2019年高三理科数学一轮复习：空间中的垂直关系(解析版)

2019年高三理科数学一轮复习：空间中的垂直关系（解析版）1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．自查自纠1．直角2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3．锐角[0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°]5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线(2017江西宜春四校联考)下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解：对于选项A，可在α内作直线平行于交线即可，A正确；对于选项B，假设在α内存在直线垂直于平面β，则α⊥β，这与已知矛盾，所以原命题成立，B正确；对于选项C，因为平面α⊥平面γ，所以在平面γ内存在一条直线m⊥α.所以m⊥l.同理可知在平面γ内存在直线n⊥β，n⊥l.若直线m，n重合，则面α与β重合或平行，这与已知矛盾，所以直线m，n 相交，又l⊥m，l⊥n，所以l⊥面γ，C正确；对于选项D，易知α与β的交线l并不垂直于面β，D错误．故选D.(2017甘肃马营中学月考)若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解：若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系可能平行也可能相交或m⊂α，则A为假命题；选项B中，α与β可能平行也可能相交，则B为假命题；选项D中β与γ也可能平行或相交(不一定垂直)，则D为假命题．故选C.(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC解：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的________条件．解：若l⊥m，m⊥平面α，则l∥α或l⊂α；若l∥α，m⊥平面α，则l⊥m，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故填必要不充分．(2017重庆八中适应性考试)在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________．①BC∥平面PDF；②DF ⊥平面P AE ； ③平面PDF ⊥平面ABC ； ④平面P AE ⊥平面ABC .解：由DF ∥BC 可得BC ∥平面PDF ，故①正确；若PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 在AE 上，则DF ⊥PO ，又DF ⊥AE ，故DF ⊥平面P AE ，故②正确；由PO ⊥平面ABC ，PO ⊂平面P AE ，可得平面P AE ⊥平面ABC ，故④正确，平面PDF 不过PO ，故③不正确．故填①②④.类型一 线线垂直问题如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明：(1)因为D 1D ⊥面ABCD ，且BD ⊂面ABCD ，所以D 1D ⊥BD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos60°＝3AD 2， 所以AD 2＋BD 2＝AB 2. 所以AD ⊥BD .又因为AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥面ADD 1A 1. 又AA 1⊂面ADD 1A 1, 所以AA 1⊥BD .(2)连接AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连接A 1E .因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC .由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且 A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形． 所以CC 1∥A 1E .又因为A 1E ⊂面A 1BD ，CC 1⊄面A 1BD ， 所以CC 1∥面A 1BD .【点拨】本题主要考查线线、线面位置关系．第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A1BD 中没有与CC1平行的直线，故需作辅助线．(2017武汉市武钢第三子弟中学月考)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB ＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V＝S△ABC×OA1＝3.类型二线面垂直问题如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P-ABCD的体积．解：(1)证明：因为P A⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以P A⊥CE.因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.又P A∩AD＝A，所以CE⊥平面P AD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，CE＝CD·sin45°＝1，DE＝CD·cos45°＝1，又因为AB＝1，则AB＝CE.又CE∥AB，AB⊥AD，所以四边形ABCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形． 因为AD ＝3，所以BC ＝AE ＝AD －DE ＝2，S ABCD ＝12(BC ＋AD )·AB ＝12(2＋3)×1＝52，V P ­ABCD ＝13S ABCD ·P A ＝13×52×1＝56.于是四棱锥P -ABCD 的体积为56.【点拨】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第(2)问的难点在于求底面四边形ABCD 的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD 是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积．(2017锦州市第二高级中学月考)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .证明：(1)如图，连接AD 1，由ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1， 因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点， 所以FP ∥AD 1，从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)如图，连接AC ，BD ，则AC ⊥BD .由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得CC 1⊥BD . 又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1. 而AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥AC 1.因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .类型三 面面垂直问题如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝ 2.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②又A1B1∩B1M＝B1，由①②得BM⊥平面A1B1M.而BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.【点拨】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．(2017武汉市第四十三中学月考)如图，在五棱锥P-ABCDE中，P A⊥平面ABCDE，AB∥CD，∠ABC＝45°，AB＝22，BC＝2AE＝4，三角形P AB是等腰三角形．求证：平面PCD⊥平面P AC.证明：因为∠ABC＝45°，AB＝22，BC＝4，所以在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝(22)2＋42－2×22×4cos45°＝8，解得AC＝22，所以AB2＋AC2＝8＋8＝16＝BC2，即AB⊥AC，又P A⊥平面ABCDE，所以P A⊥AB.又P A∩AC＝A，所以AB⊥平面P AC，又AB∥CD，所以CD⊥平面P AC.又因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面P AC.类型四垂直综合问题(2017大连经济技术开发区一中月考)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A ′­BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′­CD -B 的平面角的余弦值．解：(1)证明：在图1中，易得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2.如图示，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos45°＝ 5.由翻折不变性可知A ′D ＝22，易得A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD .同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，因为A ′O ⊥平面BCDE ，易知A ′H ⊥CD ，所以∠A ′HO 为二面角A ′­CD -B 的平面角.结合图1可知，H 为AC 中点，又O 为BC 中点，故OH ＝12AB ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302，所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H＝155.所以二面角A ′­CD -B 的平面角的余弦值为155.【点拨】本题主要考查线面垂直及二面角的计算等．折叠要注意不变量；作二面角，往往要通过作垂线来实现．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，又DF ∩FE ＝F ，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)．由已知得，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，故∠CEF ＝60°，从而可得C (－2，0，3)，连接AC ，则EC →＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0， 即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0， 所以可取n ＝(3，0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919，结合图形，得二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.1．判断(证明)线线垂直的方法 (1)根据定义；(2)如果直线a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ； (3)如果直线a ⊥面α，c ⊂α，则a ⊥c ； (4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． 2．证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a ，b ⊂α，a ⊥c ，b ⊥c ⇒c ⊥α； (2)a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m ，a ⊂α，a ⊥m ⇒a ⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ⇒m ⊥γ.3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β；(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角；(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ.4．平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．5．注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化6．线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲． 也可用射影法：设斜线段AB 在平面α内的射影为A ′B ′，AB 与α所成角为θ，则cos θ＝||A ′B ′||AB ；设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A ′B ′C ′，平面ABC 与α所成角为θ，则cos θ＝S △A ′B ′C ′S △ABC .1．(2016·浙江) 已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β， 则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n解：由题意知α∩β＝l ，所以l ⊂β.因为n ⊥β，所以n ⊥l .故选C .2．已知α，β为两个不同的平面，l 为直线，若α⊥β，α∩β＝l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直解：由面面垂直的判定定理可知，垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直．故选D . 3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β解：若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，故A 错；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行，也可能异面，故B 错；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错；对于D 项，由m ⊥α，m ∥n ，得n ⊥α，又知n ∥β，故α⊥β，所以D 项正确．故选D .4．(2017沈阳市第一中学月考)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当α⊥β时，由面面垂直的性质定理知b⊥α，则b⊥a.所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α，且a∥m时，因为b⊥m，所以b⊥a，而此时平面α与平面β不一定垂直．所以“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件．故选A.5．(2015·福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC解：依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°，B错误；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC 与平面VAC不垂直，C错误；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC⊂平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC，D正确．故选D.6．(2017瓦房店市高级中学月考)如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：(1)SG⊥平面EFG；(2)SD⊥平面EFG；(3)GF⊥平面SEF；(4)EF⊥平面GSD；(5)GD⊥平面SEF.正确的是()A．(1)和(3) B．(2)和(5)C．(1)和(4) D．(2)和(4)解：因为正方形中折叠前后都有SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG.(1)正确，(2)错误．因为SG⊥GF，SG⊥GD，所以GF并不垂直于SF，GD并不垂直于SD，即(3)(5)错误．因为EF⊥GD，EF⊥SG，GD∩SG＝G，所以EF⊥面GSD.(4)正确．故选C.7．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)解：根据两平面平行的性质定理可得BFD′E为平行四边形，①正确；若四边形BFD′E是正方形，则BE⊥ED′，又A′D′⊥EB，A′D′∩ED′＝D′，所以BE⊥面ADD′A′，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，③正确；当E，F 分别为棱AA′，CC′的中点时，EF∥AC，又AC⊥平面BB′D，所以EF⊥面BB′D，④正确．故填①③④.8．(2017沈阳市回民中学月考)ABCD是正方形，P为平面ABCD外一点，且P A⊥平面ABCD，则平面P AB，平面PBC，平面PCD，平面P AD，平面ABCD这五个平面中，互相垂直的平面有________对．解：因为P A⊥平面ABCD，所以平面P AD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD.又因为AD⊥平面P AB，所以平面P AD⊥平面P AB，同理可得平面PBC⊥平面P AB，平面P AD⊥平面PCD，故互相垂直的平面有5对．故填5.9．(2017钟祥市实验中学月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a.求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD.证明：(1)因为PD＝a，DC＝a，PC＝2a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB.同时AC⊂平面P AC，所以平面P AC⊥平面PBD.10．(2017谷城县第一中学月考)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：(1)因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .因为AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .而AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A .因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC .由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD .因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥AB .又因为AB ⊥AD 且P A ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面P AD ，而PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥PD .又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .11．(2017·天津)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；(2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角． 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝ 5.故cos ∠DAP ＝AD AP ＝55. 所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55. (2)证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC .又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PBC .(3)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1，由已知，得CF ＝BC －BF ＝2.又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝42＋22＝20，DF ＝25，所以在Rt △DPF 中可得sin ∠DFP ＝PD DF ＝55. 所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55.(2015·安徽)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值． 解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin60°＝32. 由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P ­ABC 的高，又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36. (2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A ，交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，又MN ∥P A ，所以MN ⊥AC .又BN ⊥AC ，BN ∩MN ＝N ，BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，所以AC ⊥平面MBN .又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.。