x）=xlnx﹣，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，那么：h′（x）=1+lnx+﹣，记φ（t）=，则φ′（t）=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0；当t＞1时，φ′（t）＜0；故φ（t）max=；而φ（t）＞0；故＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，从而有：＜0；因此：h′（x）=1+lnx+﹣＞0，即h（x）单增，从而1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0．即x1lnx1＜成立．故得：x1+x2＞2x0．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2014?唐山一模）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．【分析】（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出=，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2=ED?EO．由切割线定理得EA2=EB?EC，∴ED?EO=EB?EC，即=，又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，∴∠EDB=∠OCE．∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得：∠OEC=180°﹣∠OCB﹣∠COE=180°﹣∠OBC﹣∠DBE=180°﹣∠OBC﹣（180°﹣∠DBC）=∠DBC﹣∠ODC=20°．∴∠OEC的大小为20°．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019?衡水模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣+2=0．4ρsinθ（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．，可把圆C的极坐标方程化为直角坐标方【分析】（Ⅰ）利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程，利用直线l′与圆C相切，建立方程，即可求h．+2=0，【解答】解：（Ⅰ）∵ρ2﹣4ρsinθ∴x2+y2﹣4y+2=0；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程可得2t2+2（h﹣12）t+（h﹣10）2+2=0，∵直线l′与圆C相切，∴△=4（h﹣12）2﹣8[（h﹣10）2+2]=0，即h2﹣16h+60=0，∴h=6或h=10．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014?唐山一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由g（x）≤5求得﹣2≤x≤3；由f（x）≤6可得a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，得出结论．（Ⅱ）根据题意可得f（x）+g（x）≥|a﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a≥3 由此求得所求的a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当g（x）≤5时，|2x﹣1|≤5，求得﹣5≤2x﹣1≤5，即﹣2≤x≤3．由f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，即a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，故a的最大值为1．（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|+a≥|2x﹣a﹣2x+1|+a≥|a ﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，∴|a﹣1|+a≥3，∴a≥3，或．求得a≥3，或2≤a＜3，即所求的a的范围是[2，+∞）．。
河北省衡水市衡水中学2025届高三上学期第一次综合素养测评数学试题(含答案)
河北省衡水中学2025届高三上学期第一次综合素养测评数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知不等式x2−2x−3<0的解集为A，不等式x+3x−2<0的解集为B，则A∩B为( )A. [−3,3]B. (−3,3)C. [−1,2]D. (−1,2)2.已知|a|=63,|b|=1,a⋅b=−9，则向量a与b的夹角为( )A. 2π3B. 5π6C. π3D. π63.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN= 30∘，C点的仰角∠CAB=45∘以及∠MAC=75∘，从C点测得∠MCA=60∘，已知山高BC=100m，则山高MN=( )A. 120mB. 150mC. 503mD. 160m4.已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n、T n，若S nT n =3n+4n+2，则a3+a7+a8b2+b10=( )A. 11113B. 3713C. 11126D. 37265.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段PF1的中点N在另一条渐近线上．若cos∠PF2F1=35，则双曲线C的离心率为( )A. 53B. 54C. 2D. 56.点P(−2,−1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )A. 13；3x+2y−5=0B. 11；3x+2y−5=0C. 13；2x−3y+1=0D. 11；2x−3y+1=07.已知函数f(x)的定义域为(−3,3)，且f(x)={lg 3−x 3+x +2x−3,−3<x <0,lg 3+x 3−x−2x +3,0⩽x <3.若3f[x(x−2)]+2>0，则x 的取值范围为( )A. (−3,2) B. (−3,0)∪(0,1)∪(1,2)C. (−1,3)D. (−1,0)∪(0,2)∪(2,3)8.已知x x−1≥ln x +ax 对∀x >0恒成立，则a 的最大值为( )A. 0B. 1eC. eD. 1二、多选题：本题共3小题，共15分。
精品解析：【全国百强校首发】河北省衡水中学2023届高三上学期一调考试理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.集合{}{}2|ln 0,|16A x x B x x =≥=<,则A B = （ ）A ．()41，B ．[)1,4C ．[)1,+∞D ．[),4e 【解析】B考点:集合地运算2.设0.90.8 1.1log 0.9,log 0.9, 1.1a b c ===,则,,a b c 地大小关系是（ ）A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<【解析】C 【解析】试卷分析:由对数函数和指数函数地性质可得0.90.80.8 1.1log 0.9log 0.81,log 0.90, 1.11a b c =<==<=>故b a c <<,选C考点:对数函数和指数函数地性质3.已知1a >,()22x xf x a+=,则使()1f x <成立地一个充分不必要条件是（ ）A ．10x -<<B ．21x -<<C ．20x -<<D ．01x <<【解析】A 【解析】试卷分析:1,xa y a >∴= 在R 上为增函数,故()222202112020x xx xf x aaa x x x ++<⇔<⇔<⇔+<⇔-<<,则使()1f x <成立地一个充分不必要条件是10x -<<考点:指数函数地性质,充分不必要条件4.已知函数()20,1,01,0x f x x x ππ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩,则()()()1f f f -地值等于（ ）A ．21-πB ．21+πC ．πD ．0【解析】C考点:由函数解析式求函数值5.曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴所围图形地面积为（ ）A ．4 B ．2 C ．52D ．3【解析】D 【解析】试卷分析:曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴所围图形地面积为322232cos cos sin sin 3202S xdx xdx x x ππππππ=-=-=⎰⎰考点:倒计时地几何意义及其运算6.函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭地图像与函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭地图像（ ）A ．有相同地对称轴但无相同地对称中心B ．有相同地对称中心但无相同地对称轴C ．既有相同地对称轴也有相同地对称中心D ．既无相同地对称中心也无相同地对称轴【解析】A考点:三角函数地对称轴,对称中心7.已知函数()f x 地图像如下图所示,则()f x 地解析式可能是（ ）A ．()3121f x x x =--B ．()3121f x x x =+-C ．()3121f x x x =-+ D ．()3121f x x x =++【解析】A 【解析】试卷分析:由图可知,函数地渐近线为12x =,排除C,D,又函数在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,而函数121y x =-在在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,3y x =-在R 上单调递减,则()3121f x x x =--在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,选A考点:函数地单调性,渐近线8.设()f x 是奇函数,对任意地实数,x y ,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时,()0f x <,则()f x 在区间[],a b 上（ ）A ．有最小值()f aB ．有最大值()f a C ．有最大值2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭ D ．有最小值2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】B考点:函数地单调性9.已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>地图象与直线()0y b b A =<<地三个相邻交点地横坐标分别为2,4,8,则()f x 地单调递增区间是（ ）A ．[]6,63,k k k Z +∈ B ．[]6,63,k k k Z ππ+∈C ．[]63,6,k k k Z -∈ D ．无法确定【解析】A 【解析】试卷分析:因为函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>地图象与直线()0y b b A =<<地三个相邻交点地横坐标分别是2,4,8,所以函数地周期为6,所以263ππω==，并且函数地3x =时取得最大值,所以函数地单调增区间为[]6,63,k k k Z +∈ ．故选A ．考点:由()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>地部分图象确定其解析式；正弦函数地单调性10.若不等式()()1213lg1lg 33x xa x ++-≥-对任意(),1x ∈-∞恒成立,则a 地取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．[)1,+∞C ．(],1-∞D ．[)0,+∞【解析】C考点:函数恒成立问题11.设()f x 是定义在R 上地函数,其导函数为()'f x ,若()()'1f x f x +>,()02015f =,则不等式()2014x x e f x e >+（其中e 为自然对数地底数）地解集为（ ）A ．()(),00,-∞+∞B ．()0,+∞C ．()2014,+∞D ．()(),02014,-∞+∞ 【解析】B 【解析】试卷分析:设()()()()(),()()1xxxxxg x e f x e g x e f x eef x f x '''=-=-=+-⎡⎤⎣⎦,()()'1f x f x +>()0g x '>,函数()g x 在定义域上单调递增,()2014()2014,x x e f x e g x >+∴> ,又()00(0)020*******,()(0)0g e f e g x g x =-=-=∴>⇒>,选B考点:利用导数研究函数地性质【名师点睛】本题考查函数单调性与奇偶性地结合,属于中档题．解题时结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数地单调性是解题地关键,这里主要还是构造新函数,通过新函数地单调性解决问题,这种方法要注意体会掌握12.设函数()xf x mπ=,若存在()f x 地极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦,则m 地取值范围是（ ）A ．()(),22,-∞-+∞ B ．()(),44,-∞-+∞ C ．()(),66,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞ 【解析】A考点:利用导数研究函数地性质【名师点睛】本题主要正弦函数地图象和性质,函数地零点地定义,属中档题.其中关键点有两个,一是由0x为()f x 地极值点,可得到0f x =（）另一个就是由()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦可得当2m 最小时,0||x 最小,而0||x 最小为12m ,进而得到不等式,解之即可.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分,满分16分,将解析填在答题纸上）13.若非零向量,a b 满足||||2||a b a b a +=-=,则向量b 与a b +地夹角为 【解析】6π【解析】试卷分析:如下图所示,设AB ,a AD b ==,∵两个非零向量满足||||2||a b a b a +=-=,则四边形ABCD 是矩形,且 1236AB cos BAC BAC OAB OAD AC ππ==∠∴∠=∠=∴∠=，，而向量b 与a b + 地夹角即为OAD ∠,故向量b 与a b + 地夹角为6π考点:向量地夹角地计算14.设函数()y f x =在R 上有定义,对于任一给定地正数p ,定义函数()()()(),,p f x f x pf x p f x p≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,则称函数()p f x 为()f x 地"p 界函数",若给定函数()221,2f x x x p =--=,则下列结论不成立地是: .①()()00p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ②()()11p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦；③()()22p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ④()()33p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦【解析】②考点:分段函数15.已知()f x 是定义在R 上地周期为3地函数,当[)0,3x ∈时,()2122f x x x =-+.若函数()y f x a =-在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同）,则实数a 地取值范围是【解析】102，⎛⎫ ⎪⎝⎭考点: 根地存在性及根地个数判断．16.已知,,a b c 分别是ABC ∆地三个内角,,A B C 地对边,2a =,且()()()2sin sin b A B c b sinC +-=-,则ABC ∆面积地最大值为【解析】试卷分析:由题意ABC ∆中,2a =,()()()2sin sin b A B c b sinC +-=-由正弦定理可得,()()()22222224124cos 2222b c a b c bc b a b c b c b c bc A bc bc bc +-+-+-=-⇒+-=∴====()0,3A A ππ∈∴=.再由224b c bc +-=,利用基本不等式可得 42bc bc bc≥-=4bc ∴≤,当且仅当2b c ==时,取等号,此时,ABC ∆为等边三角形,它地面积为 11sin 2222S bc A ==⨯⨯=考点:正弦定理,余弦定理,三角形地面积,基本不等式【名师点睛】本题主要考查正弦定理地应用,基本不等式,属于中档题．由条件利用正弦定理可得224b c bc +-=．再由余弦定理可得3A π=,利用基本不等式可得4bc ≤,当且仅当2b c ==时,取等号,此时,ABC ∆为等边三角形,从而求得它地面积 1sin 2S bc A =地值．三、解答题 （本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知a R ∈,命题[]2:1,2,-0p x x a ∀∈≥,命题2q :22,-0x R x ax a ∃∈++=.（1）若命题p 为真命题,求实数a 地取值范围；（2）若命题"p q ∨"为真命题,命题"p q ∧"为假命题,求实数a 地取值范围.【解析】（1）a ≤1（2）1a >或21a -<<.考点: 复合命题地真假；函数单调性地性质．18.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对地边分别为,,a b c ,已知()sin sin 2,2C B A A A π+-=≠.(1)求角A 地取值范围；(2)若1a =,ABC ∆地面积S =C 为钝角,求角A 地大小.【解析】（Ⅰ）0,4π⎛⎤⎥⎝⎦(2) 6A π=（2）由（Ⅰ）及1a =得b =,又因为S =,所以11sin 2C ⋅=从而sin C =,因为C 为钝角,故712C π=. 由余弦定理,得271221cos 1221212c π⎛=+-⋅=+-⋅⋅=+ ⎝,故c =. 由正弦定理,得sin 1sin 2a CA c===,因此6A π=. 考点:正弦定理,余弦定理,两角和与差地三角函数19.已知函数()1xf x e ax =+-（e 为自然对数地底数）.（1）当1a =时,求过点()()1,1f 处地切线与坐标轴围成地三角形地面积；（2）若()2f x x ≥在（0,1）上恒成立,求实数a 地取值范围.【解析】（1）()121e +（2）2a e ≥-（Ⅱ）由()2f x x ≥得21xx e a x --≥,令()()()()()2222111111,'1x x x x x x e e x x e e h x x h x x x x x x x -+----==+-=--= 令()()()()1,'1,0,1,'10,x x xk x x e k x e x k x e =+-=-∈∴=-< ()k x 在()0,1x ∈为减函数,∴()()00k x k <=,又∵()()()221110,0,'0x x x e x x h x x-+--<>∴=>.∴()h x 在()0,1x ∈为增函数,()()12h x h e <=-,因此只需2a e≥-考点:利用导数研究函数地性质20.已知函数()f x 满足()()22f x f x =+,且当()0,2x ∈时,()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭,当()4,2x ∈--时,()f x 地最大值为-4.（1）求实数a 地值；（2）设0b ≠,函数()()31,1,23g x bx bx x =-∈.若对任意()11,2x ∈,总存在()21,2x ∈,使()()12f x g x =,求实数b 地取值范围.【解析】（1）1a =-（2）33ln 22b ≤-+或33ln 22b ≥-.考点:利用导数研究函数地性质21.已知函数()()323257,ln 22f x x x ax bg x x x x b =+++=+++,（,a b 为常数）.（1）若()g x 在1x =处地切线过点（0,-5）,求b 地值；（2）设函数()f x 地导函数为()'f x ,若关于x 地方程()()'f x x xf x -=有唯一解,求实数b 地取值范围；（3）令()()()F x f x g x =-,若函数()F x 存在极值,且所有极值之和大于5ln 2+,求实数a 地取值范围.【解析】(1)32b =(2) 71,,548⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()4,+∞【解析】试卷分析:（1）由求导公式和法则求g x '（）,利用导数地几何意义求出切线地斜率,再由题意和点斜式方程求出切线方程,把1x =代入求出切点坐标,代入()g x 求出b 地值；(2)求出方程()()'f x x xf x -=地表达式,利用参数分离法构造函数,利用导数求出函数地取值范围即可求实数b 地取值范围；（3）求函数()F x 以及定义域,求()F x '出,利用导数和极值之间地关系将条件转（Ⅲ）()2ln F x ax x x =--,所以()221'x a F x x -+=-.因为()F x 存在极值,所以()221'0x a F x x-+=-=在()0,+∞上有限,即方程2210x ax -+=在()0,+∞上有限,则有280a ∆=-≥.显然当0∆=时,()F x 无极值,不合题意；所以方程必有两个不等正跟.记方程2210x ax -+=地两根12,x x ,则12121022+=x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪⎪⎩,()()()()()22221212121211ln ln 1ln 5ln 2422a a F x F x a x x x x x x +=+-+-+=-+->-,解得216a >,满足0∆>,又1202+=a x x >,即0a >,故所求a 地取值范围是()4,+∞. 考点:利用导数研究函数地性质【名师点睛】本题主要考查导数地几何意义,函数单调性,极值和最值与导数之间地关系,综合考查导数地应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数地性质地一般方法,包括构造新函数,分离变量,以及求极值、最值等.22.已知函数()ln 1x f x x+=.（1）求函数()f x 地单调区间和极值；（2）若对任意地1x >,恒有()ln 11x k kx -++≤成立,求k 地取值范围；（3）证明:()()2222ln 2ln 3ln 21,24123++n n n n N n n n+--+⋅⋅⋅<∈≥+.【解析】（1）见解析（2）1k ≥（3）见解析试卷解析:（1）()2ln 'x f x x-=,由()'01f x x =⇒=,列表如下:x()0,11()1,+∞()'f x +0-()f x 单调递增极大值1单调递减因此增区间()0,1,减区间()1,+∞,极大值()11f =,无极小值.（2）因为1x >,()()()ln 11ln 1111x x k kx k f x k x -+-++≤⇔≤⇔-≤-,所以()max 11f x k k -=∴≥,考点:利用导数研究函数地性质,数列求和【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数地单调性极值与最值,数列求和等知识,属难题．解题时利用到恒成立问题地等价转化方法、分离参数方法、分类讨论方法,利用研究证明地结论证明不等式,同时应用到"累加求和"、"裂项求和"、"放缩法"等方法,要求有较高推理能力与计算能力,。