最新平面与平面平行的判定定理
两个平面平行的判定和性质
α
β
A
a
b
α， 且 ， ⊂，a∩b=A且a//β，
（2）推论：如果一个平面内有两条相交 推论： 直线分别平行于另一个平面内的两条直 则这两个平面平行. 线，则这两个平面平行
a A c
α β
d
b
d
， ， ， ⊂β，a //b，c /b
β， ， ⊂
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． 判定定理： （1）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行. ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
A P
F E C
B
//平面 同理EF//平面ABC， 又因为DE∩EF=E， //平面 所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F
B
为夹在α 例2.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平 2.已知 行线段。 行线段。 求证： 求证： AB＝DC. 证明： 连接AD、BC 证明： ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
AB DG = BC GC
DG DE = GC EF
所以
AB DE = BC EF
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分 的中点， 别是PA，PB，PC的中点， 求证： //平面 求证：平面DEF//平面ABC。 证明： 证明：在△PAB中，因为D， 的中点， E分别是PA，PB的中点， D 所以DE//AB， 又知DE ⊄ 平面ABC， //平面 因此DE//平面ABC，
// // 证明： 证明： AB = DC = D ' C ' ∵ ∴ ABC ' D '是平行四边形
面面平行定理和判定定理
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感谢支持！(Thank you fordownloading and checking it out!)面面平行定理和判定定理一、面面平行定理面面平行定理的定义：面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之间的平行关系。
具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。
面面平行定理的表述：面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们的交线m也与直线l平行。
面面平行定理的证明方法：面面平行定理的证明通常采用反证法。
首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。
根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。
但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。
因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。
同理，可以证明平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。
这样，面面平行定理得证。
二、判定定理面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线线平行定理、线面平行定理和面面平行定理。
这些定理在空间几何图形的判定和空间几何问题的求解中具有广泛的应用。
判定定理的种类线线平行定理是指，如果两条直线在同一平面内，且它们的交线与第三条直线平行，则这两条直线平行。
线面平行定理是指，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的所有点都与这个平面平行。
面面平行定理是指，如果两个平面上的对应线段平行，则这两个平面平行。
证明两平面平行的判定定理
证明两平面平行的判定定理平面是我们日常生活中常见的几何概念之一，它是由无数个相互平行的直线组成的。
而判定两个平面是否平行，则是几何学中一个重要的问题。
在几何学中，有一个重要的定理可以帮助我们判定两个平面是否平行，即两平面平行的判定定理。
定理表述如下：如果两个平面都与一条直线平行，则这两个平面是平行的。
要理解这个定理，我们首先要明确什么是平行。
在几何学中，两条直线或两个平面平行，意味着它们的方向相同，永远不会相交。
也就是说，两个平面平行，其中任意一条直线都与另一个平面平行。
接下来，我们来证明这个定理。
证明：设有两个平面P和Q，它们都与一条直线L平行。
我们取平面P上的一条直线a，使其与直线L相交于点A。
然后，在平面Q上取一条与直线a平行的直线b，并使其与直线L 相交于点B。
由于直线a与直线L平行，所以直线a与直线b也平行。
现在，我们来证明平面P与平面Q平行。
假设平面P与平面Q不平行，那么它们一定会相交于一条直线。
设这条直线为m，它与平面P的交点为C，与平面Q的交点为D。
由于直线a和直线b都与直线L平行，所以它们与直线m也平行。
根据平面与直线的关系，直线a与平面P相交于点A，直线b与平面P相交于点B，直线a与直线m相交于点C，直线b与直线m 相交于点D。
根据平面与直线的性质，直线a与直线m相交于点C，那么点C必定在平面P上。
同理，点D也必定在平面Q上。
所以，点C既在平面P上，又在平面Q上，这与平面P与平面Q 不相交的条件矛盾。
因此，假设不成立，得出结论：平面P与平面Q平行。
如果两个平面都与一条直线平行，则这两个平面是平行的。
这个定理的证明使用了平面与直线的性质以及平行线的性质，通过构造相交的直线和平面，利用矛盾法得出结论。
这个定理为我们判定两个平面是否平行提供了一个有效的方法。
在实际应用中，我们可以利用这个定理来解决很多几何问题。
比如，在建筑设计中，我们可以通过判定两个墙面是否平行来确定房间的布局；在制图中，我们可以通过判定两条边是否平行来确定平行四边形的形状等等。
证明面面平行的判定定理
证明面面平行的判定定理
面面平行是立体几何学中一个非常重要的概念。
在三维空间中，
如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
而面面平行的判定
定理可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行。
本文将详细介绍面
面平行的判定定理，包括定义、性质和应用。
一、定义
在三维空间中，两个平面是平行的，当且仅当它们的法线向量平行。
因此，要判断两个平面是否平行，我们只需要比较它们的法线向
量是否平行即可。
二、性质
1. 如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
2. 两个平面的法线向量分别为n和m，如果n和m平行，那么这
两个平面是平行的。
3. 如果两个平面是平行的，那么它们的法线向量长度相等。
三、应用
在求解立体几何学问题时，面面平行的判定定理是非常有用的。
比如，在计算两个平面之间的距离时，我们可以先判断它们是否平行，再利用向量的知识求解距离。
又比如，在求解两个平面的夹角时，我
们也可以利用这个定理来进行计算。
另外，在工程和建筑设计中，面面平行的判定定理也有着广泛的应用。
比如，在设计房屋或者建筑物时，我们需要保证墙壁之间是平行的，才能保证建筑物的稳定性和美观性。
此外，在工程测量中，面面平行的判定定理也可以用来判断不同建筑物的墙面是否平行，从而帮助我们得出准确的测量结果。
综上所述，面面平行的判定定理是立体几何学中一个非常重要的定理，它可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行，并在工程、建筑设计和测量方面有着广泛的应用。
因此，学好面面平行的判定定理对我们的学习和工作都是非常有帮助的。
平面与平面的平行判定定理
熟记定理，再来一次！ 两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直 线分别平行于另一个平面， α 那么这两个平面平行。
符号语言：
a b
c
若：a b a∩ b=A a// β b// β
(定理拓展)
//β a//c, c β b//d, dβ
d
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另 一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。
小菜一碟：
1.判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1).若平面α内的两条直线分别与平面β平行,则α与β 平行. ( )
(2).若平面 内有无数条直线与平面 平行,则 与 平行.
(3)平行于同一条直线的两个平面平行. (4).过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行.
F′ E′ C′ B′ F A B C E D D′
a
α
一个定理一个推论
1．面面平行的判定定理☆
b c d
2．面面平行的判定定理的推论☆
一种思想---
立体化平面
线面平行 面面平行
一种思路-
线线平行
关键点-找平行线
方法一：三角形的中位线定理；
方法二：平行四边形的平行关系。
（六）课后作业： P79 例1+（图形PAB 中，
P
F E C B
面面平行
例2：如图，在长方体 ABCD A ' B ' C ' D ' 中， ' 求证：平面 C ' DB // 平面 AB ' D .
证明：由长方体 ABCD－ABCD 可知， DC // AB // AB，
D' A' B' C'
专题2：平面与平面平行的判定与性质
专题2：平面与平面平行的判定与性质平面与平面的位置关系：平行——没有公共点：符号α∥β相交——有一条公共直线: 符号α∩β=a1．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行.符号：,,a ba b Aa bαααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭1．如图所示，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、PA的中点，AC、BD交于点O.（1）求证：平面//PBC平面EFO；2．如图，正方体1111ABCD A B C D-中，E，F，P，Q分别是BC，11C D，1AD，BD的中点.（1）求证：平面PQB //平面11CB D ；3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为11A D ，11B C 的中点.（1）求证：平面1//AB E 平面1BD F ；4．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：（1）平面EF A 1∥平面BCHG .（2）5．如图，三棱锥P ABC -中，,,PC AC BC 两两垂直，1BC PC ==，2AC =，,,E F G 分别是,,AB AC AP 的中点.（1）证明：平面//GEF 面PCB ；6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .7．如图所示，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F ，G 是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG ， 求证：平面EFG∥平面ABC ．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
平面与平面平行的判定ppt正式完整版
AC、BC、SC的中 ∴平面EFG∥平面ABC.
本节学习难点：平行关系的相互转化．
点，试
判断SG与
平面DEF的
位置关系，
∴PA∥平面D1BQ.
并给予证明． 观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，FH就是适合题意的直线．
∵P，Q分别为DD1，CC1的中点，
[解析] 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
[例2] 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，
(2)依判定定理通过一平面内有两相交直线与另一平面平行来判定两平面平行(线面平行⇒面面平行)．
∵[点E评F⊄] 平应面且用SA定SB理，A时S＝B，⊂一平S定面B要S＝A把B定，S理C的条，件找S全G. 为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是
又PQ∩QR＝Q，EF∩FG＝F，PQ，QR⊂平面PQR，EF，FG⊂平面EFG，∴平面PQR∥平面EFG.
c⊂β，d⊂β⇒α∥β
.
3．α∥β，a⊂α⇒ a∥β .
本节学习重点：平面与平面平行的判定定理． 本节学习难点：平行关系的相互转化．
1．由面面平行的定义知，若α∥β，则α与β无公共点， 若a⊂α，则a与β无公共点，从而a∥β.这样我们可以由“面 面平行”得到“线面平行”．
应用判定定理时，应特别注意“两相交直线”这个条 件，否则如右图α∩β＝a，a1∥a，a2∥a，……，a1、a2…… 都与α平行，但显然α不与β平行．
[分析2] 由题设条件中，D、E、F都是棱的中点，不 难得出DE∥AB，DF∥SA，从而平面DEF∥平面SAB，
又SG⊂平面SAB，从而得出SG∥平面DEF. [证法2] ∵EF为△SBC的中位线， ∴EF∥SB. ∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB， ∴EF∥平面SAB. 同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F， ∴平面SAB∥平面DEF， 又∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.
平面与平面平行的性质定理
平面与平面平行的性质定理
平面与平面平行的性质定理有很多，其中一些常用的定理如下:
1.平面平行定理：如果两条直线在同一平面上且互相平行，
那么它们所在的平面一定平行。
2.平行面定理：如果两个平面互相平行，那么它们之间的
任意一条直线都平行。
3.垂直平面定理：两个平面垂直，当且仅当它们的法向量
互相垂直。
4.平面夹角定理：如果两个平面互相垂直，那么它们之间
的夹角为90度。
5.平面交线定理：如果两个平面互相平行，那么它们之间
没有交线。
6.平面平行于直线定理：如果一个平面与直线平行，那么
这个平面所有的直线都与该直线平行。
7.平面垂直于直线定理：如果一个平面与直线垂直，那么
这个平面所有的直线都与该直线垂直。
8.平面平分直线定理：如果一个平面平分一条直线，那么
这个平面所有的直线都与该直线平分。
9.平面平分直线定理：如果一个平面平分一条直线，那么
这个平面所有的直线都与该直线平分。
10.平面平分线段定理: 如果一个平面平分线段，那么这个平
面所有直线都与该线段平分。
这些定理都是几何学中的基本定理，用于解决平面与直线、线段之间关系的问题。
在解决几何问题时，可以运用这些定理来确定平面和直线、线段之间的关系，为进一步的解决问题提供依据。
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线面平行 线线平行
面面平行
D1
N
A1
M
F
B1
C1
E
D A
C B
1：在一个平面内找出两条相交直线； 2：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。 3：利用判定定理得出结论。
练一练,巩固新知:P58练习1,2,3题
1P、A，如P图B：，三PPCP棱DA中锥点PPP，-EBABPPCCF, D,E,F分别是棱 P
求证：平面DEF∥平面ABC。
D
F
A EC
B
2、如图，B为△ACD所在平面外一点，M， N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重 心，求证：平面MNG∥平面ACD。 B
N· ·G
M·
A
D
C
例： 如图所示，平面ABCD∩平面EFCD = CD， M、N、H 分别是 DC、CF、CB 的中点， 求证 : 平面 MNH // 平面 DBF
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行 符号表示： ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ
图形表示：
bP a
线不在多，重在相交
已知平：面在平平行面的内判，定有定两理条的直证线明 a、b相交且
和平面平行．
求证： // ．
证明：用反证法证明．
假设 c ．
a/ /,a , a//c
同理 b // c, a//b
平面与平面平行的判定 定理
2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
怎样判定平面与平面平行呢？
（１）平面内有一条直线与平面平行，，平 行吗？
（２）平面内有两条直线与平面平行，，平 行吗？
（1）中的平面α，β不一定平行。如图，借助长方 体模型，平面ABCD中直线AD平行平面BCC'B'，但平 面ABCD与平面BCC'B'不平行。
条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行； 3．利用垂直于同一条直线的两个平面平行； 4．两个平面同时平行于第三个平面，那么这两 个平面平行； 5．利用“线线平行”、“线面平行”、“面面 平行”的相互转化．
D
E
A M
CN
H
F
B
小结：
1、面面平行的定义；
2、面面平行的判定定理； 3、面面平行判定定理的应用：要证面面平行， 只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线 线平行。在立体几何中，往往通过线线、线面、 面面间的位置关系的转化使问题得到解决。
证明面面平行的方法有： 1．面面平行的定义； 2．面面平行的判定定理：如果一个平面内有两
这与题设 a和 b是相交直线是矛盾的．
//
判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则
与 平行； ×
（2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则
与 平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； ×
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行； ×
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．×
Hale Waihona Puke 例题讲解： 例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 求证：平面AB1D1//平面C1BD
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN// 平面EFDB。
（2）分两种情况讨论： 如果平面β内的两条直线是平行直线，平面α 与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ，AD∥平面 BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD与平面BCC’B’不 平行。 如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平面 会不会一定平行？
Q
P
新课讲授： 两个平面平行的判定定理：