2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.4平面与平面平行的性质2
L
α∥β
α∩β= L
(2):平面和平面平行的判定定理是什么？
一个平面内的两条相 交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行。 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条 直线，那么这两 b
α
d
如果两个平 行平面同时与第三 个平面相交，那么 它们的交线平行。
是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G
点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
B C D
a
α
E
F
G
A
10
小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
求证：MN∥平面PBC。
N D C
E
A B
M
7
已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一 点G，画出过G和AP的平面。
P
M
G
D
C
H
A
O
B
8
练习： 点P在平面VAC内，画出过点P作一个截面 平行于直线VB和AC。 V
F P G B H A
9
E
C
如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D
面面平行性质定理: 面面平行
线面平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
11
课外作业： 1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交 α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，
线面平行 面面平行 的判定
2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质1．文字语言：一条直线与一个平面平行，则__过这条直线的任一平面与此平面的交线__与该直线平行．2．图形语言：3．符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α__a ⊂β____α∩β＝b __⇒a ∥b 4．作用：线面平行⇒线线平行．要点二 面面平行的性质定理1．文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面__相交__，那么它们的交线__平行__.2．图形语言：3．符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α∥β__α∩γ＝a ____β∩γ＝b __⇒a ∥b 4．作用：面面平行⇒线线平行．要点三 平行关系性质的应用1．若平面α与平面β平行，则α上的任何直线与平面β的位置关系是__平行__. 2．若两个面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线的关系是__平行或异面__. 3．A 是异面直线a ，b 外一点，过A 最多可作__0或1__个平面同时与a ，b 平行． 4．过平面外一点能作__无数__条直线和这个平面平行．思考： 如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话正确吗？为什么？提示 不正确，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．考点一线面平行、面面平行的性质定理定理可简记为“线面平行，则线线平行”“面面平行，则线线平行”．定理揭示了直线与平面平行中蕴涵着直线与直线平行，即通过直线与平面平行、平面与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法．【例题1】在下列命题中，正确的有__④__(填序号)．①若α∩β＝a，b⊂α，则a∥b；②若a∥平面α，b⊂α，则a∥b；③若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④平面α∥平面β，点P∈α，a∥β且P∈a，则a⊂α.思维导引：此类题一般是以符号语言为载体的判断题，熟悉相关定理是前提，全面分析是关键，一般通过合理利用模型及排除法解题．解析①若α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，①不正确；②若a∥α，b⊂α，则a与b异面或a∥b，②不正确；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a与b异面，③不正确；④若α∥β，点P∈α，知P∉β，所以过点P且平行于β的直线a必在α内，故④正确．【变式1】(1)若直线a，b均平行于平面α，那么a与b的位置关系是__平行、相交或异面__.(2)若直线a∥b，且a∥平面β，则b与β的位置关系是__b∥β或b⊂β__.(3)若直线a，b是异面直线，且a∥β，则b与β的关系是__b∥β或b⊂β或b与β相交__.解析(1)a∥α，b∥α，则知a，b与α无公共点，而a，b平行、相交、异面都有可能．(2)a∥b，a∥β知b∥β或b在β内．(3)b与β的三种位置关系都有可能．考点二线面平行的性质及应用利用线面平行的性质定理判断两直线平行的步骤：(1)先找过已知直线且与已知平面相交的平面；(2)再找两个平面的交线；(3)由定理得出结论．【例题2】如图，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．思维导引：AB∥平面MNPQ，CD∥平面MNPQ→MN∥PQ，NP∥MQ→四边形MNPQ是平行四边形证明因为AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，所以AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，所以AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可证NP ∥MQ.所以四边形MNPQ为平行四边形．【变式2】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于点F.求证：EF∥B1C．证明由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD 为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂平面A1DFE，B1C⊄平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE.又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C．考点三面面平行的性质及应用应用平面与平面平行的性质定理的基本思路：【例题3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点．当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置是__与D重合__.思维导引：平面AB1C∥平面A1EC1，且都与对角面BB1D1D相交，则交线平行．在平行四边形BB1D1D中再来论证平行线的位置．解析如图，连接B1D1，BD，设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O.连接ME，B1O，因为平面AB1C∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，所以B1O∥ME.又由长方体的性质可知四边形B1MDO为平行四边形，则B1O∥MD．故E与D重合．【变式3】已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．解析直线a，b的位置关系是平行．如图所示，连接DD′.因为平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A ′D ′B ∩平面A ′B ′C ′＝A ′D ′， 所以A ′D ′∥a . 同理可证AD ∥b .又D 是BC 的中点，D ′是B ′C ′的中点，所以DD ′BB ′，又BB ′AA ′，所以DD ′AA ′，所以四边形AA ′D ′D 为平行四边形，所以A ′D ′∥AD ，所以a ∥b .考点四 空间平行关系的相互转换线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行转换．相互间的转换关系如下．【例题4】 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求PQ 的长；思维导引：通过作辅助线构造平面，从而证得线面平行；或通过线线平行证得线面平行． 解析 (1)证明：方法一 如图，连接AC ，CD 1.AC 与BD 交于点Q .因为P ，Q 分别是AD 1，AC 的中点，所以PQ ∥CD 1. 又PQ ⊄平面DCC 1D 1， CD 1⊂平面DCC 1D 1， 所以PQ ∥平面DCC 1D 1.方法二 取AD 的中点G ，连接PG ，GQ ， 则有PG ∥DD 1，GQ ∥DC ，且PG ∩GQ ＝G ， 则平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又因为PQ ⊂平面PGQ ，则PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .【变式4】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD ．证明 过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连接GF ，则B 1E B 1A ＝B 1GB 1B.因为B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，所以C 1F C 1B ＝B 1GB 1B .所以FG ∥B 1C 1∥BC ，又因为EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ， 所以平面EFG ∥平面ABCD ，又因为EF ⊂平面EFG ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ．。
2.2.2平面与平面平行的判定课件 新人教A版必修2
思考3：三角板的一条边所 在直线与桌面平行，这个三 角板所在平面与桌面平行吗？
A
思考4：三角板的两条边所在直线分别与桌 面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？
思考5: 建筑师如何检验屋顶平面与水平面 是否平行？
思考6：一般地，如果平面α内有一条直线 平行于平面β，那么平面α与平面β一定平 行吗？如果平面α内有两条直线平行于平面 β，那么平面α与平面β一定平行吗？
定理 一个平面内的两条相交直线与另一 个平面平行，则这两个平面平行.
思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的 判定定理，该定理用符号语言可怎样表述？
b a P
α
β
a , b , a b P,且 a // , b // //
思考5:在直线与平面平行的判定定理中， “a∥α ,b∥β ” ，可用什么条件替代？ 由此可得什么推论？ 推论 如果一个平 面内有两条相交直 线分别平行于另一 个平面内的两条直 线，那么这两个平 面平行.
N B
作业： P58练习：1， 3（做书上），2. P62习题2.2A组：7，8.
a α b
β
理论迁移
1 5730 p 2
t
例1 在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证：平面AB′D′∥平面BC′D.
D′
A′ B′
C′
D
A B
C
例2 在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别 是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证： 平面DEF//平面ABC.
P F A D M E C
α β
知识探究(二):平面与平面平行的判定定理 思考1:对于平面α 、β ，你猜想在什么条件 下可保证平面α 与平面β 平行？ 思考2:设a，b是平面α 内的两条相交直线，且 a//β ，b//β . 在此条 件下，若α ∩β =l ，则 直线a、b与直线l 的位置 关系如何？
【高中数学必修二】2.2.4面面平行的性质
例1. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.
已知:平面//平面 ,AB和DC为夹在 、 A 间的平行线段。求证：AB=DC.
证明：
D
AB // DC ⇒过AB，CD可作平面 γ
//
AD BC
B
C
AB // CD
BC // AD
ABCD为平行四边形
AB CD
例2.如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线， M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、 D∈β. 求证：MN∥α.
证明：连接DA，取DA的中点 E，分别连接ME、NE， 则NE∥AC， ∴ NE∥平面α， 又 ME∥BD， ∴ ME∥β， 又ME∩NE=E， ∴平面MEN∥平面α， ∵ 直线MN在平面MEN内， ∴MN∥α.
α
A E
C N D
M
β
B
练习
1. 已知: 三个平行平面 , , 与两条直线 l, m 分别相并于点A, B, C和点D, E , F . AB DE 求证 : = . P63第3题 BC EF
G
H
l
m
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
2.2.4 平面与平面平行的性质
问题
1、什么叫两平面平行？ 2、两平面平行的判定定理是什么？
如果一个平面内有两条相交直线分别平 行于另一个平面，那么这两个平面平行.
β
b
a
α
问题
3、两平面平行的判定定理解决了 两平面平行的条件；反之，在两平面 平行的条件下，会得到什么结论？
问题探究
2.2.2平面与平面平行的判定课件(优秀经典公开课比赛课件)
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
变探式究:已知正方体ABCD-A1B1C1D1（如图）， PA,1QP=, RA分1Q别=A为1RA(1PA,,QA,R1B在1,正A1方D1体的的中棱点上 )
求证：平面PQR∥平面C1BD.
D
C
A
B
P
D1
R
A1
Q
C1 B1
小结
1.知识内容
平面与平面平行的判定方法:
5.若α//γ,β//γ,则α//β
例 2: 已知正方体ABCD-A1B1C1D1
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
变式:已知正方体AB证C明D：-A1B1C1D1（如图），D
P求, 证Q,：R分平面别P为Q由AABR正1A方∥A1体,B平A1AB1面CCB1DD1C1, AA11BB11CDD1D1.1得的:中点A, D1
D
C ∴四边形ABC1D1为平行四边形 A1
A
B
∴AD1∥BC1
线线平行
又AD1 平面C1BD, BC1 平面C1BD ∴AD1∥平面C1BD
P
D1
R
同理 B1D1∥平面C1BD C1 又 AD1 B1D1 D1
线面平行
A1
Q
B1
∴平面AB1D1∥平面C1BD.
面面平行
例 2: 已知正方体ABCD-A1B1C1D1
问题3 平面α内有两条相交直线 a , b 平行平
面β, 则α∥ β吗?
个平面内有两条 相交 直线分别 平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
a , b ab=P a // b //
符号语言
线不在多 贵在/相/ 交
a P b
公开课2.2.2平面与平面平行的判定
———
线线平行
作
业： P58
2
1.判定平面与平面平行的关键是什么？ 根据定义可知，判断平面与平面平行 的关键在于判断他们有没有公共点.如果一 个平面内的所有直线都与另一个平面平行， 那么这两个平面一定平行. 这样，两个平面平行的问题就转化为 一个平面内的直线与另一个平面平行的问题. 实际上，判定两个平面平行不需要判定一个 平面内的所有直线都平行与另一个平面.
AD1//平面C1BD,B1D1//平面C1BD,AB1//平面C1BD
AD //BC ，B D //BD, 四种方法之一： ABC D , BB D D 一组对边平行且
1 1 1 1
1 1 1 1
相等
正方体性质
证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， BB1 //DD1 四边形BB1D1是平行四边形
B1D1 平面 C1BD BD 平面 C1BD B1D1 //平面 C1BD B1D1 / / BD
BD / / BD
1
1
同理，AD1 //平面 C1BD
AD1 平面AB1D1 B1D1 平面AB1D1 AD1 B1D1 D1 平面AB1D1 //平面 C1BD AD1 //平面C1BD B1D1 //平面C1BD
分层训练
必做题： P62—7 如图，A,B,C为不在同一条直线上的三点
AA// BB//CC ,且AA=BB=CC 求证：平面ABC / /平面ABC
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.2.3-2.2.4_直线与平面,平面与平面平行的性质定理-悠
b α
内找出和直线a （2）已知直线 ∥平面 ，如何在平面 内找出和直线 ）已知直线a∥平面α，如何在平面α内找出和直线 平行的一条直线？ 平行的一条直线？
思考
如图， 直线A 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直线 1B1//面CDD1C1. 面
D1 A1
E
C1 由长方体性质，我们知道A1B1 // C1D1.
β b α a
⊂ β.
又因为a 又因为 ∥α， 所以a,b无公共点. 所以 , 无公共点. 无公共点 又因为a β 所以a∥ 又因为 ⊂ ，b ⊂β，所以 ∥b
back
已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 例 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证另一条也平行于这个平面. 求证另一条也平行于这个平面.
α
(2)该定理作用：“线面平行⇒线线平行” 该定理作用： 线面平行⇒线线平行” 该定理作用 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据. 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据 (3)应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相 应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相 应用该定理 并找出两平面的交线. 交，并找出两平面的交线 (4)平面外的两平行线同平行于同一个平面 平面外的两平行线同平行于同一个平面. 平面外的两平行线同平行于同一个平面
O
C1
E
D
在 DBD1中，O为DB的中点,BD1 // OE. 所以点E为DD1的中点.
A
B
练习
三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的点，A1B//平面 上的点， 平面ADC1 . 三棱柱 是 上的点 平面 求证:点 为 的中点 的中点. 求证 点D为BC的中点
必修2课件：2.2.4平面与平面平行的性质
α // β,α ∩γ = a, β ∩γ = b ⇒ a // b
4 平面与平面平行的性质定理 平面与平面平行的性质定理: （1）如果两个平面平行，那么其中一个 ）如果两个平面平行， 平面内的任意直线均平行于另一个平面. 平面内的任意直线均平行于另一个平面 若α//β，a ， α， ， ⊂ 则a//β.
l
C N
α
作业: P61练习：（做在书上） P63习题2.2B组：4（做在书上） P63习题2.2B组：3.
理论迁移 求证： 例1 求证：夹在两个平行平面间的平行 线段相等. 线段相等.
A β C
α
γ B
D
在正方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中， CD′上 试判断直线B′M B′M与平面 点M在CD′上，试判断直线B′M与平面 A′BD的位置关系 并说明理由. 的位置关系， A′BD的位置关系，并说明理由.
（2）如果两个平行平面同时和第三个平 ） 面相交，那么它们的交线平行. 面相交，那么它们的交线平行 α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a//b. ， ， ，
思考3:上述定理通常称为平面与平面平 思考3:上述定理通常称为平面与平面平 3:上述定理通常称为 行的性质定理， 行的性质定理，该定理在实际应用中有 何功能作用？ 何功能作用？
C′ D′ M D C A A′ B B′
如图，已知AB CD是夹在两个平 AB、 例3 如图，已知AB、CD是夹在两个平 行平面α 之间的线段， 行平面α、β之间的线段，M、N分别为 AB、CD的中点 求证：MN∥平面 的中点， 平面β. AB、CD的中点，求证：MN∥平面β.
A M β B E D
α // β,α ∩γ = a, β ∩γ = b ⇒ a // b
数学：2.2.4《平面与平面平行的性质》课件(新人教A版必修2)
[化解疑难] 对面面平行性质定理的理解 (1)面面平行的性质定理的条件有三个： ①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b. 三个条件缺一不可． (2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构 造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用 来证明线线平行． (3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．
这个结论可做定理用
定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理： / / a//b a, b
想一想：这个定理的作用是什么? 答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行
[导入新知]
面面平行的性质定理 (1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面 平行 ． 相交 ，那么它们的交线_______ ______ (2)图形语言：
又∵M，P分别为AB，AE的中点， ∴MP∥BE.又∵MP⊄α，BE⊂α， ∴MP∥α.∵MP，PN⊂平面MPN，且MP∩PN＝P， ∴平面MPN∥α. 又∵MN⊂平面MPN，∴MN∥α.
[类题通法] 1．把握面面平行性质定理的关键
(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平
面均相交． (2)定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思 想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间 的相互转化．
探究新知
探究3:当第三个平 面和两个平行平面 都相交时，两条交 线有什么关系？为 什么？ 答:两条交线平行.
α
a
β
b
下面我们来证明这个结论
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两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面 相交，那么它们的交线平行．
// 即： a a // b
b
例1 如图，已知平面 ， ， ，满足 // 且 I a, I b, 求证：a // b 。
且平面 与平面 和
分别相交AC和BD.
因为 //
所以BD//AC.
因此，四边形ABCD是平行四边形。
所以AB=CD.
课堂小结
定理
图形
文字
符号
一个平面内的 _两__条__相__交__直__线_ 与另一个平面 平行，则这两 个平面平行
a⊂β
b⊂β
_a_∩__b_＝__P___
_a_∥ __α____ _b_∥__α___
⇒α∥β
[化解疑难] 1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面 内的“两条相交直线”是必不可少的． 2．面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想， 即把面面平行转化为线面平行．
提示：在一个平面内找两条相交线，分别平行于另一 个平面即可．
问题2：若一个平面内有两条直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行吗？
提示：不一定，也可能相交． 问题3：若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行吗？ 提示：不一定，也可能相交．
[导入新知]
位置
表示
平面与平面 平行的判定
证明 Q I a, I b, a ,b .
Q //
所以a,b没有公共点
Q a,b
a//b
例2 求证：夹在两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线平行。
已知:如图 // ,AB//CD,且A,C , B , D
求证:AB=CD. 证明：因为AB//CD，所以过
AB,CD可作平面 ，
两平面平行的判定定理 （1）利用判定定理证明两个面平行，必须强调定理中的六
个关键字，“两条”“相交”“平行”，在证明过程中，五个
条件缺一不可，即
a⊂α，b⊂α
a∩b＝A ⇒α∥β.
a∥β，b∥β
(2)具体应用时 ，关键是在平面 α 内找到与 β 平行的两条
相交直线．
(3)由ห้องสมุดไป่ตู้定定理可得出一个推论：
2.2.2平面与平面平行的判定
[提出问题] 如何判断桌子的桌面是否水平？工人师傅将水平仪放 在桌子上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央， 就能判断桌面是水平的(注：当水平仪的气泡居中时，水 平仪所在的直线就是水平线)，否则桌面就不是水平的， 这是为什么呢？
问题1：上述问题中给出了判断两面平行的一种怎样的 方法？
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线，那么这两个平面平行．
证明面面平行的常用方法 证明面面平行常转化为线面平行，线面平行又转化为线线 平行．也就是把空间几何问题转化为平面几何问题解决． (1)根据两平面平行的定义，直接证明不易表达，常用反证 法； (2)利用判定定理； (3)可以用判定定理的推论； (4)平行于同一平面的两个平面平行.
例 1 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 如下图所示，求证： 平面 AB1 D1//平面 C1BD．
证明: ∵ABCD—A1B1C1D1 为立方体, ∴D1C1// A1B1, D1C1= A1B1， 又∵AB// A1B1, AB= A1B1， ∴D1C1// AB, D1C1= AB， ∴D1C1BA 为平行四边形。 ∴D1A//C1B
2.2.4平面与平面平行的性质
复习1：两个平面的位置关系 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线．
复习2：面面平行的判定方法
1、定义法： 若两平面无公共点，则两平面平行.
2、判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面，那么这两个平面平行.
思考：
1、两个平面平行，那么其中一个平面内的直 线与另一平面有什么样的关系？
求证：(1)E、F、B、D 四点共面； (2)平面 MAN∥平面 EFDB. 证明: (1)连接 B1D1，
∵E、F 分别是边 B1C1、C1D1 的中点， ∴EF∥B1D1.
而 BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E、F、B、D 四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. 又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB. ∴MN∥平面EFDB. 连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1. ∴MF∥AD，MF＝AD. ∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF. 又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE， ∴AM∥平面BDFE. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面MAN∥平面EFDB.
又∵D1A 平面 C1BD，C1B 平面 C1BD
由直线与平面平行的判定定理得： D1A//平面 C1BD，
同理: D1B1//平面 C1BD 又∵D1A∩D1B1= D1， ∴平面 AB1D1//平面 C1BD
例 2 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、E、F、N 分别是 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 的中点．