2020高考数学大一轮复习第十一章统计与统计案例3第3讲变量间的相关关系统计案例练习理含解析

第3讲 变量间的相关关系、统计案例[基础题组练]1．根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8 y4.02.50.50.50.40.1得到的线性回归方程为y ＝b x ＋a ，则( ) A.a ^>0，b ^>0 B.a ^>0，b ^<0 C.a ^<0，b ^>0D.a ^<0，b ^<0解析：选B.根据给出的数据可发现：整体上y 与x 呈现负相关，所以b ^<0，由样本点(3，4.0)及(4，2.5)可知a ^>0，故选B.2．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0.6x ＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A ．66%B ．67%C ．79%D ．84%解析：选D.因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y ^＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解析：选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.4．(2019·黑龙江哈尔滨模拟)千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为1.35，该校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )A ．111B ．117C ．118D ．123解析：选B.因为x －＝53，y －＝103.5，所以a ^＝y －－b ^x －＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为y ^＝1.35x ＋31.95.当x ＝63时，代入解得y ^＝117，故选B.5．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．由K 2＝n （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），得K 2＝100×（45×22－20×13）265×35×58×42≈9.616.参照下表，A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”解析：选C.因为K 2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.6．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的回归直线方程：y ^＝0.245x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：x 变为x ＋1，y ^＝0.245(x ＋1)＋0.321＝0.245x ＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．答案：0.2457．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩7277808488909395根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．其中正确的个数为________．解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.答案：18．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i＝1，2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－13附近波动．经计算∑6i ＝1x i ＝11，∑6i ＝1y i ＝13，∑6i ＝1x 2i ＝21，则实数b 的值为________．解析：令t ＝x 2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y ＝bt －13，此时t －＝∑6i ＝1x 2i 6＝7 2，y－＝∑6i＝1y i6＝136，代入y＝bt－13，得136＝b×72－13，解得b＝57.答案：579．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.(1)(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．参考公式与临界值表：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.解：(1)(2)K2＝110×（10×30－20×50）260×50×30×80≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．10．(2019·长沙市统一模拟考试)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由． (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除；(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；(ⅱ)广告投入量x ＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －.解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得x －＝15×(7×6－6)＝7.2，y －＝15×(30×6－31.8)＝29.64.∑i ＝15x i y i ＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44，∑i ＝15x 2i ＝364－62＝328.b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y－∑5i ＝1x 2i －5x－2＝1 273.44－5×7.2×29.64328－5×7.2×7.2＝206.468.8＝3，a ^＝y －－b ^x －＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y 关于x 的回归方程为y ^＝3x ＋8.04.(ⅱ)把x ＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得y ^＝3×18＋8.04＝62.04， 故预报值为62.04万元．[综合题组练]1．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄 [15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65]支持“延迟 退休”的人数155152817(1)由以上统计数据填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计 支持 不支持 总计(2)若以458人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率； ②记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 参考数据及公式：P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.001K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)列联表如下：因为K 2＝10050×50×80×20＝4＝6.25＞3.841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．(2)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．①抽到1人是45岁以下的概率为68＝34，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为C 16C 12C 28＝37.故所求概率为3734＝47.②X ＝0，1，2.P (X ＝0)＝C 26C 28＝1528，P (X ＝1)＝C16C 12C 28＝1228＝37，P (X ＝2)＝C 22C 28＝128.可得随机变量X 的分布列为故E (X )＝1×7＋2×28＝2.2．(2019·洛阳第一次联考)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司6个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系．求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月份(即x ＝7时)的市场占有率．(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1 000元/辆和1 200元/辆的A ，B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆使用年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用年限频数表如下：使用年限车型1年 2年 3年 4年 总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100假设每辆单车的使用年限都是整数，且以频率作为每辆单车使用年限的概率．如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑ni ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. 解：(1)由数据计算可得x －＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝3.5，y －＝11＋13＋16＋15＋20＋216＝16.由公式计算可得，b ^＝2，a ^＝16－2×3.5＝9.所以月度市场占有率y 与月份代码x 之间的线性回归方程为y ^＝2x ＋9. 当x ＝7时，y ^＝2×7＋9＝23.故M 公司2017年4月份的市场占有率预计为23%.(2)法一：由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，所以每辆A 款车产生利润的期望值为E(X)＝(500－1 000)×0.2＋(1 000－1 000)×0.35＋(1 500－1 000)×0.35＋(2 000－1 000)×0.1＝175(元)．由频率估计概率，每辆B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2，所以每辆B款车产生利润的期望值为E(Y)＝(500－1 200)×0.1＋(1 000－1 200)×0.3＋(1 500－1 200)×0.4＋(2 000－1 200)×0.2＝150(元)．所以E(X)>E(Y)，所以应该采购A款单车．法二：由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，所以每辆A款车可使用年限的期望值为E(X)＝1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35(年)，所以每辆A款车产生利润的期望值为2.35×500－1 000＝175(元)．由频率估计概率，每辆B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2，所以每辆B款车可使用年限的期望值为E(Y)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7(年)，所以每辆B款车产生利润的期望值为2.7×500－1 200＝150(元)．所以应采购A款单车．。